Výsledky, návody a poznámky

1 a) \sqrt{2}, \sqrt{5}; b) Nie je definovaná, \frac{π}{2} .

2 a) M = {(x, y) ∈ R^{2} : x^{2} + y^{2} ≠ r^{2}};

b) M = \{(x, y) ∈ R^{2} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} ≤ 1\};

c) M = {(x, y) ∈ R^{2} : y^{2} > 4x − 8};

d) M = {(x, y) ∈ R^{2} : (x ≥ 0 ∧ 2kπ ≤ y ≤ (2k + 1)π, k ∈ Z) ∨ (x ≤ 0 ∧ (2k + 1)π ≤ y ≤ (2k + 2)π, k ∈ Z)};

e) M = {(x, y) ∈ R^{2} : (| x |≤ 1∧ | y |≤ 1) ∨ (| x |≥ 1∧ | y |≥ 1)};

f) M = {(x, y) ∈ R^{2} : x > 0 ∧ 2kπ ≤ y ≤ (2k + 1)π, k ∈ Z};

g) M = {(x, y) ∈ R^{2} : (x > 0 ∧ 1 − x ≤ y ≤ 1 + x) ∨ (x < 0 ∧ y < 0 ∧ y ≥ z)};

h) M = {(x, y) ∈ R^{2} : (x > 0 ∧ y > 0 ∧ y ≤ x) ∨ (x < 0 ∧ y < 0 ∧ y ≥ x)};

i) M = {(x, y) ∈ R^{2} : (1 < x^{2} + y^{2} < 9) ∧ [(x > 0 ∧ −x ≤ y ≤ x) ∨ (x < 0 ∧ x ≤ y ≤ −x)]};

j) M = {(x, y, z) ∈ R^{3} :| y | + | z |≠ 0};

k) M = {(x, y, z) ∈ R^{3} : (x > 0 ∧ y > 0 ∧ z > 0) ∨ (x > 0 ∧ y < 0 ∧ z < 0) ∨ (x < 0 ∧ y < 0 ∧ z > 0) ∨ (x < 0 ∧ y > 0 ∧ z < 0)};

l) M = {(x, y, z) ∈ R^{3} : x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ 4}.

3 a) Paraboly o rovniciach y = k, z = x^{2} − k^{2}; x = k, z = k^{2} − y^{2}, kde k ∈ R.

b) Paraboly x = k, z = k.y^{2}; priamky y = k, z = k.x, kde k ∈ R.

4 a) Pre 0 ≤ k < 1 je vrstevnicou kružnica o rovnici x^{2} + y^{2} = 1 − k^{2}, z = k; pre k = 1 je vrstevnicou bod [0, 0, 1]; pre k > 1 graf funkcie a rovina z = k nemajú spoločné body.

b) Pre k > 0 je vrstevnica elipsa o rovnici 3x^{2} + 2y^{2} = k, z = k; pre k = 0 je vrstevnicou bod [0, 0, 0]; pre k < 0 graf funkcie a rovina z = k nemajú spoločné body

c) Pre k ≠ 0 je vstevnicou hyperbola o rovnici xy = k, z = k; pre k = 0 je vrstevnicou os x a os y.

5 a)Rovina, b) rovina, c) eliptický paraboloid, d) hyperbolický paraboloid, e) rotačný paraboloid, f) čast’ gul’ovej plochy x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1, z ≥ 0, g) čast’ kuželovej plochy z = x^{2} + y^{2}, z ≥ 0, h) parabolická valcová plocha.

6 ∀ε > 0 ∃δ > 0, ∀x ∈ M : 0 <|| x − a ||_{R^{n}}< δ, || f(x) − b ||_{R^{m}}< ε.

7 lim_{x→a} f(x) = ∞ ⟺ ∀K > 0 ∃δ > 0, ∀x ∈ O_{δ}(a) ∩ M, x ≠ a : ∥f(x)∥_{R^{m}} > K.

8 5.

9 \frac{1}{4}.

10 2.

11 a.

12 ∞, použite vzorec lim_{n→0} \frac{sin n}{n} = 1.

13 4. 14 0, najprv urobte odhad uvedenej funkcie zhora i zdola pomocou vhodných funkcií,

ktorých limity viete vypočítat’ (0 < \frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} ≤ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} , ∀(x, y) ≠ (0, 0)).

15 0, urobte odhad 0 < (x^{2} + y^{2})e^{−(x+y)} < \frac{x^{2}}{e^{x}} + \frac{y^{2}}{e^{y}} pre x > 0, y > 0.

16 0, urobte odhad 0 < (\frac{xy}{x^{2}+y^{2}} )^{x^{2}} ≤ (\frac{1}{2})^{x^{2}}.

17 1, x^{2}y^{2} ≤ \frac{1}{4}(x^{2} + y^{2})^{2}, 1 ≥ (x^{2} + y^{2})^{x^{2}y^{2}} ≥ (x^{2} + y^{2})^{\frac{1}{4} (x^{2}+y^{2})^{2}} pre 0 < x^{2} + y^{2} ≤

1, lim_{{x→0 \atop y→0}} (x^{2} + y^{2})^{\frac{1}{4} (x^{2}+y^{2})^{2}} = lim_{t→0^{+}} t^{t^{2}} = 1, kde t = x^{2} + y^{2}.

18 0, najprv upravte funkciu takto: \frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}} = x (1 − \frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}} )+y (1 − \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} ) a potom použite vetu o limite súčinu dvoch funkcií, z ktorých jedna konverguje k nule a druhá funkcia je ohraničená.

19 a) e^{2}, upravte funkciu na tvar [(1 + xy)^{\frac{1}{xy}} ]^{\frac{2y}{x+y}} a položte t = xy, t → 0 pre

x → 0, y → 2. b) 0, využite nerovnost’ x^{4} + y^{4} ≥ \frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{2} a položte t = x^{2} + y^{2}.

20 a) Neexistuje, využite vetu 1.4.1. a zvol’te postupnost’ {(x, l.x_{k})}_{k=1}^{∞}, kde x_{k} → 0, x_{k} ≠ 0, l ∈ R.

b) 0, využite nerovnost’ | sin xy |≤| xy |≤ \frac{1}{2}(x^{2} + y^{2}).

22 Použite definíciu 1.4.1. a položte δ = \frac{ε}{2}, potom urobte odhad funkcie | (x + y) sin \frac{1}{x} sin \frac{1}{y} | zhora, ∀ε > 0 ∃δ = \frac{ε}{2} ak x : ϱ(x, 0) < \sqrt{x^{2} + y^{2}}, tak | x |< δ, | y |< δ a | f(x, y) − 0 |=| (x + y) sin \frac{1}{x} sin \frac{1}{y} |≤| x | + | y |< 2δ = ε.

23 a) 1, −1. b) 1, 1. c) −\frac{1}{2}, \frac{1}{2}. d) 0, 1.

24 Zvol’te si dve postupnosti \{(\frac{1}{k} , \frac{1}{k})\}_{k=1}^{∞} a \{(\frac{1}{k} , −\frac{1}{k})\}_{k=1}^{∞} a využite vetu 1.4.1.

25 Obidve dvojnásobné limity sa rovnajú 0, k dôkazu toho, že limita neexistuje využite vetu 1.4.1. a zvol’te postupnost’ {(x_{k}, x_{k})}_{k=1}^{∞}, x_{k} → ∞.

26 Neexistujú, upravte funkciu na tvar f(x, y) = x sin \frac{1}{x} sin \frac{1}{y} + y sin \frac{1}{x} sin \frac{1}{y} a uvážte existenciu limity obidvoch sčítancov pri pevnom y ≠ 0, y ≠ \frac{1}{kπ} , k ∈ Z a x → 0. Analogicky uvažujte existenciu limity obidvoch sčítancov pre y → 0 pri pevnom x ≠ 0, x ≠ \frac{1}{kπ} , k ∈ Z.

27 {(x, y) ∈ R^{2} : y = x}.

28 (0, 0).

29 {(x, y) ∈ R^{2} : x^{2} + y^{2} ≥ 4}.

30 {(x, y) ∈ R^{2} : y = 0}.

31 {(x, y) ∈ R^{2} : xy = 0}.

32 {(x, y, z) ∈ R^{3} : x^{2} + y^{2} − z^{2} = 0}.

33 (1, 2, −1).

34 Uvažujte prírastok funkcie v bode (0, 0) prislúchajúci prírastku △x premennej x, t.j. △_{x}f = f(△x, 0) − f(0, 0) = 0, lim_{△x→0} △_{x}f = 0, t.j. f(x, y) je spojitá v bode

(0, 0) vzhl’adom k premennej x. Analogicky možno dokázat’ spojitost’ f(x, y) v bode (0, 0) vzhl’adom k obidvom premenným (pozri výsledok príkladu 20. a)).

35 Funkciu upravte takto:

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{sin x}{x}.\frac{sin y}{y} , & xy ≠ 0 \\ 1, & xy = 0 \end{matrix} , pretože lim_{{x→0 \atop y→0}} f(x, y) = 1 = f(0, 0) je f spojitá v bode

(0, 0) a spojitá podl’a jednotlivých premenných zvlášt’. Uvažujte funkciu f(x, 0). Podl’a definície f(x, 0) = 1 pre všetky x. Táto funkcia je spojitá v bode x = 1 a f(x, y) je spojitá v bode (1, 0) vzhl’adom na premennú x. Uvažujte d’alej funkciu f(1, y). Pretože lim_{y→0} ≠ f(1, 0), tak f(1, y) nie je spojitá v bode y = 0. Funkcia f(x, y) nie je spojitá v bode

(1, 0) vzhl’adom na premennú y. Funkcia f(x, y) nie je spojitá v (1, 0).

36 f(x, y, z) = \{ \begin{matrix}3x + 4y − 2z + 5, & x ≠ 0, y ≠ 1, z ≠ 2 \\ 5, & x = 0, y = 1, z = 2 \end{matrix} .

37 Uvažujte l’ubovol’ný bod (x_{0}, y_{0}), pre l’ubovol’né ε > 0 zvolíte δ_{1} > 0 tak, aby pre | y − y_{0} |≤ δ_{1} platilo | f(x_{0}, y_{0}) − f(x_{0}, y) |< \frac{ε}{2}. Zo spojitosti funkcie f(x, y) vzhl’adom k x vyplýva, že dá sa zvolit’ δ_{2} > 0 tak, aby pre | x − x_{0} |≤ δ_{2} platilo | f(x, y_{0} ± δ_{1}) − f(x_{0}, y_{o} ± δ_{1}) |< \frac{ε}{2}. Predpokladajte, že f(x, y) monotónne rastie vzhl’adom k y. Potom pre | x − x_{0} |≤ δ_{2}, | y − y_{0} |≤ δ_{1} dostanete f(x, y_{0} − δ_{1}) ≤ f(x, y) ≤ f(x, y_{0} + δ_{1}), pričom | f(x, y_{0}±δ_{1})−f(x_{0}, y_{0}) |≤| f(x, y_{0}±δ_{1})−f(x_{0}, y_{0}±δ_{1}) | + | f(x_{0}, y_{0}±δ_{1})−f(x_{0}, y_{0}) |< ε, odkial’ dostanete, že | f(x, y) − f(x_{0}, y_{0}) |< ε, teda f(x, y) je spojitá v bode (x_{0}, y_{0}).

38 Upravte | f(x, y) − f(x_{0}, y_{0}) | takto: | f(x, y) − f(x_{0}, y_{0}) |≤| f(x_{0}, y) − f(x, y_{0}) | + | f(x, y_{0}) − f(x_{0}, y_{0}) |. Využite Lipschitzovu podmienku vzhl’adom na y pre funkciu f a spojitost’ f(x, y) vzhl’adom na x (t.j. f(x, y_{0}) je spojitá v bode x_{0}).

39 sup_{M} f = max_{M} f = 81, napríklad v bode (0, 3); inf_{M} f = 0, min_{M} f neexistuje.

40 sup_{M} f = max_{M} f = \frac{1}{e}, napríklad v bode (1, 1); inf_{M} f = min_{M} f = 0, napríklad v bode

(0, 0).

41 Využite definíciu rovnomernej spojitosti funkcie a pre l’ubovol’né ε > 0 zvol’te δ = \frac{ε}{3}.

42 Funkcia f(x, y) je spojitá na množine M, lim_{{x→0 \atop y→0}} f(x, y) = 0, položte f(0, 0) = 0,

potom f(x, y) bude rovnomerne spojitá na \overline{M}.

43 Funkcia f(x, y) nie je rovnomerne spojitá na svojom obore definície t.j. na M = {(x, y) ∈ R^{2} :| x |≤| y |, y ≠ 0}. Zvol’te dve postupnosti bodov {a^{(k)}}_{k=1}^{∞} = \{(\frac{1}{k} , \frac{1}{k})\}_{k=1}^{∞}, \{b^{(k)}\}_{k=1}^{∞} = \{(\frac{1}{k} , −\frac{1}{k})\}_{k=1}^{∞} a zistite, že ϱ(a^{(k)}, b^{(k)}) = \frac{2}{k} → 0 pre k → ∞ a | f(a^{(k)}) − f(b^{(k)}) |= π.

44 Funkcia f(x, y) nie je rovnomerne spojitá na M; uvažujte dve postupnosti bodov:

\{a^{(k)}\}_{k=1}^{∞} = \{(\sqrt{1 − \frac{1}{2k}} cos α, \sqrt{1 − \frac{1}{2k}} sin α)\}_{k=1}^{∞} ,

\{b^{(k)}\}_{k=1}^{∞} = \{(\sqrt{1 − \frac{2}{1 + 4k}} cos α, \sqrt{1 − \frac{2}{1 + 4k}} sin α)\}_{k=1}^{∞} , 0 ≤ α ≤ 2π,

ktoré patria do oboru definície funkcie f(x, y). Zistite, že ϱ(a^{(k)}, b^{(k)}) → 0 pre k → ∞ a | f(a^{(k)}) − f(b^{(k)}) |= 1 pre všetky k.

45 Funkcia f(x, y) je rovnomerne spojitá na M.

46 Funkcia f(x, y) je rovnomerne spojitá na M.

47 Funkcia f(x, y) je rovnomerne spojitá na M. Upravte rozdiel | f(x_{1}, y_{1}) − f(x_{2}, y_{2}) | takto:

\begin{matrix}| \sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}} − \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}} |= \frac{| (x_{1} − x_{2})(x_{1} + x_{2}) + (y_{1} − y_{2})(y_{1} + y_{2}) |}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}} + \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}} \\ ≤| x_{1} − x_{2} | \frac{| x_{1} | + | x_{2} |}{\sqrt{x_{1}^{2}} + \sqrt{x_{2}^{2}}}+ | y_{1} − y_{2} | \frac{| y_{1} | + | y_{2} |}{\sqrt{y_{1}^{2}} + \sqrt{y_{2}^{2}}} =| x_{1} − x_{2} | + | y_{1} − y_{2} | \end{matrix}

a zvol’te δ = \frac{ε}{2}.

48

a) \frac{∂z}{∂x} = e^{x} [cos(xy) − y sin(xy)] ; \frac{∂z}{∂y} = −xe^{x} sin(xy);

b) \frac{∂z}{∂x} = \frac{y^{2}−2xy−x^{2}+1}{(x^{2}+y^{2}+1)^{2}}; \frac{∂z}{∂y} = \frac{x^{2}−2xy−y^{2}+1}{(x^{2}+y^{2}+1)^{2}}; c) \frac{∂z}{∂x} = \frac{2x}{2x^{2}+y^{2}} ; \frac{∂z}{∂y} = \frac{y}{2x^{2}+y^{2}} ;
d) \frac{∂z}{∂x} = \frac{y^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{\frac{3}{2}}} ; \frac{∂z}{∂y} = \frac{x^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{\frac{3}{2}}} ;  e) \frac{∂z}{∂x} = 2(x + y)e^{(x+y)^{2}}; \frac{∂z}{∂y} = 2(x + y)e^{(x+y)^{2}};
f) \frac{∂z}{∂x} = cos 2x; \frac{∂z}{∂y} = cos 2y;  g) \frac{∂z}{x} = 8xy^{4}(x^{2} + 1)^{3}; \frac{∂z}{∂y} = 4y^{3}(x^{2} + 1)^{4};
h) \frac{∂z}{∂x} = \frac{y^{2}}{cos^{2}(xy)}; \frac{∂z}{∂y} = tg (xy) + \frac{xy}{cos^{2}(xy)}; i) \frac{∂z}{∂x} = \frac{y}{x^{2}+y^{2}} ; \frac{∂z}{∂y} = −\frac{x}{x^{2}+y^{2}} ;
j) \frac{∂z}{∂x} = \frac{y^{2}−x^{2}}{x(x^{2}+y^{2})}; \frac{∂z}{∂y} = \frac{x^{2}−y^{2}}{y(x^{2}+y^{2})};  k) \frac{∂z}{∂x} = ye^{xy}(1 + xy); \frac{∂z}{∂y} = xe^{xy}(1 + xy);
l) \frac{∂z}{∂x} = −\frac{2y}{(x−y)^{2}} ; \frac{∂z}{∂y} = \frac{2x}{(x−y)^{2}} ;  m) \frac{∂z}{∂x} = \frac{2x}{x2+y2}; \frac{∂z}{∂y} = \frac{2y}{x^{2}+y^{2}} ;

n) \frac{∂z}{∂z} = \frac{1}{y} \frac{1}{sin \frac{x}{y}} .\frac{1}{cos \frac{x}{y}} = \frac{1}{y} cosec \frac{x}{y}. sec \frac{x}{y}; \frac{∂z}{∂y} = −\frac{x}{y^{2}} sec \frac{x}{y}cosec \frac{x}{y};

o) \frac{∂z}{∂x} = yx^{y−1}; \frac{∂z}{∂y} = x^{y} ln x;

p) \frac{∂z}{∂x} = [2x ln \frac{xy}{x^{2}+y^{2}} + \frac{x(y^{2}−x^{2})}{x^{2}+y^{2}}] (\frac{xy}{x^{2}+y^{2}} )^{x^{2}} ; \frac{∂z}{∂y} = \frac{x^{2}(x^{2}−y^{2})}{y(x^{2}+y^{2})} (\frac{xy}{x^{2}+y^{2}} )^{x^{2}}.

49 a) \frac{∂u}{∂x} = 3x^{2}yz^{2}; \frac{∂u}{∂y} = x^{3}z^{2}; \frac{∂u}{∂z} = 2x^{3}yz^{2}; b) \frac{∂u}{∂x} = 2anx (ax^{2} + by^{2} + xz^{2})^{n−1} ; \frac{∂u}{∂y} = 2bny (ax^{2} + by^{2} + cz^{2})^{n−1} ;

\frac{∂u}{∂z} = 2xnz (ax^{2} + by^{2} + cz^{2})^{n−1} ;

c) \frac{∂u}{∂x} = \frac{|z|y}{z\sqrt{z^{2}−x^{2}y^{2}}} ; \frac{∂u}{∂y} = \frac{|z|x}{z\sqrt{z^{2}−x^{2}y^{2}}} ; \frac{∂u}{∂z} = −\frac{xy}{|z|\sqrt{z^{2}−x^{2}y^{2}}} ;

d) \frac{∂u}{∂x} = 2xe^{x^{2}+y^{2}+z^{2}}; \frac{∂u}{∂y} = 2ye^{x^{2}+y^{2}+z^{2}}; \frac{∂u}{∂z} = 2ze^{x^{2}+y^{2}+z^{2}};

e) \frac{∂u}{∂x} = \frac{z cos xy}{1+x^{2}z^{2}} − y sin(xy)arctg (xz); \frac{∂u}{∂y} = −x sin(xy)arctg (xz); \frac{∂u}{∂z} = \frac{x cos(xy)}{1+x^{2}z^{2}};

f) \frac{∂u}{∂x} = −\frac{z}{x}; \frac{∂u}{∂y} = \frac{z}{y}; \frac{∂u}{∂z} = ln \frac{y}{x};

g) \frac{∂u}{∂x} = e^{xyz} cos y(yz sin x+cos x); \frac{∂u}{∂y} = e^{xyz} sin x(xz cos y−sin y); \frac{∂u}{∂z} = xye^{xyz} sin x cos y;

h) \frac{∂u}{∂x} = \frac{z}{x} (\frac{x}{y})^{z}; \frac{∂u}{∂y} = −\frac{z}{y} (\frac{x}{y})^{z}; \frac{∂u}{∂z} = (\frac{x}{y})^{z} ln \frac{x}{y};

i) \frac{∂u}{∂x} = \frac{y}{xz} x^{y/z}; \frac{∂u}{∂y} = x^{y/z} \frac{ln x}{z}; \frac{∂u}{∂z} = −\frac{y}{z^{2}} x^{y/z} ln x.

50 a) z = 6x − 1; b) z = 8y + 1.

51 a) z = 13 − 12y; b) z = 8x − 15.

52 Návod: Vypočítajte diferenciál funkcií v bode O = (0, 0).

a) 1 + mx + ny; b) x + y.

53 a) \frac{2}{\sqrt{3}}.0, 55; b) −7, 8; c) 0, 8(1 + 2 ln 4); d) −\frac{1}{30}; e) 2; f) −\frac{\sqrt{2}}{20}.

54 a) 108, 972; b) 2, 95; c) 0, 502; d) 0, 97.

55 Nie je. Návod: 1. Zistite, či sú splnené nutné podmienky diferencovatel’nosti funkcie v bode (0, 0) (veta 2.2.1.); 2. ak áno, potom využite podmienku diferencovatel’nosti (1), z ktorej nájdete funkciu ω(x, y); 3. zistite, či funkcia ω(x, y) vyhovuje podmienkam definície 2.2.1. Derivácie f′_{x}(0, 0), f′_{y}(0, 0) počítajte podl’a definície 2.1.1.

56 Nie je.

57 Návod: a) overit’ platnost’ nutných podmienok diferencovatel’nosti (veta 2.2.1.);

b) pri dôkaze nespojitosti f′_{x}.f′_{y} stačí ukázat’ na základe Heineho definície limity, že f′_{x}, f′_{y} nemajú limitu v bode (0, 0); c) neohraničenost’ f′_{x}, f′_{y} v okolí bodu (0, 0) možno ukázat’ tak, že ak si zvolíme postupnost’ {(x_{n}, y_{n})}_{n=1}^{∞} ⊂ R^{2}, ktorá konverguje k (0, 0) príslušné postupnosti {f′_{x}(x_{n}, y_{n})}_{n=1}^{∞} , {f′_{y}(x_{n}, y_{n})}_{n=1}^{∞} majú nevlastnú limitu; d) pre dôkaz diferencovatel’nosti funkcie v (0, 0) stačí využit’ podmienku (1).

58 Návod: Nech (x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}) sú l’ubovol’né body z E. Uvažujte pomocnú funkciu φ(t) = f (x_{2} + t(x_{1} − x_{2}), y_{2} + t(y_{1} − y_{2})) na intervale < 0, 1 >. pretože E je konvexná oblast’, bod (x_{2} + t(x_{1} − x_{2}), y_{2} + t(y_{1} − y_{2})) , t ∈< 0, 1 >, patrí do E. Podl’a Lagrangeovej vety a ohraničenosti derivácií f′_{x}, f′_{y} odhadnite | φ(1) − φ(0) |=| f(x_{1}, y_{1}) − f(x_{2}, y_{2}) | a použite definíciu spojitosti funkcie f v oblasti E.

59 Návod: Nech (x_{0}, y_{0}) ∈ G je l’ubovol’ný bod. K dôkazu spojitosti funkcie f v bode (x_{0}, y_{0}) vzhl’adom na obidve premenné využite definíciu spojitosti, pričom v nerovnosti

| f(x, y) − f(x_{0}, y_{0}) |≤| f(x, y) − f(x, y_{0}) | + | f(x, y_{0}) − f(x_{0}, y_{0}) |

pre prvý sčítanec použite Lagrangeovu vetu. Potom zohl’adnite tieto skutočnosti: a) existuje číslo M > 0 také, že | f′_{y}(x, y) |≤ M pre všetky (x, y) ∈ G; b) spojitost’ funkcie f podl’a premennej x pre y = y_{0}, čo znamená, že ak \frac{ε}{2} > 0 je nejaké l’ubovol’né číslo, tak k nemu existuje δ_{1} = δ_{1}(ε, y_{0}) také, že

| f(x, y_{0}) − f(x_{0}, y_{0}) |< \frac{ε}{2}, ked’ | x − x_{0} |< δ_{1}.

60 a) ( \begin{matrix}v & u \\ 2u & 2v \\ 2u & −2v \end{matrix} ); b) ( \begin{matrix}cos v & −u sin v \\ sin v & u cos v \end{matrix} ); c) (\frac{1}{v} , −\frac{u}{v^{2}} ); d) \binom{tg u + \frac{u}{cos^{2} u}}{sin u + u cos u};

e) ( \begin{matrix}ln \frac{v}{w} & \frac{u}{v} & −\frac{u}{w} \\ −\frac{v}{u} & ln \frac{w}{u} & \frac{v}{w} \\ \frac{w}{u} & −\frac{w}{v} & ln \frac{u}{v} \end{matrix} ); f) ( \begin{matrix}2u & 2v & 2w \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} ).

61 a) r; b) \frac{2y}{x(x^{2}+y^{2})}; c) r^{2} cos ψ; d) \frac{2y}{x}; e) 2ur.

62 a) \frac{∂u}{∂x} = \frac{y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}} ; \frac{∂u}{∂y} = −\frac{xy}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}} ; \frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} = −\frac{3xy^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{5/2}} ; \frac{∂^{2}u}{∂y^{2}} = −\frac{x(x^{2}−2y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{5/2}} ;

\frac{∂^{2}u}{∂x∂y} = \frac{y(2x^{2}−y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{5/2}} ;

b)\frac{∂u}{∂x} = −\frac{2x sin x^{2}}{y}; \frac{∂u}{∂y} = −\frac{cos x^{2}}{y^{2}} ; \frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} = −\frac{2 sin x^{2}+4x^{2} cos x^{2}}{y}; \frac{∂^{2}u}{∂x∂y} = \frac{2x sin x^{2}}{y^{2}} ; \frac{∂^{2}u}{∂y^{2}} = \frac{2 cos x^{2}}{y^{3}} ;

c) \frac{∂u}{∂x} = \frac{2x}{y} sec^{2} \frac{x^{2}}{y}; \frac{∂u}{∂y} = −\frac{x^{2}}{y^{2}} sec^{2} \frac{x^{2}}{y}; \frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} = \frac{2}{y} sec^{2} \frac{x^{2}}{y} + \frac{8x^{2}}{y^{2}} sin \frac{x^{2}}{y} sec^{3} \frac{x^{2}}{y}; \frac{∂^{2}u}{∂x∂y} =

−\frac{2x}{y^{2}} sec^{2} \frac{x^{2}}{y} − \frac{4x^{2}}{y^{3}} sin \frac{x^{2}}{y} sec^{3} \frac{x^{2}}{y}; \frac{∂^{2}u}{∂y^{2}} = \frac{2x^{2}}{y^{3}} sec^{3} \frac{x^{2}}{y} + \frac{2x^{4}}{y^{4}} sin \frac{x^{2}}{y} sec^{3} \frac{x^{2}}{y}; (sec \frac{x^{2}}{y} = _{\frac{1}{cos \frac{x^{2}}{y}}} );

d) \frac{∂u}{∂x} = yx^{y−1}; \frac{∂u}{∂y} = x^{y} ln x; \frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} = y(y − 1)x^{y−2}; \frac{∂^{2}u}{∂y^{2}} = x^{y} ln^{2} x; \frac{∂^{2}u}{∂x∂y} = x^{y−1}(1 + y ln x); x > 0;

e) \frac{∂u}{∂x} = \frac{1}{1+x^{2}} ; \frac{∂u}{∂y} = \frac{1}{1+y^{2}} ; \frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} = −\frac{2x}{(1+x^{2})^{2}} ; \frac{∂^{2}u}{∂x∂y} = 0; \frac{∂^{2}u}{∂y^{2}} = −\frac{2y}{(1+y^{2})^{2}} ;

f) \frac{∂u}{∂x} = \frac{|y|}{x^{2}+y^{2}} ; \frac{∂u}{∂y} = −\frac{xsgn y}{x^{2}+y^{2}} ; \frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} = −\frac{2x|y|}{(x^{2}+y^{2})^{2}} ; \frac{∂^{2}u}{∂x∂y} = \frac{(x^{2}−y^{2})sgn y}{(x^{2}+y^{2})^{2}} ; \frac{∂^{2}u}{∂y^{2}} = \frac{2x|y|}{(x^{2}+y^{2})^{2}} ; y ≠ 0;

g) \frac{∂u}{∂x} = −\frac{x}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}} ; \frac{∂u}{∂y} = −\frac{y}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}} ; \frac{∂u}{∂z} = −\frac{z}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}} ; \frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} = \frac{2x^{2}−y^{2}−z^{2}}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{5/2}} ;

\frac{∂^{2}u}{∂x∂y} = \frac{3xy}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{5/2}} ; \frac{∂^{2}u}{∂y^{2}} = \frac{2y^{2}−x^{2}−z^{2}}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{5/2}} ; \frac{∂^{2}u}{∂x∂z} = \frac{3xz}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{5/2}} ; \frac{∂^{2}u}{∂y∂z} = \frac{3yz}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{5/2}} ;

\frac{∂^{2}u}{∂z^{2}} = \frac{2z^{2}−x^{2}−y^{2}}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{5/2}} ;

h) \frac{∂u}{∂x} = \frac{z}{x} (\frac{x}{y})^{z}; \frac{∂u}{∂y} = −\frac{z}{y} (\frac{x}{y})^{z}; \frac{∂u}{∂z} = (\frac{x}{y})^{z} ln \frac{x}{y}; \frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} = \frac{z(z−1)}{x^{2}} (\frac{x}{y})^{z};

\frac{∂^{2}u}{∂y^{2}} = \frac{z(z+1)}{y^{2}} (\frac{x}{y})^{z}; \frac{∂^{2}u}{∂x∂y} = −\frac{z^{2}}{xy} (\frac{x}{y})^{z}; \frac{∂^{2}u}{∂x∂z} = \frac{1}{x} (\frac{x}{y})^{z} (1+z ln \frac{x}{y}); \frac{∂^{2}u}{∂y∂z} = −\frac{1}{y} (\frac{x}{y})^{z} (1+

z ln \frac{x}{y}); \frac{∂^{2}u}{∂z^{2}} = (\frac{x}{y})^{z} ln^{2} \frac{x}{y}; \frac{x}{y} > 0;

i) \frac{∂u}{∂x} = \frac{yu}{xz}; \frac{∂u}{∂y} = u\frac{ln x}{z}; \frac{∂u}{∂z} = −\frac{yu}{z^{2}} ln x; \frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} = \frac{y(y−z)u}{x^{2}z^{2}}; \frac{∂^{2}u}{∂y^{2}} = \frac{u ln^{2} x}{z^{2}}; \frac{∂^{2}u}{∂z^{2}} = \frac{yu ln x}{z^{4}}(2z +

y ln x); \frac{∂^{2}u}{∂x∂y} = \frac{(z+y ln x)u}{xz^{2}}; \frac{∂^{2}u}{∂x∂z} = −\frac{yu(z+y ln x)}{xz^{3}}; \frac{∂^{2}u}{∂y∂z} = −\frac{u ln x(z+y ln x)}{z^{3}}; xz ≠ 0.

64 0.

65 \frac{(−1)^{m}2(m+n−1)!(nx+my)}{(x−y)^{m+n+1}}.

66 p!q!.

67 (x + p)(y + q)(z + r)e^{x+y+z}.

68 sin \frac{nπ}{2} .

69 a) Au = −u, A^{2}u = u; b) Au = 1, A^{2}u = 0.

70 a) △_{1}u = \frac{1}{r^{4}} , kde r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}, △_{2}u = 0

b) △_{1}u = 9 [(x^{2} − yz)^{2} + (y^{2} − xz)^{2} + (z^{2} − xy)^{2}] , △_{2}u = 6(x + y + z).

71 Návod: Pri dôkaze spojitosti využijeme definíciu spojitosti funkcie f v bode (0, 0); parciálne derivácie f′_{x}(0, 0), f′_{y}(0, 0), f′′_{xy}(0, 0), f′′_{yx}(0, 0) vypočítajte podl’a definície.

72 Návod: Použite vzorec (3) pre k = 2, n = 2 (resp. n = 3) a potom vezmite do úvahy poznámku 2.2.3. pre prípad deferenciálu k - tého rádu.

a) du = mx^{m−1}y^{n}dx + nx^{m}y^{n−1}dy, d^{2}u = m(m − 1)x^{m−2}y^{n}(dx)^{2} + 2mnx^{m−1}y^{n−1}dxdy + n(n − 1)x^{m}y^{n−2}(dy)^{2} = x^{m−2}y^{n−2} (m(m − 1)y^{2}(dx)^{2} + 2mnxydxdy + n(n − 1)x^{2}(dy)^{2});

b) du = \frac{xdx+ydy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} , d^{2}u = \frac{(ydx−xdy)^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{\frac{3}{2}}} ;

c) du = \frac{xdx+ydy}{x^{2}+y^{2}} ,

d^{2}u = \frac{(y^{2}−x^{2})[(dx)^{2}+(dy)^{2}]−4xydxdy}{(x^{2}+y^{2})^{2}} ;

d) du = (y + z)dx + (x + z)dy + (x + y)dz, d^{2}u = 2dxdy + 2dxdz + 2dydz;

e) du = \frac{−2xzdx−2yzdy+(x^{2}+y^{2})dz}{(x^{2}+y^{2})^{2}} ,

d^{2}u = \frac{2z[(3x^{2}−y^{2})(dx)^{2}+8xydxdy+(3y^{2}−x^{2})(dy)^{2}]}{(x^{2}+y^{2})^{3}} − \frac{4(x^{2}+y^{2})(xdx+ydy)dz}{(x^{2}+y^{2})^{3}} .

73 df(1, 1, 1) = (x − 1) − (y − 1) = dx − dy, d^{2}f(1, 1, 1) = 2 [(y − 1) + (z − 1)] [−(x − 1) + (y − 1)] = 2(dy + dz)(dy − dx).

76 F (r) = f′′(r) + \frac{2}{r}f′(r). Návod: Z vety o derivovaní zloženej funkcie je napr. \frac{∂u}{∂x} = f′(r)\frac{∂r}{∂x}, \frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} = f′′(r) (\frac{∂r}{∂x})^{2} + f′(r)\frac{∂^{2}r}{∂x^{2}} . Podobne nájdite výrazy pre parciálne derivácie zloženej funkcie podl’a ostatných premenných.

80 Návod: Z vety 2.4.1. o derivácii zloženej funkcie máme: \frac{∂u}{∂x} = φ′(v)\frac{∂v}{∂x} + ψ′(w)\frac{∂w}{∂x}; \frac{∂u}{∂t} = φ′(v)\frac{∂v}{∂t} + ψ′(w)\frac{∂w}{∂t}; \frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} = φ′′(v) (\frac{∂v}{∂x})^{2} + φ′(v)\frac{∂^{2}v}{∂x^{2}} + ψ′′(w) (\frac{∂w}{∂x} )^{2} + ψ′(w)\frac{∂^{2}w}{∂x^{2}} ; \frac{∂^{2}u}{∂t^{2}} = φ′′(v) (\frac{∂v}{∂t} )^{2} + φ′(v)\frac{∂^{2}v}{∂t^{2}} + ψ′′(w) (\frac{∂w}{∂t} )^{2} + ψ′(w)\frac{∂^{2}w}{∂t^{2}} , kde v, w sú vnútorné zložky zložených funkcií, napr. v úlohe a) je v = x − at, w = x + at.

81 Návod: Podl’a poznámky 2.4.1. a vety 2.4.2. v prípade c) máme: du = \frac{∂f}{∂ξ} dξ + \frac{∂f}{∂η} dη + \frac{∂f}{∂ζ} dζ, kde dξ, dη, dζ sú totálne diferenciály funkcii ξ, η, ζ dvoch pre-

menných x, y; d^{2}u = d(du) = d (\frac{∂f}{∂ξ} dξ + \frac{∂f}{∂lη} dη + \frac{∂f}{∂ζ} dζ) = d (\frac{∂f}{∂ξ} ) dξ+ \frac{∂f}{∂ξ} d^{2}ξ+d (\frac{∂f}{∂η} ) dη+

\frac{∂f}{∂η} d^{2}η + d (\frac{∂f}{∂ζ} ) dζ + \frac{∂f}{∂ζ} d^{2}ζ, pričom diferenciály d (\frac{∂f}{∂ξ} ) , d (\frac{∂f}{∂η} ) , d (\frac{∂f}{∂ζ} ) funkcií \frac{∂f}{∂ξ} , \frac{∂f}{∂η} ,

\frac{∂f}{∂ζ} počítame podl’a uvedeného vzorca pre du a d^{2}ξ, d^{2}η, d^{2}ζ počítame podl’a vzorca (3), v ktorom x_{1} = x, x_{2} = y. a) du = f′_{ξ}(ydx + xdy) + f′_{η} \frac{ydx−xdy}{y^{2}} ,

d^{2}u = f′′_{ξ^{2}}(ydx + xdy)^{2} + 2f′′_{ξη} \frac{y^{2}(dx)^{2}−x^{2}(dy)^{2}}{y^{2}} + f′′_{η^{2}} \frac{(ydx−xdy)^{2}}{y^{4}} + 2f′_{ξ}dxdy − 2f′_{η} \frac{(ydx−xdy)dy}{y^{3}} ;

b) du = (f′_{x} + 2tf′_{y} + 3t^{2}f′_{z})dt,

d^{2}u = (f′′_{x^{2}} + 4tf′′_{xy} + 4t^{2}f′′_{y^{2}} + 6t^{2}f′′_{xz} + 12t^{3}f′′_{yz} + 9t^{4}f′′_{z^{2}} + 2f′_{y} + 6tf′_{z}) (dt)^{2} ;

c) du = 2f′_{ξ}(xdx + ydy) + 2f′_{η}(xdx − ydy) + 2f′_{ζ}(ydx + xdy), d^{2}u = 4f′′_{ξ}(xdx+ydy)^{2} +4f′′_{η^{2}}(xdx−ydy)^{2} +4f′′_{ζ^{2}}(ydx+xdy)^{2} +8f′′_{ξη} (x^{2}(dx)^{2} − y^{2}(dy)^{2})+ 8f′′_{ξζ}(xdx+ydy)(ydx+xdy)+8f′′_{ηζ}(xdx−ydy)(ydx+xdy)+2f′_{ξ} ((dx)^{2} + (dy)^{2})+2f′_{η} ((dx)^{2}− (dy)^{2}) + 4f′_{ζ}dxdy;

d) du = f′_{1}(dx + dy + dz) + 2f′_{2}(xdx + ydy + zdz), d^{2}u = f′′_{11}(dx + dy + dz)^{2} + 4f′′_{12}(dx + dy + dz)(xdx + ydy + zdz) + 4f′′_{22}(xdx + ydy + zdz)^{2} + 2f′_{2} ((dx)^{2} + (dy)^{2} + (dz)^{2}). Tu 1 a 2 znamená zodpovedajúce 1. a 2. zložka zloženej funkcie.

e) du = 2f′_{1}dx + 3f′_{2}dy + 4f′_{3}dz, d^{2}u = 4f′′_{11}(dx)^{2} + 9f′′_{22}(dy)^{2} + 16f′′_{33}(dz)^{2} + 12f′′_{12}dxdy + 16f′′_{13}dxdy + 24f′′_{23}dydz;

f) du = (f′_{1}y + f′_{2} + f′_{3}) dx + (f′_{1}x − f′_{2} + f′_{3}) dy, d^{2}u = (f′′_{11}y^{2} + 2f′′_{12}y + 2f′′_{13}y + f′′_{22} + 2f′′_{23} + f′′_{33}) (dx)^{2} + (f′′_{11}xy − f′′_{12}y + f′′_{13}y + f′′_{12}x+ f′′_{13}x − f′′_{22} + f′_{1} + f′′_{33}) dxdy + (f′′_{11}x^{2} + 2f′′_{13}x − 2f′′_{12}x + f′′_{22} − 2f′′_{23} + f′′_{33}) (dy)^{2}.

82 Návod: Ak postupujete podl’a návodu k úlohe 81 a vezmete do úvahy, že d^{2}ξ =

0, d^{2}η = 0, d^{2}ζ = 0 pre lineárne funkcie ξ, η, ζ, dostanete d^{2}u = (\frac{∂}{∂ξ} dξ + \frac{∂}{∂η} dη + \frac{∂}{∂ζ} dζ)^{2} f. Metódou matemetickej indukcie sa l’ahko presvedčíte o tom, že

d^{n}u = (\frac{∂}{∂ξ} dξ + \frac{∂}{∂η} dη + \frac{∂}{∂ζ} dζ)^{n} f,

t.j. že tvar diferenciálu l’ubovol’ného rádu sa zachováva pri zámene argumentov lineárnymi funkciami.

a) d^{n}u = f^{(n)} (ax + by + cz) (adx + bdy + cdz)^{n}

b) d^{n}u = (adx\frac{∂}{∂ξ} + bdy \frac{∂}{∂η} + cdz \frac{∂}{∂ζ} )^{n} f(ξ, η, ζ), kde ξ = ax, η = by, ζ = cz

c) d^{n}u = [dx (a_{1} \frac{∂}{∂ξ} + a_{2} \frac{∂}{∂η} + a_{3} \frac{∂}{∂ζ} ) + dy (b_{1} \frac{∂}{∂ξ} + b_{2} \frac{∂}{∂η} + b_{3} \frac{∂}{∂ζ} ) +

+ dz (c_{1} \frac{∂}{∂ξ} + c_{2} \frac{∂}{∂η} + c_{3} \frac{∂}{∂ζ} )]^{n} f(ξ, η, ζ).

84 Návod: Uvažujte pomocnú funkciu F (t) = \frac{f(tx_{0},ty_{0},tz_{0})}{t^{n}}, kde (x_{0}, y_{0}, z_{0}) je l’ubovol’- ný bod z definičného oboru funkcie f. Ukážte, že pri splnení podmienky úlohy je F′(t) = 0, z čoho vyplýva F (t) = konšt. = C. Konštantu C vypočítate, ak položíte t = 1. Ak dosadíte túto hodnotu C namiesto F (t) do uvažovanej rovnosti, po vynásobení t^{n} dostanete to, čo bolo treba dokázat’.

86 1 − \sqrt{3}.

87 Návod: Vyjdite zo vzt’ahu − | grad z(M) |≤ \frac{∂z}{∂l⃗}(M) ≤| grad z(M) |, ktorý je dôsledkom vzorca (4) a vlastnosti gradienta funkcie z v bode M. \frac{∂z}{∂l⃗}(1, 1) = cos α + sin α; a) α = \frac{π}{4} ; b) α = \frac{5π}{4} ; c) α = \frac{3π}{4} a α = \frac{7π}{4} .

88 Návod: Využite poznámku 2.4.1. _{\frac{2}{\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}}} .

89 \frac{1}{ab} \sqrt{2(a^{2} + b^{2})}.

90 \frac{∂u}{∂l⃗}(1, 1, 1) = cos α + cos β + cos γ, | grad u |= \sqrt{3}.

91 | grad u |= \frac{1}{r_{0}^{2}} , cos α = −\frac{x_{0}}{r_{0}} , cos β = −\frac{y_{0}}{r−0}, cos γ = −\frac{z_{0}}{r_{0}} , kde r_{0} = \sqrt{x_{0}^{2} + y_{0}^{2} + z_{0}^{2}}.

92 \frac{π}{2} .

93 ≈ 3142.

95 \frac{∂^{2}u}{∂l⃗^{2}} = \frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} cos^{2} α + \frac{∂^{2}u}{∂y^{2}} cos^{2} β + \frac{∂^{2}u}{∂z^{2}} cos^{2} γ + 2\frac{∂^{2}u}{∂x∂y} cos α cos β + 2\frac{∂^{2}u}{∂x∂z} cos α cos γ +

2\frac{∂^{2}u}{∂y∂z} cos β cos γ.

96 Návod: Položte y = 2x. Potom 1. podmienku derivujte dvakrát podl’a x a 2. podmienku raz podl’a x ako zloženú funkciu. Tým dostanete systém lineárnych algebraických rovníc vzhl’adom na hl’adané druhé parciálne derivácie. u′′_{xx}(x, 2x) = u′′_{yy}(x, 2x) = −\frac{4}{3}; u′′_{xy}(x, 2x) = \frac{5}{3}x.

97 Návod: Integrujte rovnicu postupne n - krát podl’a y, pričom namiesto konštanty integrovania budeme mat’ vždy funkciu premennej x. z = φ_{0}(x) + yφ_{1}(x) + … + y^{n−1}φ_{n−1}(x).

98 z = x^{2}y + y^{2} − 2x^{4} + 1.

99 z = 1 + xy + y^{2}.

100 z = x + y^{2} + 0, 5xy(x + y).

101 Overte platnost’ predpokladov vety 3.1.

102 Overte platnost’ predpokladov vety 3.2.

103 Overte platnost’ predpokladov vety 3.3.

104 Overte platnost’ predpokladov vety 3.3.

105 1. Nekonečne vel’a. Napríklad, ak x_{k} = −1 + \frac{2k}{n} , k = 0, 1, …, n, n = 2, 3, . . .. tak pre každé n = 2, 3, … definujte funkciu

y(x) = \{ \begin{matrix}−|x|, & ak x < −1 \\ |x|, & ak x_{k} < x ≤ x_{k+1} \\ −|x|. & ak x > x_{k+1}, \end{matrix}

kde k = 0, 1, 2, …, n. Táto funkcia je definovaná pre všetky x a spl’ňa rovnicu (1).

2. štyri funkcie: y = x, y = −x, y = |x|, y = −|x|;

3. dve funkcie: y = −x, y = x;

4. a) dve funkcie; b) štyri funkcie;

5. jedna funkcia, pretože funkcie y = x a y = |x|, ktoré prechádzajú bodom (1, 1) sú identické v intervale (1 − δ, 1 + δ), 0 < δ < 1.

106 a) \frac{∂z}{∂x}(M_{0}) = −\frac{x_{0}}{z_{0}} , \frac{∂z}{∂y} (M_{0}) = −\frac{y_{0}}{z_{0}} , \frac{∂^{2}z}{∂x∂y} (M_{0}) = \frac{x_{0}y_{0}}{z_{0}^{3}} ;

b) \frac{∂z}{∂x}(M_{0}) = \frac{x_{0}^{2}+z_{0}^{2}+z_{0}}{x_{0}−x_{0}^{2}−z_{0}^{2}} , \frac{∂z}{∂y} (M_{0}) = \frac{x_{0}^{2}+z_{0}^{2}}{x_{0}−x_{0}^{2}−z_{0}^{2}} ,

\frac{∂^{2}z}{∂x^{2}} (M_{0}) = \frac{x_{0}^{2}−z_{0}^{2}+2x_{0}z_{0}−z_{0}+(z_{0}^{2}−x_{0}^{2}−x_{0}z_{0}−x_{0}) \frac{∂z}{∂x} (M_{0})}{(x_{0}−x_{0}^{2}−z_{0}^{2})^{2}}, kde \frac{∂z}{∂x}(M_{0}) je horeuvedený výraz.

c) \frac{∂z}{∂x}(M_{0}) = \frac{z_{0}}{x_{0}} .\frac{x_{0}^{−1}}{1−z_{0}} , \frac{∂z}{∂y} (M_{0}) = \frac{z_{0}}{y_{0}} .\frac{y_{0}^{−1}}{1−z_{0}} , \frac{∂^{2}z}{∂x^{2}} (M_{0}) = \frac{z_{0}[(x_{0}−1)^{2}+(1−z_{0})^{2}]}{x_{0}^{2}(1−z_{0})^{3}}, \frac{∂^{2}z}{∂x∂y} (M_{0}) =

\frac{z_{0}}{x_{0}y_{0}} .\frac{(x_{0}−1)(y_{0}−1)}{(1−z_{0})^{3}};

d) \frac{∂z}{∂x}(M_{0}) = −\frac{1+y_{0}z_{0} sin(x_{0}y_{0}z_{0})}{1+x_{0}y_{0} sin(x_{0}y_{0}z_{0})}, \frac{∂z}{∂y} (M_{0}) = −\frac{1+x_{0}z_{0} sin(x_{0}y_{0}z_{0})}{1+x_{0}y_{0} sin(x_{0}y_{0}z_{0})},

\frac{∂^{2}z}{∂x∂y} (M_{0}) = \frac{− cos(x_{0}y_{0}z_{0})[x_{0}z_{0}+x_{0}y_{0} \frac{∂z}{∂x} (M_{0})]−[z_{0}+x_{0} \frac{∂z}{∂x} (M_{0})+y_{0} \frac{∂z}{∂y} (M_{0})]. sin(x_{0}y_{0}z_{0})}{1+x_{0}y_{0} sin(x_{0}y_{0}z_{0})}, kde \frac{∂z}{∂x}(M_{0}) a \frac{∂z}{∂y} (M_{0}) sú predtým nájdené výrazy.

Návod: Druhé parciálne derivácie hl’adajte derivovaním prvých parciálnych derivácii funkcie z podl’a vhodnej premennej.

107 Vychádzajte z toho, že diferenciál dy = f′(x)dx pre funkciu y = f(x) určenú implicitne rovnicou 1 + xy = k(x − y) (pojem funkcie určenej implicitne je uvedený po vete 3.1.). Nájdite deriváciu f′(x) podl’a vety 3.1., vyjadríte konštantu k z danej rovnice, potom dosad’te to do výrazu pre dy.

108 Postup dôkazu je podobný ako v úlohe 107. Len tu treba rozriešit’ rovnicu (1) vzhl’adom na x (resp. na y) a to dosadit’ do výrazu pre dy za predpokladu, že xy > 0.

109 a) −2; b) −1.

110 dz(3, −2) = \frac{1}{9}(2dx − dy), d^{2}z(3, −2) = −\frac{2}{243} [2(dx)^{2} − 5dxdy + 2(dy)^{2}], kde dx = x − 3, dy = y + 2.

111 Použit’ techniku derivovania funkcií u(x, y) a v(x, y) daných implicitne systémom rovníc z vety 3.3. \frac{∂u}{∂x} = −\frac{xu+yv}{x^{2}+y^{2}} , \frac{∂u}{∂y} = \frac{xv−yu}{x^{2}+y^{2}}, \frac{∂v}{∂x} = −\frac{yu−xv}{x^{2}+y^{2}} , \frac{∂v}{∂y} = −\frac{xu+yv}{x^{2}+y^{2}} , x^{2} + y^{2} > 0.

112 Funkia z(x, y) je definovaná v oblasti y > \frac{x^{2}}{2} , \frac{∂z}{∂x} = −3uv, \frac{∂z}{∂y} = \frac{3}{2}(u + v), u ≠ v. Návod: Oblast’ existencie funkcie z(x, y) nájdete z podmienky (na základe vety 3.3.), ktorá stanovuje, kedy systém prvých dvoch rovníc určuje jediné funkcie u a v premenných x a y. Vyjadrite tú podmienku pomocou výrazov pre x a y. Derivácie \frac{∂z}{∂x}, \frac{∂z}{∂y} hl’adajte tak, že zderivujete tretiu rovnicu podl’a x (resp. podl’a y), berúc do úvahy, že u a v sú funkcie x a y, určené prvými dvomi rovnicami. Do získaného výsledku dosad’te (nájdené podl’a vety 3.3) \frac{∂u}{∂x}, \frac{∂u}{∂y} (resp. \frac{∂v}{∂x}, \frac{∂v}{∂y}).

113 \frac{∂^{2}z}{∂x^{2}} = −\frac{sin^{2} φ+cos^{2} φ cos^{2} ψ}{sin^{3} φ}.

114 \frac{∂^{2}z}{∂x^{2}} = \frac{sin 2v}{u^{2}} , \frac{∂^{2}z}{∂x∂y} = −\frac{cos 2v}{u^{2}} , \frac{∂^{2}z}{∂y^{2}} = −\frac{sin 2v}{u^{2}} , u ≠ 0.

115 Návod: Derivujte rovnost’ z = x^{2} + y^{2} podl’a x, berúc do úvahy, že y = y(x) je funkcia určená implicitne rovnicou x^{2} − xy + y^{2} = 1; deriváciu \frac{dy}{dx} hl’adajte na základe vety 3.3. a dosad’te ju do výrazu pre \frac{dz}{dx}. Ten istý postup zopakujte pre funkciu \frac{dz}{dx}.\frac{dz}{dx} = \frac{2(x^{2}−y^{2})}{x−2y}; \frac{d^{2}z}{dx^{2}} = \frac{4x−2y}{x−2y} + \frac{6x}{(x−2y)^{3}} .

116 Návod: Použite metódu matematickej indukcie. Pri dôkaze pre n = 1 postupujte nasledovne: a) derivujte podl’a y funkciu u = f(z) ako zloženú funkciu; b) nájdite na základe vety 3.2. parciálne derivácie \frac{∂z}{∂x}, \frac{∂z}{∂y}, vyjadrite \frac{∂z}{∂y} pomocou \frac{∂z}{∂x} a dosad’te to

do získaného výrazu v a). Predpokladajte, že Lagrangeov vzorec platí pre n = k : \frac{∂^{k}u}{∂y^{k}} =

\frac{∂^{k−1}}{∂x^{k−1}} \{[φ(z)]^{k} \frac{∂u}{∂x}\} a dokážte jeho platnost’ pre n = k+1 a to tým spôsobom, že derivujete

poslednú rovnost’ podl’a y a upravíte \frac{∂^{k+1}u}{∂y^{k+1}}, použijúc výraz pre \frac{∂z}{∂y} (resp. \frac{∂u}{∂y}), ktoré ste našli v prípade n = 1.

117 Návod: Parciálne derivácie \frac{∂z}{∂x} a \frac{∂z}{∂y} hl’adáte podl’a vety 3.2., pričom F (x, y, z) = Φ(x − az, y − bz) je zložená funkcia. Preto parciálne derivácie F′_{x}, F′_{y}, F′_{z} treba hl’adat’ ako derivácie zloženej funkcie (odsek 2.4. z 2.).

118 Návod: Derivujte 1. rovnicu podl’a x (resp. podl’a y), berúc do úvahy, že z a α sú funkcie x a y. Tak dostanete algebraickú rovnicu vzhl’adom na \frac{∂z}{∂x} (resp. \frac{∂z}{∂y}), ktorú po úprave a využíti 2. rovnice l’ahko rozriešite.

119 Návod: Derivujte 1. rovnicu podl’a x (resp. podl’a y), berúc do úvahy, že z je funkcia x a y a f je zložená funkcia premenných x a y. Tak dostanete algebraickú rovnicu vzhl’adom na \frac{∂z}{∂x} (resp. \frac{∂z}{∂y}), v ktorej koeficient pri \frac{∂α}{∂x} (resp. \frac{∂α}{∂y}) sa rovná 0 na základe 2. rovnice.

120 Návod: Berúc do úvahy 1. rovnicu systému, nájdete \frac{∂z}{∂x}, \frac{∂z}{∂y} , \frac{∂^{2}z}{∂x^{2}} , \frac{∂^{2}z}{∂y^{2}} , pritom sa využije 2. rovnica systému.

121 Návod: Uvažujte zloženú funkciu premennej t: u(t) = y(x), kde x = e^{t}. Postupným derivovaním funkcie u(t) vyjadrite derivácie y′(x), y′′(x) pomocou derivácii u′(t), u′′(t) funkcie u(t). Nájdené výrazy pre y′(x), y′′(x) a x = e^{t} dosadíte do danej rovnice. Tak dostanete transformovanú rovnicu: \frac{d^{2}u}{dt^{2}} + u = 0.

122 \frac{d^{3}u}{dt^{3}} − 3\frac{d^{2}u}{dt^{2}} + 2\frac{du}{dt} − 6u(t) = 0. Návod: Pretože t = ln |x|, |x| = e^{t}. Ďalej postupujeme, ako v úlohe 121.

123 \frac{d^{2}u}{dt^{2}} + n^{2}u = 0.

124 \frac{d^{2}u}{dt^{2}} + m^{2}u = 0. Návod: Úlohy riešime podobným spôsobom, ako úlohu 121.

125 Návod: Dvojnásobným derivovaním výrazu pre y, v ktorom u je funkcia premennej x, dostanete výrazy pre y′ a y′′, ktoré dosadíte do danej rovnice. Tak dostanete rovnicu: u′′ [g(x) − \frac{1}{4}p^{2}(x) − \frac{1}{2}p′(x)] u = 0.

126 u′′(t) + u′(t) (3 + u(t)) + 2u(t) = 0. Návod: Pre vyjadrenie \frac{dy}{dx} v nových premenných využijeme vzorec, uvedený v odseku 1, pričom x = f(t), y = g(t), kde g(t) je súčin funkcií premennej t. Tak dostaneme \frac{dy}{dx} = \frac{g′(t)}{f′(t)}. Ďalej derivujeme získanú rovnost’ pre \frac{dy}{dx} podl’a t, pričom l’avú stranu derivujeme ako zloženú funkciu premennej t (vnútorná zložka je x = e^{t}). Výrazy pre x, y, \frac{dy}{dx}, \frac{d^{2}y}{dx^{2}} v nových premenných dosadíme do danej rovnice.

127 u′′(t) + 8u (u′(t))^{3} = 0. Návod: Postupujeme tak isto ako v úlohe 126.

128 u′′(t) − u′(t) = \frac{A}{(a−b)^{2}} u(t). Návod: Z druhej rovnosti vyjadrite x ako funkciu t a potom podl’a toho y ako funkciu t. Ďalej postupujte tak, ako v úlohe 126.

130 Návod: Pre vyjadrenie \frac{dy}{dx} pomocou nových premenných r a φ použite vzorec z odseku 4.1. a vezmite do úvahy, že f a g sú súčiny funkcií premennej φ : f(φ) = r(φ) cos φ, g(φ) = r(φ) sin φ. Preto sa derivácia \frac{dy}{dx} vyjadrí v nových premenných vzorcom, uvedeným v návode k úlohe 126. Po dosadení nájdeného výrazu pre \frac{dy}{dx} a výrazov pre x a y do danej rovnice dostanete algebraickú rovnicu vzhl’adom na deriváciu \frac{dr}{dφ}. Výsledok: \frac{dr}{dφ} = r.

131 (\frac{dr}{dφ})^{2} = \frac{1−sin 2φ}{sin 2φ}r^{2}.

132 r [r^{2} + 2 (\frac{dr}{dφ})^{2} − r \frac{d^{2}r}{dφ^{2}} ] = (\frac{dr}{dφ})^{3}. Návod: Postup riešenia je podobný, ako v

úlohe 126, s tým rozdielom, že nová nezávislá premenná je tu φ.

133 \frac{dr}{dφ}.\frac{1}{r}.

134 Návod: Funkcia z je zložená funkcia premenných x a y, t.j. z = z(ξ, η), kde ξ = x + y, η = x − y. Podl’a pravidla derivovania zloženej funkcie vyjadrite parciálne derivácie \frac{∂z}{∂x} (resp. \frac{∂z}{∂y}) pomocou parciálnych derivácií \frac{∂z}{∂ξ} a \frac{∂z}{∂η}. Dosadením do danej rovnice dostanete parciálnu diferenciálnu rovnicu 1. rádu \frac{∂z}{∂η} = 0. Jej integrovaním podl’a η dostanete z = φ(ξ) = φ(x + y), kde φ je l’ubovol’ná diferencovatel’ná funkcia.

135 Pozri návod na riešenie úlohy 134. z(x, y) = φ(x^{2} + y^{2}), kde φ je l’ubovol’ná diferencovatel’ná funkcia.

136 Návod: Tu pri derivovaní zloženej funkcie z = z(ξ, η), kde ξ = x, η = y − bz, podl’a x (resp. podl’a y) treba brat’ do úvahy, že v druhej zložke η = y − bz je z funkciou x a y. Riešenie rovnice je: z(x, y) = \frac{x}{a} + φ(y − bz), kde φ je l’ubovol’ná diferencovatel’ná funkcia.

137 Návod: Podobným spôsobom, ako v úlohe 134 vyjadríme derivácie \frac{∂z}{∂x} a \frac{∂z}{∂y} pomocou derivácií \frac{∂z}{∂ξ} a \frac{∂z}{∂η}. Dosadením do danej rovnice dostaneme: ξ \frac{∂z}{∂ξ} = z alebo

\frac{\frac{∂z}{∂ξ}}{z} = \frac{1}{ξ}, odkial’ integrovaním podl’a ξ máme ln |z(ξ, η)| = ln |ξ| + ln |φ(η)|. Teda:

z = ξφ(η) = xφ(\frac{y}{x}), kde φ je l’ubovol’ná diferencovatel’ná funkcia.

138 Návod: Podl’a pravidla derivovania zloženej funkcie φ = arctg \frac{y}{x} (tu sú x a y funkcie t) a využitím rovnosti r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} nájdete výraz pre r^{2} \frac{dφ}{dt}. Derivovaním tohto

výrazu ako zloženej funkcie t dostanete vyjadrenie w v premenných r a φ: w = \frac{d}{dt} (r^{2} \frac{dφ}{dt}).

139. Návod: Položte z = z(u, v), kde u a v sú uvedené v úlohe funkcie premenných x a y. Podl’a pravidla derivovania zloženej funkcie nájdete výrazy pre \frac{∂z}{∂x} a \frac{∂z}{∂y}. Berúc do úvahy, že x = e^{u}, y = sinh v (hyperbolický sínus -v), vyjadrite \frac{∂z}{∂x} a \frac{∂z}{∂y} v nových premenných. \frac{∂z}{∂u} + \frac{∂z}{∂v} = e^{u} sinh v.

140 \frac{∂z}{∂u} − \frac{∂z}{∂v} = 0.

141 Návod: Postupujte podl’a návodu na riešenie úlohy 139 s tým rozdielom, že výraz pre u a v obsahuje funkciu z premenných x a y. Nájdete vyjadrenie \frac{∂z}{∂x} a \frac{∂z}{∂y} pomocou parciálnych derivácií \frac{∂z}{∂u} a \frac{∂z}{∂v}. Pri dosadení do danej rovnice využite ešte to, že 2x = u + z^{2}, \frac{y}{z} = v, \frac{x}{z} = \frac{u+z^{2}}{2z}. \frac{∂z}{∂v} = \frac{z}{v} .\frac{u+z^{2}}{z^{2}−u} (z^{2} ≠ u).

142 3\frac{∂^{2}z}{∂u∂v} + \frac{∂z}{∂u} = 0. Návod: Uvažujte zloženú funkciu premenných x a y: z = z(u, v), kde u = x+2y +2, v = x−y −1. Dvojnásobným derivovaním tejto funkcie podl’a pravidla derivovania zloženej funkcie vyjadrite všetky v rovnici uvedené parciálne derivácie z podl’a premenných x a y cez parciálne derivácie funkcie z podl’a premenných u a v.

143 a (\frac{∂^{2}z}{∂u^{2}} − \frac{∂z}{∂u}) + 2b\frac{∂^{2}z}{∂u∂v} + c (\frac{∂^{2}z}{∂v^{2}} − \frac{∂z}{∂v} ) = 0.

144 \frac{∂^{2}z}{∂u^{2}} + \frac{∂^{2}z}{∂v^{2}} = 0.

145 \frac{∂^{2}z}{∂u^{2}} + \frac{∂^{2}z}{∂v^{2}} + a^{2}e^{2u}z = 0. Návod: Pri riešení úlohy postupujete, ako je uvedené v odseku 4.2.

146 \frac{∂^{2}z}{∂u∂v} = \frac{2}{u(4−uv)} \frac{∂z}{∂v}.

147 (u^{2} − v^{2})\frac{∂^{2}z}{∂u∂v} = v \frac{∂z}{∂u}.

148 \frac{∂^{2}z}{∂v^{2}} = \frac{2u}{u^{2}+v^{2}} .\frac{∂z}{∂u}.

149 a) △u = \frac{d^{2}u}{dr^{2}} + \frac{1}{r} \frac{du}{dr}; b) △(△u) = \frac{d^{4}u}{dr^{4}} + \frac{2}{r} \frac{d^{3}u}{dr^{3}} − \frac{1}{r^{2}} \frac{d^{2}u}{dr^{2}} + \frac{1}{r^{2}} \frac{du}{dr}.

150 w (\frac{∂^{2}w}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}w}{∂y^{2}} ) = (\frac{∂w}{x} )^{2} + (\frac{∂w}{∂y} )^{2}.

151 w = ^{\frac{(\frac{∂z}{∂u})^{2}+(\frac{∂z}{∂v})^{2}}{u^{2}+v^{2}}} , u^{2} + v^{2} ≠ 0. Návod: Postup riešenia je uvedený v odseku 4.2.

152 \frac{∂x}{∂u} + \frac{∂x}{∂v} = \frac{u}{∂v} , v ≠ 0. Návod: Položte v rovniciach (3) z odseku 4.3. w = x, u = y − z, v = y + z. Potom totálny diferenciál funkcie x dx = \frac{∂x}{∂u}du + \frac{∂x}{∂v}dv, pričom

\begin{aligned}du & = −\frac{∂z}{∂x}dx + (1 − \frac{∂z}{∂y} ) dy, \\ dv & = \frac{∂z}{∂x}dx + (1 + \frac{∂z}{∂y} ) dy. \end{aligned}

Po dosadení týchto výrazov do vzt’ahu pre dx a po porovnaní koeficientov pri dx a dy dostanete algebraické rovnice s neznámymi \frac{∂z}{∂x} a \frac{∂z}{∂y}. Ich rozriešením dostanete vyjadrenie parciálnych derivácií \frac{∂z}{∂x}, \frac{∂z}{∂y} pomocou parciálnych derivácií \frac{∂x}{∂u} a \frac{∂x}{∂v}.

153 A = ^{\frac{x^{2}u^{2}−2xu^{3}+u^{4}((\frac{∂x}{∂u})^{2}+(\frac{∂x}{∂v})^{2})}{x^{4}(u \frac{∂x}{∂u} +v \frac{∂x}{∂v})}}, x^{4} (u\frac{∂x}{∂u} + v \frac{∂x}{∂v}) ≠ 0. Návod: Pozri návod na

riešenie úlohy 152.

154 \frac{∂u}{∂ξ} = 0. Návod: Uvažujte v zloženej funkcii premenných x, y, z : u = u(ξ, η, ζ), kde ξ = x, η = y − x, ζ = z − x a použite pravidlo derivovania zloženej funkcie podl’a x, podl’a y, resp. podl’a z.

155 \frac{∂w}{∂v} = 0. Návod: Z 3. rovnosti máme z = e^{w+x+y}, kde w = w(u, v) je zložená funkcia premenných x a y s vnútornými zložkami u a v. Derivovaním podl’a x (resp. podl’a y) danej rovnosti (s využitím pravidla derivovania zloženej funkcie pre w) a dosadením do získaných vzt’ahov pre \frac{∂z}{∂x} (resp. \frac{∂lz}{∂y}) nájdených parciálnych derivácií \frac{∂u}{∂x} (resp. \frac{∂v}{∂x}) a \frac{∂u}{∂y} (resp. \frac{∂v}{∂y}) podl’a prvých dvoch rovností dostanete vyjadrenie parciálnych derivácií \frac{∂z}{∂x} a \frac{∂z}{∂y} v nových premenných.

156 \frac{∂w}{∂u} = 0.

157 (u\frac{∂w}{∂u} )^{2} + (v \frac{∂w}{∂v} )^{2} = w^{2} \frac{∂w}{∂u} \frac{∂w}{∂v}. Návod: Derivovaním rovnosti z = we^{w} podl’a x (resp. podl’a y), kde w = w(u, v) a u, v sú funkcie x a y určené implicitne systémom rovníc x = ue^{w}, y = ve^{w}, podl’a pravidla derivovania zloženej funkcie dostanete

\begin{aligned}\frac{∂z}{∂x} & = e^{w}(w + 1) (\frac{∂w}{∂u} .\frac{∂u}{∂x} + \frac{∂w}{∂v} .\frac{∂v}{∂x}) , \\ \frac{∂z}{∂y} & = e^{w}(w + 1) (\frac{∂w}{∂u} .\frac{∂u}{∂y} + \frac{∂w}{∂v} .\frac{∂v}{∂y} ) . \end{aligned}

Derivácie \frac{∂u}{∂x} (resp. \frac{∂u}{∂y}) a \frac{∂v}{∂x} (resp. \frac{∂v}{∂y}) nájdete podl’a vety 3.3. o existencii a derivovaní funkcie u a v daných systémom uvedených rovníc.

158 \frac{∂w}{∂ζ} = \frac{ξη}{ζ}. Návod: Zderivujete rovnost’ u = wz podl’a x (resp. podl’a y, resp. podl’a z), berúc do úvahy, že w je zložená funkcia premenných x, y a z s vnútornými zložkami ξ = \frac{x}{z}, η = \frac{y}{z} a ζ = z.

159 \frac{∂^{2}w}{∂u^{2}} = 0. Návod: Z tretej rovnice máme z = \frac{w+y}{x}, pričom w = w(u, v), kde u = \frac{x}{y}, v = x je zložená funkcia premenných x a y. Dvojnásobným derivovaním tejto rovnosti podl’a y (s použitím pravidla derivovania zloženej funkcie pre w), vyjadrite parciálne derivácie \frac{∂z}{∂y} a \frac{∂^{2}z}{∂y^{2}} pomocou nových premenných u, v a w.

160 \frac{∂^{2}w}{∂u^{2}} = \frac{1}{2}.

161 \frac{∂^{2}w}{∂u^{2}} + \frac{∂^{2}w}{∂u∂v} = 2w.

162 \frac{∂^{2}w}{∂u^{2}} + \frac{∂^{2}w}{∂v^{2}} + (\frac{∂w}{∂u} )^{2} + (\frac{∂w}{∂v} )^{2} = 0. Návod: Postup riešenia je naznačený v odseku 4.3.

163 \frac{∂^{2}w}{∂ξ^{2}} + \frac{∂^{2}w}{∂η^{2}} + \frac{∂^{2}w}{∂ζ^{2}} = \frac{∂w}{∂ξ} + \frac{∂w}{∂η} + \frac{∂w}{∂ζ} + (e^{w} − 1) [(\frac{∂w}{∂ξ} )^{2} + (\frac{∂w}{∂η} )^{2} + (\frac{∂w}{∂ζ} )^{2}].

164 w = \frac{∂u}{∂φ}. Návod: Postupom uvedeným v odseku 4.2. dostanete (nezávislé premenné sú r a φ):

\begin{aligned}\frac{∂u}{∂r} & = \frac{∂u}{∂x}.\frac{∂x}{∂r} + \frac{∂u}{∂y}.\frac{∂y}{∂r} , \\ \frac{∂u}{∂φ} & = \frac{∂u}{∂x}.\frac{∂x}{∂φ} + \frac{∂u}{∂y}.\frac{∂y}{∂φ}, \end{aligned}

pričom \frac{∂x}{∂r} (resp. \frac{∂x}{∂φ}), \frac{∂y}{∂r} (resp. \frac{∂y}{∂φ}) dostanete derivovaním podl’a r (resp. podl’a φ) daných vzt’ahov pre x a y. Rozriešením získaného systému rovníc vzhl’adom na \frac{∂u}{∂x} a \frac{∂u}{∂y} dostaneme, že

\frac{∂u}{∂x} = \frac{1}{r} (r cos φ\frac{∂u}{∂r} − sin φ\frac{∂u}{∂φ}) ,
\frac{∂u}{∂y} = \frac{1}{r} (r sin φ\frac{∂u}{∂r} + cos φ\frac{∂u}{∂φ}) .

Ďalej dosad’te tieto výrazy a x = r cos φ, y = r sin φ do výrazu w.

165. w = r \frac{∂u}{∂r}.

166 w = \frac{∂^{2}u}{∂r^{2}} + \frac{1}{r^{2}} \frac{∂^{2}u}{∂φ^{2}} + \frac{1}{r} \frac{∂u}{∂r}. Návod: Derivovaním 1. rovnosti podl’a r a 2. rovnosti podl’a φ, ktoré sú uvedené na začiatku návodu k úlohe 164, podl’a pravidla derivovania zloženej funkcie nájdeme:

\begin{aligned}\frac{∂^{2}u}{∂r^{2}} & = \frac{∂^{2}u}{∂x^{2}}. (\frac{∂x}{∂r})^{2} + 2\frac{∂^{2}u}{∂x∂y} .\frac{∂x}{∂r}.\frac{∂y}{∂r} + \frac{∂^{2}u}{∂y^{2}}. (\frac{∂y}{∂r} )^{2} + \frac{∂u}{∂x}.\frac{∂^{2}x}{∂r^{2}} + \frac{∂u}{∂y}.\frac{∂^{2}y}{∂r^{2}} , \\ \frac{∂^{2}u}{∂φ^{2}} & = \frac{∂^{2}u}{∂x^{2}}. (\frac{∂x}{∂φ})^{2} + 2\frac{∂^{2}u}{∂x∂y} .\frac{∂x}{∂φ}.\frac{∂y}{∂φ} + \frac{∂^{2}u}{∂y^{2}}. (\frac{∂y}{∂φ})^{2} + \frac{∂u}{∂x}.\frac{∂^{2}x}{∂φ^{2}} + \frac{∂u}{∂y}.\frac{∂^{2}y}{∂φ^{2}} . \end{aligned}

Do týchto rovností dosadíme nájdené výrazy pre \frac{∂u}{∂x} (resp. \frac{∂u}{∂y}) v nových premenných v

úlohe 164 a výrazy pre \frac{∂x}{∂r} (resp. \frac{∂x}{∂φ}), \frac{∂y}{∂r} (resp. \frac{∂y}{∂φ}), \frac{∂^{2}x}{∂r^{2}} (resp. \frac{∂^{2}x}{∂φ^{2}} ), \frac{∂^{2}y}{∂r^{2}} (resp. \frac{∂^{2}y}{∂φ^{2}} ) nájdené na základe rovnosti x = cos φ, y = r sin φ. Spočítaním prvého získaného vzt’ahu vynásobeného r^{2} s druhým vzt’ahom dostanete algebraickú rovnicu s neznámou w.

167 Návod: Ak budete postupovat’ podl’a návodu k úlohe 166, dostanete \frac{∂^{2}u}{∂r^{2}} = \frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} cos^{2} φ + 2\frac{∂^{2}u}{∂x∂y} sin φ cos φ + \frac{∂^{2}u}{∂y^{2}} sin^{2} φ. Vynásobením tohto výrazu r^{2} a berúc

do úvahy, že x = r cos φ, y = r sin φ nájdete, že w = r^{2} \frac{∂^{2}u}{∂r^{2}}.

168 Návod: Postupom uvedeným v návode k úlohe 166 vypočítate \frac{∂^{2}}{∂φ^{2}} = r^{2} sin^{2} φ\frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} −2r^{2} sin φ cos φ\frac{∂^{2}u}{∂x∂y} +r^{2} cos^{2} φ\frac{∂^{2}u}{∂y^{2}} −r \frac{∂u}{∂r}. Berúc do úvahy tento vzt’ah,

výsledok z úlohy 165 a vzt’ahy x = r cos φ, y = r sin φ dostanete w = \frac{∂^{2}u}{∂φ^{2}} .

169 I = \frac{1}{r} (\frac{∂u}{∂r}.\frac{∂v}{∂φ} − \frac{∂u}{∂φ}.\frac{∂v}{∂r} ). Návod: Postup riešenia je taký istý, ako v úlohe 164.

170 Návod: Zámenu premenných urobte ako kompozíciu dvoch čiastočných zámen: x = R cos φ, y = R sin φ, z = Z a R = r sin θ, φ = φ, z = r cos θ. Pritom môžete využit’ výsledky, ktoré ste dostali pri riešení úlohy 164 (tu len bude iné označenie premenných).

△_{1}u = (\frac{∂u}{∂r})^{2} + \frac{1}{r^{2}} (\frac{∂u}{∂θ})^{2} + \frac{1}{r^{2} sin^{2} θ} (\frac{∂u}{∂φ})^{2} ,
△_{2}u = \frac{1}{r^{2}} [\frac{∂}{∂r} (r^{2} \frac{∂u}{∂r}) + \frac{1}{sin θ} \frac{∂}{∂θ} (sin θ \frac{∂u}{∂θ}) + \frac{1}{sin^{2} θ} \frac{∂^{2}u}{∂φ^{2}} ] .

171 Návod: a) Pod \underline{riešením} budeme rozumiet’ spojitú funkciu u(x, t), ktorá má spojité parciálne derivácie až do 2. rádu včítane v nejakej oblasti G ⊂ R^{2}, t.j. u ∈ C^{2}(G, R), a ktorá vyhovuje danej rovnici.

b) Dvojnásobným derivovaním zloženej funkcie u = u(ξ, η), kde ξ = x − at, η = x + at, podl’a premennej x (resp. podl’a t) dostaneme vyjadrenie parciálnej derivácie \frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} (resp. \frac{∂^{2}u}{∂y^{2}}) pomocou derivácií \frac{∂^{2}u}{∂ξ^{2}}, \frac{∂^{2}u}{∂η^{2}}, \frac{∂^{2}u}{∂ξ∂η}. Dosadením týchto výrazov do danej rovnice

nájdete, že \frac{∂^{2}u}{∂ξ∂η} = 0. Ak zintegrujete túto rovnicu najprv podl’a ξ a potom výsledok podl’a η, vypočítate u = φ(ξ) + ψ(η) = φ(x − at) + ψ(x + at).

172 f(x, y) = 5 + 2(x − 1)^{2} − (x − 1)(y + 2) − (y + 2)^{2}.

173 f(x, y, z) = 3 [(x − 1)^{2} + (y − 1)^{2} + (z − 1)^{2} − (x − 1)(y − 1) − (x − 1)(z − 1)− −(y − 1)(z − 1)] + (x − 1)^{3} + (y − 1)^{3} + (z − 1)^{3} − 3(x − 1)(y − 1)(z − 1).

174 Návod: V Taylorovom vzorci (1) položte x_{1} = 1 + h, x_{2} = −1 + k a x_{1}^{0} = 1, x_{2}^{0} = −1. f(x_{2}, y_{2}) − f(x_{1}, y_{1}) = h − 3k − h^{2} − 2hk + k^{2} + h^{2}k + hk^{2}.

175 1 + (x − 1) + 2(x − 1)(y − 1).

176 1 − \frac{1}{2}(x^{2} + y^{2}) − \frac{1}{8}(x^{2} + y^{2})^{2}.

177 a) \frac{cos x}{cos y} ≈ 1 − \frac{x^{2}−y^{2}}{2} ; b) arctg \frac{1+x+y}{1−x+y} ≈ \frac{π}{4} + x − xy.

178 f(x, y) = 1 + mx + nx + \frac{1}{2} (m(m + 1)x^{2} + 2mnxy + n(n − 1)y^{2}) + . . ..

179 Návod: Pretože 1 + x + y je lineárna funkcia, tvar diferenciálu l’ubovol’ného rádu sa zachováva (pozri úlohu 82). Preto

f(x, y) = ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n−1} \frac{(x + y)^{n}}{n} = ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n} ∑_{m=0}^{n} \frac{n!x^{m}y^{n−m}}{m!(n − m)!} =

= ∑_{n=1}^{∞} ∑_{m=0}^{n} \frac{(−1)^{n}(n − 1)!}{m!(n − m)!}x^{m}y^{n−m},

|x + y| < 1.

180 e^{x} sin y = ∑_{n=0}^{∞} ∑_{m=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}x^{m}y^{2n+1}}{m!(2n + 1)!} (|x| < ∞, |y| < ∞). Návod: Maclaurinov rad

pre funkciu

f(x, y) = f(0, 0) + ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n!} (x\frac{∂}{∂x} + y \frac{∂}{∂y} )^{n} f(0, 0),

možno zapísat’ vo tvare:

\begin{aligned}f(x, y) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n!} (x\frac{∂}{∂x} + y \frac{∂}{∂y} )^{n} f(0, 0) & = ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n!} ∑_{m=0}^{n} \frac{n!x^{m}y^{n−m}}{m!(n − m)!} \frac{∂^{n}f(0, 0)}{∂x^{m}∂y^{n−m}} = \\ & = ∑_{n=0}^{∞} ∑_{m=0}^{n} \frac{x^{m}y^{n−m}}{m!(n − m)!} \frac{∂^{n}f(0, 0)}{∂x^{m}∂y^{n−m}} . \end{aligned}

Kladúc n − m = k, dostaneme

f(x, y) = ∑_{k=0}^{∞} ∑_{m=0}^{∞} \frac{x^{m}y^{k}}{m!k!} \frac{∂^{m+k}f(0, 0)}{∂x^{m}∂y^{k}}.  (∗)

Pre danú funkciu f(x, y) = e^{x} sin y, \frac{∂^{m+k}f}{∂x^{m}∂y^{k}} (x, y) = e^{x} sin(y + k \frac{π}{2} ). Vypočítajte \frac{∂^{m+k}f}{∂x^{m}∂y^{k}} v bode (0, 0) a dosad’te do vzorca (*).

181 e^{x} cos y = ∑_{n=0}^{∞} ∑_{m=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}x^{m}y^{2n}}{m!(2n)!} , (|x| < ∞, |y| < ∞).

182 Návod: Využit’ známy rozvoj sin u = ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n−1}u^{2n−1}}{(2n−1)!} , |u| < ∞. Potom

sin(x^{2} + y^{2}) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n−1}(x^{2}+y^{2})^{2n−1}}{(2n−1)!} , x^{2} + y^{2} < ∞.

184 Singulárny bod je (0, 0), pričom môžu nastat’ tieto tri prípady: a) ak a < 0, bod (0, 0) je izolovaný singulárny bod; b) ak a > 0, je to uzlový bod; c) ak a = 0, je to bod vratu (y = ±x^{3/2}).

185 a) bod (0, 0) je uzlový singulárny bod; b) bod (0, 0) je izolovaný singulárny bod;

c) bod (0, 0) je uzlový singulárny bod.

186 a) bod (0, 0) je bodom samodotyku; b) bod (0, 0) je bod vratu 2. druhu.

187 x + 5y − z − 5 = 0, \frac{x−5}{1} = \frac{y−1}{5} = \frac{z−5}{−1}.

188 x + 4y − 4z − \frac{11}{2} = 0, \frac{x−2}{1} = \frac{y− \frac{1}{2}}{4} = \frac{z+ \frac{3}{8}}{−4} .

189 x + y + z − 3 = 0, \frac{x−1}{1} = \frac{y−1}{1} = \frac{z−1}{1}.

190 2x + y + z = 0, \frac{x−1}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z+1}{1}.

191 12x − 9y + 2z − 9 = 0, \frac{x−3}{12} = \frac{y−5}{−9} = \frac{z−9}{2}.

192 x − y + \sqrt{2}z − \frac{π\sqrt{2}}{4} = 0, ^{\frac{x− \frac{\sqrt{2}}{2}}{1}} = ^{\frac{y− \frac{\sqrt{2}}{2}}{−1}} = \frac{z− \frac{π}{4}}{\sqrt{2}} .

193 (e + 1)x − (e + π)y + (e + 1)z = 0, \frac{x−e}{e+1} = \frac{y−(e+1)}{−(e+π)} = \frac{z−π}{e+1} .

194 x − y + 2z − \sqrt{\frac{11}{2}} = 0, x − y + 2z + \sqrt{\frac{11}{2}} = 0. Návod: Označte F (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + 2z^{2} − 1. Body dotyku nájdete z podmienky rovnobežnosti dotykovej roviny a danej roviny: \frac{F′_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})}{1} = \frac{F′_{y}(x_{0},y_{0},z_{0})}{−1} = \frac{F′_{z}(x_{0},y_{0},z_{0})}{2} = k, kde (x_{0}, y_{0}, z_{0}) je hl’adaný bod dotyku.

195 Návod: Položte F (x, y, z) = (x + z)^{2} + (y − z)^{2} − 18. Potom smernice normály v danom bode (x, y, z) plochy budú: m = F′_{x}, n = F′_{y}, p = F′_{z}. Ak vezmeme do úvahy rovnicu roviny v tvare Ax + By + Cz = 0, tak rovnica roviny xOy je z = 0, t.j. A = B = D = 0, C = 1. Z podmienky rovnobežnosti priamky a roviny Am+Bn+Cp = 0 dostanete rovnice, ktoré určujú hl’adané geometrické miesto bodov. Geometrické miesto bodov je určené rovnicami x + z = y − z = ±3.

196 A = ( \begin{matrix}2 & −2 & 3 \\ −2 & −1 & 0 \\ −1 & 0 & 3 \end{matrix} ) , δ_{1} = 2, δ_{2} = −6, δ_{3} = −21.

197 Kvadratická forma Q(x_{1}, x_{2}, x_{3}) je kladne definitná.

198 z_{l.min} = z (\frac{1}{6}, \frac{1}{6}) = −\frac{1}{108}.

199 z_{l.min} = z (1, 1) = −1.

200 z_{l.min} = z (−1, −1) = z (1, 1) = −2.

201 z_{l.max} = z (0, 0) = 0, z_{l.min} = z (\frac{1}{2}, 1) = z (\frac{1}{2}, −1) = z (−\frac{1}{2}, 1) = z (−\frac{1}{2}, −1) = −\frac{9}{8}.

202 z_{l.max} = z (2, 3) = 108, v bodoch (0, y), kde −∞ < y < +∞ alebo 6 < y < +∞ má f maximum; v bodoch (0, y), kde 0 < y < 6 má f minimum; v bodoch (0, 0), (0, 6), (x, 0), kde −∞ < x < +∞ nemá f extrémy.

203 z_{l.min} = z (5, 2) = 30.

204 z_{l.max} = z (\frac{a}{\sqrt{3}}, \frac{b}{\sqrt{3}}) = z (−\frac{a}{\sqrt{3}}, −\frac{b}{\sqrt{3}}) = \frac{ab}{3\sqrt{3}}, z_{l.min} = z (\frac{a}{\sqrt{3}}, −\frac{b}{\sqrt{3}}) =

z (−\frac{a}{\sqrt{3}}, \frac{b}{\sqrt{3}}) = −\frac{ab}{3\sqrt{3}}.

205 Stacionárne body neexistujú; v (0, 0) neexistujú parciálne derivácie, z (x, y) − z (0, 0) = −\sqrt{x^{2} + y^{2}} < 0, z_{max} = z (0, 0) = 1.

206 z_{l.min} = 2rπ−2−\sqrt{3}− \frac{π}{6} , r = 0, ±1, ±2, …, z_{l.max} = (2r−1)π+2+\sqrt{3}+ \frac{π}{6} , r = 0, ±1, ±2, … stacionárne body dostanete riešením rovníc z′_{x} = 0, z′_{y} = 0, ktoré upravte takto: 1 − 2 sin(x − y) + 2 sin(x + y) = 0 1 + 2 sin(x − y) + 2 sin(x + y) = 0 odkial’ x = (−1)^{k+1} \frac{π}{12} + (k + m)\frac{π}{2} y = (−1)^{k+1} \frac{π}{12} +(k−m)\frac{π}{2} , k, m = 0±1, ±2, …, uvažujte a) k = 2r, m = 2l−1 a b) k = 2r − 1, m = 2l, r = 0, ±1, ±2, …, l = 0, ±1, ±2, ….

207 z_{l.min} = z (0, 0) = 0, z_{l.max} = e^{−1}, kde body (x, y) ležia na kružnici x^{2} + y^{2} = 1 (zaved’te substitúciu t = x^{2} + y^{2} a nájdite lokálne extrémy funkcie z = te^{−t}).

208 z_{l.min} = z (\frac{1}{\sqrt{2e}}, \frac{1}{\sqrt{2e}}) = z (−\frac{1}{\sqrt{2e}}, −\frac{1}{\sqrt{2e}}) = −\frac{1}{2e}; z_{l.max} = z (\frac{1}{\sqrt{2e}}, −\frac{1}{\sqrt{2e}}) =

z (−\frac{1}{\sqrt{2e}}, \frac{1}{\sqrt{2e}}) = \frac{1}{2e}.

209 f nemá lokálne extrémy.

210 z_{l.min} = z(x, 0) = 0, kde 0 < x < 4; z_{l.max} = z(x, 0) = 0, kde (x < 0) ∨ (x > 4), z_{l.max} = z(1, 2) = 4.

211 u_{l.min} = u (0, 0 − 1) = 2.

212 u_{l.min} = u (1, −1, 1) = 1.

213 u_{l.min} = u (−1, −2, 3) = −14. 214 u_{l.min} = u (\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, −\frac{1}{3}) = −\frac{13}{27}. 215 u_{l.min} = u (24, −144, −1) = −6913. 216 u_{min} = u (\frac{1}{2}, 1, 1) = 4. 217 u_{l.min} = u (\frac{1}{2\sqrt{3}}, \frac{1}{2\sqrt{3}}, −\frac{1}{\sqrt{3}}) = −\sqrt{\frac{3}{2}}; u_{l.max} = (\frac{1}{2\sqrt{3}}, \frac{1}{2\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}). 218 u_{l.max} = u (\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}) = \frac{1}{8}. 219 u_{l.max} = u (\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}) = \frac{1}{256}. 220 f_{max} = f (\frac{π}{2} ) = \frac{1}{2}a + \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + 4}; g_{min} = g (\frac{π}{2} ) = \frac{1}{2}a − \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + 4}. 221 f_{l.min} = f (−3) = 6; g_{l.max} = g(3) = −6. 222 f_{l.max} = f (−6 − \frac{1}{3\sqrt{3}}) = −6 + \frac{2}{3\sqrt{3}}; f_{l.min} = f (−6 + \frac{1}{3\sqrt{3}}) = −6 − \frac{2}{3\sqrt{3}}. 223 f_{l.max} = f (0, \frac{16}{7}) = −\frac{8}{7}; g_{l.min} = f (0, −2) = 1. 224 f_{l.min} = f(0, 0) = −\sqrt{2}; f_{l.max} = f(1, 1) = f (−1, −1) = \sqrt{1 + \sqrt{3}}; g_{l.min} =

g(1, 1) = g (−1, −1) = −\sqrt{1 + \sqrt{3}}; g_{l.max} = g(0, 0) = \sqrt{2}. 225 f_{l.max} = f (−6, 6\sqrt{3}) = 12\sqrt{3}; g_{l.min} = f (−6, −6\sqrt{3}) = −12\sqrt{3}. 226 z_{min} = z (\frac{ab^{2}}{a^{2}+b^{2}} , \frac{a^{2}b}{a^{2}+b^{2}} ) = \frac{a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}} . 227 z_{min} = z (\sqrt{2}a, \sqrt{2}a) = 2\sqrt{2}a; z_{max} = a (−\sqrt{2}a, −\sqrt{2}a) = −2\sqrt{2}a. 228 z_{min} = z (−\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}) = z (\frac{1}{\sqrt{2}}, −\frac{1}{\sqrt{2}}) = −\frac{1}{2}; z_{max} = z (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}) =

z (−\frac{1}{\sqrt{2}}, −\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{\sqrt{2}}.

229 z_{min} = z (−\frac{π}{3} , −\frac{π}{6} ) = −\frac{π}{3} ; z_{max} = z (\frac{π}{3} , \frac{π}{6} ) = \frac{π}{3} . 230 u_{min} = u (\frac{2}{5}, −\frac{2}{5}, \frac{1}{5}) = \frac{2}{5}. 231 Nemá extrémy. 232 u_{min} = u (−\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, −\frac{2}{3}) = −3; u_{max} = u (\frac{1}{3}, −\frac{2}{3}, \frac{2}{3}) = 3. 233 u_{max} = u (1, 1, 1) = 1. 234 u_{min} = u (−1, 0, 0) = u (1, 0, 0) = a^{−2}; u_{max} = u (0, 0, −1) = u (0, 0, 1) = c^{−2}. 235 u_{min} = u (−1, −1, −1) = u (−1, 1, 1) = u (1, −1, 1) = u (1, 1, −1) = −01; u_{max} =

u (1, 1, 1) = u (1, −1, −1) = u (−1, 1, −1) = u (−1, −1, 1) = 1. 236 u_{min} = u (−1, 1, 0) = 0. 237 u_{min} = u (2, 2, 1) = u (2, 1, 2) = u (1, 2, 2) = 4; u_{max} = u (\frac{4}{3}, \frac{4}{3}, \frac{7}{3}) = u (\frac{4}{3}, \frac{7}{3}, \frac{4}{3}) =

u (\frac{7}{3}, \frac{4}{3}, \frac{4}{3}) = 4\frac{4}{27}.

238 r = 3, h = 6.

239 x = \frac{2a}{\sqrt{3}}, y = \frac{2b}{\sqrt{3}}, z = \frac{2c}{\sqrt{3}}.

240 ϱ_{min} = \frac{|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.

241 Zostrojte funkciu Φ = ∑_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_{i}x_{j} + λ (1 − ∑_{i=1}^{n} x_{i}^{2}) a zostavte systém rovníc

\begin{aligned}\frac{1}{2} \frac{∂Φ}{∂x_{1}} & = (a_{11} − λ) x_{1} + a_{12}x_{2} + … + a_{1n}x_{n} = 0 \\ \frac{1}{2} \frac{∂Φ}{∂x_{2}} & = a_{21}x_{1} + (a_{22} − λ) x_{2} + … + a_{2n}x_{n} = 0 \\ . . . . . . & . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\ \frac{1}{2} \frac{∂Φ}{∂x_{n}} & = a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + … + (a_{nn} − λ) x_{n} = 0 \end{aligned}  (1)

Systém (1) má netriviálne riešenie ⟺ ak λ je koreňom rovnice

det (A − λI) = 0,  (2)

kde A je matica systému (1) a I je jednotková matica. Prepíšte systém (1) do tvaru

Ax = λx.  (3)

Dokážte, že čísla λ sú reálne. Nech λ_{1}, λ_{2}, …, λ_{n} sú korene rovnice (1). Potom pre každé λ_{i}, i = 1, 2, …, n zo systému (1) pri podmienke ∑_{i=1}^{n} x_{i}^{2} = 1 nájdite stacionárne body (x_{1}^{(i)}, x_{2}^{(i)}, …, x_{n}^{(i)}) , i = 1, 2, …, n. Ak vynásobíte rovnice zo systému (1) s x_{1}, x_{2}, …, x_{n} a sčítate ich dostanete

∑_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_{i}x_{j} − λ ∑_{i=1}^{n} x_{i}^{2} = 0.

Ak beriete do úvahy rovnicu väzby dostanete rovnost’ u (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) = λ, ktorá v stacionárnych bodoch má tvar u (x_{i}^{(i)}, x_{2}^{(i)}, …, x_{n}^{(i)}) = λ_{i}, i = 1, 2, …, n. Odtial’ vyplýva, že

u_{max} = max_{1≤i≤u} λ_{i}, u_{min} = min_{1≤i≤u} λ_{i}.

242 Označte u = \frac{x^{n}+y^{n}}{2} , x + y = s a utvorte funkciu Φ: Φ = \frac{1}{2} (x^{n} + y^{n}) + λ (s − x − y). Z rovníc \frac{∂Φ}{∂x} = 0\frac{∂Φ}{∂y} = 0, x + y = s dostanete: λ = \frac{n}{2} (\frac{s}{2})^{n−1} , x = y = \frac{s}{2}. Pretože d^{2}Φ (\frac{s}{2}, \frac{s}{2}) > 0, tak u_{min} = u (\frac{s}{2}, \frac{s}{2}) = (\frac{s}{2})^{n} ≤ u(x, y), ak x + y =

s, alebo (\frac{x+y}{2} )^{n} ≤ \frac{x^{x^{2}} +y^{x^{2}}}{2} .

243 Utvorte funkciu Φ

Φ = ∑_{i=1}^{n} x_{i}^{m} + λ (∑_{i=1}^{n} x_{i} − na) .

Zo systému rovníc

\begin{aligned}\frac{∂Φ}{∂x_{i}} & = mx_{i}^{m−1} + λ = 0, i = 1, 2, …, n \\ ∑_{i=1}^{n} x_{i} & = na, \end{aligned}  (1)

nájdete λ = −ma^{m−1} a stacionárny bod a^{0} = (a, a, …, a). Zistite, že d^{2}Φ(a^{0}) > 0, teda z_{min} = na^{n}.

244 Nájdite viazaný lokálny extrém funkcie

u = (∑_{i=1}^{n} a_{i}^{p})^{1/p} (∑_{i=1}^{n} x_{i}^{q})^{1/q} pri väzbe A = ∑_{i=1}^{n} a_{i}x_{i}, A = konštanta.

Zostrojte funkciu

Φ = (∑_{i=1}^{n} a_{i}^{p})^{1/p} . (∑_{i=1}^{n} x_{i}^{q})^{1/q} + λ (A − ∑_{i=1}^{n} a_{i}x_{i})

a vypočítajte

\frac{∂Φ}{∂x_{j}} , j = 1, 2, …, n.  (1)

Predpokladajte, že x_{i} > 0, a_{i} > 0, i = 1, 2, …, n, vydel’te j-tú rovnost’ s m-tou rovnost’ou

zo systému (1) a dostanete (\frac{x_{j}}{x_{m}} )^{q−1} = \frac{a_{j}}{a_{m}} odkial’ pri pevnom m dostanete:

x_{j} = x_{m} (\frac{a_{j}}{a_{m}} )^{1/(q−1)} , j = 1, 2, …, n, j ≠ m  (2)

a po dosadení (2) do rovnice väzby dostanete:

∑_{{i=1 \atop inot=m}}^{n} a_{i}x_{m} (\frac{a_{i}}{a_{m}} )^{1/(q−1)} + a_{m}x_{m} = A.  (3)

Ďalej využite vzt’ah \frac{q}{q−1} = p ⟹ \frac{1}{q−1} = \frac{p}{q} a upravte (3) na tvar \frac{x_{m}}{a_{m}^{1/(q−1)}} . ∑_{i=1}^{n} a_{i}^{q/(q−1)} = A,

z ktorého dostaneme stacionárny bod x^{(0)} so súradnicami x_{m} = \frac{A.a_{m}^{p/q}}{∑_{i=1}^{n} a_{i}^{p}} , m = 1, 2, …, n.

Vyjadrite druhý diferenciál funkcie Φ a uvážte, že z rovnice väzby vyplýva ∑_{i=1}^{n} a_{i}dx_{i} = 0.

V stacionárnom bode dostanete

(∑_{i=1}^{n} x_{i}^{q−1}dx_{i})^{2} = (\frac{A}{∑_{i=1}^{n} a_{i}^{p}} )^{2(g−1)} ∑_{i=1}^{n} a_{i}dx_{i} = 0.

Nakoniec dostanete, že d^{2}Φ (x^{(0)}) > 0, teda v stacionárnom bode x^{(0)} má funkcia u minimum u_{min} = A t.j. u ≥ A, čo je Hölderova nerovnost’.

245 max_{M} z = z(3, −4) = 125; min_{M} z = z(−3, 4) = −75.

246 max_{M} z = z(0, 0) = −1; min_{M} z = z(0, 3) = −19.

247 max_{M} z = z(0, 1) = z(1, 0) = z(0, −1) = 1; min_{M} z = z(0, 0) = 0.

248 max_{M} z = z(2, 0) = z(−2, 0) = 4; min_{M} z = z(0, −2) = z(0, 2) = −4.

249 max_{M} z = z(1, 0) = z(−1, 0) = \frac{3}{2}; min_{M} z = z(0, 0) = 0.

250 max_{M} z = z (1, \frac{4}{3}) = \frac{2}{9}; min_{M} z = 0 na celej hranici množiny M.

251 max_{M} u = u(0, 0, 10) = 300; min_{M} u = u(0, 0, 0) = 0.

252 max_{M} u = u (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 1) = 1 + \sqrt{2}; min_{M} u = u (−\frac{1}{2}, −\frac{1}{2}, 1) = −\frac{1}{2}.

253 max_{M} u = u (\frac{a}{\sqrt{3}}, \frac{a}{\sqrt{3}}, \frac{a}{\sqrt{3}}) = a^{2}; min_{M} u = −\frac{a^{2}}{2} na celej krivke x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2} x + y + z = 0.