6. Extrémy funkcie n premenných

6.1. Lokálne extrémy

Definícia 6.1.1. Nech funkcia y = f(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) je definovaná v nejakom okolí bodu a^{(0)} = (a_{1}^{(0)}, a_{2}^{(0)}, …, a_{n}^{(0)}). Budeme hovorit’, že funkcia f má v bode a^{(0)} lokálne maximum (minimum), ak existuje také okolie O(a^{(0)}) bodu a^{(0)}, v ktorom pre každé x platí f(x) ≤ f(a^{(0)}) (f(x) ≥ f(a^{(0)})). Ak funkcia f má v bode a^{(0)} lokálne maximum, alebo lokálne minimum, hovoríme, že má v bode a^{(0)} lokálny extrém. Ak v definícii 6.1.1. platia ostré nerovnosti t.j. pre každé x ≠ a^{(0)} je f(x) < f(a^{(0)}) resp. f(x) > f(a^{(0)}), hovoríme o ostrých lokálnych extrémoch.

Veta 6.1.1. (Nutná podmienka existencie lokálneho extrému). Ak funkcia

f(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) má v bode a^{(0)} = (a_{1}^{(0)}, a_{2}^{(0)}, …, a_{n}^{(0)}) lokálny extrém a je v tomto bode diferencovatel’ná, potom df(a^{(0)}) = \frac{∂f}{∂x_{1}} (a^{(0)})dx_{1} + \frac{∂f}{∂x_{2}} (a^{(0)})dx_{2} + … + \frac{∂f}{∂x_{n}} (a^{(0)})dx_{n} = 0.

Definícia 6.1.2. Body, v ktorých sa prvý diferenciál rovná nule nazývame stacionárnymi bodmi tejto funkcie.

Poznámka 6.1.1. Stacionárne body funkcie f(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) nájdeme tak, že riešime systém rovníc s n neznámymi x_{1}, x_{2}, …, x_{n} :

\frac{∂f}{∂x_{i}} (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) = 0, i = 1, 2, …, n.

Poznámky o kvadratických formách

Funkcia tvaru Q(x) = ∑_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_{i}x_{j}, kde a_{ij} sú čísla, pričom a_{ij} = a_{ji} sa nazýva

kvadratická forma premenných x_{1}, x_{2}, …, x_{n}. Čísla a_{ij} sú koeficienty kvadratickej formy. Symetrická matica zostavená z týchto koeficientov

A = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{n1} & a_{n2} & … & a_{nn} \end{matrix} )

sa nazýva matica kvadratickej formy.

Determinanty δ_{i} = | \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{n1} & a_{n2} & … & a_{nn} \end{matrix} | , i = 1, 1, …, n

sú hlavné minory matice A.

Kvadratická forma Q(x) sa nazýva kladne definitná (záporne definitná), ak pre l’ubovol’né x ≠ 0 je Q(x) > 0 (Q(x) < 0). Je zrejmé, že Q(0, 0, …, 0) = 0.

Kvadratická forma Q(x) sa nazýva semidefinitná, ak Q(x) ≥ 0 (Q(x) ≤ 0). Kvadratická forma je indefinitná, ak existujú x^{(1)} = (x_{1}^{(1)}, x_{2}^{(1)}, …, x_{n}^{(1)}),

x^{(2)} = (x_{1}^{(2)}, x_{2}^{(2)}, …, x_{n}^{(2)}) také, že Q(x^{(1)}) > 0, Q(x^{(2)}) < 0.

Sylvestrova veta.

1. Kvadratická forma Q(x) je kladne definitná práve vtedy, ak δ_{i} > 0 pre i = 1, 2, …, n.

2. Kvadratická forma Q(x) je záporne definitná práve vtedy, ak δ_{1} < 0, δ_{2} > 0, δ_{3} < 0, …, (−1)^{n}δ_{n} > 0.

Druhý diferenciál funkcie f(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) v bode a^{(0)} možno zapísat’ v tvare

d^{2}f(a^{(0)}) = ∑_{i,j=1}^{n} \frac{∂^{2}f}{∂x_{i}∂x_{j}} (a^{(0)})dx_{i}dx_{j}.

Tento výraz je kvadratická forma premenných dx_{1}, dx_{2}, …, dx_{n} a parciálne derivácie \frac{∂^{2}f}{∂x_{i}∂x_{j}} (a^{(0)}) sú koeficienty tejto kvadratickej formy.

Veta 6.1.2. (Postačujúca podmienka existencie lokálneho extrému.) Nech bod

a^{(0)} = (a_{1}^{(0)}, a_{2}^{(0)}, …, a_{n}^{(0)}) ∈ M je stacionárny bod funkcie f(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) a funkcie f je v bode a^{(0)} dvakrát diferencovatel’ná. Potom platí:

Ak d^{2}f(x, a^{(0)}) je kladne definitná (záporne definitná) kvadratická forma pre každé x ∈ M, potom má funkcia f v bode a^{(0)} ostré lokálne minimum (ostré lokálne maximum).

Ak d^{2}f(x, a^{(0)}) je indefinitná kvadratická forma, potom funkcia f nemá v bode a^{(0)} extrém.

Nech bod (x_{0}, y_{0}) je stacionárny bod funkcie z = f(x, y) nech f je diferencovatel’ná v nejakom okolí bodu (x_{0}, y_{0}) a dvakrát diferencovatel’ná v bode (x_{0}, y_{0}). Označme a_{11} = \frac{∂^{2}f}{l∂x^{2}} (x_{0}, y_{0}), a_{12} = \frac{∂^{2}f}{∂x∂y} (x_{0}, y_{0}), a_{22} = \frac{∂^{2}f}{∂y^{2}} (x_{0}, y_{0}).

Z vety 6.1.2. a zo Sylvestrovej vety pre kvadratické formy vyplýva nasledujúce tvrdenie.

Veta 6.1.3.

1. Ak D = a_{11}a_{22} − a_{12}^{2} > 0, potom v bode (x_{0}, y_{0}) má funkcia z = f(x, y) lokálny extrém a to: a) lokálne minimum, ak a_{11} > 0; b) lokálne maximum, ak a_{11} < 0.

2. Ak D < 0, potom v bode (x_{0}, y_{0}) nemá funkcia z = f(x, y) lokálny extrém.

196. Napíšte maticu kvadratickej formy

Q(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 2x_{1}^{2} − 4x_{1}x_{2} + 6x_{1}x_{3} − x_{2}^{2} − 2x_{1}x_{3} + 3x_{2}^{2}

a vypočítajte jej hlavné minory.

197. Zistite, či kvadratická forma

Q(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} − 2x_{1}x_{2} + 2x_{x}^{2} + 4x_{2}x_{3} − 8x_{3}^{2}

je kladne definitná, alebo záporne definitná. V nasledujúcich príkladoch nájdite lokálne extrémy daných funkcií:

198. z = x^{2} − 2xy + 4y^{3}.  199. z = x^{3} + y^{3} − 3xy.
200. z = x^{4} + y^{4} − x^{2} − 2xy − y^{2}.  201. z = 2x^{4} + y^{4} − x^{2} − 2y^{2}.
202. z = x^{2}y^{3}(6 − x − y).  203. z = xy + \frac{50}{x} + \frac{20}{y}, x > 0, y > 0.
204. z = xy\sqrt{1 − \frac{x^{2}}{a^{2}} − \frac{y^{2}}{b^{2}}} , a > 0, b > 0. 205. z = 1 − \sqrt{x^{2} + y^{2}}.
206. z = x + y + 4 sin x sin y.  207. z = (x^{2} + y^{2})e^{−(x^{2}+y^{2})}.
208. z = xy ln(x^{2} + y^{2}).  209. x^{2}y + 2xy + y^{2} + 2x + 2y + 1.

210. z = xy^{2}(4 − x − y).

211. u = 6x^{2} + 2xy + y^{2} + 2z^{2} − 2yz + 2xz + 2x − 2y + 4z + 4.

212. u = x^{2} + y^{2} + z^{3} + xy − x + y − 3z + 4.

213. u = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x + 4y − 6z.  214. u = 2x^{2} − xy + 2xz − y + y^{3} + z^{2}.
215. u = x^{3} + y^{2} + z^{2} + 12xy + 2z.  216. u = x + \frac{y^{2}}{4x} + \frac{z^{2}}{y} + \frac{2}{z}.
217. u = (x + y + 2z)e^{−(x^{2}+y^{2}+z^{2})}.  218. u = 2\frac{x^{2}}{y} + \frac{y^{2}}{z} − 4x + 2z^{2}.

219. u = xyz(1 − x − y − z). Nájdite lokálne extrémy funkcie y = f(x) danej implicitne:

220. y^{2} − ay − sin x = 0, 0 ≤ x ≤ 2π.  221. x^{2} + xy + y^{2} = 27.

222.(y − x)^{3} + x + 6 = 0. Nájdite lokálne extrémy funkcie z = f(x, y) danej implicitne:

223. 2x^{2} + 2y^{2} + z^{2} + 8yz − z + 8 = 0.  224. x^{4} + y^{4} + z^{4} = 2(x^{2} + y^{2} + z^{2}).

225. z^{2} + xyz − xy^{2} − x^{3} = 0.

6.2. Viazané lokálne extrémy

Nech f je funkcia definovaná na množine M rovnicou

z = f(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}).  (1)

Označme N množinu všetkých bodov x = (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}), ktorých súradnice spl’ňajú rovnice

g_{i}(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) = 0, i = 1, 2, …, m,  (2)

kde g_{1}, g_{2}, …, g_{m} sú funkcie n premenných.

Definícia 6.2.1. Lokálne extrémy funkcie f na množine N sa nazývajú viazané lokálne extrémy funkcie f. Rovnice (2), ktoré určujú množinu N nazývame väzbami.

Predpokladajme, že funkcia f a funkcie g_{1}, g_{2}, …, g_{m} majú spojité parciálne derivácie druhého rádu v uvažovaných bodoch. Môže sa stat’, že z rovníc (2), ktoré určujú množinu N sa dajú niektoré premenné vyjadrit’ v závislosti od ostatných. Nech napríklad k premenných (nezáleží na poradí) sa dá vyjadrit’ z rovníc (2) pomocou ostatných

\begin{aligned}x_{1} & = φ_{1}(x_{k+1}, x_{k+2}, …, x_{n}) \\ x_{2} & = φ_{2}(x_{k+1}, x_{k+2}, …, x_{n}) \\ … & . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\ x_{k} & = φ_{k}(x_{k+1}, x_{k+2}, …, x_{n}). \end{aligned}  (3)

Ak do vzt’ahu (1) dosadíme za x_{1}, x_{2}, …, x_{k} vzt’ahy (3) dostaneme rovnicu

z = f[φ_{1} (x_{k+1}, x_{k+2}, …, x_{n}) , φ_{2} (x_{k+1}, x_{k+2}, …, x_{n}) , …
…, φ_{k} (x_{k+1}, x_{k+2}, …, x_{n}) , x_{k+1}, x_{k+2}, …, x_{n}]
= F (x_{k+1}, x_{k+2}, …, x_{n}) ,

ktorá je vyjadrením parciálnej funkcie z funkcie f na množinu N. Táto funkcia F je funkcia n − k premenných. Jej lokálne extrémy sú zároveň viazané lokálne extrémy funkcie f pri väzbách (2). Lokálne extrémy nájdeme metódou uvedenou v odseku 6.1.

Ak z rovníc (2) sa nedajú jednoznačne vyjadrit’ niektoré premenné pomocou ostatných, použijeme Lagrangeovu metódu na hl’adanie viazaných lokálnych extrémov funkcie (1) pri väzbách (2). Lagrangeova metóda spočíva v tom, že nájdeme lokálne extrémy funkcie

\begin{matrix}Φ(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) = & f(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) + λ_{1}g_{1}(x_{1}, x_{2}, …, x_{n})+ \\ λ_{2}g_{2}(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) + … + λ_{m}g_{m}(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}), \end{matrix}

kde λ_{1}, λ_{2}, …, λ_{m} sú čísla určené tak, aby riešením systému rovníc

\begin{aligned}Φ′_{x_{1}}(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) & = 0 \\ Φ′_{x_{2}}(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) & = 0 \\ . . . . . . . . . . . . . . . . . . & . . . . . . \\ Φ′_{x_{n}}(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) & = 0 \end{aligned}  (4)

bola taká n - tica čísel (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}), ktorá je aj riešením systému (2). Bod a^{(0)} = (a_{1}^{(0)}, a_{2}^{(0)}, …, a_{n}^{(0)}) je potom stacionárnym bodom funkcie Φ (pri vhodných číslach λ_{i}). Na určenie čísel λ_{1}, λ_{2}, …, λ_{m} a súradníc x_{1}, x_{2}, …, x_{n} stacionárneho bodu máme teda systém n + m rovníc, ktorý sa skladá z rovníc systému (4) a systému (2). Veta 6.2.1. Ak Lagrangeova funkcia Φ má lokálny extrém (maximum, minimum) v bode a^{(0)} a a^{(0)} ∈ N, potom funkcia f má v a^{(0)} viazaný lokálny extrém (maximum,minimum) pri väzbách (2).

Nájdite viazané lokálne extrémy funkcií:

226. z(x, y) = x^{2} + y^{2}, \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1.

227. z(x, y) = x + y, \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} = \frac{1}{a^{2}} .

228. z(x, y) = xy, x^{2} + y^{2} = 1.

229. z(x, y) = x + y, tg x − 3tg y = 0, |x| < \frac{π}{2} , |y| < \frac{π}{2} .

230. u(x, y, z) = x − 2y + z, x^{2} + y^{2} − z^{2} = 1.

231. u(x, y, z) = x^{3} + y^{2} − z^{3} + 5, x + y − z = 0.

232. u(x, y, z) = x − 2y + 2z, x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1.

233. u(x, y, z) = xy^{2}z^{3}, x + 2y + 3z = 6, (x > 0, y > 0, z > 0).

234. u(x, y, z) = \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} , x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1, (a > b > c > 0).

235. u(x, y, z) = xyz, x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3.

236. u(x, y, z) = x + y + z^{2}, z − x = 1, y − xz = 1.

237. u(x, y, z) = xyz, x + y + z = 5, xy + yz + zx = 8.

238. Ako treba zvolit’ polomer podstavy r a výšku h kruhového valca, ktorého objem je V = 54π, aby mal najmenší povrch?

239. Nájdite rozmery pravouhlého rovnobežnostena najväčšieho objemu, ktorý je vpísaný do elipsoidu

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1.

240. Nájdite najmenšiu vzdialenost’ bodu (x_{0}, y_{0}, z_{0}) od roviny τ : ax + by + cz + d = 0.

241. Nájdite extrém kvadratickej formy u = ∑_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_{i}x_{j} (kde a_{ij} = a_{ji} sú reálne čísla)

pri väzbe ∑_{i=1}^{n} x_{i}^{2} = 1.

242. Dokážte nerovnost’:

\frac{x^{n} + y^{n}}{2} ≥ (\frac{x + y}{2} )^{n} , ak n ≥ 1, x ≥ 0, y ≥ 0.

243. Nájdite viazané extrémy funkcie z = x_{1}^{m} + x_{2}^{m} + … + x_{n}^{m}, ak rovnica väzby je x_{1} + x_{2} + … + x_{n} = n.a, a > 0, m > 1.

244. Dokážte Hölderovu nerovnost’

∑_{i=1}^{n} a_{i}x_{i} ≤ (∑_{i=1}^{n} a_{i}^{p})^{1/p} (∑_{i=1}^{n} x_{i}^{q})^{1/q} , a_{i} ≥ 0, x_{i} ≥ 0, i = 1, 2, …, n, p > 1, \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1.

6.3. Globálne extrémy

Z vlastnosti spojitej funkcie f(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) na uzavretej ohraničenej oblasti M ⊂ R^{n} vyplýva, že funkcia má maximum a minimum na tejto oblasti. Pri hl’adaní extrémov funkcie f na tejto oblasti postupujeme takto:

1. nájdeme lokálne extrémy funkcie f vo vnútri oblasti M

2. nájdeme viazané lokálne extrémy na hranici oblasti M

3. najväčšia hodnota extrémov vypočítaných v bodoch 1. a 2. je maximum f na M, najmenšia hodnota extrémov vypočítaných v bodoch 1. a 2. je minimum f na M.

Extrémy funkcie na uzavretej ohraničenej oblasti nazývame globálne (absolútne) extrémy funkcie f na oblasti M.

Nájdite globálne extrémy funkcii na uzavretej ohraničenej oblasti M:

245. z(x, y) = x^{2} + y^{2} − 12x + 16y, M = {(x, y) ∈ R^{2} : x^{2} + y^{2} ≤ 25}.

246. z(x, y) = x^{2} + 2y^{2} + 4xy − 6x − 1, M = {(x, y) ∈ R^{2} : x ≥ 0, y ≥ 0, y ≤ −x + 3}.

247. z(x, y) = x^{2} − xy + y^{2}, M = {(x, y) ∈ R^{2} : |x| + |y| ≤ 1}.

248. z(x, y) = x^{2} − y^{2}, M = {(x, y) ∈ R^{2} : x^{2} + y^{2} ≤ 4}.

249. z(x, y) = e^{−x^{2}−y^{2}}(3x^{2} + 2y^{2}), M = {(x, y) ∈ R^{2} : x^{2} + y^{2} ≤ 4}.

250. z(x, y) = \frac{xy}{2} − \frac{x^{2}y}{6} − \frac{xy^{2}}{8} , M = \{(x, y) ∈ R^{2} : \frac{x}{3} + \frac{y}{4} ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0\}.

251. u(x, y, z) = x^{2} + 2y^{2} + 3z^{2}, M = {(x, y, z) ∈ R^{3} : x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ 100}.

252. u(x, y, z) = x + y + z, M = {(x, y, z) ∈ R^{3} : x^{2} + y^{2} ≤ z ≤ 1}.

253. u(x, y, z) = xy + yz + zx, M{(x, y, z) ∈ R^{3} : x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ a^{2}}.