2. Parciálne derivácie. Diferenciál funkcie

2.1. Parciálne derivácie

Definícia 2.1.1. Nech reálna funkcia f : G → R je definovaná na množine G ⊂ R^{n} a a = (a_{1}, ..., a_{n}) je vnútorným bod tejto množiny. Ak existuje

lim_{x_{k}→a_{k}} \frac{f(a_{1}, ..., a_{k−1}, x_{k}, a_{k+1}, ..., a_{n}) − f(a_{1}, ..., a_{n})}{x_{k} − a_{k}}

hovoríme, že funkcia f má v bode a parciálnu deriváciu podl’a premennej x_{k} a označujeme ju jedným zo symbolov \frac{∂f}{∂x_{k}} (a), f′_{x_{k}}(a), f_{x_{k}}(a), f_{k}(a).

Ak označíme △x_{k} = x_{k} − a_{k}, potom

\frac{∂f}{∂x_{k}} (a) = lim_{△x_{k}→0} \frac{f(a_{1}, ..., a_{k−1}, a_{k} + △x_{k}, a_{k+1}, ..., a_{n}) − f(a_{1}, ..., a_{n})}{△x_{k}}, k = 1, 2, ..., n.

\underline{Parciálnou deriváciou funkcie} f(x) podl’a premennej x_{k} rozumieme takú funkciu F (x), ktorej definičným oborom bude množina všetkých bodov, v ktorých má funkcia f(x) parciálnu deriváciu podl’a x_{k} a ktorej hodnota sa v každom bode jej definičného oboru rovná parciálnej derivácii funkcie f(x) podl’a x_{k} v tomto bode. Pre parciálnu deriváciu funkcie f(x) podl’a premennej x_{k} nepoužívame F (x), ale zaužívané je označovat’ ju symbolom \frac{∂f}{∂x_{k}} (x), alebo f′_{x_{k}}(x), alebo len f_{x_{k}}(x).

\underline{Geometrický význam parciálnych derivácií funkcie} dvoch premenných. Nech je daná funkcia z = f(x, y), (x, y) ∈ G ⊂ R^{2}. Jej grafom je plocha v R^{3}. Uvažujme bod (x_{0}, y_{0}, z_{0}), z_{0} = f(x_{0}, y_{0}), na tejto ploche. Podl’a definície

\frac{∂f}{∂x}(x_{0}, y_{0}) = lim_{x→x_{0}} \frac{f(x, y_{0}) − f(x_{0}, y_{0})}{x − x_{0}}, ak táto existuje. Grafom funkcie g(x) = f(x, y_{0}) je

krivka, ktorá prechádza bodom (x_{0}, y_{0}, z_{0}) a je rezom plochy z = f(x, y) rovinou y = y_{0}. Potom \frac{∂f}{∂x}(x_{0}, y_{0}) je smernica dotyčnice ku krivke g(x) = f(x, y_{0}) v bode (x_{0}, y_{0}, z_{0}). Podobne \frac{∂f}{∂y} (x_{0}, y_{0}) je smernica dotyčnice ku krivke h(x) = f(x_{0}, y), ktorá je rezom danej plochy rovinou x = x_{0} v bode (x_{0}, y_{0}, z_{0}).

Pri počítaní parciálnych derivácií danej funkcie f(x) n premenných postupujeme tak ako v prípade funkcie jednej premennej. Totiž pri počítaní parciálnej derivácie funkcie f(x_{1}, …, x_{n}) podl’a premennej napr. x_{k} považujeme túto funkciu len za funkciu x_{k}. Ostatné premenné považujeme za konštanty.

48. Nájdite parciálne derivácie podl’a x a y:

a) z = e^{x} cos(xy)  b) z = \frac{x + y}{x^{2} + y^{2} + 1}
c) z = ln \sqrt{2x^{2} + y^{2}}  d) z = \frac{xy}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}

e) z = e^{(x+y)^{2}}  f) z = sin(x + y) cos(x − y)
g) z = (x^{2}y + y)^{4}  h) z = ytg (xy)
i) z = arctg \frac{x}{y}  j) z = ln \frac{xy}{x^{2} + y^{2}}
h) z = xye^{xy}  l) z = \frac{x + y}{x − y}
m) z = ln(x^{2} + y^{2})  n) z = ln tg \frac{x}{y}
o) z = x^{y}  p) z = (\frac{xy}{x^{2} + y^{2}} )^{x^{2}}.

49. Nájdite parciálne derivácie podl’a x, y a z:

a) u = x^{3}yz^{2}  b) u = (ax^{2} + by^{2} + cz^{2})^{n}
c) u = arcsin \frac{xy}{z}  d) u = e^{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
e) u = cos(xy).arctg (xz)  f) u = z ln \frac{y}{x}
g) u = e^{xyz} sin x cos y  h) u = (\frac{x}{y})^{z}

i) u = x^{y/z}.

50. Napíšte rovnicu dotyčnice ku krivke, ktorá je rezom eliptického paraboloidu z = x^{2} + 2y^{2}:

a) rovinou y = 2 v bode A = (3, 2, 17)

b) rovinou x = 3 v bode A = (3, 2, 17).

51. Napíšte rovnicu dotyčnice ku krivke, ktorá je rezom plochy z = (x^{2} − 3y^{2})^{2}:

a) rovinou x = 2 v bode A = (2, 1, 1)

b) rovinou y = 1 v bode A = (2, 1, 1).

2.2. A. Diferencovatel’nost’ funkcie n premenných Definícia 2.2.1. Funkcia f : G → R definovaná na množine G ⊂ R^{n} sa nazýva diferencovatel’ná v bode a = (a_{1}, ..., a_{2}) ∈ G, ktorý je hromadným bodom množiny G, ak existujú také čísla A_{1}, ..., A_{n} a funkcia ω(x), lim_{x→a} ω(x) = ω(a) = 0 tak, že pre každý bod x = (x_{1}, ..., x_{n}) z istého okolia bodu a platí

f(x) − f(a) = ∑_{i=1}^{n} A_{i}(x_{i} − a_{i}) + ω(x)ϱ(x, a),  (1)

kde ϱ(x, a) = (∑_{i=1}^{n}(x_{i} − a_{i})^{2})^{1/2}.

Podmienku diferencovatel’nosti (1) v bode a možno ešte zapísat’ v nasledujúcich tvaroch:

a) f(x) − f(a) = ∑_{i=1}^{n} A_{i}(x_{i} − a_{i}) + o(ϱ),  (1′)

kde o(ϱ) je taká funkcia, že lim_{x→a} \frac{o(ϱ)}{ϱ(x, a)} = lim_{x→a} \frac{f(x) − f(a) − ∑_{i=1}^{n} A_{i}(x_{i} − a_{i})}{ϱ(x, a)} = 0.

b) f(x) − f(a) = ∑_{i=1}^{n} A_{i}(x_{i} − a_{i}) + ∑_{i=1}^{n} ω_{i}(x)(x_{i} − a_{i}),  (1′′)

kde funkcie ω_{i}(x), i = 1, 2, ..., n sú také, že lim_{x→a} ω_{i}(x) = ω_{i}(a) = 0.

Ak vektor h⃗ = (h_{1}, ..., h_{2}) má zložky h_{i} = x_{i} − a_{i}, i = 1, 2, ..., n, tak podmienku diferencovatel’nosti (1′) možno zapísat’ v tvare

f(a + h) − f(a) = ∑_{i=1}^{n} A_{i}h_{i} + o(h), pričom

lim_{∥h∥_{R^{n}} →0} \frac{| o(h) |}{∥h_{R^{n}}∥} = 0, kde ∥h∥_{R^{n}} = \sqrt{∑_{i=1}^{n} h_{i}^{2}}.

Definícia 2.2.2. Lineárna funkcia, ktorá vektoru h⃗ = (h_{1}, ..., h_{n}) priradí hodnotu ∑_{i=1}^{n} A_{i}h_{i}

sa nazýva totálny diferenciál funkcie f v bode a. Označujeme ho df(a) alebo df(a, x).

Poznámka 2.2.1. Často sa tiež vraciame k pôvodným premenným, teda miesto h_{i} píšeme x_{i} − a_{i}, i = 1, 2, ..., n.

Veta 2.2.1. (Nutné podmienky diferencovatel’nosti.) Ak je funkcia f(x) diferencovatel’ná v bode a, potom

1. je funkcia f(x) spojitá v bode a;

2. funkcia f(x) má parciálne derivácie \frac{∂f}{∂x_{i}} (a) a platí A_{i} = \frac{∂f}{∂x_{i}} (a), i = 1, 2, ..., n.

Veta 2.2.2. (Postačujúca podmienka diferencovatel’nosti.) Ak má funkcia f(x) n premenných v nejakom okolí bodu a parciálne derivácie podl’a všetkých premenných, ktoré sú spojité v bode a, potom je funkcia f(x) diferencovatel’ná v bode a.

Poznámka 2.2.2. Ak funkcia f(x) je diferencovatel’ná v bode a, potom jej totálny diferenciál v bode a

df(a) = ∑_{i=1}^{n} \frac{∂f}{∂x_{i}} (a)h_{i} = ∑_{i=1}^{n} \frac{∂f}{∂x_{i}} (a)dx_{i},  (2)

kde dx_{i} je diferenciál funkcie φ_{i}(x_{1}, …, x_{n}) = x_{i}, i = 1, 2, …, n v bode a. Výrazy \frac{∂f}{∂x_{i}} (a)dx_{i}, i = 1, 2, …, n sa nazývajú parciálne diferenciály.

Poznámka 2.2.3. Zápis ∑_{i=1}^{n} \frac{∂f}{∂x_{i}} (x)dx_{i} je tiež bežný na označenie diferenciálu v l’ubovol’-

nom bode x.

B. Diferencovatel’nost’ vektorovej funkcie n premenných

Nech funkcia f : G → R^{m} je definovaná v oblasti G ⊂ R^{n}. Ak si zvolíme bázy v R^{n} a R^{m}, tak vektorovú funkciu y = f(x) môžeme vyjadrit’ pomocou m skalárnych funkcií n premenných:

\begin{aligned}y_{1} & = f_{1}(x) = f_{1}(x_{1}, …, x_{n}) \\ … & . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\ y_{m} & = f_{m}(x) = f_{m}(x_{1}, …, x_{n}) \end{aligned} .

Definícia 2.2.3. Funkcia f : G → R^{m} definovaná v oblasti G ⊂ R^{n}, sa nazýva diferencovatel’ná v bode a ∈ G, ak

f(a + h) − f(a) = f′(a)h + o(h),

kde f′(a) : R^{n} → R^{m} je lineárne zobrazenie a

lim_{∥h∥_{R^{n}} →0} \frac{∥o(h)∥_{R^{m}}}{∥h∥_{R^{n}}} = 0,

pričom ∥o(h)∥_{R^{m}} = \sqrt{∑_{i=1}^{m}(o_{i}(h))^{2}}, ∥h∥_{R^{n}} = \sqrt{∑_{i=1}^{n}h_{i}^{2}}.

Výraz f′(a)h sa nazýva diferenciál vektorovej funkcie f v bode a a označujeme ho df(a); f′(a) sa nazýva derivácia funkcie f v bode a.

Lineárne zobrazenie f′(a) v kanonickej báze má maticu

A = ( \begin{matrix}\frac{∂f_{1}}{∂x_{1}} (a) & \frac{∂f_{1}}{∂x_{2}} (a) & … & \frac{∂f_{1}}{∂x_{n}} (a) \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ \frac{∂f_{m}}{∂x_{1}} (a) & \frac{∂f_{m}}{∂x_{2}} (a) & … & \frac{∂f_{m}}{∂x_{n}} (a) \end{matrix} ) ,

ktorá sa nazýva \underline{Jacobiho matica}.

Ak n = m, determinant tejto matice sa nazýva jakobián zobrazenia f : R^{m} → R^{m} a označujeme ho symbolom D_{f}(x_{1}, …, x_{m}) alebo \frac{D(f_{1},...,f_{m})}{D(x_{1},...,x_{m})}.

2.3. Parciálne derivácie vyšších rádov. Diferenciály vyšších rádov

Definícia 2.3.1. Ak parciálna derivácia \frac{∂f}{∂x_{i}} funkcie f(x) n premenných je definovaná v okolí bodu a = (a_{1}, …, a_{n}) a má parciálnu deriváciu podl’a premennej x_{j} v bode a, hovoríme, že funkcia f(x) má 2. parciálnu deriváciu podl’a premenných x_{i} a x_{j} v bode a. Označujeme ju jedným zo symbolov \frac{∂^{2}f}{∂x_{i}∂x_{j}} (a), f′′_{x_{i}x_{j}}(a), f_{x_{i}x_{j}}(a). Teda

[\frac{∂}{∂x_{j}} (\frac{∂f}{∂x_{i}} )]_{a} = \frac{∂^{2}f}{∂x_{i}∂x_{j}} (a).

Pritom, ak i ≠ j, táto parciálna derivácia sa nazýva zmiešaná. V prípade, že i = j, 2. parciálnu deriváciu označujeme jedným zo symbolov \frac{∂^{2}f}{∂x_{i}^{2}} (a), f′′_{x_{i}^{2}}(a), f_{x_{i}^{2}}(a).

\underline{Všeobecne}: parciálne derivácie parciálnych derivácií rádu k −1 nazývame deriváciami k - teho rádu. Označujeme ich \frac{∂^{k}f}{∂x_{i_{1}} ...∂x_{i_{k}}} , i_{k} = 1, 2, …, n.

Definícia 2.3.2. Hovoríme, že funkcia f(x) je k-krát diferencovatel’ná v bode a, ak v bode a sú diferencovatel’né všetky parciálne derivácie funkcie f(x) rádu (k − 1)-ého a ak všetky parciálne derivácie tejto funkcie, ktoré sú rádu nižšieho ako k − 1, sú diferencovatel’né v istom okolí bodu a.

Ak funkcia f(x) je k-krát diferencovatel’ná v bode a, potom výraz

d^{k}(a, x) = [dx_{1} \frac{∂}{∂x_{1}} + … + dx_{n} \frac{∂}{∂x_{n}} ]^{k} f(a)  (3)

nazývame \underline{k-tym diferenciálom} alebo \underline{diferenciálom rádu k} funkcie f(x) v bode a.

Pritom tento symbolický vzorec rozumieme tak, že použijeme vzorec pre k -tu mocninu výrazu v zátvorke a potom namiesto mocnín znakov \frac{∂}{∂x_{i}} berieme parciálne derivácie funkcie f(x) v bode a takého rádu, aká je mocnina, a mocniny dx_{i} zostávajú mocninami.

Nech G ⊂ R^{n} je oblast’. Budeme hovorit’, že funkcia f patrí do triedy C^{(k)}(G; R), alebo C^{(k)}(G), ak sú všetky jej parciálne derivácie až do rádu k včítane definované a spojité v oblasti G.

Veta 2.3.1. Ak f ∈ C^{(k)}(G; R), potom parciálna derivácia \frac{∂^{k}f}{∂x_{i_{1}} ...∂x_{i_{k}}} (x) rádu k v bode x ∈ G nezávisí od poradia i_{1}, …, i_{k} derivovania, t.j. zostáva tá istá pre l’ubovol’nú permutáciu indexov i_{1}, …, i_{k} (i_{k} = 1, …, n).

2.4. Parciálne derivácie zložených funkcií

Veta 2.4.1. Nech funkcie t_{i} = φ(x_{1}, …, x_{n}), i = 1, …, m sú diferencovatel’né v bode a = (a_{1}, …, a_{n}). Nech φ_{i}(a) = b_{i}, i = 1, …, m. Nech funkcia f(t_{1}, …, t_{m}) je diferencovatel’ná v bode b = (b_{1}, …, b_{m}). Potom je v bode a deferencovatel’ná aj funkcia u(x_{1}, …, x_{m}) = f(φ_{1}(x_{1}, …, x_{n}), …, φ_{m}(x_{1}, …, x_{n})) a pre jej diferenciál a derivácie v bode a platí:

du(a, x) = ∑_{k=1}^{n}(x_{k} − a_{k}) ∑_{i=1}^{m} \frac{∂f}{∂t_{i}} (b)\frac{∂φ_{i}}{∂x_{i}} (a),

\frac{∂u}{∂x_{k}} (a) = \frac{∂f}{∂x_{k}} (φ_{1}(a), …, φ_{m}(a)) = ∑_{i=1}^{m} \frac{∂f}{∂t_{i}} (b)\frac{∂φ_{i}}{∂x_{k}} (a), k = 1, …, n.

Z posledného vzorca za predpokladu diferencovatel’nosti funkcie f(t), t = (t_{1}, …, t_{m}) a funkcií φ_{i}(x), i = 1, …, m, x = (x_{1}, …, x_{n}), dostaneme vzorec pre parciálne derivácie zloženej funkcie u(x) = f(φ_{1}(x), …, φ_{m}(x)) :

\frac{∂u}{∂x_{k}} = ∑_{i=1}^{m} \frac{∂f}{∂t_{i}} (t_{1}, …, t_{m})\frac{∂φ_{i}}{∂x_{k}} (x), k = 1, …, n,

kam treba do derivácií \frac{∂f}{∂t_{i}} (t_{1}, …, t_{m}), i = 1, …, m, dosadit’ φ_{i}(x) za t_{i}.

Definícia 2.4.1. Funkcia f(x) definovaná v oblasti G ⊂ R^{n} sa nazýva homogénna funkcia stupňa p v oblasti G, ak pre každý bod x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ G a pre každé číslo t, pre ktoré bod (tx_{1}, …, tx_{n}) ∈ G, platí rovnost’ f(tx_{1}, …, tx_{n}) = t^{p}f(x_{1}, …, x_{n}).

Eulerova veta. Ak je f(x) v nejakej oblasti G ⊂ R^{n} diferencovatel’ná a homogénna funkcia stupňa p, potom v každom bode x ∈ G platí

∑_{i=1}^{n} \frac{∂f}{∂x_{i}} (x)x_{i} = pf(x).

Poznámka 2.4.1. Výhoda zápisu totálneho diferenciálu vo tvare (2) spočíva v tom, že vzhl’adom na vetu 2.4.1. o derivovaní zloženej funkcie sa tento tvar zachováva aj vtedy, ked’ x_{1}, …, x_{n} sú funkcie iných nezávislých premenných y_{1}, …, y_{m}. V tomto prípade symbol dx_{i} už neznamená prírastok △x_{i} = x_{i} − a_{i}, ale diferenciál funkcie x_{i}. Túto vlastnost’ 1. diferenciálu obyčajne nazývajú \underline{vlastnost’ou invariantnosti} jeho tvaru.

Veta 2.4.2. Nech u a v sú diferencovatel’né funkcie viacerých premenných. Potom platí

d(cu) = cdu, c = konštanta
d(u ± v) = du ± dv
d(u.v) = udv + vdu
d(\frac{u}{v}) = \frac{vdu − udv}{v^{2}} , v ≠ 0,

pričom tieto vzorce platia aj v prípade, ked’ u a v sú diferencovatel’né funkcie nejakých premenných.

2.5. Derivácia v smere. Gradient funkcie

Nech G ⊂ R^{3} je oblast’ a f : G → R. Nech M_{0} = (x_{0}, y_{0}, z_{0}) ∈ G a nech l⃗ je jednotkový vektor so začiatkom v bode M_{0}. Súradnice vektora l⃗ sú cos α, cos β, cos γ (α, β, γ sú uhly, ktoré zviera vektor l⃗ so súradnicovými osami). Nech t > 0 je skalár a tl⃗ ∈ G. Prírastok funkcie f v bode M_{0} v smere vektora l⃗ je (M_{0} + tl⃗) − f(M_{0}).

Definícia 2.5.1. Ak existuje lim_{t→0^{+}} \frac{f(M_{0} + tl⃗) − f(M_{0})}{t}, hovoríme, že funkcia f má de-

riváciu v bode M_{0} v smere l⃗ a označujeme ju \frac{∂f}{∂l⃗} (M_{0}) (alebo Dl⃗f(M_{0})).

Veta 2.5.1. Ak je funkcia f(x, y, z) diferencovatel’ná v bode M_{0} = (x_{0}, y_{0}, z_{0}), potom

\frac{∂f}{∂l⃗} (M_{0}) = \frac{∂f}{∂x} (M_{0}) cos α + \frac{∂f}{∂y} (M_{0}) cos β + \frac{∂f}{∂z} (M_{0}) cos γ.

Definícia 2.5.2. Vektor (\frac{∂f}{∂x}, \frac{∂f}{∂y} , \frac{∂f}{∂z} )_{M_{0}} sa nazýva gradient funkcie f v bode M_{0}. Označujeme ho grad f(M_{0}) (alebo f̧(M_{0})).

Zo vzt’ahu uvedenom vo vete 2.5.1. vyplýva, že

\frac{∂f}{∂l⃗} (M_{0}) = (grad f(M_{0}), l⃗).  (4)

Gradient funkcie f v bode M_{0} charakterizuje smer a vel’kost’ maximálneho rastu tejto funkcie v bode M_{0}. Teda:

[\frac{∂f}{∂l⃗} (M_{0})]_{max} = \sqrt{[\frac{∂f}{∂x} (M_{0})]^{2} + [\frac{∂f}{∂y} (M_{0})]^{2} + [\frac{∂f}{∂z} ]^{2}}.

Poznámka 2.5.1. Vektor grad f(M_{0}) je ortogonálny na vrstevnicu grafu funkcie f(x, y, z), ktorá prechádza bodom M_{0}.

Poznámka 2.5.2. Ak funkcia f(x), x = (x_{1}, …, x_{n}), n premenných je diferencovatel’ná v bode M_{0} = (x_{1}^{0}, …, x_{n}^{0}) a jednotkový vektor l⃗ = (cos α_{1}, …, cos α_{n}), potom

\frac{∂f}{∂l⃗} (M_{0}) = ∑_{i=1}^{n} \frac{∂f}{∂x_{i}} (M_{0}) cos α_{i}.

52. Predpokladajúc, že x, y sú v absolútnej hodnote malé, odvod’te približné vzorce pre výrazy:

a) (1 + x)^{m}(1 + y)^{m};  b) arctg \frac{x + y}{1 + xy}.

53. Nájdite hodnoty 1. diferenciálu funkcie u v bode M_{0} v danom vektore h⃗, ak

a) u = arcsin xy, M_{0} = (\frac{1}{2}, 1), h⃗ = (0, 5; 0, 1);

b) u = x^{3}y − xy^{2}, M_{0} = (1, 2), h⃗ = (−0, 5; 0, 8);

c) u = x^{2y}, M_{0} = (4, 1), h⃗ = (0, 1; 0, 2);  d) u = ^{3} \sqrt{4x^{2} + y^{2}}, M_{0} = (1, 2), h⃗ = (−0, 2; 0, 3);

e) u = x\sqrt{1 + y^{3}}, M_{0} = (2, 2), h⃗ = (0, 1; 0).

54. Zameňte prírastok funkcie jej diferenciálom a približne vypočítajte:

a) 1, 002.2, 003^{3}.3, 004^{3}  b) \sqrt{1, 02^{3} + 1, 97^{3}}
c) sin 29^{∘}tg 46^{∘}  d) 0, 97^{1,05}.

55. Nájdite f′_{x}(0, 0), f′_{y}(0, 0), ak f(x, y) = ^{3} \sqrt{xy}. Je táto funkcia diferencovatel’ná v bode (0, 0)?

56. Zistite, či je diferencovatel’ná v bode (0, 0) funkcia f(x, y) = ^{3} \sqrt{x^{3} + y^{3}}.

57. Ukážte, že funkcia

f(x, y) = (x^{2} + y^{2}) sin \frac{1}{x^{2} + y^{2}} , ak x^{2} + y^{2} ≠ 0 a f(0, 0) = 0,

má v okolí bodu (0, 0) parciálne derivácie f′_{x}(x, y), f′_{y}(x, y), ktoré nie sú spojité v bode (0, 0) a sú neohraničené v l’ubovol’nom okolí tohto bodu; avšak táto funkcia je diferencovatel’ná v bode (0, 0).

58. Dokážte, že funkcia f(x, y), ktorá má ohraničené parciálne derivácie f′_{x}(x, y), f′_{y}(x, y) na nejakej konvexnej oblasti E, je rovnomerne spojitá.

59. Dokážte, že ak funkcia f(x, y) definovaná na oblasti G ⊂ R^{2} je spojitá vzhl’adom na premennú x pre každú hotnotu y a má ohraničenú deriváciu f′_{y}(x, y), potom táto funkcia je spojitá vzhl’adom na obidve premenné v oblasti G.

60. Určte deriváciu zobrazenia φ (t.j. Jacobiho maticu), ak

a) φ : (u, v) → (x, y, z); x = uv, y = u^{2} + v^{2}, z = u^{2} − v^{2};

b) φ : (u, v) → (x, y); x = u cos v, y = u sin v;

c) φ : (u, v) → x; x = \frac{u}{v};

d) φ : u → (x, y); x = utg u, y = u sin u; f) φ : (u, v, w) → (x, y); x = u^{2} + v^{2} + w^{2}, y = u + v + w.

61. Nájdite jakobián zobrazenia f : R^{n} → R^{n}:

a) f : x = r cos φ, y = r sin φ; f : (r, φ) → (x, y);

b) f : u = \frac{z}{x^{2} + y^{2}} , v = xy, w = \frac{y}{x}; f : (x, y, z) → (u, v, w);

c) f : x = r cos φ cos ψ, y = r sin φ cos ψ, z = r sin ψ; f : (r, φ, ψ) → (x, y, z);

d) f : u = xy, v = \frac{y}{x}; f : (x, y) → (u, v);

e) f : x = r cos φ, y = r sin φ, z = u^{2}; f : (r, φ, u) → (x, y, z).

62. Nájdite parciálne derivácie 1. a 2. rádu nasledujúcich funkcií:

a) u = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} ;  b) u = \frac{cos x^{2}}{y};
c) u = \frac{tg x^{2}}{y};  d) u = x^{y};
e) u = arctg \frac{x + y}{1 − xy};  f) u = arcsin \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} ;
g) u = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} ;  h) u = (\frac{x}{y})^{z};

i) u = x^{y/z}.

63. Overte rovnost’

\frac{∂^{2}u}{∂x∂y} = \frac{∂^{2}u}{∂y∂x},

ak

a) u = x^{2} − xy − 3y^{2};

b) u = x^{y^{2}};

c) u = arccos \sqrt{\frac{x}{y}}.

Nájdite parciálne derivácie uvedeného rádu:

64. \frac{∂^{3}u}{∂x^{2}∂y}, ak u = x ln(xy).

65. \frac{∂^{m+n}u}{∂x^{m}∂y^{n}}, ak u = \frac{x + y}{x − y}.

66. \frac{∂^{p+q}u}{∂x^{p}∂y^{q}}, ak u = (x − x_{0})^{p}(y − y_{0})^{q}.

67. \frac{∂^{p+q+r}u}{∂x^{p}∂y^{q}∂z^{r}}, ak u = xyze^{x+y+z}.

68. f_{x^{m}y^{n}}^{(m+n)}(0, 0), ak f(x, y) = e^{x} sin y.

69. Nech Au = x\frac{∂u}{∂x} + y \frac{∂u}{∂y}. Nájdite Au a A^{2}u = A(Au), ak

a) u = \frac{x}{x^{2} + y^{2}} ;  b) u = ln \sqrt{x^{2} + y^{2}}.

70. Nech

\begin{aligned}△_{1}u & = (\frac{∂u}{∂x})^{2} + (\frac{∂u}{∂y})^{2} + (\frac{∂u}{∂z})^{2} \\ △_{2}u & = \frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}u}{∂y^{2}} + \frac{∂^{2}u}{∂z^{2}}. \end{aligned}

Nájdite △_{1}u a △_{2}u, ak:

a) u = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} ;  b) u = x^{3} + y^{3} + z^{3} − 3xyz.

71. Nech f(x, y) = xy \frac{x^{2} − y^{2}}{x^{2} + y^{2}} , ak x^{2} + y^{2} ≠ 0 a f(0, 0) = 0. Ukážte, že funkcia f(x, y) je spojitá v bode (0, 0) a f′′_{xy}(0, 0) ≠ f′′_{yx}(0, 0).

72. Nájdite diferenciály 1. a 2. rádu funkcií:

a) u = x^{m}y^{n};  b) u = \sqrt{x^{2} + y^{2}};
c) u = ln \sqrt{x^{2} + y^{2}};  d) u = xy + yz + zx;

e) u = \frac{z}{x^{2} + y^{2}} .

73. Nájdite df(1, 1, 1) a d^{2}f(1, 1, 1), ak f(x, y, z) = (\frac{x}{y})^{1/z}.

74. Ukážte, že pre funkciu u = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} platí: d^{2}u ≥ 0.

75. Ukážte, že funkcia u = ln \sqrt{(x − a)^{2} + (y − b)^{2}} (a, b sú konštanty) vyhovuje Laplaceovej rovnici:

\frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}u}{∂y^{2}} = 0.

76. Nech u = f(r) je dvakrát diferencovatel’ná funkcia a r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}. Nájdite funkciu F (r), pre ktorú platí:

△u = F (r),

kde △u = \frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}u}{∂y^{2}} + \frac{∂^{2}u}{∂z^{2}} je Laplaceov operátor.

77. Zjednodušte výraz

sec x\frac{∂z}{∂x} + sec y \frac{∂z}{∂y} ,

ak z = sin y + f(sin x − sin y), kde f je diferencovatel’ná funkcia (sec u = \frac{1}{cos u}).

78. Ukážte, že funkcia

z = x^{n}f (\frac{y}{x^{2}} ) ,

kde f je diferencovatel’ná funkcia, spl’ňa rovnicu

x\frac{∂z}{∂x} + 2y \frac{∂z}{∂y} = nz.

79. Ukážte, že funkcia

z = yf(x^{2} − y^{2}),

kde f je l’ubovol’ná diferencovatel’ná funkcia, spl’ňa rovnicu

y^{2} \frac{∂z}{∂x} + xy \frac{∂z}{∂y} = xz.

80. Predpokladajúc, že funkcie φ, ψ atd’. sú diferencovatel’né tol’kokrát, kol’ko potrebujeme, overte nasledujúce rovnosti:

a) \frac{∂^{2}u}{∂t^{2}} = a^{2} \frac{∂^{2}u}{∂x^{2}}, ak u = φ(x − at) + ψ(x + at);

b) \frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} − 2\frac{∂^{2}u}{∂x∂y} + \frac{∂^{2}u}{∂y^{2}} = 0, ak u = xφ(x + y) + yψ(x + y) ;

c) x^{2} \frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} + 2xy \frac{∂^{2}u}{∂x∂y} + y^{2} \frac{∂^{2}u}{∂y^{2}} = n(n − 1)u, ak u = x^{n}φ (\frac{y}{z} ) + x^{1−n}ψ (\frac{y}{x});

d) \frac{∂u}{∂x}.\frac{∂^{2}u}{∂x∂y} = \frac{∂u}{∂y}.\frac{∂^{2}u}{∂x^{2}}, ak u = φ[x + ψ(y)].

81. Nájdite diferenciály 1. a 2. rádu nasledujúcijch zložených funkcií u, ak f je dvakrát diferencovatel’ná funkcia:

a) u = f(ξ, η), kde ξ = xy, η = \frac{x}{y};  b) u = f(x, y, z), kde x = t, y = t^{2}, z = t^{3};

c) u = f(ξ, η, ζ), kde ξ = x^{2} + y^{2}, η = x^{2} − y^{2}, ζ = 2xy;

d) u = f(x + y + z, x^{2} + y^{2} + z^{2});  e) u = f(2x, 3y, 4z);

f) u = f(xy, x − y, x + y).

82. Nájdite d^{n}u, ak f je n - krát diferencovatel’ná:

a) u = f(ax + by + cz);  b) u = f(ax, by, cz);

c) u = f(t, v, w), kde ξ = a_{1}x + b_{1}y + c_{1}z, η = a_{2}x + b_{2}y + c_{2}z, ζ = a_{3}x + b_{3}y + c_{3}z.

83. Nech u = f(x, y, z) je homogénna funkcia stupňa n. Overte Eulerovu vetu pre tieto homogénne funkcie:

a) u = (x − 2y + 3z)^{2};  b) u = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} ;  c) u = (\frac{x}{y})^{y/z}.

84. Dokážte, že ak diferencovatel’ná funkcia u = f(x, y, z) spl’ňa rovnicu

x\frac{∂u}{∂x} + y \frac{∂u}{∂y} + z \frac{∂u}{∂z} = nu,

potom u je homogénna funkcia stupňa n.

85. Dokážte, že ak f(x, y, z) je diferencovatel’ná homogénna funkcia stupňa n, tak jej derivácie f′_{x}(x, y, z), f′_{y}(x, y, z) a f′_{z}(x, y, z) sú homogénne funkcie stupňa n − 1.

86. Nájdite deriváciu funkcie

z = x^{2} − y^{2}

v bode M = (1, 1) v smere l⃗, ktorý zviera uhol α = 60^{∘} s kladným smerom osi x - ovej.

87. Nájdite deriváciu funkcie

z = x^{2} − xy + y^{2}

v bode M = (1, 1) v smere l⃗, ktorý zviera uhol α s kladným smerom osi x - ovej. V akom smere má táto derivácia: a) najväčšiu hodnotu; b) najmenšiu hodnotu; c) rovnú 0.

88. Nájdite deriváciu funkcie

z = ln(x^{2} + y^{2})

v bode M = (x_{0}, y_{0}) v smere kolmom na vrstevnicu prechádzajúcu týmto bodom.

89. Nájdite deriváciu funkcie

z = 1 − (\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} )

v bode M = (\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}}) v smere vnútornej normály v tomto bode ku krivke

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1.

90. Nájdite deriváciu funkcie

u = xyz

v bode M = (1, 1, 1) v smere l⃗ = {cos α, cos β, cos γ}. Čomu sa rovná vel’kost’ gradienta funkcie v danom bode?

91. Vypočítajte vel’kost’ a smer gradienta funkcie

u = \frac{1}{r},

kde r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}, v bode M_{0} = (x_{0}, y_{0}, z_{0}).

92. Určte uhol medzi gradientami funkcie

u = x^{2} + y^{2} − z^{2}

v bodoch A = (ε, 0, 0) a B = (0, ε, 0).

93. O kol’ko sa líši v bode M = (1, 2, 2) vel’kost’ gradienta funkcie

u = x + y + z

od vel’kosti gradienta funkcie

v = x + y + z + 0, 001 sin (10^{6}π\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}})?

94. Ukážte, že v bode M_{0} = (x_{0}, y_{0}, z_{0}) uhol medzi gradientami funkcií

\begin{aligned}u & = ax^{2} + by^{2} + cz^{2}, \\ v & = ax^{2} + by^{2} + cz^{2} + 2mx + 2ny + 2pz \end{aligned}

(a, b, c, m, n, p sú konštanty a a^{2} + b^{2} + c^{2} ≠ 0) konverguje k 0, ak bod M_{0} sa vzdial’uje do nekonečna.

95. Nech funkcia u = f(x, y, z) je dvakrát diferencovatel’ná. Nájdite \frac{∂^{2}u}{∂l⃗^{2}} = \frac{∂}{∂l⃗} (\frac{∂u}{∂l⃗}), ak

cos α, cos β, cos γ sú smerové kosínusy smeru l⃗ derivovania.

96. Nech funkcia u = u(x, y) spl’ňa rovnicu \frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} − \frac{∂^{2}u}{∂y^{2}} = 0 a okrem toho, nasledujúce

podmienky: u(x, 2x) = x, u′_{x}(x, 2x) = x^{2}. Nájdite u′′_{xx}(x, 2x), u′′_{xy}(x, 2x), u′′_{yy}(x, 2x).

97. Riešte rovnicu: \frac{∂^{n}z}{∂y^{n}} = 0 s neznámou funkciou z = z(x, y).

Poznámka. Pod riešením danej rovnice budeme rozumiet’ funkciu z(x, y) z triedy C^{(n)}(G; R) (t.j. z(x, y) je spojitá spolu so svojimi parciálnymi deriváciami až do rádu n včítane v oblasti G ⊂ R^{2}), ktorá vyhovuje danej rovnici (a prípadne aj daným podmienkam).

98. Nájdite riešenie z = z(x, y) rovnice \frac{∂z}{∂y} = x^{2} +2y, ktoré spl’ňa podmienku z(x, x^{2}) = 1.

99. Nájdite riešenie z = z(x, y) rovnice \frac{∂^{2}z}{∂y^{2}} = 2, ktoré vyhovuje podmienkam:

z(x, 0) = 1, z′_{y}(x, 0) = x.

100. Nájdite riešenie z = z(x, y) rovnice \frac{∂^{2}z}{∂x∂y} = x + y, vyhovujúce podmienkam:

z(x, 0) = x, z(0, y) = y^{2}.