4. Kompaktné priestory

Definícia 4.1. Nech (X, d) je metrický priestor. Množina A ⊂ X sa nazýva kompaktná, ak z každej postupnosti bodov množiny A možno vybrat’ čiastočnú postupnost’, ktorá konverguje v množine A (t.j. konverguje a jej limita patrí do A). Budeme hovorit’, že metrický priestor (X, d) je kompaktný, ak množina X je kompaktná.

Uved’me aj topologickú variantu predchádzajúcej definície:

Veta 4.1. Množina A ⊂ X sa nazýva kompaktná, ak z každého pokrytia tejto množiny otvorenými množinami možno vybrat’ konečné podpokrytie.

Veta 4.2.

a) Každý kompaktný metrický priestor je separabilný a úplný.

b) Každá kompaktná podmnožina metrického priestoru je uzavretá.

c) Každá uzavretá podmnožina kompaktnej množiny je kompaktná množina.

Definícia 4.2. Topologický priestor (X, T ) sa nazýva súvislý, ak sa množina X nedá rozložit’ na dve neprázdné otvorené disjunktné podmnožiny.

Veta 4.3. Topologický priestor (X, T ) nie je súvislý vtedy a len vtedy, ked’ v ňom existuje neprázdna obojaká (súčasne otvorená aj uzavretá) množina, rôzna od X.

Veta 4.4. Podmnožina reálnej priamky s obvyklou topológiou, obsahujúca aspoň dva rôzne body, je súvislá práve vtedy, ked’ je intervalom.

119. Ak (X, d) je kompaktný metrický priestor, tak pre každé ε > 0 existuje konečná ε - siet’ priestoru X. (Pozri príklad 96.) Platí i obrátené tvrdenie?

120. Dokážte vetu 4.2.

121. Každá kompaktná množina je ohraničená, t.j. ak A ⊂ X, A - kompakt, tak diam A < +∞. Dokážte!

122. Predchádzajúce príklady 120. a 121. nám hovoria, že každá kompaktná množina je uzavretá a ohraničená. Na vhodných príkladoch ukážte, že existujú uzavreté a ohraničené množiny, ktoré nie sú kompaktné!

123. Dokážte, že v každom euklidovskom priestore (E_{n}, d_{0}), n = 1, 2, ... je množina A ⊂ E_{n} kompaktná vtedy a len vtedy, ked’ A je uzavretá a ohraničená.

124. Dokážte, že množina A je kompaktná práve vtedy, ak každá jej nekonečná podmnožina má hromadný bod, patriaci do A.

125. Dokážte, že každý euklidovský priestor E_{n} je separabilný a úplný (pozri príklad 85.), ale nie je kompaktný! Porovnajte s vetou 4.2 a).

126. Nech X_{1}, X_{2}, ..., X_{m} sú kompaktné metrické priestory. Je i priestor X_{1}×X_{2}×…×X_{m} kompaktný?

127. Nech A_{1}, A_{2}, ..., A_{m} sú kompaktné podmnožiny metrického priestoru X.

a) Dokážte, že A_{1} ∪ A_{2} ∪ ... ∪ A_{m} je kompakt v X.

b) Možno toto tvrdenie rozšírit’ na nekonečne vel’a množín?

128. Nech (X, d) je kompaktný metrický priestor a nech F_{k}, k = 1, 2, ... sú neprázdne uzavreté podmnožiny X. Nech F_{1} ⊃ F_{2} ⊃ … ⊃ F_{k} ⊃ . . .. Potom ∩_{k=1}^{∞}F_{k} ≠ ∅. (Cantorova veta. Porovnaj s vetou 3.4.)

129. Vo vete 3.4 bol ∩_{n=1}^{∞}F_{n} jednobodová množina (pozri príklad 83.). Ukážte, že za predpokladov príkladu 128. môže byt’ ∩_{k=1}^{∞}F_{k} viac ako jednobodová množina.

130. Dokážte, že metrický priestor (X, d) je kompaktný vtedy a len vtedy, ak každé spočitatel’né otvorené pokrytie priestoru X obsahuje konečné podpokrytie tohoto priestoru. (Porovnajte definíciu 4.1 a vetu 4.1.)

131. Nech (X, d) je metrický priestor. Ukážte, že metrická i topologická charakterizácia kompaktnej množiny sú ekvivalentné! (Pozri definíciu 4.1 a vetu 4.1.)

132. Nech (X, d) je úplný metrický priestor. Potom A ⊂ X je kompaktná vtedy a len vtedy, ak A je uzavretá a pre každé ε > 0 obsahuje konečnú ε - siet’. (Pozri príklad 119.)

133. Dokážte, že topologický priestor (X, T ) je súvislý vtedy a len vtedy, ked’ ku každým dvom bodom x, y ∈ X existuje taká súvislá množina G ⊂ X, že x, y ∈ G.

134.

a) Zostrojte metrický priestor, ktorý:

1. je úplný, ale nie je súvislý;

2. je súvislý, ale nie je úplný;

3. je kompaktný, ale nie je súvislý;

4. je súvislý, ale nie je kompaktný.

b) Zostrojte topologický priestor, ktorý:

5. je separabilný, ale nie je súvislý

6. je súvislý, ale nie je separabilný.

135. Nech E je súvislá množina, obsahujúca aspoň dva rôzne body. Dokážte, že E neobsahuje izolované body.

136. Dokážte, že priestor X je nesúvislý vtedy a len vtedy, ak existujú také neprázdne podmnožiny A, B ⊂ X, že platí: (\overline{A} ∩ B) ∪ (A ∩ \overline{B}) ≠ ∅.

137. Dokážte, že priestor X je nesúvislý vtedy a len vtedy, ak existujú neprázdne podmnožiny A, B ⊂ X, A ∩ B = ∅, pričom obe sú uzavreté, alebo obe otvorené. a) Nech E je nesúvislá uzavretá množina. Potom možno rozložit’ množinu E na : E = A ∪ B; A, B - uzavreté, A, B ≠ ∅, A ∩ B = ∅.

b) Ak E je nesúvislá otvorená množina. Potom existuje rozklad množiny E: E = A ∪ B; A, B - otvorené, A, B ≠ ∅A ∩ B = ∅.

139. Nech E, F - uzavreté množiny. Dokážte, že ak E ∪ F aj E ∩ F sú súvislé množiny, potom aj E a F sú súvislé.

140. Na príklade ukážte, že ak by v predchádzajúcom príklade aspoň jedna z množín A, B nebola uzavretá, potom tvrdenie nemusí platit’.

141. Dokážte:

a) Ak A ⊂ X, A - súvislá, potom aj \overline{A} je súvislá.

b) Obrátené tvrdenie nemusí platit’.

142. Nech A je súvislá. Potom každá množina M : A ⊂ M ⊂ \overline{A} je tiež súvislá. Dokážte!

143. Nech A ⊂ X a pre každé dva body x, y ∈ A existuje súvislá množina Q, Q ⊂ A, x, y ∈ Q, potom A je súvislá v X. Dokážte!

144. Dokážte, že množina všetkých tých bodov euklidovskej roviny E_{2}, ktorých obe súradnice sú iracionálne, je nesúvislá!

145. Nech A označuje uzavretý kruh v rovine E_{2}. Dokážte, že A je súvislá množina!

146. Nech E_{1} a E_{2} sú súvislé množiny, E_{1} ∩E_{2} ≠ ∅, potom E_{1} ∪E_{2} je tiež súvislá množina. Dokážte!

147. Nech E_{1} ⊂ E_{2} ⊂ ... je rastúca postupnost’ súvislých množín. Potom E = ∪_{i=1}^{∞}E_{i} je súvislá. Dokážte!

148. Nech {E_{i}}_{i=1}^{∞} je postupnost’ súvislých množín. Nech pre každé i = 1, 2, ... platí E_{i} ∩ E_{i+1} ≠ ∅. Potom aj množina E = ∪_{i=1}^{∞}E_{i} je súvislá. Dokážte!

149. Nech {E_{i}}_{i=1}^{∞} je postupnost’ neprázdnych súvislých množín a taká, že pre každé i = 1, 2, ... je E_{i} ∪ E_{i+1} súvislá množina. Potom aj ∪_{i=1}^{∞}E_{i} je súvislá. Dokážte!

150. Dokážte, že množina všetkých tých bodov roviny E_{2}, ktorých aspoň jedna súradnica je racionálna, je súvislá.

151. Dokážte, že E ⊂ R (reálna priamka) je súvislá vtedy a len vtedy, ak E je interval.

152. Nech (X, d) je súvislý metrický priestor. Potom X obsahuje len dve obojaké množiny a to ∅ a X. Dokážte!

153. Nech X a Y sú metrické priestory. V zmysle definície 1.4 uvažujeme metrický priestor X × Y. Nech E ⊂ X, F ⊂ Y, E, F neprázdne. Dokážte, že E × F je súvislá v X × Y vtedy a len vtedy, ak E a F sú súvislé v príslušných priestoroch X a Y.

154. Nech A_{t}, t ∈ T je systém súvislých množín s neprázdnym prienikom. Potom množina E = ∪_{t∈T} A_{t} je súvislá. Dokážte!

155. Neprázdnu podmnožinu A množiny E nazývame komponentou množiny E ak: A je súvislá a každá súvislá množina B, pre ktorú platí A ⊂ B ⊂ E je už totožná s A.

Dokážte, že ku každému bodu x ∈ E existuje práve jedna komponenta množiny E, obsahujúca bod x.

156. Nech F ⊂ E, F ≠ 0 a F - súvislá. Dokážte, že existuje práve jedna komponenta množiny E, obsahujúca množinu F.

157. Dokážte, že každá komponenta uzavretej množiny je uzavretá množina.

158. Dokážte, že každú neprázdnu množinu E možno jednoznačne rozložit’ na jej komponenty.