3. Priestory so spočítatel’nou bázou, separabilné priestory. Úplné metrické priestory

Nech (X, T ) je topologický priestor. Systém množín T_{0} ⊂ T nazývame bázou topologického priestoru (X, T ), ak každá neprázdna množina z topológie T sa dá vyjadrit’ ako zjednotenie množín z T_{0}.

Definícia 3.1. Topologický priestor (X, T ) sa nazýva priestor so spočitatel’nou bázou, ak existuje spočitatel’ná báza topológie T .

Poznámka 3.1. Množinu M nazveme spočítatel’nou, ak je konečná, alebo je ekvivalentná s množinou N všetkých prirodzených čísel, (t.j. ak existuje prosté zobrazenie množiny M na množinu N).

Definícia 3.2. Topologický priestor (X, T ) sa nazýva separabilný, ak existuje spočítatel’ná množina M ⊂ X, ktorá je hustá v X.

Veta 3.1. Ak (X, T ) je topologický priestor so spočitatel’nou bázou, tak (X, T ) je separabilný.

Poznámka 3.2. Poslednú vetu nemožno vo všeobecnosti obrátit’.

Veta 3.2. Nech (X, d) je metrický priestor. Označme T_{d} systém všetkých otvorených množín v priestore (X, d). (T_{d} sa nazýva topológia, odvodená od metriky d.) Potom priestor (X, T_{d}) má spočítatel’nú bázu vtedy a len vtedy, ked’ (X, d) je separabilný.

Definícia 3.3. Postupnost’ {x_{n}}_{n=1}^{∞} bodov metrického priestoru (X, d) sa nazýva fundamentálna, ak ku každému ε > 0 existuje n_{0} tak,že pre každé m, n > n_{0} je d(x_{m}, x_{n}) < ε.

Veta 3.3. Každá konvergentná postupnost’ bodov metrického priestoru je fundamentálna.

Obrátené tvrdenie však nemusí platit’. Ak platí, tak:

Definícia 3.4. Metrický priestor (X, d) budeme nazývat’ úplný,ak každá fundamentálna postupnost’ prvkov tohoto priestoru konverguje v X.

Veta 3.4. (Cantorova). Nech (X, d) je úplný metrický priestor, nech F_{n} ≠ 0, n = 1, 2, ... sú uzavreté množiny v X. Nech F_{1} ⊃ F_{2} ⊃ ... ⊃ F_{n} ⊃ F_{n+1} ⊃ ... a diam F_{n} → 0, pre n → ∞. Potom ∩_{n=1}^{∞}F_{n} ≠ 0.

Veta 3.5. (Baireova). Nech X je neprázdny úplný metrický priestor s metrikou d. Potom X je množina druhej kategórie v (X, d).

Veta 3.6. Metrický priestor (R, d_{0}) - reálna priamka s obvyklou metrikou - je úplný priestor.

83. Ukážate, že vo vete 3.4 je ∩_{n=1}^{∞}F_{n} jednobodová nožina. Možno predpokladat’ diam F_{n} → 0 vynechat’?

84. Na reálnej priamke R uvažujeme metriku d:

d(x, y) = arctg | x − y | (porovnaj príklad 13.).

Je (R, d) úplný priestor ?

85. Pre m = 1, 2, ... označme E_{m} = {(a_{1}, a_{2}, ..., a_{,}), a_{i} - reálne}. Nech d_{0} označuje euklidovskú metriku na priestore E_{m}. Ukážte, že (E_{m}, d_{0}), m ≥ 2 je úplný priestor. (Porovnaj príklad 8.)

86. Ukážte úplnost’ priestorov (X, d_{1}), (X, d_{2}) a (X, d_{3}) z príkladu 15.

87. Nech d_{1} a d_{2} sú ekvivalentné metriky na priestore X. Plynie z úplnosti priestoru (X, d_{1}) úplnost’ priestoru (X, d_{2})?

88. Nech (X, d) je l’ubovol’ný metrický priestor. Dokážte, že systém všetkých sfér O(p, δ), p ∈ X, δ > 0, δ ∈ Q, Q - racionálne čísla je báza topológie T_{d} priestoru (X, T_{d}), indukovaného metrickým prierstorom (X, d).

89. Dokážte, že metrické priestory l^{(2)}, l a s (pozri príklady 3.,9. a 11.) sú separabilné metrické priestory.

90. Nech (X_{1}, d_{1}), (X_{2}, d_{2}), ..., (X_{n}, d_{n}) sú metrické priestory. Dokážte, že ak priestory X_{1}, X_{2}, ..., X_{n} sú separabilné, tak aj metrický priestor X_{1} × X_{2} × ... × X_{n} (pozri definíciu 1.4) je separabilný. Platí aj obrátené tvrdenie?

91. Nech (X, d) je separabilný metrický priestor a nech F ⊂ X je uzavretá množina v X. Zostrojte takú postupnost’ {x_{i}}_{i=1}^{∞} prvkov priestoru X, aby platilo L(x_{1}, x_{2}, ...) = F. (Pozri príklad 44.)

92. Dokážte, že priestor M všetkých reálnych ohraničených postupností (pozri príklad 2) nie je separabilný, ale jeho podpriestor C všetkých konvergentných postupností je separabilný.

93. Nech C(0, +∞) označuje množinu všetkých spojitých ohraničených funkcií, definovaných na intervale < 0, +∞). Položme pre

f, g ∈ C(0, +∞) : d(f, g) = sup_{x∈<0,+∞)} | f(x) − g(x) |∈ C(0, +∞).

a) Overte, že d je metrika na C(0, +∞) (porovnaj príklad 1).

b) Dokážte, že priestor (C(0, +∞), d) nie je separabilný.

94. Uvažujme priestor C(a, b) všetkých spojitých funkcií definovaných na intervale < a, b > (a teda i ohraničených) s obvyklou suprémovou metrikou. Dokážte, že C(a, b) je separabilný metrický priestor. (Porovnaj s príkladom 93.)

95. Priestor C(a, b) možno vybavit’ aj inou metrikou:

ak f, g ∈ C(a, b), položme

ϱ(f, g) = ∫_{a}^{b} | f(x) − g(x) | dx.

(Porovnaj s príkladom 10.) (C(a, b), ϱ) je metrický priestor. Dokážte, že (C(a, b), ϱ) je separabilný.

96. Nech (X, d) je metrický priestor, 0 ≠ M ⊂ X, nech ε > 0, Hovoríme, že množina M je ε - siet’ou priestoru X, ak pre každé x ∈ X platí dist (x, M) < ε.

a) Dokážte, že množina M je ε - siet’ou priestoru X vtedy a len vtedy, ak X ⊂ ∪_{p∈M}O(p, ε).

b) Metrický priestor X je separabilný vtedy a len vtedy, ked’ pre každé ε > 0 existuje taká spočitatel’ná množina M, ktorá je ε - siet’ou. (Pozri ešte raz príklad 92 a 93.)

97. Metrický priestor (X, d) je separabilný vtedy a len vtedy, ked’ každý systém otvorených po dvoch disjunktných množín je spočitatel’ný. Dokážte!

98.

a) Dokážte, že podpriestor separabilného metrického priestoru je separabilný metrický priestor.

b) Na príklade ukážte, že pre topologické priestory už nemusí platit’ analógia,t.j. podpriestor separabilného topologického priestoru nemusí byt’ separabilný topologický priestorom.

99. Ukážte, že topologický priestor (R, T ), spomínaný v návode 98. b), hoci je separabilný, nemá spočitatel’nú bázu.

100. Je podpriestor úplného metrického priestoru úplný?

101. Nech (X, ϱ) je úplný metrický priestor, nech Y ⊂ X, Y - uzavretá. Potom aj (Y, ϱ) je úplný metrický priestor. Platí aj obrátené tvrdenie?

102. Dokážte úplnost’ nasledujúcich priestorov: M(a, b) (príklad 1.), M (príklad 2.), l (príklad 9.), l^{(2)} (príklad 3.) a S (príklad 11.).

103. Dokážte, že metrický priestor C(a, b) z príkladu 10. (s integrálnou metrikou) nie je úplný.

104. Nech (X, d) je úplný metrický priestor, nech x_{0} ∈ X. Je priestor (X −{x_{0}}, d) úplný?

105. Je triviálny metrický priestor úplný? (Pozri príklad 9.).

106. Ako vieme, vo všeobecnosti z fundamentálnosti postupnosti ešte nevyplýva jej konvergencia. Čo treba ešte dodat’? Platí: Ak {x_{i}}_{i=1}^{∞} je fundamentálna postupnost’ prvkov metrického pristoru (X, d) a existuje taká vybraná postupnost’ {x_{k_{i}}}_{i=1}^{∞}, ktorá konverguje k bodu x ∈ X, tak aj pôvodná postupnost’ {x_{i}}_{i=1}^{∞} konverguje ku x. Dokážte to!

107. Sú priestory (Q, d_{0}), (Q′, d_{o}) úplné? (Q - racionálne, Q′ - iracionálne čísla, d_{0} - euklidovská metrika.)

108. Nech Z označuje množinu všetkých komplexných čísel. Zvol’me d(z, z′) =| z − z′ |, pre z, z′ ∈ Z. Dokážte, že (Z, d) je úplný metrický priestor.

109. Každá konvergentná postupnost’ bodov metrického priestoru je ohraničená. Platí analógia i pre fundamentálne postupnosti?

110. Nech A a B sú úplné podpriestory metrického priestoru (X, d).

a) Dokážte, že A ∪ B i A ∩ B sú úplné podpriestory priestoru X.

b) Ukážte na príklade, že A − B už nemusí byt’ úplný podpriestor.

111. Nech (X, d_{X}) a (Y, d_{Y}) sú úplné priestory. Dokážte, že priestor X × Y, opatrený nasledujúcimi metrikami, je úplný:

a) d((x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})) = \sqrt{(d_{X}(x_{1}, x_{2}))^{2} + (d_{Y} (y_{1}, y_{2}))^{2}},

b) d((x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})) = d_{X}(x_{1}, x_{2}) + d_{Y} (y_{1}, y_{2}). V prípade a) porovnaj s euklidovským priestorom (E_{2}, d_{0}) - príklad 85.).

112. Dokážte, že prienik spočitatel’ného systému otvorených množín hustých v úplnom metrickom priestore X je množina hustá v X.

113. Ukážte na príklade, že tvrdenie príkladu 112. nemusí platit’, ak priestor X nie je úplný.

114. Nech M označuje spočitatel’ný systém množín typu G_{δ}, pričom každá z množín systému M je hustá v úplnom priestore X. Potom prienik množín systému M je množina typu G_{δ} a hustá v X. (Porovnaj s príkladom 112.)

115. Ukážte, že úplný metrický priestor X nemožno vyjadrit’ ako spočítatel’né zjednotenie riedkych množín (t.j., že úplný metrický priestor je množina druhej kategórie - Baireova veta).

116. Nájdite príklad neúplného metrického priestoru, ktorý je prvej kategórie.

117. Uvažujeme Cantorovu množinu C z príkladu 30. textu. Je to uzavretá podmnožina reálnej priamky - teda úplný podpriestor. Ale C je prvej kategórie v R. Nie je to v spore s príkladom 115.?

118. Nech E ⊂ R, E je spočítatel’ná a hustá v R. Potom množina E nie je typu G_{δ}. Dokážte!