5. Zobrazenia metrických (topologických) priestorov

Predpokladáme, že pojem zobrazenia je čitatel’ovi známy. Nech f : X → Y a A ⊂ X, tak množinu {f(x); x ∈ A} ⊂ Y nazývame obrazom množiny A pri zobrazení f a označujeme f(A). Podobne, ak B ⊂ Y, tak množinu {x; f(x) ∈ B} ⊂ X nazývame vzorom množiny B pri zobrazení f a označujeme F^{−1}(B). Dôležitým pojmom matematickej analýzy je pojem spojitého zobrazenia.

Definícia 5.1. Nech (X, T ), (Y, V) sú dva topologické priestory. Nech f : X → Y. Hovoríme, že zobrazenie f je spojité, ak pre každú množinu V ∈ V je f^{−1}(V) ∈ T . Nech (X, d), (Y, d′) sú metrické priestory. Potom f : X → Y je spojité zobrazenie, ak vzor každej množiny, otvorenej v priestore (Y, d′), je množina otvorená v priestore (X, d).

Niekedy je vhodné použit’ ”postupnostnú” charakterizáciu spojitosti:

Veta 5.1. Nech (X, d), (Y, d′) sú metrické priestory. Funkcia f : X → Y je spojitá v bode x_{0} ∈ X vtedy a len vtedy, ak pre každú postupnost’ {x_{i}}_{i=1}^{∞} prvkov priestoru X, konvergujúcu k x_{0}, príslušná postupnost’ {f(x_{i})}_{i=1}^{∞} konverguje k f(x_{0}).

Poznámka 5.1. Pripomíname, že funkcia je spojitá na množine, ak je spojitá v každom bode tejto množiny.

Definícia 5.2. Nech X, Y sú topologické (metrické) priestory. Potom f : X → Y budeme nazývat’ homeomorfným zobrazením (krátko homeomorfizmom), ak f je spojité a prosté zobrazenie a k nemu inverzné zobrazenie f^{−1} je tiež spojité.

Definícia 5.3. Nech (X, d), (Y, d′) sú metrické priestory. Nech f : X → Y. Zobrazenie f nazveme izometrickým, ak pre každé dva body x_{1}, x_{2} ∈ X platí: d(x_{1}, x_{2}) = d′(f(x_{1}), f(x_{2})).

Definícia 5.4. Zobrazenie f metrického priestoru (X, d) do metrického priestoru (Y, d′) sa nazýva rovnomerne spojité, ak k l’ubovol’nému ε > 0 existuje δ > 0 tak, že pre každé dva body x_{1}, x_{2} ∈ X, pre ktoré d(x_{1}, x_{2}) < δ platí d′(f(x_{1}), f(x_{2})) < ε.

Význam a dôležitost’ spojitých zobrazení vidno i na nasledujúcich tvrdeniach:

Veta 5.2.

a) Spojitý obraz separabilného (metrického) priestoru je separabilný (metrický) priestor.

b) Spojitý obraz kompaktného (metrického) priestoru je kompaktný priestor.

c) Spojitý obraz súvislého (topologického, metrického) priestoru je súvislý priestor.

Veta 5.3. Nech (X, d) je kompaktný metrický priestor a f je spojitá reálna funkcia, definovaná na X. Potom f je ohraničená na X a dosahuje na X svoje infimum a supremum (t.j. má na X maximum a minimum).

Veta 5.4. Nech (X, d) je kompaktný metrický priestor a (Y, d′) je metrický priestor. Potom každá spojitá funkcia f : X → Y je rovnomerne spojitá na X.

Definícia 5.5. Nech (X, d) je metrický priestor. Zobrazenie f : X → X nazývame kontraktívnym zobrazením, ak existuje také číslo α : 0 ≤ α < 1, že pre každé dva body x, x′ ∈ X platí

d(f(x), f(x′)) ≤ α.d(x, x′).

Veta 5.5. (Banachova veta.) Nech ∅ ≠ X je úplný metrický priestor a nech f : X → X je kontraktívne zobrazenie. Potom existuje práve jeden bod x_{0} ∈ X taký, že f(x_{0}) = x_{0}.

Poznámka 5.2.

a) Bod x_{0}, pre ktorý platí f(x_{0}) = x_{0} nazývame pevným bodom kontraktívneho zobrazenia f v úplnom metrickom priestore (X, d).

b) Všimnime si, že každé kontraktívne zobrazenie je rovnomerne spojité.

Definícia 5.6. Nech (X, T ) je topologický priestor, (Y, d′) je metrický priestor. Nech f : X → Y a x ∈ X. Definujeme

ω_{f}(x) = inf_{O(x)} diam f(O(x)).

Funkciu ω_{f}(x) nazývame osciláciou funkcie f v bode x. (Infimum vpravo berieme cez všetky okolia O(x) bodu x v priestore X.)

Definícia 5.7. Hovoríme, že funkcia f : R → R má Darbouxovu vlastnost’ ak pre l’ubovol’né a, b ∈ R a l’ubovol’né x ∈ R také, že f(a) < x < f(b), existuje c : a < c < b tak, že f(c) = x. Nech funkcia f(x) je definovaná na intervale < a, b >. Konečný počet bodov a = x_{0} < x_{1} < ... < x_{n} = b nazveme delením intervalu < a, b >. Označme σ = ∑_{i=1}^{n} | f(x_{i}) − f(x_{i−1} |.

Definícia 5.8. Označme

⋁_{a}^{b} f = sup ∑_{i=1}^{n} | f(x_{i}) − f(x_{i−1}) |,

kde supremum vpravo berieme cez všetky možné delenia intervalu < a, b >. ”Číslo” ⋁_{a}^{b} f nazývame variáciou funkcie f na intervale < a, b >.

Ak ⋁_{a}^{b} f je konečné číslo, hovoríme, že funkcia f má ohraničenú variáciu na intervale < a, b >. Ak ⋁_{a}^{b} f = +∞, hovoríme, že funkcia f má neohraničenú variáciu na intervale < a, b >.

Veta 5.6.

a) Každú funkciu s ohraničenou variáciou možno vyjadrit’ v tvare rozdielu dvoch rastúcich funkcií. b) Každú spojitú funkciu s ohraničenou variáciou možno vyjadrit’ v tvare rozdielu dvoch

spojitých rastúcich funkcií.

159. Nech (X, T ), (Y, V) sú dva topologické priestory. Nech f : X → Y, x_{0} ∈ X. Funkcia f je spojitá v bode x_{0} vtedy a len vtedy, ak ku každej množine B ∈ V, f(x_{0}) ∈ B existuje taká množina A ∈ T , x_{0} ∈ A, že f(A) ⊂ B. Dokážte!

160. Nech f : X → Y. Potom f je spojitá v každom izolovanom bode svojho definičného oboru. Dokážte!

161. Ukážte, že ak f je spojité a prosté zobrazenie priestoru X na priestor Y, tak f^{−1} (inverzné zobrazenie) nemusí byt’ spojité.

162. Nech f je izometrické zobrazenie metrického priestoru (X, d) na metrický priestor (Y, d′). Potom f je homeomorfné zobrazenie. Dokážte!

163. Každé izometrické zobrazenie je rovnomerne spojité. Obrátene však nemusí platit’. Dokážte!

164. Dokážte, že zobrazenie f topologického priestoru (X, T ) do topologického priestoru (Y, V) je spojité na X práve vtedy, ak vzor f^{−1}(F) l’ubovol’nej uzavretej množiny F ⊂ Y je uzavretá množina v X.

165. Nech A(B) je l’ubovol’ná podmnožina definičného oboru (oboru hodnôt) funkcie f. Overte platnost’ nasledujúcich rovností:

a) f^{−1}(f(A)) = A.

b) f(f^{−1}(B)) = B.

166. Nech (X, T ) je topologický priestor a f, g : X → R = (−∞, +∞). Ak f, g sú spojité v bode x_{0} ∈ X, tak aj súčet (f + g), súčin (f.g), násobok (α.f)(α ∈ R) a absolutná hodnota | f | sú spojitými funkciami v bode x_{0}. Dokážte! Ako je to s podielom \frac{f}{g}?

167. Topologický priestor (X, T ) sa nazýva diskrétny, ak každý jeho bod je izolovaný (teda T = 2^{X}). Dokážte: Topologický priestor je diskrétny vtedy a len vtedy, ked’ každá reálna funkcia f : X → R je spojitá na X.

168. Ak f, g sú rovnomerne spojité reálne funkcie, definované na priestore X a α, β ∈ R, potom aj α.f + β.g je rovnomerne spojitá funkcia. Dokážte! Platí podobné tvrdenie aj o súčine f.g?

169. Nech X, Y sú metrické priestory, f : X → Y. Nech x_{0} ∈ X^{d} (hromadný bod množiny X). Dokážte, že funkcia f je spojitá v x_{0} práve vtedy, ked’ lim_{x→x_{0}} f(x) = f(x_{0}). Čo vieme

povedat’ o spojitosti funkcie f v bode x_{0}, keby x_{0} bol izolovaným bodom priestoru X?

170. Nech f je spojitá reálna funkcia, definovaná na (topologickom, metrickom) priestore X. Dokážte, že pre každé a, b ∈ R platí:

a) Každá z množín {x ∈ X; f(x) ≤ a}, {x ∈ X; f(x) ≥ a}, {x ∈ X; a ≤ f(x) ≤ b} je uzavretá v X.

b) Každá z množín {x ∈ X; F (x) < a}, {x ∈ X; f(x) > a}, {x ∈ X; a < f(x) < b} je otvorená v X.

171. Nech (X, T ) je topologický priestor, (Y, d′) je metrický priestor. Potom funkcia f : X → Y je spojitá v bode x ∈ X vtedy a len vtedy, ak ω_{f}(x) = 0. Dokážte!

172. Nech funkcia f je definovaná na priestore X. Označíme: C_{f} = {x ∈ X; f - spojitá v x} a D_{f} = {x ∈ X; f - nespojitá v x}. Ukážte, že pre každú funkciu f platí:

a) D_{f} je množina typu F_{σ}.

b) C_{f} je množina typu G_{σ}.

173. Dokážte, že funkcia definovaná na celej reálnej priamke nemôže mat’ za body spojitosti spočitatel’nú hustú podmnožinu E ⊂ R a body nespojitosti D_{f} = R \ E.

174. Zostrojte nasledujúce funkcie definované na R:

a) F (x) -ktorá je spojitá v bodoch x = ±1 a všade inde nespojitá.

b) f(x): spojitá pre x = 0, ±1, ±2, ... a všade inde nespojitá.

175. Určte body spojitosti, resp. nespojitosti, nasledujúcej funkcie definovanej na < 0, 1 >:

f(x) = 0 v bodoch Cantorovej množiny (pozri príklad 30. z textu).

f(x) = 1 v stredoch styčných intervalov (ktoré vynechávame pri konštrukcii Cantorovej množiny) a všade inde lineárna.

176. Zostrojte funkciu definovanú na intervale < 0, 1 >, ktorá je spojitá v každom iracionálnom bode tohoto intervalu a nespojitá v každom racionálnom bode. (Doporučujeme si uvedomit’, že taká funkcia, ktorá by mala vymenené body spojitosti a nespojitosti, neexistuje. Pozri príklad 173.)

177. Na príkladoch ukážte, že spojitý obraz:

a) uzavretej množiny nemusí byt’ uzavretá množina,

b) otvorenej množiny nemusí byt’ otvorená množina.

178. Ak f - spojitá, tak vzor otvorenej množiny je otvorená (definícia 5.1) a vzor uzavretej množiny je uzavretá (príklad 164.). Platí: Ak f je spojitá funkcia, f : X → Y a M ⊂ Y, M - kompaktná, tak f^{−1}(M) je kompaktná podmnožina X?

179. Nech f : R → R, potom f je spojitá práve vtedy, ak:

a) f^{−1} ((a, b)) je otvorená v R, pre každé a, b ∈ R. alebo

b) f^{−1} ((−∞, a >) a tiež f^{−1} (< a, +∞)) sú uzavreté pre každé a ∈ R.

180. Nech (X, d) je metrický priestor. Dokážte, že funkciu f(x) = d(x, y_{0}), (y_{0} - l’ubovol’ný pevný bod z X) je rovnomerne spojitá a teda i spojitá na X.

181. Nech f : R → R, f - je spojitá. Potom f má Darbouxovu vlastnost’.

182. Je vždy funkcia, ktorá má Darbouxovu vlastnost’ spojitá?

183. Nech f : X → Y, f - spojitá. Nech E ⊂ X, E - hustá v X. Potom f(E) je hustá v f(x). Dokážte!

184. Nech f : X → Y. Dokážte, že k spojitosti funkcie f stačí, aby vzory všetkých otvorených sfér priestoru Y boli otvorené množiny v priestore X. (Porovnaj s definíciou 5.1, resp. príkladom 159.)

185. Na príklade ukážte, že v podmienke kontraktívnosti (definícia 5.5) nemožno pripustit’ α = 1, totiž pre takéto zobrazenie by už nasledujúca veta 5.5 nemusela platit’!

186. Nech f je zobrazenie neprázdneho úplného metrického priestoru X do X. Označíme: f ∘f = f^{2}, f^{2}∘f = f^{3}, ... atd’. Nech pre nejaké prirodzené číslo k je zobrazenie f^{k} : X → X kontraktívne. Potom zobrazenie f má jediný pevný bod. Dokážte!

187. Význam predošlého cvičenia, okrem iného, spočíva v tom, že od f sme nežiadali spojitost’. Majme napr. f :< 0, 2 >→ R nasledovne: f(x) = 0, pre x ∈< 0, 1 > a f(x) = 1, pre x ∈ (0, 2 >. Čitatel’ l’ahko nahliadne, že f nie je na < 0, 2 > spojité, no má jediný pevný bod. Dokážte!

188. Nech funkcia f(x) má na intervale < a, b > variáciu rovnú A. Akú variáciu na < a, b > má funkcia (k.f(x) + m) ?

189. Vypočítajte variáciu funkcie f(x) = \{ \begin{matrix}x − 1, & x < 1 \\ 10, & x = 1 \\ x^{2}, & x > 1 \end{matrix} na intervale < 0, 2 >.

190. Nech funkcia f(x) má v každom bode intervalu < a, b > deriváciu, ktorá je ohraničená na < a, b >. Potom funkcia f(x) je funkciou s ohraničenou variáciou na intervale < a, b >. Dokážte!

191. Z matematickej analýzy je známa skutočnost’, že rovnomerne konvergentný funkcionálny rad zachováva spojitost’, deriváciu a integrál. Preto je na mieste otázka:

Nech ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x) je rovnomerne konvergentný funkcionálny rad spojitých funkcií s ohraničenou variáciou. Je i súčet tohoto radu funkcia s ohraničenou variáciou?

192. Nech f(x) a g(x) sú funkcie s ohraničenou variáciou na < a, b >. Dokážte, že ich súčet a súčin sú funkcie s ohraničenou variáciou na < a, b > a naviac ⋁_{a}^{b} (f + g) ≤ ⋁_{a}^{b} + ⋁_{a}^{b}; ⋁_{a}^{b} f.g ≤ sup_{x∈<a,b>} |f(x)| . ⋁_{a}^{b} g(x) + sup_{x∈<a,b>} |g(x)| . ⋁_{a}^{b} f(x).

193. Nech f(x) je definovaná na < a, b > a a < c < b. Potom ⋁_{a}^{b} f = ⋁_{a}^{c} f + ⋁_{c}^{b} b.

194. Nech f(x) má ohraničenú variáciu na intervale < a, b >. Potom aj funkcia | f(x) | má ohraničenú variáciu na < a, b >. Dokážte! Platí i obrátené tvrdenie?