II. Metrický priestor

1. Definícia a základné vlastnosti metrických priestorov

Medzi najzákladnejšie pojmy v matematickej analýze patria pojmy metriky a metrického priestoru.

Definícia 1.1. Nech X ≠ ∅ je množina, d je reálna funkcia definovaná na karteziánskom súčine X × X nasledujúcimi vlastnost’ami:

1. Pre všetky x, y ∈ X je d(x, y) ≥ 0 a d(x, y) = 0 práve vtedy, ked’ x = y.

2. Pre všetky x, y ∈ X je d(x, y) = d(y, x).

3. Pre všetky x, y, z ∈ X je d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

Funkciu d nazývame metrika na množine X a dvojicu (X, d) nazývame metrickým priestorom.

V d’alšom texte obyčajne namiesto (X, d) je metrický priestor (ak je jasné o akú metriku ide), budeme krátko písat’ X je metrický priestor.

Poznámka 1.1. Vlastnost’ 2. funkcie d sa nazýva symetričnost’ a vlastnost’ 3. trojuholníková nerovnost’.

Poznámka 1.2. Nech (X, d) je metrický priestor a ∅ ≠ Y; Y ⊂ X. Na Y × Y definujeme funkciu d′ nasledovne:

Pre každú dvojicu (x, y) ∈ Y × Y platí d′(x, y) = d(x, y). Potom d′ je metrika na množine Y a dvojicu (Y, d′) nazývame metrickým podpriestorom priestoru (X, d).

Definícia 1.2.

1. Nech (X, d) je metrický priestor. Nech A ⊂ X. Potom číslo (môže byt’ aj +∞)

diam A = sup{d(x, y); x, y ∈ A}

nazývame priemerom (diametrom) množiny A. Množina A sa nazýva ohraničená (neohraničená), ak diam < +∞ (diam = +∞).

2. Pre l’ubovol’ný bod p ∈ X a ε > 0 označíme:

O(p, ε) = {x ∈ X; d(p, x) < ε}.

Túto množinu budeme nazývat’ ε - ovým okolím bodu p (vzhl’adom na metriku d).

Definícia 1.3. Nech {x_{n}}_{n=1}^{∞} je postupnost’ bodov metrického priestoru (X, d). Hovoríme, že táto postupnost’ konverguje k bodu x ∈ X, ak postupnost’ {d(x_{n}, x)}_{n=1}^{∞} konverguje k nule. Postupnost’, ktorá nekonverguje k žiadnemu bodu priestoru (X, d), nazývame divergentnou. Ak postupnost’ {x_{n}}_{n=1}^{∞} konverguje k bodu x ∈ X hovoríme tiež, že lim_{n→∞} x_{n} = x.

Veta 1.1. Každá postupnost’ bodov metrického priestoru má najviac jednu limitu.

Veta 1.2. Ak postupnost’ bodov metrického priestoru (X, d){x_{n}}_{n=1}^{∞} konverguje k bodu x ∈ X, tak každá z nej vybraná postupnost’ konverguje ku tomu istému bodu x ∈ X.

Poznámka 1.3. Postupnost’ {x_{n}}_{n=1}^{∞} nazveme ohraničenou, ak množina jej členov je ohraničená.

Veta 1.3. Každá konvergentná postupnost’ bodov metrického priestoru je ohraničená.

Poznámka 1.4. Na každej množine možno definovat’ viacero metrík.

Nech d, d′ sú dve metriky na množine X. Budeme hovorit’, že metriky d a d′ sú ekvivalentné ak platí: Postupnost’ {x_{n}}_{n=1}^{∞} konverguje k x v priestore (X, d) práve vtedy, ked’ konverguje ku x v priestore (X, d′).

Na karteziánskom súčine metrických priestorov obvykle definujeme metriku nasledovne:

Definícia 1.4. Nech (X_{1}, d_{1}), (X_{2}, d_{2}), ..., (X_{m}, d_{m}) sú metrické priestory. Označíme X = X_{1} × X_{2} × ... × X_{m}. Ak x, y ∈ X, x = (α_{1}, α_{2}, ..., α_{m}), y = (β_{1}, β_{2}, ..., β_{m}). Položme:

d(x, y) = \sqrt{∑_{i=1}^{m} d_{i}^{2}(α_{i}, β_{i})}.

Doporučujeme čitatel’ovi overit’ si, že funkcia d je metrikou na priestore X. (Vlastnosti 1. a 2. sú zrejmé. Trojuholníkovu vlastnost’ možno overit’ pomocou nasledujúcej lemy.)

Lema 1.1. Nech a_{i}, b_{i}(i = 1, , 2, ..., m) sú reálne čísla. Potom platí:

∑_{i=1}^{m} a_{i}.b_{i} ≤ \sqrt{∑_{i=1}^{m} a_{i}^{2}}.\sqrt{∑_{i=1}^{m} b_{i}^{2}}.

Veta 1.4. Nech (X_{1}, d_{1}), (X_{2}, d_{2}), ..., (X_{m}, d_{m}) sú metrické priestory. Postupnost’

{X^{n}}_{n=1}^{∞} prvkov z X = X_{1} × X_{2} × ... × X_{m}, t.j.

X^{n} = (α_{1}^{n}, α_{2}^{n}, ..., α_{m}^{n}) ∈ X

konverguje k prvku X = (α_{1}, α_{2}, ..., α_{m}) ∈ X, v zmysle metriky zavedenej v definícii 1.4, vtedy a len vtedy, ked’ pre každé i; 1 ≤ i ≤ m plati: lim_{n→∞} α_{i}^{n} = α_{i}, t.j. postupnost’ {α_{i}^{n}}_{n=1}^{∞}, konverguje v priestore (X_{i}, d_{i}) ku bodu α_{i} ∈ X_{i}.

Poznámka 1.5. Konvergencia spomínaná vo vete 1.4 sa nazýva konvergenciou po súradniciach.

1. Nech < a, b >⊂ R. Označíme M(a, b) množinu všetkých reálnych funkcií definovaných a ohraničených na intervale < a, b >. Nech f, g ∈ M(a, b). Dokážte, že funkcia

d(f, g) = sup_{x∈<a,b>} | f(x) − g(x) |,

je metrika na priestore M(a, b).

2. Označme M− množinu všetkých ohraničených reálnych postupností. Nech x, y ∈ M; x = {x_{i}}_{i=1}^{∞}. Dokážte, že funkcia

d(x, y) = sup_{i=1,2,...} | x_{i} − y_{i} |,

je metrika na priestore M.

3. Označme znakom l^{(2)} množinu všetkých tých reálnych čísel, pre ktoré platí: Ak x ∈ l^{(2)}, x = {x_{i}}_{i=1}^{∞}, tak ∑_{i=1}^{∞} x_{i}^{2} konverguje. Nech x = {x_{i}}_{i=1}^{∞}, y = {y_{i}}_{i=1}^{∞} sú

dva body z l^{(2)}. Dokážte, že funkcia

d(x, y) = \sqrt{∑_{i=1}^{∞} (x_{i} − y_{i})^{2}}

je metrikou na l^{(2)}.

4. Nech X = \{1; \frac{1}{2}; \frac{1}{3}\}. Položme d(x, x) = 0, pre každé x ∈ X. Ďalej

d(1, \frac{1}{2}) = d(\frac{1}{2}, 1) = 1; d(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}) = d(\frac{1}{3}, \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}; d(1, \frac{1}{3}) = d(\frac{1}{3}, 1) = \frac{1}{3}.

Je funkcia d metrikou na X?

5. Dokážte, že vlastnosti 1.,2.,3. metriky, z definície 1.1 sú nezávislé. (Nezávislost’ vlastností chápeme v tom zmysle, že žiadna z nich nevyplýva z ostatných vlastností. Pozri návod.)

6. Nech X ≠ ∅ a d : X × X → R má nasledujúce vlastnosti:

a) d(x, x) = 0 pre všetky x ∈ X a d(x, y,) ≠ ∅ pre každé dva rôzne prvky z X.

b) Pre každé tri prvky x, y, z ∈ X platí:

d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

Dokážte, že d je metrika!

7. Nech d_{1}, d_{2} sú dve metriky na X. Sú funkcie d_{1}+d_{2}, max{d_{1}, d_{2}}, min{d_{1}, d_{2}} metrikami na X?

8. Označme E_{n} = {(a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}); a_{i} ∈ R, i = 1, 2, ..., n}. Ak x = (x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}), y = (y_{1}, y_{2}, ..., y_{n}) sú dva body z E_{n}, tak kladieme

d(x, y) = \sqrt{∑_{i=1}^{n} (x_{i} − y_{i})^{2}}.

a) Ukážte, že funkcia d je metrikou na priestore E_{n}. (Funkcia d sa nazýva euklidovská metrika na E_{n}.)

b) Ak

A_{1} =(a_{1}^{1}, a_{2}^{1}, ..., a_{n}^{1})
A_{2} =(a_{1}^{2}, a_{2}^{2}, ..., a_{n}^{2})
⋮
A_{k} =(a_{1}^{k}, a_{2}^{k}, ..., a_{n}^{k})
⋮

je postupnost’ bodov priestoru (E_{n}, d), potom táto postupnost’ {A_{i}}_{i=1}^{∞} konverguje v priestore (E_{n}, d) k bodu A_{0} = (a_{1}^{0}, a_{2}^{0}, ..., a_{n}^{0}) vtedy a len vtedy, ak {a_{k}^{i}}_{i=1}^{∞} konverguje ku a_{k}^{0}, k = 1, 2, ..., n. Dokážte. V zmysle poznámky 1.5 možno posledné tvrdenie preformulovat’: V euklidovských priestoroch postupnost’ bodov konverguje práve vtedy, ked’ konverguje po súradniciach.

9. Označme znakom l množinu všetkých takých postupností {x_{i}}_{i=1}^{∞}, pre ktoré rad ∑_{i=1}^{∞} | x_{i} | konverguje. Ak x = {x_{i}}_{i=1}^{∞}, y = {y_{i}}_{i=1}^{∞} sú dva body z l, položme

d_{1}(x, y) = ∑_{i=1}^{∞} | x_{i} − y_{i} |.

a) Dokážte, že d_{1} je metrika na priestore l.

b) Dokážte, že l ⊂ l^{(2)} (pozri príklad 3.)

c) Takto na priestore l máme definované dve rôzne metriky d_{1} a metriku d z príkladu 3. Je na mieste otázka, kol’ko metrík možno definovat’ na danej množine?

10. Označme C(a, b) množinu všetkých spojitých funkcií, definovaných na intervale < a, b > . Presvedčte sa, že ak f, g ∈ C, tak funkcia

d(f, g) = ∫_{a}^{b} | f(x) − g(x) | dx

je metrika na C(a, b).

11. Nech S označuje množinu všetkých postupností reálnych čísel. Pre x = {x_{i}}_{i=1}^{∞} položme:

d(x, y) = ∑_{i=1}^{∞} \frac{1}{2^{i}} \frac{| x_{i} − y_{i} |}{1+ | x_{i} − y_{i} |}.

Dokážte, že d je metrika na S.

12. Nech R = (−∞, +∞). Pre každú dvojicu x, y ∈ R definujeme

d(x, y) = sin^{2} (x − y).

Je d metrika na R ?

13. Pre každé x, y ∈ R definujeme

d(x, y) = arctg | x − y |.

a) Ukážte, že d je metrika na R.

b) Ukážte, že táto metrika je ekvivalentná euklidovskej metrike na priamke.

14. Pre každé x, y ∈ R definujeme:

d(x, y) = \sqrt{| x − y |}.

Je funkcia d metrika na R ?

15. X = {(a, b); a, b ∈ R}. Pre každé dva body x = (a_{1}, b_{1}), y = (a_{2}, b_{2}) z priestoru X definujeme:

d_{1}(x, y) = max {| a_{1} − a_{2} |; | b_{1} − b_{2} |}
d_{2}(x, y) =| a_{1} − a_{2} | + | b_{1} − b_{2} |
d_{3}(x, y) = \sqrt{(a_{1} − a_{2})^{2} + (b_{1} − b_{2})^{2}} (euklidovská metrika)

Ukážte:

a) Funkcie d_{1} a d_{2} sú tiež metriky.

b) Metriky d_{1}, d_{2} a d_{3} sú ekvivalentné.

16. Nech X je množina bodov kružnice k. Pre každú dvojicu x, y ∈ X definujeme: d(x, y) = dl’žka kratšieho oblúka kružnice k, spájajúceho body x a y. Je d metrika na

X ?

17. Nech (X, d) je metrický priestor. Pre každé A, B ⊂ X, A, B ≠ ∅ položme:

d_{1}(A, B) = inf {d(a, b), a ∈ A, b ∈ B}.

Je d_{1} metrika na systéme všetkých podmnožín priestoru X ?

18. Označujeme C(a, b) množinu všetkých spojitých funkcií, definovaných na < a, b > . Ak f, g ∈ C(a, b), položme

d(f, g) = \sqrt{∫_{a}^{b}(f(x) − g(x))^{2}dx}.

Je d metrika na C(a, b) ?

19. Ukážte, že k ekvivatentnosti metrík d_{1} a d_{2}, definovaných na priestore X stačí, aby existovali kladné konštanty a, b tak, že pre všetky x, y ∈ X platí:

a.d_{1}(x, y) ≤ d_{2}(x, y) ≤ b.d_{1}(x, y).

Ukážte, že táto podmienka nie je nutná k ekvivalentnosti metrík d_{1} a d_{2} !

20. Pseudometrikou nazveme takú funkciu \overline{d}, ktorá sa od metriky líši iba v tom, že d̄(x, y) sa môže rovnat’ nule aj pre x ≠ y.

Nech (X, \overline{d}) je pseudometrický priestor. Označme Y nasledujúci rozklad priestoru X:

Do jednej a tej istej triedy A ∈ Y, A ⊂ X patria tie a len tie body x, y, pre ktoré \overline{d}(x, y) = 0. Pre A, B ∈ Y definujeme:

d(A, B) = d̄(a, b); a ∈ A, b ∈ B.

Dokážte, že d je metrika na priestore Y.

21. Nech (X, d) je metrický priestor. ∅ ≠ A_{1} ⊂ A_{2}. Potom diam A_{1} ≤ diam A_{2}. Dokážte!

22. Nech (X, d) je metrický priestor. Nech A ⊂ X. Označme

D(A) = {d(x, y); x, y ∈ A}.

Existuje taká trojprvková množina A ⊂ E_{2}, aby D(A) = {0, 1} ? Platí niečo podobné v E_{1} = R ?

23. Označme Q - množinu všetkých racionálnych čísel z intervalu < 0, 1 > a I - množinu všetkých iracionálnych čísel z intervalu < 0, 1 > . Vypočítajte diam Q a diam I.

24. Nech j_{1} < j_{2} < ...; k_{1} < k_{2} < ... sú dve rastúce postupnosti prirodzených čísel. Nech {x_{i}}_{i=1}^{∞} je postupnost’ bodov metrického priestoru (X, d) taká, že {x_{j_{i}}}_{i=1}^{∞} ak {x_{k_{i}}}_{i=1}^{∞} konvergujú k tomu istému bodu x_{0}. Nech zjednotenie množín {j_{1}, j_{2}, ...} a {k_{1}, k_{2}, ...} je množina všetkých prirodzených čísel. Potom aj postupnost’ {x_{i}}_{i=1}^{∞} konverguje k bodu x_{0}. Dokážte!

25. Dokážte, že postupnost’ \{1 − \frac{1}{i}, \frac{2i}{3i+4}\}_{i=1}^{∞} bodov euklidovského priestoru (E_{2}, d) konverguje k bodu (1, \frac{2}{3}) ∈ E_{2}!

26. Veta 1.4 nám hovorí, že napr. v euklidovských priestoroch (E_{n}, d) je konvergencia bodov ekvivalentná tzv. konvergencia po súradniciach. Majú podobnú vlastnost’ i konvergencia v priestoroch M, l^{(2)}, l z príkladov 2.,3. a 9.?

27. Na priestore E_{n} všetkých usporiadaných n-tíc zaved’me okrem euklidovskej metriky d_{0} inú funkciu h:

Ak x = (x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}), y = (y_{1}, y_{2}, ..., y_{n}) sú dva body z E_{n}, tak h(x, y) = \frac{1}{s}, kde s je prvá súradnica, v ktorej sa body x a y líšia. Dokážte, že h je metrika na E_{n}!

28. Nech N je množina všetkých prirodzených čísel. Pre každé celé číslo a ≥ 0 definujeme na N × N nasledujúce funkcie:

d_{a}(n, n) = 0, pre každé n ∈ N,

d_{a}(m, n) = a + \frac{1}{m + n}, ak m, n ∈ N, m ≠ n.

Ukážte:

a) d_{0} nie je metrikou na N.

b) d_{a}, pre a ≥ 1 je metrikou na N.

c) Pre všetky a, b ≥ 1 sú d_{a}, d_{b} ekvivalentné metriky.

29. V súvislosti s vetou 1.2 dokážte: Ak postupnost’ {x_{n}}_{n=1}^{∞} metrického priestoru (X, d) nekonverguje k prvku x ∈ X, tak existuje taká čiastočná postupnost’ {x_{k_{n}}}_{n=1}^{∞} postupnosti {x_{n}}_{n=1}^{∞}, že žiadna jej čiastočná postupnost’ nekonverguje k bodu x.