2. Podmienky konvergencie nevlastného integrálu.

Absolútna a neabsolútna konvergencia nevlastného integrálu

Podl’a definície 1.3 konvergencia nevlastného integrálu (3) je ekvivalentná s existenciou vlastnej limity funkcie

F (η) = ∫_{a}^{η} f(x)dx  (6)

pre η → B, η ∈< a, B).

Preto platí

Veta 2.1. (Cauchyova - Bolzanova podmienka.) Nech funkcia f je definovaná na intervale < a, B) a integrovatel’ná na l’ubovol’nom uzavretom intervale < a, η >⊂< a, B). Potom integrál ∫_{a}^{B} f(x)dx konverguje práve vtedy, ked’ pre l’ubovol’né ε > 0 existuje η_{0} ∈< a, B) tak, že pre každé η_{1}, η_{2} ∈< a, B) také, že η_{1} > η_{0}, η_{2} > η_{0}, platí vzt’ah

|∫_{η_{1}}^{η_{2}} f(x)dx| < ε.

Definícia 2.1. Hovoríme, že ∫_{a}^{B} f(x)dx konverguje absolútne, ak konverguje integrál

∫_{a}^{B} |f(x)|dx.

Definícia 2.2. Nevlastný integrál ∫_{a}^{B} f(x)dx konverguje neabsolútne, ak konverguje, ale ∫_{a}^{B} |f(x)|dx diverguje.

Poznámka 2.1. Z absolútnej konvergencie vyplýva konvergencia v obyčajnom zmysle.

Skúmanie absolútnej konvergencie nevlastného integrálu sa redukuje na skúmanie konvergencie integrálu nezápornej funkcie.

Veta 2.2. Ak funkcia f spl’ňa podmienky definície 1.3 a f(x) ≥ 0 na < a, B), tak nevlastný integrál (3) existuje práve vtedy, ked’ funkcia (6) je ohraničená na < a, B).

Dôsledok 2.1. Nech funkcia f je nezáporná, nerastúca na intervale < 1, +∞) a nech je integrovatel’ná na každom uzavretom intervale < 1, η >⊂< 1, +∞). Potom rad

∑_{n=1}^{∞} f(n) = f(1) + f(2) + …

a integrál ∫_{1}^{+∞} f(x)dx konvergujú alebo divergujú súčasne.

Veta 2.3. (Porovnávacie kritérium.) Nech funkcie f a g sú definované na intervale < a, B) a sú integrovatel’né na l’ubovol’nom uzavretom intervale < a, η >⊂< a, B). Ak na intervale < a, B) platí

0 ≤ f(x) ≤ g(x),

tak z konvergencie integrálu (5) vyplýva konvergencia integrálu (4) a platí nerovnost’

∫_{a}^{B} f(x)dx ≤ ∫_{a}^{B} g(x)dx

a z divergencie integrálu (4) vyplýva divergencia integrálu (5).

Z poznámky 2.1, vety 2.3 a príkladu 1.1 vyplýva

Veta 2.4. (Špeciálne porovnávacie kritérium pre nevlastný integrál na neohraničenom intervale.) Nech na intervale < a, +∞) funkcia f spl’ňa vzt’ah |f(x)| ≤ \frac{c}{x^{α}}, kde c a α sú

konštanty, α > 1. Potom ∫_{a}^{+∞} f(x)dx konverguje. Ak existuje taká konštanta c > 0, že

na intervale < a, +∞) platí vzt’ah f(x) ≥ \frac{c}{x^{α}}, v ktorom α ≤ 1, tak ∫_{a}^{+∞} f(x)dx diverguje.

Dôsledok 2.2. (Špeciálne porovnávacie kritérium v limitnom tvare). Ak pre α > 1 existuje vlastná limita lim_{x→+∞} |f(x)|x^{α} = c ≥ 0, tak integrál ∫_{a}^{+∞} f(x)dx konverguje. Ak

pre α ≤ 1, lim_{x→+∞} f(x)x^{α} = c, kde 0 < c ≤ +∞, tak integrál ∫_{a}^{+∞} f(x)dx diverguje.

Poznámka 2.2. Špeciálne porovnávacie kritérium pre nevlastný integrál ∫_{a}^{+∞} f(x)dx možno zapísat’ pomocou O - symboliky.

Nech f(x) = O^{⋆}(\frac{1}{x^{α}} ) pre x → +∞. Potom integrál ∫_{a}^{+∞} f(x)dx konverguje, ak

α > 1, a diverguje, ak α ≤ 1.

Zápis f(x) = O^{⋆}(\frac{1}{x^{α}} ) pre x → +∞ je ekvivalentný s tým, že existuje vlastná

lim_{x→+∞} f(x)x^{α} = c ≠ 0.

Podobne môžeme sformulovat’ porovnávacie kritérium konvergencie nevlastného integrálu z definície 1.2. S využitím poznámky 2.1, vety 2.3 a príkladu 1.2 uvedieme pre tento prípad len špeciálne porovnávacie kritérium v limitnom tvare a jeho zápis pomocou O - symboliky.

Veta 2.5. Nech pre α < 1 existuje vlastná limita lim_{x→b^{−}} |f(x)| (b − x)^{α} = c ≥ 0, tak

∫_{a}^{b} f(x)dx konverguje. Ak pre α ≥ 1, lim_{x→b^{−}} f(x) (b − x)^{α} = c, kde 0 < c ≤ +∞, tak

∫_{a}^{b} f(x)dx diverguje.

Poznámka 2.3. Nech f(x) = O^{⋆}(\frac{1}{(b − x)^{α}} ) pre x → b^{−}. Potom integrál ∫_{a}^{b} f(x)dx

konverguje, ak α < 1, a diverguje, ak α ≥ 1.

Aj tu zápis f(x) = O^{⋆}(\frac{1}{(b − x)^{α}} ) pre x → b^{−} znamená, že existuje vlastná limita

lim_{x→b^{−}} f(x)(b − x)^{α} = c ≠ 0.

Poznámka 2.4. Uvedieme špeciálne porovnávacie kritérium konvergencie nevlastného

lintegrálu z definície 1.3, zapísanom pomocou O - symboliky. Nech f(x) = O^{⋆}(\frac{1}{(x − a)^{α}} )

pre x → a^{+}. Potom integrál ∫_{a}^{b} f(x)dx konverguje, ak α < 1, a diverguje, ak α ≥ 1.

Veta 2.6. Ak konverguje integrál ∫_{a}^{B} |f(x)|dx a funkcia g(x) je ohraničená na < a, B), tak ich súčin f(x)g(x) je tiež absolútne integrovatel’ná funkcia na < a, B).

Uvedieme ešte niektoré d’alšie (jemnejšie) kritéria konvergencie nevlastného integrálu použitel’né aj v prípade neabsolútnej konvergencie integrálu (v zmysle definície 1.5).

Veta 2.7. (Dirichletovo kritérium.) Nech funkcie f a g sú definované na intervale < a, B) a sú integrovatel’né na l’ubovol’nom uzavretom intervale < a, η >⊂< a, B). Ak platí:

1. funkcia F (η) = ∫_{a}^{η} f(x)dx je ohraničená na < a, B),

2. funkcia g(x) je monotónna a lim_{x→B} g(x) = 0, tak ∫_{a}^{B} f(x)g(x)dx konverguje.

Veta 2.8. (Abelovo kritérium.) Nech funkcia f a g sú definované na intervale < a, B) a sú integrovatel’né na každom uzavretom intervale < a, η >⊂< a, B). Ak platí:

1. integrál ∫_{a}^{B} f(x)dx konverguje,

2. funkcia g(x) je monotónna a ohraničená na < a, B), tak ∫_{a}^{B} f(x)g(x)dx konverguje.

Zistite konvergenciu integrálov:

35. ∫_{1}^{∞} \frac{dx}{\sqrt[3]{x^{2}}} .  36. ∫_{1}^{∞} \frac{dx}{x^{\frac{5}{3}}} .
37. ∫_{0}^{∞} \frac{x}{x^{2} + c^{2}} dx.  38. ∫_{0}^{∞} \frac{x^{2}dx}{x^{3} + x + 1}.
39. ∫_{1}^{∞} \frac{x^{2}dx}{2x^{4} − x^{3} + 2x − 1}.  40. ∫_{a}^{∞} cos xdx.
41. ∫_{0}^{∞} x cos xdx.  42. ∫_{0}^{∞} x^{n}e^{−x}dx.
43. ∫_{1}^{∞} \frac{dx}{x ^{3} \sqrt{x^{2} + 1}}.  44. ∫_{0}^{∞} \frac{\sqrt{x} cos x}{x + 2}dx.
45. ∫_{0}^{1} \frac{\sqrt{x}dx}{\sqrt{1 − x^{4}}} .  46. ∫_{1}^{2} \frac{dx}{\sqrt{(x − 1)(2 − x)}}.

47. ∫_{a}^{b} \frac{dx}{(b − x) ^{3} \sqrt{x − a}}.  48. ∫_{a}^{b} \frac{dx}{\sqrt{x^{2} − a^{2}}} .
49. ∫_{a}^{b} \frac{dx}{x^{2} − a^{2}} .  50. ∫_{0}^{2} \frac{dx}{ln x}.
51. ∫_{0}^{∞} \frac{dx}{\sqrt{x^{3} + x}}.  52. ∫0^{\frac{π}{2}} \frac{ln(sin x)}{\sqrt{x}}dx.
53. ∫_{0}^{∞} \frac{sin^{2} x}{x}dx.  54. ∫_{0}^{1} \frac{ln x}{1 − x^{2}} dx.

55. Dokážte, že integrál ∫_{0}^{π} \frac{dx}{(sinx)^{s}} konverguje, ak s < 1 a diverguje, ak s ≥ 1.

56. Dokážte, že integrál ∫_{0}^{1} \frac{sin x}{x^{p}}dx konverguje, ak p < 2.

57. Dokážte, že, ak integrál ∫_{a}^{x} φ(t)dt je ohraničená funkcia pre x → ∞, tak ∫_{a}^{∞} \frac{φ(x)}{x^{α}}dx konverguje pre α > 0.

58. Nech φ(x) ≥ 0, lim_{x→+∞} φ(x) = 0, φ′(x) ≤ 0, φ′(x) je spojitá funkcia pre a ≤ x < ∞. Dokážte, že integrály ∫_{0}^{∞} φ(x) cos txdx a ∫_{a}^{∞} φ(x) sin txdx, kde t > 0, konvergujú. Pre aké hodnoty parametra α konvergujú nasledujúce integrály:

59. ∫_{0}^{∞} \frac{x^{α}dx}{x^{2} + 1}.  60. ∫_{1}^{∞} x^{α}.\frac{x + sin x}{x − sin x}dx.
61. ∫_{2}^{∞} \frac{dx}{x^{α} ln x}.  62. ∫_{0}^{π} \frac{1 − cos x}{x^{α}}dx.
63. ∫_{0}^{∞} x^{α−1}e^{−x}dx.  64. ∫_{0}^{∞} \frac{arctg ax}{x^{α}}dx (a ≠ 0).
65. ∫_{0}^{∞} \frac{ln(1 + x)}{x^{α}}dx.  66. ∫_{0}^{∞} \frac{cos ax}{1 + x^{α}} dx (α ≥ 0).

67. ∫_{0}^{1} \frac{x^{α}dx}{\sqrt{1 − x^{4}}} .

Nájdite hodnoty parametrov m a n (resp. p a q), pre ktoré nasledujúce integrály konvergujú:

68. ∫_{0}^{1} x^{p} ln^{q} \frac{1}{x}dx.  69. ∫_{0}^{∞} \frac{x^{m}}{1 + x^{n}} dx (n ≥ 0).
70. ∫_{0}^{∞} \frac{x^{m}arctg x}{2 + x^{n}}dx (n ≥ 0).  71. ∫0^{\frac{π}{2}} \frac{dx}{sin^{p} x cos^{q} x}.
72. ∫_{0}^{∞} \frac{dx}{x^{p} + x^{q}}.  73. ∫_{1}^{∞} \frac{dx}{x^{p} ln^{q} x}.

74. ∫_{0}^{∞} x^{m}|x − 1|^{n}dx.  75. ∫_{0}^{1} x^{p−1} (1 − x)^{q−1} dx.

76. Pre aké hodnoty parametrov p, q a r konverguje integrál

∫_{e}^{∞} \frac{dx}{x^{p}(ln x)^{q}(ln ln x)^{r}}?

77. Určte hodnoty parametrov p_{1}, p_{2}, …, p_{n}, pre ktoré konverguje integrál:

∫_{−∞}^{∞} \frac{dx}{|x − a_{1}|^{p_{1}}|x − a_{2}|^{p_{2}} … |x − a_{n}|^{p_{n}}} .

78. Dokážte, že integrál ∫_{0}^{∞} \frac{sin tx}{x^{s}}dx konverguje, ak 0 < s < 2, a absolútne konverguje, ak 1 < s < 2.

79. Dokážte, že integrál ∫_{0}^{∞} \frac{1 − cos tx}{x^{s}}dx konverguje absolútne, ak 1 < s < 3.

80. Dokážte, že integrál ∫_{0}^{∞} \frac{sin x(1 − cos x)}{x^{s}}dx konverguje, ak 0 < s < 4 a absolútne konverguje, ak 1 < s < 4.

81. Dokážte, že nasledujúce integrály konvergujú neabsolútne:

a) ∫_{0}^{∞} \frac{cos x}{\sqrt{x}}dx; b) ∫_{0}^{∞} \frac{sin x}{x}dx; c) ∫_{0}^{∞} sin x^{2}dx.

Zistite absolútnu a neabsolútnu konvergenciu nasledujúcich integrálov:

82. ∫_{0}^{∞} \frac{\sqrt{x} cos x}{x + 100}dx.  83. ∫_{0}^{∞} x^{p} sin(x^{q})dx (q ≠ 0).
84. ∫0^{\frac{π}{2}} sin (sec x) dx.  85. ∫_{0}^{∞} x^{2} cos(e^{x})dx.

86. ∫_{0}^{∞} \frac{x^{p} sin x}{1 + x^{q}}dx (q ≥ 0).

87. Nech P a Q sú dva polynómy a polynóm Q nemá reálne korene v intervale < a, ∞). Dokážte, že, ak st P ≤ st Q − 2, integrály

∫_{a}^{∞} \frac{P (t)}{Q(t)} sin tdt, ∫_{a}^{∞} \frac{P (t)}{Q(t)} cos tdt

konvergujú absolútne.

88. Nech na uzavretom intervale < a, b > pre každé b > a je funkcia f(x) > 0 a funkcia φ(x) je rastúca, pričom φ(x) ≥ x, φ′(x) a f(x) sú integrovatel’né funkcie. Ak za týchto podmienok pre dostatočne vel’ké x

\frac{f [φ(x)] .φ′(x)}{f(x)} ≤ q < 1,

tak integrál ∫_{a}^{∞} f(x)dx konverguje, ak pre dostatočne vel’ké x

\frac{f [φ(x)] .φ′(x)}{f(x)} ≥ 1, φ(x) ≢ x,

tak integrál ∫_{a}^{∞} f(x)dx diverguje.

Sformulujte uvedené kritérium konvergencie resp. divergencie integrálu ∫_{a}^{∞} f(x)dx v prípadoch: φ(x) = x + 1; φ(x) = 2x; φ(x) = x^{2}; φ(x) = e^{x}.

89. Použitím tvrdenia úlohy 88 pre prípad φ(x) = x + 1 ukážte, že

a) integrály ∫_{1}^{∞} \frac{x^{2}}{2^{x}} dx a ∫_{1}^{∞} x^{5} sin \frac{1}{2^{x}} dx konvergujú;

b) integrály ∫_{1}^{∞} \frac{2^{x}}{x^{4}} dx a ∫_{1}^{∞} 2^{x} sin \frac{1}{x^{5}} dx divergujú.

90. Na základe tvrdenia úlohy 88 pre prípad φ(x) = 2x ukážte, že

a) integrál ∫_{1}^{∞} \frac{sin \frac{1}{x}}{x} dx konverguje;

b) integrál ∫_{2}^{∞} \frac{dx}{(ln x)^{2}} diverguje.

91. Použitím tvrdenia úlohy 88 pre prípad φ(x) = e^{x} ukážte, že integrál

∫_{10}^{∞} \frac{dx}{\sqrt{x^{2} + 1} ln x(ln ln x)^{α}} , kde α > 1,

konverguje a integrál

∫_{10}^{∞} \frac{dx}{\sqrt{x^{2} + 1} ln x. ln ln x}

diverguje.

92. Ak ∫_{a}^{∞} f(x)dx konverguje, musí f(x) → 0 pre x → ∞?

Uvažujte príklady: a) ∫_{a}^{∞} sin x^{2}dx; b) ∫_{a}^{∞}(−1)^{[x^{2}]}dx.

93. Nech f(x) ∈ C^{(1)} < x_{0}, ∞) t.j. funkcia f a jej derivácia sú spojité v < x_{0}, ∞), |f′(x)| < C pre x_{0} < x < ∞ a ∫_{x_{0}}^{∞} |f(x)|dx konverguje. Dokážte, že f(x) → 0 pre x → ∞.

94. Môžeme konvergentný nevlastný integrál

∫_{a}^{b} f(x)dx

neohraničenej funkcie f(x), definovanej na < a, b >, definovat’ ako limitu zodpovedajúceho integrálneho súčtu

∑_{i=1}^{n−1} f(τ_{i}) △ x_{i},

kde x_{i} ≤ τ_{i} ≤ x_{i+1} a △x_{i} = x_{i+1} − x_{i}?

95. Nech

∫_{a}^{∞} f(x)dx  (1)

konverguje a funkcia φ(x) je ohraničená. Musí potom konvergovat’ aj integrál

∫_{a}^{∞} f(x)φ(x)dx?  (2)

Ak nie, uved’te zodpovedajúci príklad. Čo môžete povedat’ o konvergencii integrálu (2), ak integrál (1) konverguje absolútne?

96. Nech funkcia f(x) je monotónna v intervale 0 < x ≤ 1 a je neohraničená v okolí bodu x = 0. Dokážte, že ak existuje

∫_{0}^{1} f(x)dx,

tak

lim_{n→∞} \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} f (\frac{k}{n}) = ∫_{0}^{1} f(x)dx.