3. Hlavná hodnota nevlastného integrálu

Definícia 3.1. Nech funkcia f je definovaná na celej množine reálnych čísel (−∞, ∞) a nech je integrovatel’ná na každom uzavretom intervale. Budeme hovorit’, že funkcia f je integrovatel’ná v zmysle Cauchyho, ak existuje limita

lim_{η→∞} ∫_{−η}^{η} f(x)dx.

Túto limitu budeme nazývat’ hlavnou hodnotou nevlastného integrálu funkcie f v zmysle Cauchyho a označovat’ symbolom

v.p. ∫_{−∞}^{∞} f(x)dx = lim_{η→∞} ∫_{−η}^{η} f(x)dx

(v.p. sú začiatočné písmená francúzskych slov valuer principal - hlavná hodnota.)

Veta 3.1. Ak je funkcia f nepárna a integrovatel’ná na každom uzavretom intervale, tak je integrovatel’ná v zmysle Cauchyho a hlavná hodnota jej integrálu sa rovná 0.

Ak je funkcia f párna, tak je integrovatel’ná v zmysle Cauchyho na intervale (−∞, ∞) práve vtedy, ked’ konverguje nevlastný integrál

∫_{0}^{∞} f(x)dx.

Definícia 3.2. Nech funkcia f je definovaná v uzavretom intervale < a, b > s výnimkou jediného bodu c, a < c < b a nech je integrovatel’ná v každom uzavretom podintervale intervalov < a, c), (c, b >. Budeme hovorit’, že funkcia f je integrovatel’ná podl’a Cauchyho, ak existuje limita

lim_{ε→0^{+}} (∫_{a}^{c−ε} f(x)dx + ∫_{c+ε}^{b} f(x)dx) = v.p. ∫_{a}^{b} f(x)dx,

ktorá sa nazýva hlavnou hodnotou integrálu v zmysle Cauchyho.

97. Ukážte, že

a) v.p. ∫_{−1}^{1} \frac{dx}{x} = 0;  b) v.p. ∫_{0}^{∞} \frac{dx}{1 − x^{2}} = 0;  c) v.p. ∫_{−∞}^{∞} sin xdx = 0.

98. Nájdite:

a) v.p. ∫_{0}^{∞} \frac{dx}{x^{2} − 3x + 2};  b) v.p. ∫ 2_{\frac{1}{2}} \frac{dx}{x ln x};
c) v.p. ∫_{−∞}^{∞} \frac{1 + x}{1 + x^{2}} dx;  d) v.p. ∫_{−∞}^{∞} arctg xdx.