3. Funkcie určené implicitne

Veta 3.1. Ak je funkcia F : U → R definovaná v okolí U bodu (x_{0}, y_{0}) ∈ R^{2} a je taká, že 1. F ∈ C^{(k)}(U; R), kde k ≥ 1,

2. F (x_{0}, y_{0}) = 0,

3. F′_{y}(x_{0}, y_{0}) ≠ 0, potom existuje dvojrozmerný interval I = I_{x} × I_{y}, (kde I_{x} = {x ∈ R :| x − x_{0} |< δ}, I_{y} = {y ∈ R : | y − y_{0} |< η}), ktorý patrí do okolia U bodu x_{0}, y_{0}, a jediná funkcia f ∈ C^{(k)}(I_{x}; I_{y}) taká, že pre každý bod (x, y) ∈ I

F (x, y) = 0 ⟺ y = f(x)

a pre deriváciu f′(x) funkcie f(x) platí:

f′(x) = −\frac{F′_{x}(x, y)}{F′_{y}(x, y)}]_{y=f(x)} .

V tomto prípade hovoríme, že \underline{funkcia} f(x) je \underline{implicitne určená rovnicou} F (x, y) = 0 a podmienkou y = f(x_{0}).

Poznámka 3.1. Ak {(x, y) ∈ R^{2} : F (x, y) = 0} je grafom funkcie f(x), potom hovoríme, že f(x) je určená implicitne rovnicou F (x, y) = 0.

Veta 3.2. Ak je funkcia F : U → R definovaná v okolí U bodu (x_{1}^{0}, …, x_{n}^{0}, y^{0}) ∈ R^{n+1} a je taká, že

1. F ∈ C^{(k)}(U; R), k ≥ 1,

2. F (x_{1}^{0}, …, x_{n}^{0}, y^{0}) = 0,

3. F′_{y}(x_{1}^{0}, …, x_{n}^{0}, y_{0}) ≠ 0, potom existuje (n + 1) - rozmerný interval I = I_{x_{1}} × … × I_{x_{n}} × I_{y}, (kde I_{x_{i}} = {x_{i} ∈ R : |x_{i} − x_{i}^{0}| < δ_{i}}, i = 1, 2, …, n, I_{y} = {y ∈ R : |y − y^{0}| < η}), ktorý patrí do okolia U bodu (x_{1}^{0}, …, x_{n}^{0}, y^{0}) a jediná funkcia f ∈ C^{(k)} (I_{x_{1}} × … × I_{x_{n}}; I_{y}) taká, že pre každý bod (x_{1}, …, x_{n}, y) z intervalu I

F (x_{1}, …, x_{n}, y) = 0 ⟺ y = f(x_{1}, …, x_{n}),

pričom parciálne derivácie funkcie y = f(x_{1}, …, x_{n}) v bodoch x n - rozmerného intervalu I_{x_{1}} × … × I_{x_{n}} možno vypočítat’ podl’a vzorca

\frac{∂f(x)}{∂x_{i}} = −\frac{F′_{x_{i}}(x_{1}, …, x_{n}, y)}{F′_{y}(x_{1}, …, x_{n}, y)}]_{y=f(x_{1},...,x_{n})} , i = 1, 2, …, n.

Ak pre funkciu F (x_{1}, …, x_{n}, y) platia podmienky vety 3.2., potom hovoríme, že funkcia y = f(x_{1}, …, x_{n}) je určená implicitne rovnicou F (x_{1}, …, x_{n}, y) = 0 a podmienkou y^{0} = f(x_{1}^{0}, …, x_{n}^{0}) alebo bodom (x_{1}^{0}, …, x_{n}^{0}, y^{0}).

Funkcie určené imlicitne systémom rovníc

Veta 3.3. Nech funkcie F_{i} : U → R, i = 1, …, m sú definované v okolí U bodu

(x_{1}^{0}, …, x_{n}^{0}, y_{1}^{0}, …, y_{m}^{0}) ∈ R^{n+m} a také, že

1. F_{i} ∈ C^{(k)}(U; R), k ≥ 1, i = 1, …, m,

2. F_{i}(x_{1}^{0}, …, x_{n}^{0}, y_{1}^{0}, …, y_{m}^{0}) = 0, i = 1, …, m,

3. funkcionálny determinant, tzv. jakobián

\frac{D(F_{1}, …, F_{m})}{D(y_{1}, …, y_{m})} = | \begin{matrix}\frac{∂F_{1}}{∂y_{1}} & \frac{∂F_{1}}{∂y_{2}} & … & \frac{∂F_{1}}{∂y_{m}} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ \frac{∂F_{m}}{∂y_{1}} & \frac{∂F_{m}}{∂y_{2}} & … & \frac{∂F_{m}}{∂y_{m}} \end{matrix} | ≠ 0

v bode (x_{1}^{0}, …, x_{n}^{0}, y_{1}^{0}, …, y_{m}^{0}).

Potom existuje (n + m) - rozmerný interval I = I_{x_{1}} × … × I_{x_{n}} × I_{y_{1}} × … × I_{y_{m}}, (kde I_{x_{k}} = {x_{k} ∈ R :| x_{k} − x_{k}^{0} |< δ_{k}}, k = 1, 2, …, n, I_{y_{i}} = {y_{i} ∈ R :| y_{i} − y_{i}^{0} |< η_{i}}, i = 1, 2, …, m) a jediný systém funkcií y_{i} = f_{i}(x_{1}, …, x_{n}), i = 1, 2, …, m taký, že pre každý bod (x_{1}, …, x_{n}, y_{1}, …, y_{n}) ∈ I

F_{i}(x_{1}, …, x_{n}, y_{1}, …, y_{m}) = 0 ⟺ y_{i} = f_{i}(x_{1}, …, x_{n}, y_{1}, …, y_{n}), i = 1, 2, …, m,

pričom parciálne derivácie funkcií y_{i} = f_{i}(x_{1}, …, x_{n}), i = 1, 2, …, m, podl’a premennej x_{k}, k = 1, 2, …, n, v bodoch n - rozmerného intervalu I_{x_{1}} × … × I_{x_{n}} možno nájst’ zo systému lineárnych algebraických rovníc

∑_{j=1}^{m} \frac{∂F_{i}}{∂y_{j}} .\frac{∂y_{j}}{∂x_{k}} + \frac{∂F_{i}}{∂x_{k}} = 0, i = 1, 2, …, m,

kde F_{i}(x_{1}, …, x_{n}, y_{1}, …, y_{m}), i = 1, 2, …, m a y_{j} = f_{j}(x_{1}, …, x_{n}), j = 1, 2, …, m.

101. Ukážte, že dané rovnice určujú jedinú funkciu y(x) v okolí bodu (x_{0}, y_{0}):

a) x^{2} + yx + y^{2} = 3, x_{0} = y_{0} = 1;  b) xy + ln(xy) = 1, x_{0} = 2, y_{0} = \frac{1}{2};

c) e^{x+y} + y − x = 0, x_{0} = \frac{1}{2}, y_{0} = −\frac{1}{2}.

102. Ukážte, že dané rovnice určujú jedinú funkciu z(x, y) v okolí bodu (x_{0}, y_{0}, z_{0}):

a) x + y + z = sin xyz, x_{0} = y_{0} = z_{0} = 0;

b) x^{2}y^{3} + y^{3}z^{2} + z^{2}x^{3} = 8, x_{0} = 1, y_{0} = −1, z_{0} = 2;

c) x^{y} + x^{z} + z^{x} = 3, x_{0} = y_{0} = z_{0} = 1.

103. Ukážte, že v bode (1, 1, 1, 1, 1) vzt’ahy

\{ \begin{matrix}x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + y_{3}^{2} − 5 = 0 \\ x_{1} − x_{2} + y_{1}^{3} − y_{2}^{3} + y_{3}^{3} − 1 = 0 \\ x_{1}^{3} + 2x_{2}^{3} + y_{2}y_{3} − 4 = 0 \end{matrix}

nevyhovujú predpokladom vety o existencii zobrazenia φ : (y_{3}, y_{2}) → (x_{1}, x_{2}, y_{1}), avšak vyhovujú predpokladom existencie zobrazenia φ: (x_{1}, x_{2}) → (y_{1}, y_{2}, y_{3}).

104. Ukážte, že dané vzt’ahy určujú jediné zobrazenie φ : X → Y v okolí bodu M_{0}, ak

a) \{ \begin{matrix}x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} − y_{3}y_{2} − 1 = 0 \\ (x_{2} − x_{1})(y_{2} − y_{1}) − y_{1}y_{2}y_{3} − 1 = 0 \\ (x_{1}^{2} + x_{2}^{2})(y_{3}^{2} − y_{1}^{2}) + y_{1}y_{2} = 0, \end{matrix}

X = {(x_{1}, x_{2})}, Y = {(y_{1}, y_{2}, y_{3})}, M_{0} ≡ (1, 2, 1, 0, 1)

b) \{ \begin{matrix}sin(πx_{1}y_{1}) + sin(πx_{2}y_{2}) + sin(πx_{3}y_{3}) = 1 \\ cos \frac{π}{2} (x_{1} − y_{2}) + cos \frac{π}{2} (x_{2} − y_{1}) + cos \frac{π}{2} (x_{3} − y_{1}) − 2 = 0, \end{matrix}

X = {(x_{1}, x_{2}, x_{3})}, Y = {(y_{1}, y_{2})}, M_{0} ≡ (0, 1, 0, 1, 0)

c) \{ \begin{matrix}\frac{1}{π} arctg \frac{x_{1}y_{1}}{x_{2}y_{2}} − x_{1}x_{2}y_{1}y_{2} = 0 \\ x_{2}^{2}y_{2}^{2} − x_{1}^{2}y_{1}^{2} + \frac{1}{x_{1}y_{1}} − \frac{1}{x_{2}y_{2}} = 0, \end{matrix}

X = \{(x_{1}, x_{2})\}, Y = \{(y_{1}y_{2})\}, M_{0} ≡ (1, 3, \frac{1}{2}, \frac{1}{6}).

105. Nech je daná rovnica

x^{2} = y^{2}  (1)

a

y = y(x) − ∞ < x < +∞  (2)

je funkcia, spl’ňajúca rovnicu (1).

1. Kol’ko funkcií (2) spl’ňa rovnicu (1)?

2. Kol’ko spojitých funkcií (2) spl’ňa rovnicu (1)?

3. Kol’ko diferencovatel’ných funkcií (2) spl’ňa rovnicu (1)?

4. Kol’ko spojitých funkcií (2) spl’ňa rovnicu (1), ak: a) y(1) = 1; b) y(0) = 0?

5. Kol’ko spojitých funkcií y = y(x) (1 − δ < x < 1 + δ) spl’ňa rovnicu (1), ak y(1) = 1 a δ je dostatočne malé?

106. Predpokladajúc, že v nejakom jeho okolí bodu M_{0} = (x_{0}, y_{0}, z_{0}) je jednoznačne implicitne určená spojitá dvakrát diferencovatel’ná funkcia z(x, y), nájdite hodnoty uvedených derivácií v tomto bode:

a) \frac{∂z}{∂x}, \frac{∂z}{∂y} , \frac{∂^{2}z}{∂x∂y}, ak x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2};

b) \frac{∂z}{∂x}, \frac{∂z}{∂y} , \frac{∂^{2}z}{∂x^{2}} , ak arctg \frac{z}{x} = z + x + y;

c) \frac{∂z}{∂x}, \frac{∂z}{∂y} , \frac{∂^{2}z}{∂x^{2}} , \frac{∂^{2}z}{∂x∂y}, ak x + ty + z = ln xyz, x > 0, y > 0, z > 0;

d) \frac{∂z}{∂x}, \frac{∂z}{∂y} , \frac{∂^{2}z}{∂x∂y}, ak x + y + z = cos(xyz).

107. Dokážte, že pre funkciu y = f(x) určenú implicitne rovnicou

1 + xy = k(x − y),

kde k je konštanta, platí rovnost’

\frac{dx}{1 + x^{2}} = \frac{dy}{1 + y^{2}} .

108. Dokážte, že pre funkciu y = f(x) určenú implicitne rovnicou

x^{2}y^{2} + x^{2} + y^{2} − 1 = 0  (1)

pre xy > 0 platí rovnost’

\frac{dx}{\sqrt{1 − x^{4}}} + \frac{dy}{\sqrt{1 − y^{4}}} = 0.

109. Nech

x^{2} + y^{2} + z^{2} − 3xyz = 0  (1)

a

f(x, y, z) = xy^{2}z^{3}.

Nájdite:

a) f′_{x}(1, 1, 1), ak z = z(x, y) je funkcia určená implicitne rovnicou (1);

b) f′_{x}(1, 1, 1), ak y = y(x, z) je funkcia určená implicitne rovnicou (1). Vysvetlite, prečo sú tieto derivácie rôzne.

110. Nech z = z(x, y) je tá diferencovatel’ná funkcia, určená rovnicou z^{3} − xz + y = 0, ktorá pre x = 3, y = −2 nadobúda hodnotu z = 2. Nájdite dz(3, −2) a d^{2}z(3, −2).

111. Nájdite \frac{∂u}{∂x}, \frac{∂u}{∂y}, \frac{∂v}{∂x}, \frac{∂v}{∂y}, ak xu − yv = 0, yu + xv = 1.

112. V akej oblasti roviny O_{xy} systém rovníc

x = u + v, y = u^{2} + v^{2}, z = u^{3} + v^{3},

kde parametre u a v nadobúdajú všetky možné reálne hodnoty, je určená funkcia z(x, y)? Nájdite derivácie \frac{∂z}{∂x} a \frac{∂z}{∂y}.

113. Nájdite \frac{∂^{2}z}{∂x^{2}} , ak funkcia z = z(x, y) je určená systémom rovníc:

x = cos φ cos ψ, y = cos φ sin ψ, z = sin φ.

114. Nájdite \frac{∂^{2}z}{∂x^{2}} , \frac{∂^{2}z}{∂x∂y} , \frac{∂^{2}z}{∂y^{2}} , ak funkcia z = z(x, y) je určená systémom rovníc:

x = u cos v, y = u sin v, z = v.

115. Nájdite \frac{dz}{dx} a \frac{d^{2}z}{dx^{2}} , ak

z = x^{2} + y^{2},

kde y = y(x) je funkcia určená implicitne rovnicou

x^{2} − xy + y^{2} = 1.

116. Nech u = f(z), kde z je implicitne určená funkcia premenných x a y rovnicou

z = x + xφ(z).

Dokážte Lagrangeov vzorec. \frac{∂^{n}u}{∂y^{n}} = \frac{∂^{n−1}}{∂x^{n−1}} \{φ(z)]^{n} \frac{∂u}{∂x}\}, predpokladajúc, že všetky uva-

žované funkcie sú diferencovatel’né tol’kokrát, kol’kokrát potrebujeme.

117. Ukážte, že funkcia z = z(x, y), určená rovnicou

Φ(x − az, y − bz) = 0,  (1)

kde Φ(u, v) je l’ubovol’ná diferencovatel’ná funkcia premenných u a v (a, b sú konštanty), vyhovuje rovnici

a\frac{∂z}{∂x} + b\frac{∂z}{∂y} = 1.

118. Ukážte, že funkcia z = z(x, y), určená systémom rovníc

x cos α + y sin α + ln z = f(α),
−x sin α + y cos α = f′(α),

kde α = α(x, y) je premenný parameter a f(α) je l’ubovol’ná diferencovatel’ná funkcia, spl’ňa rovnicu

(\frac{∂z}{∂x})^{2} + (\frac{∂z}{∂y} )^{2} .

119. Ukážte, že funkcia z = z(x, y), určená systémom rovníc

\begin{aligned}[z − f(α)]^{2} & = x^{2}(y^{2} − α^{2}) \\ [z − f(α)] f′(α) & = αx^{2}, \end{aligned}

kde α = α(x, y) je premenný parameter a f(α) je l’ubovol’ná diferencovatel’ná funkcia, vyhovuje rovnici

\frac{∂z}{∂x}.\frac{∂z}{∂y} = xy.

120. Ukážte, že funkcia z = z(x, y), určená systémom rovníc

\begin{aligned}z & = αx + yφ(α) + ψ(α). \\ 0 & = x + yφ′(α) + ψ′(α), \end{aligned}

kde α = α(x, y) je premenný parameter a φ(α), ψ(α) sú l’ubovol’né dvakrát diferencovatel’né funkcie, vyhovuje rovnici

\frac{∂^{2}z}{∂x^{2}} .\frac{∂^{2}z}{∂y^{2}} − (\frac{∂^{2}z}{∂x∂y} )^{2} = 0.