2. Podmnožiny a body metrického priestoru

Definícia 2.1. Nech (X, d) je metrický priestor. A ⊂ X. Bod x ∈ X nazveme bodom uzáveru množiny A, ak existuje postupnost’ {x_{n}}_{n=1}^{∞}, x_{n} ∈ A, n = 1, 2, ..., ktorá konverguje k bodu x. Množinu všetkých bodov uzáveru množiny A nazývame uzáverom množiny A a označujeme \overline{A}.

Definícia 2.2. Množina A, A ⊂ X sa nazýva uzavretá, ak A = \overline{A}. Množina A, A ⊂ X nazveme otvorenou, ak X \ A je uzavretá.

K problematike uzavretých a otvorených množín sa môžeme dostat’ aj cez otvorené množiny.

Definícia 2.3. Nech (X, d) je metrický priestor. A ⊂ X. Bod p ∈ A nazveme vnútorným bodom množiny A, ak existuje také δ > 0, že O(p, δ) ⊂ A. Množinu všetkých vnútorných bodov nazývame vnútrom množiny A a označujeme intA.

Veta 2.1. Množina A, A ⊂ X sa nazýva otvorená, ak A = intA. Množina A, A ⊂ X sa nazýva uzavretá, ak X \ A je otvorená.

Veta 2.2. Nech R = (−∞, +∞) s obvyklou metrikou. Potom G ⊂ R je otvorená práve vtedy, ak sa dá vyjadrit’ ako zjednotenie disjunktného spočitatel’ného systému otvorených intervalov.

Vlastnosti otvorených množín, spomínané v príklade 33. tejto kapitoly inšpirovali k zavedeniu pojmu topologického priestoru.

Definícia 2.4. Nech X je množina a T je systém jej podmnožín s týmito vlastnost’ami:

1. ∅, X ∈ T .

2. Zjednotenie l’ubovol’ného systému množín z T patrí do T a prienik konečného počtu množín z T patrí do T .

Systém T , spl’ňajúci podmienky 1. a 2. sa nazýva topológiou na X a množinu X nazývame topologickým priestorom s topológiou T a zapisujeme v tvare (X, T ).

Poznámka 2.1. Prvky systému T nazývame otvorenými množinami, ak p ∈ X, potom okolím bodu p v topologickom priestore (X, T ) nazveme každú množinu G ∈ T , ktorá obsahuje bod p.

Definícia 2.5. Nech X je metrický priestor. A ⊂ X. Bod p ∈ X sa nazýva hromadným (kondenzačným) bodom množiny A, ak pre každé ε > 0 je A ∩ O(p, ε) nekonečná (nespočitatel’ná). Bod p ∈ A sa nazýva izolovaným, ak existuje ε > 0 tak, že A∩O(p, ε) = {p}.

Označme v poradí znakmi A^{d}, A^{c}, A^{o} množinu všetkých hromadných, kondenzačných, izolovaných bodov množiny A.

Veta 2.3. X - metrický priestor. A ⊂ X, p ∈ X, p ∈ A^{d} vtedy a len vtedy, ak existuje postupnost’ {p_{n}}_{n=1}^{∞}, p_{n} ∈ A, n = 1, 2, ..., ktorá konverguje k bodu p.

Veta 2.4.

a) \overline{A} = A ∪ A^{d}.

b) A^{d} = \overline{A^{d}}.

c) (A ∪ B)^{d} = A^{d} ∪ B^{d}.

d) Ak označíme A^{dd} = (A^{d})^{d}, tak A^{dd} ⊂ A^{d}.

(Čitatel’ si l’ahko na príklade ukáže, že vo všeobecnosti nemusí v bode d) platit’ rovnost’.)

Definícia 2.6.

a) Množina A ⊂ X sa nazýva hustá v X, ak \overline{A} = X.

b) Množina A ⊂ X sa nazýva brehová (riedka) v X, ak množina X − A (X − \overline{A}) je hustá v X.

c) Množina A ⊂ X nazývame množinou prvej (Baireovej) kategórie v X, ak A = ∪_{n=1}^{∞}A_{n}, kde A_{n}, n = 1, 2, ... sú riedke v X. Množina A ⊂ X sa nazýva množinou druhej (Baireovej) kategórie, ak nie je množinou prvej kategórie.

d) Množina A ⊂ X sa nazýva husto rozložená, ak A ⊂ A^{d} (teda ak každý jej bod je hromadným bodom). Množina sa nazýva perfektná (dokonalá), ak je uzavretá a husto rozložená. Množina A ⊂ X sa nazýva rozprášená, ak neobsahuje žiadnu neprázdnu husto rozloženú podmnožinu.

Veta 2.5.

a) Množina A ⊂ X je hustá v X vtedy a len vtedy, ak pre každé okolie O(p, δ), p ∈ X, δ > 0 platí A ∩ O(p, δ) ≠ ∅.

b) Množina A ⊂ X je riedka v X vtedy a len vtedy, ak ku každému okoliu O(p, δ) ⊂ X existuje také okolie O(p′, δ′) ⊂ O(p, δ), že A ∩ O(p′, δ′) = ∅.

c) Množina A je husto rozložená práve vtedy, ak \overline{A} je husto rozložená.

d) Zjednotenie l’ubovol’ného systému husto rozložených množín je husto rozložená množina.

Veta 2.6. (Cantorova - Bendixonova). Každý metrický priestor je zjednotením dvoch disjunktných množín, z ktorých jedna je perfektná a druhá rozprášená.

Na záver tejto kapitoly jeden zaujímavý príklad.

Príklad 2.1. Označme C_{0} =< 0, 1 >, C_{1} =< 0, \frac{1}{3} > ∪ < \frac{2}{3}, 1 >, t.j. z pôvodného intervalu < 0, 1 > vynecháme vnútornú tretinu (otvorený interval (\frac{1}{3}, \frac{2}{3})).C_{2} =< 0, \frac{1}{9} > ∪ < \frac{2}{9}, \frac{3}{(} > ∪ < \frac{6}{9}, \frac{7}{9} > ∪ < \frac{8}{9}, 1 >, t.j. z oboch pôvodných intervalov vynecháme vnútorné tretiny, teda z intervalu < 0, \frac{1}{3} > vynecháme otvorený interval (\frac{1}{9}, \frac{2}{9}) a z intervalu < \frac{2}{3}, 1 > otvorený interval (\frac{7}{9}, \frac{8}{9}). Takto postupujúc možno po n - tom kroku označit’ množinu:

C_{n} =< 0, \frac{1}{3^{n}} > ∪ < \frac{2}{3^{n}} , \frac{3}{3^{n}} > ∪...∪ < \frac{3^{n} − 1}{3^{n}}, 1 > .

Ihned’ vidno, že každá z množín C_{i}, i = 1, 2, ... je uzavretá. Uvažujme množinu

C = ⋂_{i=0}^{∞} C_{i}.

Množina C je zrejme uzavretá a nazývame ju Cantorovou množinou. Je to známy a dôležitý príklad uzavretej, riedkej, nespočítatel’nej a perfektnej množiny na reálnej priamke.

Poznámka 2.2.

Množinu A = ∪_{n=1}^{∞}F_{n}, kde F_{n}, n = 1, 2, ... sú uzavreté, nazývame množinou typu F_{σ}. Množinu B = ∩_{n=1}^{∞}G_{n}, kde G_{n}, n = 1, 2, ... sú otvorené, nazývame množinou typu G_{δ}.

30. Nech (X, d) - metrický priestor. Ukážte, že pre každú množinu A, A ⊂ X platí, A ⊂ \overline{A}.

31. A, B ⊂ X. Potom platí:

a) Ak A ⊂ B, tak \overline{A} ⊂ \overline{B}.

b) \overline{A ∪ B} = \overline{A} ∪ \overline{B}.

c) Ak A_{i} ⊂ X, i = 1, 2, ... tak \overline{∪_{i=1}^{∞}A_{i}} ⊃ ∪_{i=1}^{n}\overline{A_{i}}.

d) \overline{(\overline{A})} = \overline{A}.

e) Bod p ∈ X patrí do \overline{A} vtedy a len vtedy, ak pre každé ε > 0 je A ∩ O(p, ε) ≠ ∅.

32. Dokážte vetu 2.1.

33. Ukážte, že v každom metrickom priestore platí:

a) Zjednotenie (prienik) l’ubovol’ného systému otvorených (uzavretých) množín je otvorená (uzavretá) množina.

b) Zjednotenie (prienik) konečného počtu uzavretých (otvorených) množín je uzavretá (otvorená) množina.

c) Nájdite nasledujúce príklady (napr. na priamke): Aby zjednotenie nekonečného systému uzavretých množín nebola uzavretá množina. Aby prienik nekonečného systému otvorených množín nebola otvorená množina.

34. Ukážte, že v každom metrickom prestore (X, d) sú množiny ∅, X obojaké, t.j. súčasne otvorené aj uzavreté.

35. Dokážte, že v každom metrickom priestore (X, d) platí: Ak p ∈ X, δ > 0, q ∈ O(p, δ), tak existuje δ_{1} > 0 tak, že O(q, δ_{1}) ⊃ O(p, δ).

36. Nech d označuje triviálnu metriku na priestore X. (d(x, x) = 0 pre každé x ∈ X a d(x, y) = 1 pre každé x, y ∈ X, x ≠ y.) Ukážte, že každá množina A ⊂ X je obojaká v (X, d).

37. Dokážte, že množina Q (Q′) všetkých racionálnych (iracionálnych) čísel nie je ani uzavretá ani otvorená v R.

38. Nech A ⊂ E_{n}, A = {x = (x_{1}, ..., x_{n}); | x_{i} |≤ 1; i = 1, 2, ..., n}. Dokážte, že A je uzavretá v (E_{n}, d_{0}).

39. Nech d a d′ sú dve ekvivalentné metriky na priestore X. Dokážte, že A ⊂ X je otvorená (resp. uzavretá) v priestore (X, d) práve vtedy, ked’ je otvorená (resp. uzavretá) v priestore (X, d′).

40. Nech M označuje množinu všetkých ohraničených postupností reálnych čísel (pozri príklad 2.). Nech A ⊂ M : A = {x = {x_{i}}_{i=1}^{∞} ∈ M; | x_{i} |≤ 1, i = 1, 2, ...}. Dokážte, že A je uzavretá v M!

41. Ak (X, d) je metrický priestor, A ⊂ X, potom diam A = diam \overline{A}. Dokážte!

42. Nech (X, d) je metrický priestor a p ∈ X. Potom {p} je uzavretá a tým X − {p} je otvorená. Dokážte!

43. Nech (X, d) je metrický priestor a A ⊂ X. Potom množina A je uzavretá (otvorená) v (X, d) práve vtedy, ked’ množina X \ A je otvorená (uzavretá) v (X, d). Dokážte!

44. Nech (X, d) je metrický priestor, postupnost’ {x_{i}}_{i=1}^{∞} je postupnost’ou jeho bodov. Bod x ∈ X nazveme hromadnou hodnotou postupnosti {x_{i}}_{i=1}^{∞}, ak pre každé ε > 0 existuje nekonečne vel’a n ∈ N takých, že d(x_{n}, x) < ε. Označme L(x_{1}, x_{2}, ...) množinu všetkých hromadných hodnôt postupnosti {x_{i}}_{i=1}^{∞}.

a) Dokážte, že pre každú postupnost’ je L(x_{1}, x_{2}, ...) uzavretá v X.

b) Zostrojte taký priestor (X, d) a postupnost’ {x_{i}}_{i=1}^{∞} v ňom, aby L(x_{1}, x_{2}, ...) = ∅.

45. Nech (X, d) je metrický priestor, A ⊂ X. Potom množinu H(A) = \overline{A} ∩ \overline{(X − A)} nazývame hranicou množiny A. Dokážte, že:

a) Hranica l’ubovol’nej množiny je uzavretá množina.

b) Bod p ∈ X patrí do H(A) práve vtedy, ked’ pre každé δ > 0 platí: aj A ∩ O(p, δ) ≠ ∅, aj (X − A) ∩ O(p, δ) ≠ ∅.

c) Množina A je obojaká práve vtedy, ked’ H(A) = ∅.

46. V príklade 17. bol zavedený pojem vzdialenosti dvoch množín metrického priestoru (X, d), t.j. ak A, B ⊂ X : dist (A, B) = d_{1}(A, B) = inf {d(a, b), a ∈ A, b ∈ B}.

a) Ak p ∈ X, B ⊂ X, tak dist ({p}, B) = 0 práve vtedy, ked’ p ∈ B̄. Dokážte!

b) Zostrojte napr. v (E_{2}, d_{0}) také disjunktné uzavreté množiny A, B, aby dist (A, B) = 0.

47. Nech (X, d) je metrický priestor p ∈ X, 0 < δ_{1} < δ_{2}. Dokážte, že \overline{O(p, δ_{1})} ⊂ O(p, δ_{2}).

48. Nech Q (Q′) označuje množinu všetkých racionálnych (iracionálnych) čísel. Potom intQ = intQ′ = ∅, \overline{Q} = \overline{Q′} = R, H(Q) = H(Q′) = R. Dokážte!

49.

a) Ak (X, d) je metrický priestor, A ⊂ X, potom vždy intA ∩ H(A) = ∅. Dokážte!

b) Ak (X, d) je triviálny metrický priestor, A ⊂ X, tak intA = A, H(A) = ∅, \overline{A} = A. Dokážte!

50. Nech (X, d) je metrický priestor. Dokážte, že pre každú množinu A ⊂ X platí: H(A) = H(X − A).

51. Dokážte, že v priestore (R, d_{0}) neexistujú okrem ∅ a R žiadne iné obojaké množiny.

52. Nech X = {a, b, c}. Zvol’me S = {∅, X, {a, b}, {b, c}}. Je S topológiou na X?

53. Nech X je nekonečná množina. Označme S systém podmnožín A priestoru X, kde A je bud’ prázdna, alebo X − A je konečná.

a) Ukážte, že S je topológiou na X.

b) Dokážte, že neexistuje taká metrika d na X, aby systém otvorených množín v metrickom priestore (X, d) splýval s topológiou S.

54. Dokážte, že každý bod podmnožiny A metrického priestoru (X, d) je bud’ izolovaným alebo hromadným bodom množiny A (t.j. platí A = A^{0} ∪ (A ∩ A^{d}).

55. Zostrojte takú množinu A ⊂ E, aby všetky body množiny A boli izolované, ale aby A^{d} ≠ ∅.

56. Označme C - množinu všetkých celých čísel, Q - množinu všetkých racionálnych čísel. Potom C^{0} = C, ale Q^{0} = ∅. Dokážte! (A^{0} značí množinu izolovaných bodov.)

57. Riedka podmnožina metrického priestoru je brehová. Obrátené tvrdenie nemusí platit’. Dokážte!

58. Každá riedka množina je množina prvej kategórie. Obrátené tvrdenie nemusí platit’. Dokážte!

59.

a) Dokážte, že podmnožina A triviálneho metrického priestoru X je hustá v X práve vtedy, ked’ A = X.

b) Dokážte, že množina Q × Q je hustá v E^{2}.

c) Dokážte, že množina všetkých ohraničených postupností racionálnych čísel je hustá v M (pozri príklad 2.).

d) Dokážte, že množina všetkých konvergentných postupností reálnych čísel je uzavretá a riedka v M.

60. Nech A je uzavretá alebo otvorená podmnožina metrického priestoru X. Dokážte, že potom H(A) je riedka v X.

61. Dokážte, že množina A je perfektná vtedy a len vtedy, ak A = A^{d}.

62. Dokážte, že množina A je brehová (riedka) práve vtedy, ked’ intA = ∅ (int\overline{A} = ∅).

63. Nech f(x) je spojitá reálna funkcia. Dokážte, že množina E_{a} = {x ∈ R; f(x) ≥ a} je uzavretá v R.

64. Nech a, b ∈ R, a < b sú dané. Označme E množinu všetkých spojitých funkcií, definovaných na < 0, 1 >, pre ktoré platí: a < f(x) < b, v každom bode x ∈< 0, 1 >. Dokážte, že množina E je otvorená v priestore C(0, 1) (pozri príklad 10.). A množina F = {f(x) ∈ C(O, 1); a ≤ f(x) ≤ b; x ∈< 0, 1 >} je uzavretá v C(0, 1).

65. Nech g ∈ C(0, 1). Dokážte, že množina všetkých tých funkcií z C(0, 1), pre ktoré f(x) > g(x), (pre každé x ∈< 0, 1 >) je otvorená v C(0, 1). A množina všetkých tých f(x) ∈ C(0, 1), f(x) ≥ g(x) (pre x ∈< 0, 1 >) je uzavretá v C(0, 1).

66. Nech (X, d_{1}) a (Y, d_{2}) sú metrické priestory. Nech A_{1} ⊂ A ⊂ X, A_{1} hustá v A. Potom f(A_{1}) je hustá v f(A). Dokážte!

67. Dokážte, že v každom metrickom priestore (X, d) platí

X − intE = \overline{X − E}; X − \overline{E} = int(X − E),

pre každú množinu E ⊂ X.

68. Dokážte: Ak (X, d) je metrický priestor, A, B ⊂ X, tak int(A∩B) = intA∩intB. Pre nekonečný počet činitel’ov však platí: ∩_{t∈T} intA_{t} ⊃ int(∩_{t∈T} A_{t}), T - nekonečná. Dokážte!

69. Ak (X, d) je metrický priestor, A, B ⊂ X. Zistite, či platí analogická rovnost’: int(A ∪ B) = intA ∪ intB?

70. Množinu všetkých hromadných bodov množiny A, (označujeme A^{d} a nazývame deriváciou množiny A). Nájdite množinu A ⊂ X tak, aby A^{d} ≠ ∅, ale (A^{d})^{d} = ∅.

71. V euklidovskej rovine E^{2} udajte nasledujúce príklady:

a) A ⊂ E^{2}, H(A) = ∅ (pozri príklad 45.).

b) A ⊂ E^{2}, H(A) ≠ ∅ a A ∩ H(A) = ∅.

c) A ⊂ E^{2}, A - nekonečná, A = H(A).

72.

a) Dokážte: H(A ∪ B) ⊂ H(A) ∪ H(B).

b) Pre nekonečne vel’a množín analógia neplatí!

73. Uvažujeme v rovine E^{2} systém sústredných uzavretých kruhov o polomeroch r_{1} < r_{2} < ... < r_{n} < .... Je zjednotenie týchto kruhov uzavretá množina?

74. Dokážte ekvivalentnost’ nasledujúcich definícií:

a) Množina A ⊂ X je uzavretá v X, ak \overline{A} ⊂ A.

b) Množina A ⊂ X je uzavretá v X, ak A^{d} ⊂ A.

c) Množina A ⊂ X je uzavretá v X, ak H(A) ⊂ A.

75. Dokážate, že uzáver množiny A sa rovná prieniku všetkých uzavretých množín, obsahujúcich množinu A.

76. Dokážte, že intA sa rovná zjednoteniu všetkých otvorených podmnožín, obsiahnutých v A.

77. Platí nasledujúce tvrdenie: Ak A je uzavretá, tak A = \overline{intA}? Resp. platí namiesto rovnosti aspoň niektorá inklúzia?

78. Dokážte, že každá množina A, ktorá obsahuje len izolované body, je typu F_{σ}.

79. Nech (X, d) je metrický priestor, A ⊂ X, p ∈ X. Overte platnost’ nasledujúcich tvrdení:

a) dist (p, A) = dist (p, \overline{A})

b) dist (p, A) = dist (p, intA).

80. Nech F_{1} a F_{2} sú dve disjunktné uzavreté podmnožiny metrického priestoru (X, d). Ukážte, že existujú otvorené množiny G_{1} a G_{2}, G_{1} ⊃ F_{1}, G_{2} ⊃ F_{2}, G_{1} ∩ G_{2} = ∅.

81. Dokážte:

a) Komplement množiny F_{σ} (G_{δ}) je množina typu G_{δ} (F_{σ}).

b) Každá uzavretá množina je typu G_{δ} a každá otvorená množina je typu F_{σ}.

82. Dokážte, že:

a) Množina Q všetkých racionálnych čísel na priamke je množinou typu F_{σ}, ale nie typu G_{δ}.

b) Množina I všetkých iracionálnych čísel na priamke je množinou typu G_{δ}, ale nie typu F_{σ}.