Výsledky, návody a poznámky

3 Najskôr overíme korektnost’, t.j. že pre všetky x, y ∈ l^{2} je d(x, y) reálne číslo. (Použite lemu 1.1).

4 Nie. Nie je splnená trojuholníkova nerovnost’.

5 Zvol’te si množinu X a funkciu d : X × X → R^{+} tak, aby d mala niektoré dve vlastnosti metriky a nemala tretiu. (Napr. funkcia d v príklade 4. má vlastnosti 1. a 2. ale nemá 3.)

6 Nezápornost’ a symetričnost’ funkcie d získame vhodnou špeciálnou vol’bou trojice bodov x, y, z.

7 Áno, áno, nie.

9 c) Ak má množina X aspoň dva rôzne prvky, tak možno na X definovat’ nekonečne

vel’a metrík. Napr. tzv. triviálnych t.j. d(x, y) = \{ \begin{matrix}0, & x = y; \\ α > 0, & α - reálne; ked’ x ≠ y. \end{matrix}

11 Využite: Ak 0 ≤ a < b, tak \frac{a}{1+a} < \frac{b}{1+b}.

12 Nie.

13 a) K dôkazu trojuholníkovej nerovnosti si všimnite, že arctg α + arctg β ≥ arctg (α+β), resp. že pre funkciu f(α) = arctg α+arctg β −arctg (α+β) platí: f(0) = 0 a pre α > 0 je f(α) > 0. b) Naša metrika d je ekvivalentná euklidovskej metrike na priamke, lebo arctg | x_{n} − x_{0} |→ 0 práve vtedy, ked’ | x_{n} − x_{0} |→ 0.

14 Áno.

15 b) Všimnite si, že pre každé reálne čísla a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2} platí: | a_{1} −a_{2} | + | b_{1} −b_{2} |≤ 2. max\{| a_{1} − a_{2} |; | b_{1} − b_{2} |\} ≤ 2.\sqrt{(a_{1} − a_{2})^{2} + (b_{1} − b_{2})^{2}} ≤ 2.(| a_{1} − a_{2} | + | b_{1} − b_{2} |). Odkial’ už plynie ekvivalentnost’ daných metrík.

16 Áno.

17 Nie.

18 Áno. K dôkazu trojuholníkovej nerovnosti použite tzv. Cauchy - Bunjakovského

nerovnost’: ∫_{a}^{b} f(x).g(x)dx ≤ \sqrt{∫_{a}^{b} f^{2}(x)dx. ∫_{a}^{b} g^{2}(x)dx}.

19 Prvá čast’ zrejmá. K druhej časti: Ak by tá podmienka bola nutná, tak by z úplnosti jedného metrického priestoru vyplývala úplnost’ metrického priestoru s ekvivalentnou metrikou. Ale to nie je pravda - pozri príklad 87. a definíciu 3.4.

22 V E^{2} áno, ale v E^{1} nie.

23 V oboch prípadoch 1.

25 Stačí použit’ vetu 1.4. 26 M - z konvergencie bodov plynie konvergencia po súradniciach, ale obrátene

nemusí. l, l^{2} - ako v prípade priestoru M.

27 Nie sú ekvivalentné. 29 Existuje také ε > 0, že pre nekonečne vel’a n : d(x_{n}, x) ≤ ε. 35 Stačí volit’ δ_{1} < δ − d(p, q). 36 Stačí nájst’ postupnost’ racionálnych (iracionálnych) čísel, ktorá konverguje k

iracionálnemu (racionálnemu) číslu. A tiež, že v každom okolí každého reálneho čísla je nekonečne vel’a racionálnych aj iracionálnych čísel.

38 Požit’ vetu 1.4, resp. príklad 8. 40 Pozri príklad 2. a 26. 43 Stačí vyjst’ z definície 2.2 a vety 2.1. 44 b) Napr. triviálny metrický priestor. (Triviálna metrika: d(x, y) = \{ \begin{matrix}1, & x ≠ y \\ 0, & x = y \end{matrix} .)

46 Napr.: A = \{(x, 0); x ∈ R\} a B = \{(x, \frac{1}{x}); x > 0\}. 47 Ak x_{0} ∈ \overline{O(p, δ_{1})}, tak existuje \{x_{i}\}_{n=1}^{∞} ∈ O(p, δ_{1}) konvergujúca k bodu x_{0}. Vhodne

použijúc trojuholníkovú nerovnost’ ukázat’, že d(p, x_{0}) < δ_{2}.

52 Nie. 55 Napr. A = \{1, \frac{1}{2}, ..., \frac{1}{n}, ...\}. 57 Ak (X − \overline{A}) je hustá v X, tak tým skôr je hustá (X − A). Stačí zobrat’ množinu

Q v R.

58 Stačí uvažovat’ množinu Q v R. 60 Použit’ vetu 2.5 b). 61 Pozri vetu 2.4. 62 Stačí uvážit’ definíciu 2.6 a vetu 2.5. 68 Prvá čast’ zrejmá. K dôkazu druhej stačí napr. A_{i} = (−\frac{1}{i}, 1 + \frac{1}{i}). 69 Nie! Vždy je však intA ∪ intB ⊂ int(A ∪ B). Neplatí rovnost’, volíme napr.

A =< 0, 1 >, B =< 1, 2 >.

70 Napr. A = \{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, ..., \frac{1}{n}, ...\}. 71 a) ∅, celá rovina; b) L’ubovol’ná neprázdna otvorená množina, rôzna od celej roviny

- napr. vnútro jednotkového kruhu; c) Napr. body l’ubovol’nej priamky (x = 0). 72 a) H(A ∪ B) ⊂ (\overline{A} ∪ \overline{B}) − (intA ∪ intB) ⊂ (\overline{A} − intA) ∪ (\overline{B} − intB) = H(A) ∪

H(B). b) Stačí napr. uvažovat’ nasledujúce množiny: A_{n} =< \frac{1}{n}, 1 − \frac{1}{n} >.

73 Ak lim_{n→∞} r_{n} = +∞, tak áno (zjednotením je E^{2}). Ak lim_{n→∞} r_{n} = a, tak nie (zjednotením je otvorený kruh o polomere a).

74 Ukážeme, že b) ⟺ a) ⟺ c). Ked’že A^{d} ⊂ \overline{A} a H(A) ⊂ \overline{A}, tak a) ⇒ b) a a) ⇒ c). Na druhej strane, pretože \overline{A} ⊂ A ∪ A^{d}, z b) ⇒ a) a rovnost’: \overline{A} = intA ∪ H(A) a tiež intA ∪ A dáva: c) ⇒ a).

75 Podl’a príkladu 33. je tento prienik uzavretá množina. Na druhej strane, ak A ⊂ F, F - uzavretá, tak \overline{A} ⊂ \overline{F} = F, teda \overline{A} je najmenšia uzavretá množina, obsahujúca množinu A.

77 Rovnost’ nemusí platit’. Stačí zobrat’ napr. na priamke jednobodovú množinu. Ale vždy platí \overline{intA} ⊂ A. (Samozrejme iba pre A - uzavreté!)

78 Pre takúto množinu A platí: A ∩ A^{d} = ∅. Ak A^{d} = ∅, tak A je uzavretá, teda F_{σ}. Ak A^{d} ≠ ∅, tak opíšeme okolo každého bodu množiny A^{d} okolie o polomere \frac{1}{n} a zjednotenie všetkých týchto okolí (pre prevné n) označme O_{n}. Položme B_{n} = A − O_{n}. B_{n} je uzavretá (obsahuje len izolované body) a ∪_{n=1}^{∞}B_{n} = A, z čoho plynie, že A je typu F_{σ}.

79 a) Platí; b) Neplatí.

80 Stačí si uvedomit’, že pre takéto F_{1} a F_{2} platí dist (F_{1}, F_{2}) = inf{d(x, y), x ∈ F_{1}, y ∈ F_{2}} > 0. A teraz vhodne ”obalit’ ” tieto uzavreté množiny otvorenými.

81 a) Zrejmé; b) Nech napr. F je uzavretá. Pre každé n prirodzené definujeme G_{n} = ∪_{x∈F} O(x, \frac{1}{n}). Zrejme pre každé n je F ⊂ G_{n}, teda F ⊂ ∩_{n=1}^{∞}G_{n}. Na druhej strane, ak bod p ∈ ∩_{n=1}^{∞}G_{n}, tak pre každé n nájdeme bod x_{n} ∈ F taký, že d(x_{n}, p) < \frac{1}{n}, teda p je bod uzáveru množiny (uzavretej) F, čo implikuje p ∈ F. Dôkaz pre otvorenú množinu je analogický, alebo priamo plynie z časti a) tohoto príkladu.

82 a) Množina Q je spočitatel’ná, teda ju možno napísat’ ako spočitatel’né zjednotenie jednobodových - uzavretých - množín. Na druhej strane, keby Q bola G_{δ} (Q všade hustá v R), bola by všade hustá G_{δ} množina aj množina Q_{1} = \{x + \sqrt{2}; x ∈ Q\}. Ale na základe platnosti vety: Prienik G_{δ} a hustých množín v úplnom metrickom priestore je zase G_{δ}, hustá množina.(Pozri príklad 114.) by bola aj Q ∩ Q_{1} množina G_{δ} a všade hustá v R. Ale Q ∩ Q_{1} = ∅. b) Pozri príklad 81.

83 Keby ∩_{n=1}^{∞}F_{n} obsahoval dva rôzne body x ≠ y, potom d(x, y) = α > 0 a pre dostatočne vel’ké n je diam F_{n} < α, teda množina F_{n} (a všetky d’alšie) nemôže obsahovat’ oba body x, y. Predpoklad: diam F_{n} → 0 nemožno vynechat’. Položme na reálnej priamke F_{n} =< n, +∞).

84 Áno. Ak {x_{i}}_{i=1}^{∞} je fundamentálna postupnost’ (vzhl’adom na metriku d), tak k l’ubovol’nému ε > 0 nájdeme δ > 0 tak, aby | x |< δ ⇒ tg | x | < ε. K tomuto δ > 0 existuje n_{0} tak, že m, n > n_{0} ⇒ arctg | x_{n} − x_{m} |< δ. (Plynie z fundamentálnosti.) Odtial’ a z predchádzajúceho: tg [arctg | x_{n} − x_{m} |] =| x_{n} − x_{m} |< ε, pre ∀m, n > n_{0}. Z posledného máme, že {x_{i}}_{i=1}^{∞} je fundamentálna i v euklidovskej metrike, teda konverguje k bodu x_{0}. Ale naša metrika d a euklidovská metrika sú ekvivalentné. (Porovnaj príklad 13.)

85 Využite úplnost’ priestoru (E_{1}, d_{0}) - veta 3.6.

86 Využite úplnost’ priestoru (E_{2}, d_{3}) - čo je euklidovský priestor a systém nerovností v návode k príkladu 15.

87 Nie. Napr.: Položme X = (−\frac{π}{2} , \frac{π}{2} ).d_{1}(x, y) =| x − y |, d_{2}(x, y) =| tg x − tg y |. Metriky d_{1}, d_{2} sú ekvivalentné, pričom (X, d_{1}) je úplný, ale (X, d_{2}) nie je.

88 Stačí pozriet’ definíciu bázy.

89 Všimnite si podpriestory všetkých takých postupností racionálnych čísel, ktorých všetky členy od istého indexu sa rovnajú nule.

90 Súčinový priestor je separabilný vtedy a len vtedy, ked’ sú jednotlivé zložky separabilné priestory.

91 Ak F = ∅ - pozri príklad 44. b). Ak F = {a_{1}, a_{2}, ..., a_{m}} - konečná, stačí položit’ {x_{i}}_{i=1}^{∞} = {a_{1}, ..., a_{m}, a_{1}, ..., a_{m}, ...}. Ak F - nekonečná, tak existuje E ⊂ F, E - spočitatel’ná a \overline{E} = F. Teraz možno písat’ E = \{a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}, ...\}. Stačí ukázat’, že postupnost’ {x_{i}}_{i=1}^{∞} = {a_{1}, a_{1}, a_{2}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{1}, ...} vyhovuje naším požiadavkám.

92 K dôkazu prvej časti si stačí všimnút’ množiny M′ všetkých postupností núl a jedničiek. M′ ⊂ M, M′ je nespočitatel’ná a pre každé x, y ∈ M′, x ≠ y′ je d(x, y) ≥ 1. K druhej časti stačí brat’ také postupnosti racionálnych čísel, ktoré od istého indexu obsahujú samé nuly.

93 b) Stačí uvažovat’ nasledujúci systém funkcií: Ku každej postupnosti núl a jedničiek t.j. {y_{n}}_{n=1}^{∞} je postupnost’, kde ∀n je bud’ y_{n} = 0, alebo y_{n} = 1, definujme funkciu f nasledovne: f(n) = y_{n}; n = 0, 1, 2, ... a f je všade inde lineárna. (Pozri predchádzajúci príklad).

94 Použite Weierstrassovu vetu: Ku každej funkcii f ∈ C(a, b) a ku každému ε > 0 existuje taký polynóm P, že pre každé x ∈< a, b > je | f(x) − P (x) |< ε.

95 Možno použit’ návod k príkladu 94.

96 b) Ak je X separabilný, tak za M stačí brat’ spočitatel’nú hustú podmnožinu. Obrátene: Pre každé ε_{n} = \frac{1}{n} > 0 existuje M_{n}, ktorá je ε_{n} - siet’ou. Potom M = ∪_{n=1}^{∞}M_{n} bude spočitatel’ná hustá.

97 Ak (X, d) je separabilný - tvrdenie zrejmé. Obrátene. Ak (X, d) nie je separabilný, tak existuje ε_{0} > 0 také, pre ktoré neexistuje spočitatel’ná ε_{0} - siet’. Na základe tohoto možno zostrojit’ nespočitatel’nú množinu otvorených po dvoch disjunktných množín.

98 a) Ak (X, d) je separabilný metrický priestor, tak z neho odvodený topologický priestor má spočitatel’nú bázu (veta 3.2), každý jeho podpriestor má tiež spočitatel’nú bázu a teda (podl’a vety 3.1) je separabilný. b) Reálnu priamku R opatrime nasledujúcou topológiou T : Označme znakom B systém množín tvaru: {x} ∪ (Q ∩ (x − ε, x + ε)); x ∈ R, ε > 0, Q racionálne čísla. Potom topológiu T budú tvorit’ všetky možné zjednotenia množín z B. Overte, že je to topológia a (R, T ) je separabilný. Ale podpriestor všetkých iracionálnych čísel Q′, ktorého topológia T′ pozostáva zo všetkých množín tvaru A∩Q′, kde A ∈ T , nie je separabilný.(Každé iracionálne číslo, ako jednobodová množina, je otvorená.)

99 Keby topologický priestor (R, T ) z návodu 98. mal spočitatel’nú bázu, musel by aj jeho podpriestor (Q′, T′) mat’ spočitatel’nú bázu.

100 Nemusí byt’. Položme X =< 0, 1 >, X′ = (0, 1 >, d_{0} - euklidovská metrika. Postupnost’ \{\frac{1}{n}\}_{n=1}^{∞} je fundamentálna, ale v priestore (X′, d_{0}) nekonverguje.

101 Platí aj obrátené tvrdenie.

102 Napr. pre M: Ak {X^{(n)}}_{n=1}^{∞}, X^{(n)} = (α_{1}^{(n)}, α_{2}^{(n)}, ..., α_{K}^{(n)}, ...) je fundamentálna, tak zo supremovej metriky plynie, že každé z číselných postupností {α_{k}^{(n)}}_{n=1}^{∞}; k = 1, 2, ... je tiež fundamentálna v R, teda konvergentná (t.j. konverguje po súradniciach), \{α_{k}^{(n)}\}^{\underrightarrow{n→∞}} α_{k}. Ešte overte, že teraz \{X^{(n)}\}_{n=1}^{∞}, konverguje ku bodu X = \{α_{k}\}_{k=1}^{∞}.

104 Ak x_{0} je izolovaný bod - tak áno. V opačnom prípade nie.

105 Áno.

106 Pre každé ε > 0 existuje n_{0} také, že pre každé n, m > n_{0} je d(x_{n}, x_{m}) < \frac{ε}{2}. A tiež existuje také p, že pre každé i > p je d(x_{K_{i}}, x) < \frac{ε}{2}. (Možno vybrat’ i > n_{0}.) Teraz d(x_{n}, x) < d(x_{n}, x_{i}) + d(x_{i}, x) < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε.

107 Nie.

108 Porovnaj s dvojrozmerným euklidovským priestorom (E_{2}, d_{0}). Pozri príklad 85.

109 Áno, každá fundamentálna je tiež ohraničená. Lebo ak {x_{i}}_{i=1}^{∞} je fundamentálna, tak k ε = 1 existuje p ∈ N také, že pre všetky n ≥ p : d(x_{n}, x_{p}) < 1, t.j. x_{n} ∈ O(x_{p}, 1).

110 Úplnost’ A ∪ B je zrejmá. Ak {x_{i}}_{i=1}^{∞} je fundamentálna postupnost’ z A ∪ B, tak aspoň v jednom podpriestore (napr. A) leží nekonečne vel’a členov postupnosti {x_{i}}_{i=1}^{∞}, t.j. celá vybraná postupnost’ {x_{K_{i}}}_{i=1}^{∞}, ktorá je tiež fundamentálna, teda konvergentná. A potom (porzi príklad 106.) i pôvodná postupnost’ konverguje.b) Napr. A =< −5, 5 > , B =< −1, 1 >.

111 Ak je {(x_{n}, y_{n})}_{n=1}^{∞} fundamentálna v X × Y, tak zo vzt’ahu a) resp. b) ihned’ plynie, že {x_{n}}_{n=1}^{∞}, {y_{n}}_{n=1}^{∞} sú fundamentálne v príslušných úplných priestoroch X alebo Y. Teda ak \{x_{n}\}^{\underrightarrow{X}} x_{0}, \{y_{n}\}^{\underrightarrow{Y}} y_{0} tak \{(x_{n}, y_{b})\}^{\underrightarrow{X×Y}} (x_{0}, y_{0}).

112 Nech G_{1}, G_{2}, ..., G_{n}, ... je postupnost’ otvorených hustých množín v X. Nech S_{0} je l’ubovol’ná gul’a v priestore X. Ukážme, že S_{0} ∩ G, kde G = ∪_{i=1}^{∞}G_{i} je neprázdna, t.j. G - hustá. Ked’že G_{1} je otvorená, hustá, existuje okolie S_{1} také, že \overline{S_{1}} ⊂ S_{0} ∩ G_{1}, pričom S_{1} vol’me tak, aby diam S_{1} < 1. Pretože aj G_{2} je otvorená a hustá, možno nájst’ gul’u S_{2} takú, aby \overline{S_{2}} ⊂ S_{1} ∩G_{2}, pričom diam S_{2} < \frac{1}{2}. Ďalej nájdeme gul’u S_{3} tak, aby \overline{S_{3}} ⊂ S_{2} ∩G_{3},diam S_{3} < \frac{1}{3}, atd’. Máme postupnost’ sfér S_{n} takých, že pre všetky n platí: S_{n} ⊂ S_{0}, \overline{S_{n+1}} ⊂ S_{n} a diam S_{n} < \frac{1}{n}. Podl’a vety 3.4, resp. príkladu 83. existuje bod p ∈ S_{n}; n = 1, 2, ... a teda aj p ∈ S_{0}. Ale z konštrukcie sfér S_{n} vyplýva, že p ∈ G_{n} pre všetky n. Záver: p ∈ S_{0} ∩ G.

113 Nech (R, d_{0}) je priamka s obvyklou euklidovskou metrikou. Q = {r_{1}, r_{2}, ..., r_{n}, ...} je množina všetkých racionálnych čísel l’ubovol’ne usporiadaných do postupnosti. Vieme, že (Q, d_{0}) nie je úplný priestor (pozri príklad 107.). Množiny F_{n} = {r_{1}, ..., r_{n}}; n = 1, 2, ... sú uzavreté v (Q, d_{0}), teda G_{n} = Q − F_{n} sú otvorené a husté v Q. Ale G = ∪_{n=1}^{∞}G_{n} = ∅.

114 Nech B_{1}, B_{2}, ...B_{n}, ... sú (prvky) množiny systému M, t.j. každé B_{i} je G_{δ}, hustá množina v X. Teda B_{i} = ∩_{n=1}^{∞}G_{i_{n}}, G_{i_{n}} - otvorené a tiež husté v X. Môžme písat’: ⋂_{B_{i}∈M}B_{i} = ⋂_{i,n} G_{i_{n}} a na základe príkladu 112. je tento prienik hustá množina v X a

zrejme typu G_{δ}. Doporučujeme čitatel’ovi v súvislosti s týmto príkladom porozmýšl’at’ nad analógiou príkladu 113.

115 Nech X = ∪_{i=1}^{∞}E_{i}, E_{i} - riedke v X. Označme O(x_{1}, ε_{1}) sféru, disjunktnú s E_{1}. Zostrojme O(x_{2}, ε_{2}) nasledovne: O(x_{2}, ε_{2}) ∩ E_{2} = ∅, \overline{O(x_{2}, ε_{2})} ⊂ O(x_{1}, ε_{1}) a ε_{2} < \frac{1}{2}. Podobne O(x_{3}, ε_{3}) ⊂ \overline{O(x_{3}, ε_{3})} ⊂ O(x_{2}, ε_{2}), O(x_{3}, ε_{3}) ∩ E_{3} = ∅ a ε_{3} < \frac{1}{3}, atd’. Podl’a konštrukcie je {x_{i}}_{i=1}^{∞} fundamentálna, teda konverguje k bodu x_{0} ∈ X. Ale pretože x_{0} ∈ \overline{O(x_{i}, ε_{i})}; i = 1, 2, ..., x_{0} ∉ E_{i}; i = 1, 2, ... a tým x_{0} ∉ ∪_{i=1}^{∞}E_{i} = X. Spor.

116 Napr. (Q, d_{0}).

117 Nie je.

118 Označme E = {a_{1}, a_{2}, ...}. Nech by E bola typu G_{δ}. Vyberme a > 0 také, aby sa nerovnala žiadnemu z rozdielov | a_{i} − a_{j} |, pre i, j = 1, 2, .... Označme E_{1} = E + a = {a_{i} + a; i = 1, 2, ...}. Teraz E_{1} je tiež spočitatel’ná, hustá, G_{δ} podmnožina R. Na základe príkladu 114. je aj E ∩ E_{1} - spočitatel’ná, hustá, G_{δ} v R. Ale E ∩ E_{1} = ∅.

119 Nech pre nejaké ε_{0} > 0 neexistuje konečná ε_{0} - siet’. Vezmime l’ubovol’né x_{1} ∈ X. K nemu existuje x_{2} ∈ X také, že d(c_{1}, x_{2}) ≥ ε_{0}(ak by totiž také x_{2} neexistovalo, bola by množina {x_{1}} ε_{0} - siet’ou). Podobne možno nájst’ bod X_{3} ∈ X taký, že d(x_{j}, x_{3}) ≥ ε_{0}; j = 1, 2. (Lebo v opačnom prípade by zase množina {x_{1}, x_{2}} bola ε_{0} - siet’ou.) Takto zostrojíme postupnost’ {x_{i}}_{i=1}^{∞} takú, že pre všetky m ≠ n je d(x_{n}, x_{m}) ≥ ε_{0}. A z tejto postupnosti nemožno vybrat’ fundamentálnu, teda ani konvergentnú čiastočnú postupnost’. Obrátene neplatí: Napr. X = (0, 1) s obvyklou metrikou.

120 a) Porovnaj s príkladom 96. b) Priamo z definície 4.1 a jednoznačnosti limity. c) Stačí si uvedomit’ definíciu uzavretej a kompaktnej množiny.

121 Ked’ A je kompakt, podl’a príkladu 119. pre ε = 1 existuje konečná jednotková siet’

\{p_{1}, p_{2}, ..., p_{m}\}. Označme d = max_{{i=1,2,...,m \atop j=1,2,...,m}}\{d(p_{i}, p_{j})\}. Teraz pre l’ubovol’né x, y ∈ A existuje

r, s ≤ m tak, že d(x, p_{r}) < 1, d(y, p_{s}) < 1. Počítajme: d(x, y) ≤ d(c, p_{r}) + d(p_{r}, p_{s}) + d(p_{s}, y) < 1 + d + 1 = d + 2. Teda diam A ≤ d + 2.

122 Uvažujeme priestor l^{2} z príkladu 3. a jeho podmnožinu A ⊂ l^{2}, A = {x = {x_{i}}_{i=1}^{∞} ∈ l^{2}, ∑_{i=1}^{∞} x_{i}^{2} ≤ 1}. Overte, že A je uzavretá a ohraničená, ale nie je kompaktom. Z postupnosti bodov tejto množiny: {X^{n}}_{n=1}^{∞}, X^{n} = (0, 0, ..., 0, 1, 0, ...) (na n - tom mieste je jednotka, ostatné súradnice sú nulové) nemožno vybrat’ konvergentnú. Iný príklad: Uvažujme priestor M(0, 1) z príkladu 1. so supremovou metrikou. Označme A = \{f_{1}, f_{2}, ...\} ⊂ M(0, 1), kde f_{k}(x) definujeme: f_{k}(0) = 0; f_{k}(x) = 0, pre \frac{1}{k} ≤ x ≤ 1; f_{k}(\frac{1}{2k}) = 1 a f_{k}(x) je lineárna na každom z intervalov < 0, \frac{1}{2k} >, < \frac{1}{2k} , \frac{1}{k} > (nakreslite).

Množina A je uzavretá a ohraničená (overte to), ale nie je kompaktná, lebo už z množiny A nemožno vybrat’ fundamentálnu a teda ani konvergentnú podpostupnost’.

123 Nutnost’ vyjadrujú príklady 120. a 121. Postačujúcost’: Pretože A je ohraničená, existuje n - rozmerný interval I =< a_{1}, b_{1} > × < a_{2}, b_{2} > ×...× < a_{n}, b_{n} > tak, že A ⊂ I. Uvažujeme l’ubovol’nú postupnost’ {x^{i}}_{i=1}^{∞} bodov množiny A, t.j. x^{i} = (x_{1}^{i}, x_{2}^{i}, ..., x_{n}^{i}) ∈ A. Potom pre postupnosti prvých súradníc {x_{1}^{i}}_{i=1}^{∞} platí: a_{1} ≤ x_{1}^{i} ≤ b_{1}; i = 1, 2, .... Podobne pre druhé súradnice: a_{2} ≤ x_{2}^{i} ≤ b_{2}; i = 1, 2, ... a konečne pre n - té súradnice: a_{n} ≤ x_{n}^{i} ≤ b_{n}; i = 1, 2, .... Je známe, že z každej ohraničenej postupnosti reálnych čísel možno vybrat’ konvergentnú. Teda z postupnosti {x_{1}^{i}}_{i=1}^{∞} prvých súradníc vyberme {x_{i}^{k_{i}}}_{i=1}^{∞} → x_{1}^{0}. Z postupnosti {x_{2}^{k_{i}}}_{i=1}^{∞} zase vyberme konvergentnú k číslu x_{2}^{0} (a_{2} ≤ x_{2}^{0} ≤ b_{2}) atd’. až pre n - té súradnice, t.j. opakujúc tento výber n - krát, dostaneme rastúcu postupnost’ {s_{i}}_{i=1}^{∞} prirodzených čísel takú, že: {x_{1}^{s_{i}}}_{i=1}^{∞} → x_{1}^{0}, {x_{2}^{s_{i}}}_{i=1}^{∞} → x_{2}^{0}, ..., {x_{n}^{s_{i}}}_{i=1}^{∞} → x_{n}^{0}. Čo je ekvivalentné s tým (pozri príklad 8.), že postupnost’ {x^{s_{i}}}_{i=1}^{∞} bodov množiny A konverguje k bodu x^{0} = (x_{1}^{0}, x_{2}^{0}, ..., x_{n}^{0}) ∈ A, lebo A je uzavretá.

126 Áno. Pozri definíciu 1.4 a vetu 1.4. Konvergencia v priestore X je ekvivalentná posúradnicovej konvergencii.

127 a) Stačí si uvedomit’, že ak vezmeme l’ubovol’nú postupnost’ bodov zo zjednotenia A_{1} ∪ A_{2} ∪ … ∪ A_{m}, tak aspoň v jednej z tých množín je nekonečne vel’a členov tejto postupnosti. b) Nie! Vol’me napr. A_{1} = \{1\}, A_{2} = \{\frac{1}{2}\}, ..., A_{n} = \{\frac{1}{n}\}, ... .

128 Pre každé k = 1, 2, ... vyberme x_{k} ∈ F_{k}. Z monotónnosti postupnosti {F_{n}}_{n=1}^{∞} sa ukáže, že x ∈ ∩_{n=1}^{∞}F_{n}.

129 Nech X =< 0, 2 > s euklidovskou metrikou d_{0}. Položme F_{k} =< 0, 1 + \frac{1}{k} >; k = 1, 2, ... . Potom ∩_{k=1}^{∞}F_{k} =< 0, 1 >.

130 Ak (X, d) nie je kompakt, tak existuje postupnost’ {x_{i}}_{i=1}^{∞}, ktorá nemá čiastočnú konvergentnú postupnost’. Možno predpokladat’, že postupnost’ {x_{i}}_{i=1}^{∞} je prostá. Potom množina K = {x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}, ...} je uzavretá v X a teda X − K je otvorená v X. Pretože x_{K}; K = 1, 2, ... nie je hromadný bod množiny K, existuje také δ_{K} > 0, že K∩O(x_{K}, δ_{K}) = {x_{K}}. Potom spočitatel’ný systém množín {X−K, O(x_{1}, δ_{1}), O(x_{2}, δ_{2}), …, O(x_{K}, δ_{K}), …} je otvoreným pokrytím priestoru X, z ktorého nemožno vybrat’ konečné podpokrytie.

131 Topologická ⇒ metrickú: Nech A ⊂ X, A vyhovuje vete 4.1. Nech {x_{i}}_{i=1}^{∞} je postupnost’ bodov množiny A, z ktorej nemožno vybrat’ konvergentnú podpostupnost’. Teda každý bod a ∈ A má okolie O(a, δ), obsahujúce len konečne vel’a členov postupnosti {x_{i}}_{i=1}^{∞}. Tieto okolia typu O(a, δ) tvoria otvorené podpokrytie množiny A. Teda z neho možno vybrat’ konečné podpokrytie, t.j. A ⊂ O(a_{1}, δ_{1}) ∪ O(a_{2}, δ_{2}) ∪ ... ∪ O(a_{n}, δ_{n}). Ale to je spor, lebo zjednotenie vpravo obsahuje len konečne vel’a členov postupnosti {x_{i}}. Obrátene: metrická ⇒ topologickú: Sporom: Nech A je kompaktná v zmysle definície 4.1 ale existujú také otvorené množiny {G_{α}}, ktoré pokrývajú množinu A, ale z nich nemožno vybrat’ konečné podpokrytie. Pre n = 1, 2, ... položme ε = \frac{1}{n} a ked’že A je kompakt, tak pre každé ε_{n} existuje konečná ε_{n} - siet’ v A (pozri príklad 119.). Teda pre ε = 1 existuje konečná ε_{1} siet’ v A. Okolo každého bodu tejto siete opíšme ε_{1} - okolie. Uzávery týchto okolí majú s množinou A neprázdny prienik, ktorý je kompaktnou podmnožinou množiny A (overte prečo). Teda množinu A možno písat’ ako zjednotenie konečného počtu kompaktov F_{1}, ..., F_{n}, ktorých priemery neprevýšia 2.ε_{1}. Ked’že celú množinu A nebolo možné pokryt’ konečným podsystémom systému {G_{α}}, tak aspoň jeden z kompaktov F_{1}, …, F_{n} má túto vlastnost’. Označme ho A_{1}. Pre ε_{2} = \frac{1}{2} urobíme podobnú úvahu, ale pre kompakt A_{1}. Tak dostaneme kompakt A_{2} ⊂ A_{1} ⊂ A, ktorý nemožno pokryt’ žiadnym konečným podsystémom systému {G_{α}}. Indukciou možno takto zostrojit’ postupnost’ kompaktných množín A ⊃ A_{1} ⊃ A_{2} ⊃ ... ⊃ A_{n} ⊃ ..., pre ktoré diam A_{n} → 0. Teda ich prienik (pozri príklad 83.) je jednobodová množina {a_{0}}. Pretože a_{0} ∈ A, existuje otvorená množina G_{α_{0}} ∈ {G_{α}} tak, že a_{0} ∈ G_{α_{0}}. Z otvorenosti G_{α_{0}} plynie, že existuje δ > 0 : O(a_{0}, δ) ⊂ G_{α_{0}}. A zrejme pre dostatočne vel’ké n_{0} je 2ε_{n_{0}} < δ. Z posledného ale plynie, že pre všetky n ≥ n_{0} je A_{n_{0}} ⊂ G_{n_{0}}, čo je v spore s výberom množín A_{i}; i = 1, 2, ....

132 V l’ubovol’nom metrickom priestore je kompaktná množina uzavretá (veta 4.2) a obsahuje konečnú ε - siet’ (príklad 119.). Teraz obrátene: nech (X, d) je úplný, A je uzavretá a pre kat’dé ε > 0 obsahuje konečnú ε - siet’. Ukážeme, že A je kompakt. Nech {X_{i}} je l’ubovol’ná postupnost’ bodov množiny A. Pre ε_{1} = 1 existuje konečná ε_{1} - siet’. Okolo každého bodu tejto siete zostrojme gul’u o polomere 1. Aspoň v jednej z týchto gúl’ - označme ju G_{1} - je nekonečne vel’a členov postupnosti {X_{i}}. Jeden z nich vyberme a označme x_{n_{1}}. Podobne pre ε_{2} = \frac{1}{2} tiež existuje konečná ε_{2} - siet’. Okolo jej bodov vytvorme gule o polomere \frac{1}{2}. Aspoň v jednej z nich - označme ju G_{2} - existuje nekonečne vel’a tých bodov postupnosti {x_{i}}, ktoré patria aj do G_{1}. Vyberme z nich jeden - x_{n_{2}} - tak, aby n_{2} > n_{1}. Teda obecne pre ε_{i} = \frac{1}{i} existuje konečná ε_{i} - siet’, okolo jej bodov zostrojíme gule o polomere dl’žky \frac{1}{i}. Aspoň v jednej z týchto gúl’ - označme G_{i} - existuje nekončne vel’a členov postupnosti {x_{i}}, ktoré zároveň patria do gule G_{i−1}. Vyberme jeden z nich - x_{n_{i}} - tak, aby n_{i} > n_{i−1}. Takto postupujúc zostrojíme postupnost’ {x_{n_{i}}}_{i=1}^{∞} vybranú z postupnosti {X_{i}}. A táto vybraná postupnost’ je zrejme fundamentálna (X je úplný) a tým i konvergentná.

133 Ak (x, T ) je súvislý, tak stačí za G volit’ celý priestor X. Ak X nie je súvislý, existujú dve napr. otvorené a navzájom disjunktné podmnožiny A, B. Teraz stačí vybrat’ x ∈ A, y ∈ B.

134 Snád’ len prípad 6. Nech X je množina, ktorej mohutnost’ je väčšia, ako mohutnost’ kontinua. Definujme topológiu T ⊂ 2^{X} nasledovne: Do T patrí ∅ a každá taká množina A ⊂ X, pre ktorú je X − A spočitatel’ná. (overte, že T je topológia.)

135 Ak by x_{0} ∈ E bol izolovaný bod množiny E, tak množiny {x_{0}} a E − {x_{0}} by boli dve neprázdne otvorené disjunktné podmnožiny množiny E.

136 Rovnost’ (\overline{A}∩B)∪(A∩\overline{B}) = ∅ je ekvivalentná vzt’ahom: \overline{A}∩B = ∅ a A∩\overline{B} = ∅ čo je ekvivalentné s tvrdením, že množina B (A) neobsahuje žiadny hromadný bod množiny A (B).

137 Ak A, B - uzavreté, tak (\overline{A} ∩ B) ∪ (A ∩ \overline{B}) = (A ∩ B) = ∅ a stačí použit’ predchádzajúci príklad. Ak A, B - otvorené, tak každý bod množiny B je vnútorný, teda \overline{A} ∩ B = ∅. Podobne A ∪ \overline{B} = ∅.

138 a) Kedže E je nesúvislá, existuje také A, B ⊂ E, že E = A ∪ B, kde A, B sú oddelené, t.j. (\overline{A} ∩ B) ∪ (A ∩ \overline{B}) = ∅. Pretože E je uzavretá, je \overline{A} ⊂ E a tiež \overline{A} ⊂ E − B = A, z čoho už plynie, že A je uzavretá. Podobne pre množinu B. b) Zase možno písat’: E = A ∪ B, A, B - oddelené. Nech a ∈ A (E je otvorená), teda existuje O(a, ε) ⊂ E. Ale a nie je hromadný bod množiny B (lebo (A ∩ \overline{B}) = ∅), teda existuje O(a, δ) ⊂ O(x_{0}, ε), O(a, δ) ∩ B = ∅. Posledné možno prepísat’: O(a, δ) ⊂ E − B = A, čo dokazuje, že a je vnútorný bod množiny A. Podobne pre B.

139 Nepriamo. Nech napr. E nie je súvislá množina. Potom možno písat’ E = A ∪ B, kde A, B sú neprázdne, disjunktné uzavreté množiny. Potom aspoň jedna z množín A ∩ F alebo B∩F je prázdna. (V opačnom prípade by sme mohli písat’ E ∩F = (A∩F)∪(B∩F), čo by znamenalo, že E∩F je nesúvislá.) Nech napr. A∩F = ∅. Potom E∪F = (A∪B)∪F = A ∪ (B ∪ F), pričom A i (B ∪ F) sú uzavreté, neprázdne a disjunktné. A to je v spore so súvislost’ou množiny E ∪ F.

140 Napr. na reálnej priamke položme: E =< 0, 1 > ∪ < 2, 3 >; F =< 0, 2).

141 a) Nech A - súvislá a \overline{A} - nesúvislá. Potom \overline{A} = E ∪ F, kde E, F sú neprázdne disjunktné uzavreté množiny (pozri 138 a)). Potom A ∩ E a A ∩ F sú neprázdne. (Ak by totiž napr. A ∩ E = ∅, tak A ⊂ F ⊂ \overline{A}, pričom F je uzavretá množina a rôzna od \overline{A}. Čo nie je možné. (Pozri príklad 75.) Teda množiny A ∩ E i A ∩ F sú neprázdne oddelené podmnožiny množiny A, čo je v spore so súvislost’ou množiny A. b) Stačí napr. za A zobrat’ všetky racionálne čísla reálnej priamky R. A - je nesúvislá, ale \overline{A} = R je súvislá.

142 Možno postupovat’ podobne nepriamo ako v predchádzajúcom príklade. Alebo si stačí uvedomit’, že množina M je uzáverom množiny A v priestore M a použit’ predchádzajúce tvrdenie príkladu 141.

143 Ak by A bola nesúvislá, možno písat’: A = E ∪F, kde E, F sú oddelené. Vyberme teraz x ∈ E, y ∈ F. Podl’a predpokladu existuje súvislá množina Q obsahujúca body x a y. Potom ale Q ∩ E a Q ∩ F sú oddelené podmnožiny (overte!) množiny Q, čo je v spore s výberom tejto množiny.

144 Nech A je naša množina. Označme E ⊂ A, E - sú body s kladnými (iracionálnymi) súradnicami, F ⊂ A, F - body so zápornými súradnicami. Zrejme A = E ∪ F a E, F sú oddelené.

145 Stačí si uvedomit’, že spojnica dvoch bodov (úsečka obsahujúca aj tieto koncové body) je súvislá množina. A teraz použit’ tvrdenie príkladu 143.

146 Označme E = E_{1} ∪ E_{2} a predpokladajme nepriamo, že E nie je súvislá. Potom E = A ∪ B, kde A, B - oddelené množiny. Aspoň jedna z množín E_{1}, E_{2} má neprázdny prienik aj s množinou A aj s B. (Ak by totiž napr. E_{2} ∩ A = ∅, potom E_{2} ⊂ B a E_{1} ⊃ A. Teraz E_{1} ∩B ⊃ E_{1} ∩E_{2} ≠ ∅ a tiež E_{1} ∩A ≠ ∅). Nech teda napr. E_{1} ∩A ≠ ∅ aj E_{1} ∩B ≠ ∅. Potom E_{1} = (E_{1} ∩ A) ∪ (E_{1} ∩ B), z čoho plynie nesúvislost’ množiny E_{1}, čo je spor.

147 Nech x, y ∈ E. Potom x ∈ E_{n_{1}} a y ∈ E_{n_{2}}. Označme n = max{n_{1}, n_{2}}. Potom x, y ∈ E_{n}. Ale E_{n} je súvislá. Teda (pozri príklad 143.) aj E je súvislá.

148 Indukciou (a použitím príkladu 146.) možno nahliadnut’, že pre každé n prirodzené je množina F_{n} = ∪_{i=1}^{n}E_{i} súvislá. Takto sme vytvorili rastúcu postupnost’ {F_{n}} súvislých množín a podl’a predchádzajúceho príkladu je ∪_{n=1}^{∞}F_{n} súvislá. Ale množina ∪_{n=1}^{∞}F_{n} = ∪_{n=1}^{∞}E_{n}.

149 Pre i = 1, 2, ... označme H_{i} = E_{i} ∪ E_{i+1}. H_{i} je zrejme súvislá. Počítajme H_{i} ∩ H_{i+1} = (E_{i} ∪E_{i+1})∩(E_{i+1} ∪E_{i+2}) ⊃ E_{i+1} ≠ ∅. Ďalej stačí použit’ predchádzajúci príklad.

150 Každé dva body takejto množiny možno spojit’ lomenou čiarou, pozostávajúcou najviac s troch na seba naväzujúcicjh úsečiek rovnobežných so súradnicovými osami. Ale takáto lomená čiara (pozri príklad 146.) je súvislá množina a teda podl’a príkladu 143. je naša množina súvislá.

151 Nech E je súvislá podmnožina R a x_{1}, x_{2} ∈ E, x_{1} ≠ x_{2}. Keby existoval bod c ∈ R taký, že x_{1} < c < x_{2}, ale c ∉ E, označme A = (−∞, c) ∩ E a B = (c, +∞) ∩ E. Zrejme E = A ∪ B a A, B sú oddelené, tak E by nebola súvislá. Teda s každými dvoma bodmi x_{1}, x_{2} ∈ E, množina E obsahuje celý interval < x_{1}, x_{2} >. A to je možné iba vtedy, ak sama množina E je intervalom (akýmkol’vek, prípadne aj nekonečným). Obrátene, ak E je akýkol’vek interval, je zrejme E súvislá.

152 Nech existuje množina A ⊂ X, A ≠ ∅, A ≠ X, A obojaká. Potom aj (X − A) je neprázdna obojaká množina. Čo by znamenalo (pozri príklad 137.), že X je nesúvislý.

153 Nech E ×F - súvislá a nech napr. množina E je nesúvislá. Potom E = A∪B, A, B - oddelené. A tým aj A × F a B × F sú oddelené (overte to!). Ale E × F = A × F ∪ B × F, čo je v spore so súvislost’ou množiny E × F. Obrátene: Nech E a F sú súvislé v X a Y. Vyberme dva l’ubovol’né body (x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}) ∈ E × F. Všimnime si množiny {x} × F a E × {y}. Prienik týchto množín je bod (x_{1}, y_{2}) a tieto množiny {x_{1}} × F a E × {y_{2}} sú súvislé (plynie zo súvislosti množín E a F). Teda zjednotenie {x_{1}} × F ∪ E × {y_{2}} je súvislá (pozri príklad 146.), ale toto zjednotenie obsahuje oba body (x_{1}, y_{2}), (x_{2}, y_{2}). Teda v zmysle príkladu 143. je E × F súvislá.

154 Podl’a príkladu 143. stačí ukázat’, že každé dva body x, y ∈ E možno ”zabalit’” do súvislej množiny ležiacej v E. Teda ak x, y ∈ E, tak existujú množiny A(x) a A(y) zo systému A_{t}, t ∈ T tak, že x ∈ A(x), y ∈ A(y). Ale A(x) ∩ A(y) ≠ ∅, preto podl’a príkladu 146. je i A(x) ∪ A(y) súvislá a to je naša hl’adaná súvislá nadmnožina bodov x, y. Poznámka: Z prevedeného dôkazu vidiet’, že tvrdenie nášho príkladu zostane v platnosti, ak budeme žiadat’ iba tol’ko, aby každé dve množiny systému A_{t} mali neprázdny prienik.

155 Touto komponentou je zjednotenie všetkých súvislých podmnožín množiny E obsahujúcich bod x. Podl’a predchádzajúceho príkladu je to súvislá množina. Jednoznačnost’ je zrejmá.

156 Možno použit’ myšlienku z predchádzajúceho príkladu.

157 Nech E je uzavretá a A je jej komponenta. Potom zrejme A ⊂ \overline{A} ⊂ E. Z príkladu 141. plynie, že i \overline{A} je súvislá. A vzhl’adom na definíciu komponenty: A = \overline{A}.

158 Stačí použit’ príklad 155.

160 Stačí si všimnút’ vety 5.1.

161 Položme napr. X = {1, 2, 3, ...}, Y je množina všetkých racionálnych čísel. Na oboch priestoroch uvažujme euklidovskú metriku. X aj Y sú spočitatel’né množiny, teda existuje prosté zobrazenie f : X → Y. f je spojité, lebo definičný obor pozostáva len z izolovaných bodov. Ale f^{−1} nie je spojité v žiadnom bode.

162 Z definície izometrického zobrazenia ihned’ plynie, že f je prosté. Ešte spojitost’ f: Nech x_{0} ∈ X, {x_{i}}_{i=1}^{∞} → x_{0}, t.j. d(x_{i}, x_{0}) → 0. Ale pre každé i = 1, 2, ... je d(x_{i}, x_{0}) = d′(f(x_{i}), f(x_{0})), teda aj {f(x_{i})}_{i=1}^{∞} → f(x_{0}). (Pozri vetu 5.1.) Spojitost’ funkcie f_{−1} analogicky.

163 Izometrické zobrazenie je rovnomerne spojité - zrejmé. Neplatí obrátene: Vol’me napr. f :< 0, 1 >→< 0, 1 > definovanú predpisom: f(x) = x^{2}.

164 Stačí vyjst’ priamo z definície 5.1.

165 a) Neplatí. Napr. položme A =< 0, 2 >, f(x) = x^{2}. Vždy platí: A ⊂ f^{−1}(f(A)).

b) Vždy platí.

166 Stačí napr. použit’ vetu 5.1 a príklad 159. Podiel bude tiež spojitý, ale iba v tých bodoch, kde g(x) ≠ 0.

167 Ak X je diskrétny - zrejmé. Ak X nie je diskrétny, tak existuje p ∈ X taký, že každé jeho okolie O(p, δ) obsahuje nejaký bod z X rôzny od p. Definujme teraz f : f(p) = 1 a f(x) = 0, pre x ≠ p. Ukážte, že f nie je spojitá.

168 Prvú čast’ možno ukázat’ priamo z definície 5.4. Odpoved’ na otázku je negatívna. Stačí brat’ napr. X =< 0, +∞) s euklidovskou metrikou f(x) = g(x) = x.

169 Stačí si uvedomit’ definície limity a spojitosti. Doporučujeme čitatel’ovi odpovedat’ si na otázku, prečo definujeme limitu funkcie len v hromadnom bode definičného oboru? O spojitosti funkcie v izolovanom bode hovorí príklad 160.

170 Hociktoré z tvrdení a), resp. b) možno ukázat’ priamo z definície uzavretej, resp. otvorenej množiny a spojitosti funkcie f. Zvyšné tvrdenia možno ukázat’ cez komplementy množín.

171 Ak f je spojitá v bode x, tak z definície spojitosti v bode plynie, že k l’ubovol’nému ε > 0 existuje také okolie O(x) bodu x, ktorého diameter je menší ako ε. Teda ω_{f}(x) ≤ ε. Ale ε - bolo l’ubovol’né. Obrátene, ak ω_{f}(x) = 0 = inf_{O(x)} diam f(O(x)), tak prakticky spätným postupom ako vyššie ukážeme, že f je spojitá.

172 a) Uvedomme si, že na základe predchádzajúceho príkladu možno písat’ D_{f} = ∪_{K=1}^{∞}\{x ∈ X; ω_{f}(x) ≥ \frac{1}{K} \}. Ak množiny, vystupujúce v zjednotení na pravej strane uvedenej rovnosti, sú podl’a príkladu 170. uzavreté. b) Stačí si uvedomit’, že C_{f} = X \ D_{f} a tú skutočnost’, že komplement množiny typu F_{σ} je množina typu G_{δ}.

173 Podl’a predchádzajúceho príkladu body spojitosti l’ubovol’nej funkcie tvoria množinu typu G_{δ}. Ale naša množina E (pozri príklad 118.) nemôže byt’ typu G_{δ}.

174 a) Napr.: f(x) = (x^{2} − 1).d(x); kde d(x) = \{ \begin{matrix}1, & x racionálne číslo \\ 0, & x iracionálne číslo \end{matrix} (d(x) je tzv.

Dirichletova funkcia.) b) Napr.: f(x) = d(x). sin πx.

175 Uvedená funkcia je nespojitá v každom bode Cantorovej množiny a spojitá mimo nej.

176 Takáto je napr. tzv. Riemannova funkcia, definovaná:

f(x) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{q}; & ak x = \frac{p}{q}; p, q - nesúdelitel’né \\ 0; & ak x je iracionálne \\ 1; & pre x = 0. \end{matrix}

177 a) f(x) = e^{x} - je všade spojitá, ale f((−∞, 0 >) = (0, 1 >. b) f(x) = sin x - je všade spojitá, ale f((0, 2π)) =< −1, 1 >.

178 Neplatí! Napr. f(x) = c, potom f^{−1}({c}) = X. Alebo f(x) = sin x. Teraz f^{−1}(< −1, 1 >) = R.

179 Ak f je spojitá, že platí aj a) aj b) - plynie z definície 5.1 a príkladu 164. Obrátene, t.j. že každá z podmienok a) i b) stačí k spojitosti f: Podmienka a): Nech x_{0} ∈ R l’ubovol’ný. Označme y_{o} = f(x_{0}). Potom pre každé ε > 0 je f^{−1}((y_{0} − ε, y_{0} + ε)) otvorená v R a obsahujúca bod x_{0} i s nejakým svojím δ - okolím, a teda f((x_{0} − δ, x_{0}+, δ)) ⊂ (y_{0} − ε, y_{0} + ε), čo je vlastne spojitost’ funkcie f. Podmienka b): Možno napr. použit’ predchádzajúci výsledok: Nech (a, b) je l’ubovol’ný otvorený interval. Možno ho vyjadrit’ ako doplnok uzavretej množiny (−∞, a > ∪ < b, +∞), ktorej vzor - podl’a b) - je uzavretá množina, teda vzor f^{−1}((a, b)) je otvorená.

180 Pre každé x′, x′′ ∈ X platí: d(x′, y_{0}) − d(x′′, y_{0}) ≤ d(x′, x′′) a tiež d(x′′, y_{0}) − d(x′, y_{0}) ≤ d(x′, x′′), odkial’ plynie: | d(x′, y_{0}) − d(x′′, y_{0}) |≤ d(x′, x′′), čo dokazuje rovnomernú spojitost’ funkcie f(x) = d(x, y_{0}).

181 Stačí si uvedomit’, že spojitý obraz intervalu je interval (v prípade konštantnej funkcie bod) pozri vetu 5.2 c).

182 Nemusí byt’ spojitá. Napr. f(x) = sin \frac{1}{x}; x ≠ 0, f(0) = 0 má na < −1, 1 > Darbouxovu vlastnost’, ale v bode x = 0 nie je spojitá.

183 Poznámka: Veta 5.2 nám udáva niektoré vlastnosti, ktoré sa spojitým zobrazením prenášajú. Tento príklad nám poukazuje na d’alšiu takúto vlastnost’ - zachovávanie hustoty množiny. Nech y ∈ f(X), t.j. y = f(x), x ∈ X. Ale E je hustá v X, teda existuje {x_{i}}_{i=1}^{∞} → x, x_{i} ∈ E, pre i = 1, 2, .... Ale f je spojitá, z čoho plynie: {f(x_{i})}_{i=1}^{∞} → f(x) = y a f(x_{i}) ∈ f(E).

184 Ukážeme, že f je spojitá v každom bode x_{0} ∈ X. Uvažujeme l’ubovol’né okolie O(f(x_{0}), ε) bodu f(x_{0}). Vzor tohoto okolia, t.j. f^{−1}(O(f(x_{0}), ε)) je otvorená množina v X a obsahuje bod x_{0}. Teda existuje také okolie (O(x_{0}, δ) ⊂ f^{−1}(O(f(x_{0}), ε)) a tak F (O(x_{0}, δ)) ⊂ O(f(x_{0}), ε)), čo dokazuje spojitost’ funkcie f v bode x_{0}.

185 Definujme f : R → R; f(x) = x + \frac{π}{2} − arctg x. Potom pre každé dva body x, x′ platí: | f(x)−f(x′) |=| (x−x′)−(arctg x−arctg x′) |. Podl’a (Lagrangeovej) vety o strednej hodnote možno písat’: arctg x − arctg x′ = (x − x′).\frac{1}{1+t^{2}} ; t leží medzi bodmi x, x′. Po dosadení do predchádzajúcej rovnosti dostávame | f(x)−f(x′) |=| x−x′ | .\frac{t^{2}}{1+t^{2}} <| x−x′ | pre x ≠ x′. A pre x, x′ dost’ vel’ké je i t dost’ vel’ké, lebo t leží medzi x, x′. Inými slovami neexistuje α < 1 také, aby | f(x) − f(x′) |< α. | x − x′ |. Teda f(x) nie je kontraktívne zobrazenie v zmysle definície 5.5. A skutočne veta 5.5 neplatí, lebo f(x) má nekonečne vel’a bodov, v ktorých f(x) = x. (Stačí, aby arctg x = \frac{π}{2} .)

186 Podl’a vety 5.5 existuje jediný pevný bod x_{0} zobrazenie f^{k}. Čiže x_{0} = f^{k}(x_{0}). Potom: f(x_{0}) = f (f^{k}(x_{0})) = f^{k+1}(x_{0}) = f^{k} (f(x_{0})). Teda aj f(x_{0}) je pevný bod zobrazenia f^{k}. Teraz si všimnime: Ak x_{1} je pevný bod zobrazenia f, tak x_{1} = f(x_{1}), f(x_{1}) = f (f(x_{1})) = f^{2}(x_{1})... atd’., teda x_{1} je pevný bod zobrazenia f^{k}, ale toto má iba jediný pevný bod.

187 Stačí si uvedomit’, že už f ∘ f = f^{2} sa identicky rovná nule, teda je kontraktívne.

188 ⋁_{a}^{b}(k.f(x) + m) =| k | .A.

189 ⋁_{0}^{2} f(x) = 23.

190 Nech | f′(x) |≤ A pre všetky x ∈< a.b >. Nech a = x_{0} < x_{1} < ... < x_{n} = b je l’ubovol’né delenie intervalu < a, b >. Podl’a Lagrangeovej vety možno pre všetky i = 1, 2, ..., n písat’: | f(x_{i})−f(x_{i−1}) |= f′(α_{i}).(x_{i} −x_{i−1}) ≤ A.(x_{i} −x_{i−1}), kde α_{i} ∈ (x_{i−1}, x_{i}). Teda ∑_{i=1}^{n} | f(x_{i}) − f(x_{i−1}) |≤ ∑_{i=1}^{n} A. | x_{i} − x_{i−1} |= A. ∑_{i=1}^{n}(x_{i} − x_{i−1}) = A.(b − a).

191 Vo všeobecnosti nie. Napr.:

Položme: f_{k}(x) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{k} sin kπ(x(k + 1) − 1), & pre x ∈< \frac{1}{k+1}, \frac{1}{k} > \\ 0, & pre x mimo tohoto intervalu \end{matrix} .

Potom ∑_{k=1}^{∞} f_{k}(x) je rovnomerne konvergentný funkcionálny rad na intervale < 0, 1 > (overte to!), každá z funkcii f_{k}(x) má na < 0, 1 > ohraničenú variáciu a predsa súčet tohoto radu je funkcia s neohraničenou variáciou na intervale < 0, 1 >. (Čitatel’ si túto skutočnost’ načrtnutím situácie l’ahko overí.)

192 Nech a = x_{0} < x_{1} < x_{2} < ... < x_{n} = b je l’ubovol’né delenie intervalu < a, b >. Počítajme: ∑_{i=1}^{n} | (f(x_{i}) + g(x_{i})) − (f(x_{i−1}) + g(x_{i−1}) |= ∑_{i=1}^{n} | (f(x_{i}) − f(x_{i−1})) + (g(x_{i}) − g(x_{i−1})) |≤ ∑_{i=1}^{n} | f(x_{i}) − f(x_{i−1} | + ∑_{i=1}^{n} | g(x_{i}) − g(x_{i−1}) |≤ ⋁_{a}^{b} f + ⋁_{a}^{b} g. Pre súčin: ∑_{i=1}^{n} | f(x_{i}).g(x_{i}) − f(x_{i−1}).g(x_{i−1}) |= ∑_{i=1}^{n} | f(x_{i}).(g(x_{i}) − g(x_{i−1})) + (f(x_{i}) − f(x_{i−1})).g(x_{i−1}) |≤ ∑_{i=1}^{n} | f(x_{i}) | . | g(x_{i}) − g(x_{i−1}) | + ∑_{i=1}^{n} | f(x_{i}) − f(x_{i−1}) | . | g(x_{i−1}) |≤ sup_{x∈<a,b>} | f(x) | . ⋁_{a}^{b} g + sup_{x∈<a,b>} | g(x) | . ⋁_{a}^{b} f.

193 Uvažujme l’ubovol’né delenie intervalu < a, b > také, aby bod c patril medzi deliace body, t.j. a = x_{0} < x_{1} < ... < x_{r} = c = x_{r} < x_{r+1} < ... < x_{n} = b. Počítajme: ∑_{i=1}^{r} | f(x_{i}) − f(x_{i−1}) | + ∑_{i=r+1}^{n} | f(x_{i}) − f(x_{i−1}) |= ∑_{i=1}^{n} | f(x_{i}) − f(x_{i−1}) |≤ ⋁_{a}^{b} f. ”Supremujúc” túto nerovnicu dostaneme: ⋁_{a}^{c} f + ⋁_{c}^{b} f ≤ ⋁_{a}^{b} f. Ešte opačnú nerovnost’. Nech a = x_{0} < x_{1} < ... < x_{n} = b je l’ubovol’né delenie intervalu < a, b >. Bod c ∈ (a, b) patrí do niektorého čiastkového intervalu, nech napr. c ∈< x_{s−1}, x_{s} >. Potom: ∑_{i=1}^{n} | f(x_{i}) − f(x_{i−1}) |≤ (∑_{i=1}^{s−1} | f(x_{i}) − f(x_{i−1}) | + | f(c) − f(x_{s−1}) |) +

(| f(x_{s}) − f(c) | + ∑_{i=s+1}^{n} | f(x_{i}) − f(x_{i−1} |) ≤ ⋁_{a}^{c} f + ⋁_{c}^{b} f. A opät’ _{”}supremujúc” túto nerovnost’ cez všetky delenia intervalu < a, b > dostaneme ⋁_{a}^{b} f ≤ ⋁_{a}^{c} + ⋁_{c}^{b} f.

194 Že z ohraničenosti variácie funkcie f(x) plynie ohraničenost’ variácie funkcie | f(x) | ihned’ plynie zo vzt’ahu || a | − | b || ≤| a − b |. Odtial’ naviac plynie, že ⋁_{a}^{b} | f |≤ ⋁_{a}^{b} f. Na dôkaz toho, že obrátené tvrdenie nemusí platit’, stačí zobrat’ Dirichletovu funkciu.