5. Taylorov vzorec. Niektoré geometrické aplikácie

diferenciálneho počtu

5.1. Taylorov vzorec

Veta 5.1.1. Nech je funkcia f definovaná v okolí U bodu x^{0} = (x_{1}^{0}, x_{2}^{0}, …, x_{n}^{0}) ∈ R^{n} a patrí do triedy C^{(k)}(U; R). Potom pre každý bod x = (x_{1}, …, x_{n}) platí Taylorov vzorec:

f(x) = f(x^{0}) + ∑_{i=1}^{k−1} \frac{1}{i!} [(x_{1} − x_{1}^{0})\frac{∂}{∂x_{1}} + … + (x_{n} − x_{n}^{0})\frac{∂}{∂x_{n}} ]^{i} f(x^{0}) + R_{k}(x), (1)

kde zvyškový člen R_{k}(x) Taylorovho vzorca v Lagrangeovom tvare je

\begin{matrix}R_{k}(x) & = \frac{1}{k!} [(x_{1} − x_{1}^{0})\frac{∂}{∂x_{1}} + … + (x_{n} − x_{n}^{0})\frac{∂}{∂x_{n}} ]^{k} . \\ .f (x_{1}^{0} + θ(x_{1} − x_{1}^{0}), x_{n} + θ(x_{n} − x_{n}^{0})) , \end{matrix}

0 < θ < 1.

5.2. Taylorov rad

Ak je funkcia f(x) nekonečne diferencovatel’ná v bode x^{0} ∈ R^{n}, tak mocninný rad

f(x^{0}) + ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k!} [(x_{1} − x_{1}^{0})\frac{∂}{∂x_{1}} + … + (x_{n} − x_{n}^{0})\frac{∂}{∂x_{n}} ]^{k} f(x^{0})

sa nazýva \underline{Taylorov rad} funkcie f(x) v bode x^{0}.

Veta 5.2.1. Nech funkcia f(x) je definovaná v oblasti G ⊂ R^{n} a nech je nekonečne diferencovatel’ná v bode x^{0} ∈ G. Potom v nejakom okolí bodu x^{0} = (x_{1}^{0}, …, x_{n}^{0}) funkciu f možno rozvinút’ do Taylorovho radu

f(x) = f(x^{0}) + ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k!} [(x_{1} − x_{1}^{0})\frac{∂}{∂x_{1}} + … + (x_{n} − x_{n}^{0})\frac{∂}{∂x_{n}} ]^{k} f(x^{0})  (2)

práve vtedy, ked’ zvyšok R_{k}(x) v Taylorovom vzorci (1) konverguje k 0 pre k → ∞.

Špeciálne prípady vzorcov (1), (2) pre x_{1}^{0} = 0, …, x_{n}^{0} = 0 majú názov \underline{Maclaurinov} \underline{vzorec} a \underline{Maclaurinov rad}.

5.3. Klasifikácia singulárnych bodov rovinných kriviek

Singulárne body (x, y) krivky F (x, y) = 0 sú tie, v ktorých platí

F (x, y) = 0, F′_{x}(x, y) = 0, F′_{y}(x, y) = 0.  (3)

Nech bod (x_{0}, y_{0}) vyhovuje podmienkam (3) a nech funkcia F (x, y) je dvakrát diferencovatel’ná. Zavedieme označenie: A = F′′_{xx}(x_{0}, y_{0}), B = F′′_{xy}(x_{0}, y_{0}), C = F′′_{yy}(x_{0}, y_{0}). Pre klasifikáciu singulárnych bodov uvažujeme rovnicu

F′′_{xx} + 2F′′_{xy}f′(x_{0}) + F′′_{yy}f′^{2}(x_{0}) = 0,  (4)

ktorú dostaneme dvojnásobným derivovaním rovnice F (x, f(x)) = 0 a využitím (3), kde f(x) je spojitá funkcia.

1. Ak AC − B^{2} > 0, bod (x_{0}, y_{0}) je izolovaný singulárny bod. V tomto prípade má rovnica (4) komplexné korene.

2. Ak AC − B^{2} < 0, existujú dve krivky, ktoré sa pretínajú v bode (x_{0}, y_{0}). Je to \underline{uzlový} singulárny bod.

3. Ak AC − B^{2} = 0, obidve krivky majú v bode (x_{0}, y_{0}) spoločnú dotyčnicu. Môžu nastat’ tieto prípady:

a) \underline{bod vratu 1. druhu}, ked’ obidve vetvy krivky sa nachádzajú na tej istej strane spoločnej normály a na rôznych stranách spoločnej dotyčnice;

b) \underline{bod vratu 2. druhu}, ked’ obidve vetvy krivky sa nachádzajú na tej istej strane spoločnej normály a na tej istej strane spoločnej dotyčnice;

c) \underline{bod samodotyku}, ked’ obidve vetvy krivky sa nachádzajú na rôznych stranách spoločnej dotyčnice a na rôznych stranách spoločnej normály;

d) \underline{izolovaný} singulárny bod.

V prípade A = B = C = 0 môžu byt’ singulárne body zložitejšieho typu.

5.4. Dotyková rovina a normála

Nech je plocha určená rovnicou F (x, y, z) = 0, (x, y, z) ∈ D ⊂ R^{3}, kde F je spojitá funkcia spolu so svojimi parciálnymi deriváciami F′_{x}, F′_{y}, F′_{z} v bode M_{0} = (x_{0}, y_{0}, z_{0}) ∈ D, pričom

[F′_{x}(x_{0}, y_{0}, z_{0})]^{2} + [F′_{y}(x_{0}, y_{0}, z_{0})]^{2} + [F′_{z}(x_{0}, y_{0}, z_{0})]^{2} > 0.

Potom v bode (x_{0}, y_{0}, z_{0}) rovnica dotykovej roviny je

(x − x_{0})F′_{x}(M_{0}) + (y − y_{0})F′_{y}(M_{0}) + (z − z_{0})F′_{z}(M_{0}) = 0

a x = x_{0} + F′_{x}(M_{0})t, y = y_{0} + F′_{y}(M_{0})t, z = z_{0} + F′_{z}(M_{0})t, t ∈ R sú parametrické rovnice normály v bode M_{0} alebo

\frac{x − x_{0}}{F′_{x}(M_{0})} = \frac{y − y_{0}}{F′_{y}(M_{0})} = \frac{z − z_{0}}{F′_{z}(M_{0})}

je jej rovnica v kanonickom tvare.

Špeciálne, ak plocha je grafom funkcie z = f(x, y), kde f je diferencovatel’ná funkcia v bode (x_{0}, y_{0}) a z_{0} = f(x_{0}, y_{0}), tak

(x − x_{0})f′_{x}(x_{0}, y_{0}) + (y − y_{0})f′_{y}(x_{0}, y_{0}) = z − z_{0}

je rovnica dotykovej roviny k tejto ploche v bode (x_{0}, y_{0}, z_{0}) a x = x_{0} + f′_{x}(x_{0}, y_{0})t, y = y_{0} + f′_{y}(x_{0}, y_{0})t, z = z_{0} − t, t ∈ R, je rovnica normály daná v parametrickom tvare alebo

\frac{x − x_{0}}{f′_{x}(x_{0}, y_{0})} = \frac{y − y_{0}}{f′_{y}(x_{0}, y_{0})} = \frac{z − z_{0}}{−1}

je jej rovnica v kanonickom tvare.

Ak plocha je daná rovnicami x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), kde funkcie x, y, z sú spojité diferencovatel’né v niektorej oblasti D ⊂ R^{2}, v bode (u_{0}, v_{0}) ∈ D funkcie x, y, z nadobúdajú zodpovedajúce hodnoty x_{0}, y_{0}, z_{0}, potom

(x − x_{0})A + (y − y_{0})B + (z − z_{0})C = 0

je rovnica dotykovej roviny a x = x_{0} + At, y = y_{0} + Bt, z = z_{0} + Ct, t ∈ R, je rovnica normály daná v parametrickom tvare alebo

\frac{x − x_{0}}{A} = \frac{y − y_{0}}{B} = \frac{z − z_{0}}{C}

je jej rovnica v kanonickom tvare, kde

A = | \begin{matrix}\frac{∂y}{∂u} & \frac{∂z}{∂u} \\ \frac{∂y}{∂v} & \frac{∂z}{∂v} \end{matrix} | , B = | \begin{matrix}\frac{∂z}{∂u} & \frac{∂x}{∂u} \\ \frac{∂z}{∂v} & \frac{∂x}{∂v} \end{matrix} | , C = | \begin{matrix}\frac{∂x}{∂u} & \frac{∂y}{∂u} \\ \frac{∂x}{∂v} & \frac{∂y}{∂v} \end{matrix} | ,

pričom sa parciálne derivácie počítajú v bode dotyku.

172. Napíšte Taylorov vzorec pre funkciu f(x, y) = 2x^{2} − xy − y^{2} − 6x − 3y + 5 v okolí bodu M = (1, −2).

173. Napíšte Taylorov vzorec pre funkciu f(x, y, z) = x^{3} + y^{3} + z^{3} − 3xyz v okolí bodu M = (1, 1, 1).

174. Nájdite prírastok funkcie f(x, y) = x^{2}y + xy^{2} − 2xy v bode (x_{1}, y_{1}) = (1, −1) vzhl’adom na bod (x_{2}, y_{2}) = (1 + h, −1 + k).

175. Vypíšte členy až do 2. rádu včítane v Taylorovom vzorci pre funkciu f(x, y) = x^{y} v okolí bodu M(1, 1).

176. Napíšte Maclaurinov vzorec až do členov 4. rádu včítane pre funkciu f(x, y) = \sqrt{1 − x^{2} − y^{2}}.

177. Odvod’te približné vzorce pre výrazy: a) \frac{cos x}{cos y}; b) arctg \frac{1 + x + y}{1 − x + y} použitím prvých dvoch členov Maclaurinovho vzorca. Rozviňte do Maclaurinovho radu nasledujúce funkcie:

178. f(x, y) = (1 + x)^{m}(1 + y)^{n}.  179. f(x, y) = ln(1 + x + y).
180. f(x, y) = e^{x} sin y.  181. f(x, y) = e^{x} cos y.

182. f(x, y) = sin(x^{2} + y^{2}).

183. Funkciu e^{x+y} rozviňte do mocninového radu, ktorého členy sú kladné celé mocniny binómov x − 1 a y − 1. Preštudujte typy singulárnych bodov nasledujúcich kriviek:

184. y^{2} = ax^{2} − x^{3}.

185. a) x^{3} + y^{3} − 3xy = 0; b) x^{2} + y^{2} = x^{4} + y^{4}; c) (x^{2} + y^{2})^{2} = a^{3}(x^{2} − y^{2}), a ≠ 0.

186. Vyšetrite singulárne body kriviek: a) y^{2} − 1 + e^{−x^{2}} = 0; b) (y − x^{3})^{2} − x^{5} = 0. Napíšte rovnice dotykových rovín a normál k nasledujúcim plochám v danom bode M_{0} = (x_{0}, y_{0}, z_{0}):

187. z = xy, M_{0} = (5, 1, 5).

188. x^{2}y^{3} − xy^{3} = z + \frac{3}{8}, M_{0} = (2, \frac{1}{2}, −\frac{3}{8}).

189. xy + xz + yz = x^{3} + y^{3} + z^{3}, M_{0} = (1, 1, 1).

190. x^{3} + y^{3} + z^{3} = −xyz, M_{0} = (1, −1, −1).

191. x = u + v, y = u^{2} + v^{2}, z = u^{3} + v^{3}, M_{0} = (x(u_{0}, v_{0}), y(u_{0}, v_{0}), z(u_{0}, v_{0})) , u_{0} = 1, v_{0} = 2.

192. x = u cos v, y = u sin v, z = v, M_{0} = (x(u_{0}, v_{0}), y(u_{0}, v_{0}), z(u_{0}, v_{0})) , u_{0} = 1, v_{0} = \frac{π}{4} .

193. x = e^{u} + u sin v, y = e^{u} − u cos v, z = uv, M_{0} = (x(u_{0}, v_{0}), y(u_{0}, v_{0}), z(u_{0}, v_{0})) , u_{0} = 1, v_{0} = π.

194. K ploche x^{2} + y^{2} + 2z^{2} = 1 nájdite dotykovú rovinu, ktorá je rovnobežná s rovinou x − y + 2z = 0.

195. Nájdite geometrické miesto bodov na valci (x + z)^{2} + (y − z)^{2} = 18, v ktorých je normála rovnobežná so súradnicovou rovinou xOy.