2. Nevlastné parametrické integrály

A. Nevlastný parametrický integrál prvého druhu

Definícia 2.1. Nech f je reálna funkcia definovaná na množine < a, ∞) × (c, d) a nech pre každé y ∈ (c, d) existuje integrál ∫_{a}^{∞} f(x, y)dx. Potom funkciu

F (y) = ∫_{a}^{∞} f(x, y)dx

nazývame nevlastným parametrickým integrálom prvého druhu.

Definícia 2.2. Integrál F (y) nazývame rovnomerne konvergentným na intervale (c, d), ak

∀ε > 0 ∃B(ε) > a, že ∀b > B(ε) a ∀y ∈ (c, d)

platí

|∫_{b}^{∞} f(x, y)dx| < ε.

Veta 2.1. (Cauchyho kritérium.) Nevlastný parametrický integrál F (y) konverguje rovnomerne na (c, d) vtedy a len vtedy, ked’ pre l’ubovol’né ε > 0 existuje také B(ε) > a, že pre každé b′ > B(ε) a b′′ > B(ε) platí

|∫_{b′}^{b′′} f(x, y)dx| < ε

pre všetky y ∈ (c, d).

Veta 2.2. (Weierstrassovo kritérium.) Ak existuje taká funkcia g :< a, ∞) → R, že

|f(x, y)| ≤ g(x)

pre všetky x ∈< a, ∞) a y ∈ (c, d) a nevlastný integrál

∫_{a}^{∞} g(x)dx

konverguje, tak nevlastný parametrický integrál F (y) konverguje absolútne a rovnomerne na intervale (c, d).

Veta 2.3. Ak je funkcia f spojitá na množine < a, ∞) × (c, d) a integrál F (y) konverguje rovnomerne na (c, d), tak funkcia F (y) je spojitá na intervale (c, d).

Veta 2.4. Za predpokladov vety 2.3 platí

lim_{y→y_{0}∈(c,d)} ∫_{a}^{∞} f(x, y)dx = ∫_{a}^{∞} f(x, y_{0})dx.

Veta 2.5. Ak

1. funkcie f a \frac{∂f}{∂y} sú spojité na množine < a, ∞) × (c, d),

2. integrál ∫_{a}^{∞} f(x, y)dx konverguje pre všetky y ∈ (c, d),

3. integrál ∫_{a}^{∞} \frac{∂f(x,y)}{∂y}dx konverguje rovnomerne na intervale (c, d),

tak funkcia F je diferencovatel’ná na (c, d) a platí

F′(y) = \frac{d}{dy} ∫_{a}^{∞} f(x, y)dx = ∫_{a}^{∞} \frac{∂f(x, y)}{∂y}dx

pre y ∈ (c, d).

Veta 2.6. Ak je funkcia f spojitá na množine < a, ∞)× < c, d > a integrál F (y) konverguje rovnomerne na < c, d >, tak

∫_{c}^{d} [∫_{a}^{∞} f(x, y)dx] dy = ∫_{a}^{∞} [∫_{c}^{d} f(x, y)dy] dx.

Tento vzorec platí aj v prípade, že d = ∞, ak funkcia f je nezáporná a spojitá na < a, ∞)× < c, ∞), integrály

F (y) = ∫_{a}^{∞} f(x, y)dx a G(y) = ∫_{c}^{∞} f(x, y)dy

konvergujú a sú spojitými funkciami na intervaloch < a, ∞), resp. < c, ∞), a aspoň jeden z integrálov

∫_{c}^{∞} [∫_{a}^{∞} f(x, y)dx] dy alebo ∫_{a}^{∞} [∫_{c}^{∞} f(x, y)dy] dx

konverguje.

B. Nevlastný parametrický integrál druhého druhu

Definícia 2.3. Nech f je reálna funkcia definovaná na množine < a, b) × (c, d) a nech je neohraničená na každom intervale (b − δ, b) × (c, d), δ > 0. Ak pre každé y ∈ (c, d) konverguje nevlastný integrál

∫_{a}^{b} f(x, y)dx,

tak funkciu

F (y) = ∫_{a}^{b} f(x, y)dx

nazývame nevlastným parametrickým integrálom druhého druhu.

Poznámka 2.1. Podobne ako v odseku A je možné aj v prípade nevlastného parametrického integrálu druhého druhu zaviest’ pojem rovnomernej konvergencie a dokázat’ podobné tvrdenia ako boli tie, ktoré platili pre nevlastný parametrický integrál na neohraničenom intervale.

30. Nájdite všetky hodnoty parametra, pri ktorých konvergujú nasledujúce nevlastné parametrické integrály:

a) ∫_{1}^{∞} \frac{dx}{x^{y}},  b) ∫_{0}^{∞} \frac{e^{−xy}}{1 + x^{2}} dx,
c) ∫_{π}^{∞} \frac{x cos x}{x^{y} + a^{y}} dx, a > 0,  d) ∫_{0}^{∞} \frac{sin x^{q}}{x^{p}} dx,
e) ∫_{0}^{2} \frac{dx}{| ln x|^{y}},  f) ∫_{0}^{∞} \frac{sin x}{x^{y} + sin x}dx, y > 0.

31. Dokážte, že integrál

F (y) = ∫_{0}^{∞} ye^{−xy}dx

a) konverguje rovnomerne v l’ubovol’nom intervale < a, b >, kde a > 0,

b) konverguje nerovnomerne v intervale < 0, b >.

32. Dokážte, že Dirichletov integrál

D(y) = ∫_{0}^{∞} \frac{sin xy}{x} dx

a) konverguje rovnomerne na l’ubovol’nom intervale < a, b > neobsahujúcom bod y = 0,

b) konverguje nerovnomerne na každom intervale < a, b > obsahujúcom bod y = 0.

33. Dokážte, že integrál

∫_{0}^{∞} \frac{sin xy}{x} cos xdx

rovnomerne konverguje na l’ubovol’nom uzavretom intervale neobsahujúcom ±1.

34. Zistite, či rovnomerne konverguje integrál

∫_{1}^{∞} \frac{dx}{x^{y}}

v nasledujúcich intervaloch:

a) 1 < y_{0} ≤ y < ∞,

b) 1 < y < ∞.

35. Zistite, či konvergujú rovnomerne na daných intervaloch nasledujúce integrály:

a) ∫_{0}^{∞} e^{−x} sin xydx, −∞ < y < ∞,  b) ∫_{0}^{∞} \frac{sin xy}{x\sqrt{x}} dx, 0 < y ≤ A,
c) ∫_{1}^{∞} x^{y}e^{−x}dx, a ≤ y ≤ b,  d) ∫_{−∞}^{∞} \frac{cos xy}{1 + x^{2}} dx, −∞ < y < ∞,

e) ∫_{0}^{∞} \frac{dx}{(x − y)^{2} + 1}, 0 ≤ y < ∞,  f) ∫_{0}^{∞} \frac{sin x}{x}e^{−xy}dx, 0 ≤ y < ∞,
g) ∫_{0}^{∞} \sqrt{y}e^{−yx^{2}}dx, 0 ≤ y < ∞,  h) ∫_{−∞}^{∞} e^{−(x−y)^{2}}dx, α) a < y < b, β) − ∞ < y < ∞,
i) ∫_{0}^{1} yx^{y−1}dx, 0 < δ ≤ y < 1,  j) ∫_{0}^{∞} e^{−y^{2}(1+x^{2})} sin ydx, −∞ < y < ∞,
k) ∫_{0}^{1} \frac{x^{y}}{\sqrt{1 − x^{2}}} dx, 0 ≤ y < ∞,  l) ∫_{0}^{1} \frac{1}{x^{y}} sin \frac{1}{x}dx, 0 < y < 2.

36. Dokážte, že integrál

F (y) = ∫_{0}^{∞} e^{−(x−y)^{2}}dx

je spojitou funkciou parametra y.

37. Zistite, či sú spojité v daných intervaloch nasledujúce funkcie:

a) F (y) = ∫_{0}^{∞} \frac{x}{2 + x^{y}} dx, (2, ∞),  b) F (y) = ∫_{1}^{∞} \frac{cos x}{x^{y}}dx, (0, ∞),
c) F (y) = ∫_{0}^{∞} \frac{sin [(1 − y^{2})x]}{x}dx, (−∞, ∞), d) F (y) = ∫_{0}^{π} \frac{sin x}{x^{y}(π − x)^{y}} dx, (0, 2),
e) F (y) = ∫_{0}^{∞} \frac{e^{−x}}{| sin x|^{y}} dx, (0, 1),  f) F (y) = ∫_{0}^{∞} ye^{−xy^{2}}dx, (−∞, ∞).

38. Je prípustný prechod k limite za znakom integrálu vo výraze lim_{y→+0} ∫_{0}^{∞} ye^{−xy}dx?

39. Nech f je funkcia integrovatel’ná v intervale (0, ∞). Dokážte, že platí

lim_{y→+0} ∫_{0}^{∞} e^{−xy}f(x)dx = ∫_{0}^{∞} f(x)dx.

40. Vypočítajte integrál

∫_{0}^{∞} e^{−x^{2}}dx = ∫_{0}^{∞} lim_{n→∞} [(1 + \frac{x^{2}}{n} )^{−n}] dx

použijúc limitný prechod za znakom integrálu.

41. Nájdite

a) lim_{n→∞} ∫_{0}^{∞} \frac{dx}{x^{n} + 1},

b) lim_{n→∞} ∫_{0}^{∞} f_{n}(x)dx, kde f_{n}(x) = \{ \begin{matrix}\frac{n}{x^{3}} e^{− \frac{n}{2x^{2}}} , & ak x > 0, \\ 0, & ak x = 0, \end{matrix}

c) lim_{y→∞} ∫_{0}^{∞} e^{−x^{2}} \frac{sin 2xy}{x} dx,

d) lim_{y→∞} ∫_{0}^{∞} \frac{e^{−y^{2}(x^{2}+1)}}{x^{2} + 1} dx.

42. Použijúc vzorec ∫_{0}^{1} x^{n−1}dx = \frac{1}{n}, n > 0, vypočítajte integrál I = ∫_{0}^{1} x^{n−1} ln^{m} xdx, kde m je prirodzené číslo.

43. Pomocou rovností ∫_{0}^{∞} e^{−xy}dx = \frac{1}{y} , y > 0, vypočítajte ∫_{0}^{∞} e^{−xy}x^{n−1}dx, kde n je celé číslo.

44. Pomocou rovnosti ∫_{0}^{∞} \frac{1}{x^{2} + y^{2}} dx = \frac{π}{2y} vypočítajte ∫_{0}^{∞} \frac{1}{(x^{2} + y^{2})^{n}} dx, kde n je celé číslo.

45. Dokážte, že Dirichletov integrál

D(y) = ∫_{0}^{∞} \frac{sin xy}{x} dx

má pre y ≠ 0 deriváciu, avšak nedá sa nájst’ pomocou Leibnizovho vzorca.

46. Dokážte správnost’ Froullaniho vzorca

∫_{0}^{∞} \frac{f(ax) − f(bx)}{x}dx = f(0) ln \frac{b}{a}, a > 0, b > 0,

kde f je spojitá funkcia a integrál ∫_{A}^{∞} \frac{f(x)}{x}dx má zmysel pre l’ubovol’né A > 0.

47. Pomocou Froullaniho vzorca vypočítajte nasledujúce integrály, v ktorých a > 0, b > 0:

a) ∫_{0}^{∞} \frac{e^{−ax} − e^{−bx}}{x} dx,  b) ∫_{0}^{∞} \frac{sin ax − sin bx}{x}dx,
c) ∫_{0}^{∞} \frac{cos ax − cos bx}{x}dx,  d) ∫_{0}^{∞} \frac{arctg ax − arctg bx}{x}dx.

48. Pomocou derivovania podl’a parametra vypočítajte nasledujúce nevlastné integrály:

a) ∫_{0}^{∞} \frac{e^{−ax^{2}} − e^{−bx^{2}}}{x} dx, a > 0, b > 0,  b) ∫_{0}^{∞} (\frac{e^{−ax} − e^{−bx}}{x} )^{2} dx, a > 0, b > 0,
c) ∫_{0}^{∞} \frac{e^{−ax} − e^{−bx}}{x} sin mxdx, a > 0, b > 0, d) ∫_{0}^{∞} \frac{e^{−ax} − e^{−bx}}{x} cos mxdx, a > 0, b > 0,
e) ∫_{0}^{1} \frac{ln(1 − a^{2}x^{2})}{x^{2}\sqrt{1 − x^{2}}}dx, |a| ≤ 1,  f) ∫_{0}^{1} \frac{ln(1 − a^{2}x^{2})}{\sqrt{1 − x^{2}}}dx, |a| ≤ 1,
g) ∫0^{\frac{π}{2}} ln (\frac{1 + a sin x}{1 − a sin x}) \frac{dx}{sin x}, |a| < 1,  h) ∫_{0}^{∞} \frac{arctg axarctg bx}{x^{2}}dx,
i) ∫_{0}^{∞} \frac{ln(x^{2} + a^{2})}{x^{2} + b^{2}}dx,  j) ∫_{0}^{∞} \frac{ln(1 + a^{2}x^{2}) ln(1 + b^{2}x^{2})}{x^{4}}dx.

49. Dokážte, že funkcia

y(x) = ∫_{0}^{∞} \frac{e^{−xt}}{(1 + t^{2})^{n+1}} dt

vyhovuje diferenciálnej rovnici

xy′′ − 2ny′ + xy = 1.

50. Vypočítajte Eulerov-Poissonov integrál

I = ∫_{0}^{∞} e^{−x^{2}}dx

pomocou vzt’ahu

I^{2} = ∫_{0}^{∞} e^{−x^{2}}dx ∫_{0}^{∞} xe^{−x^{2}y^{2}}dy.

51. Pomocou Eulerovho-Poissonovho integrálu vypočítajte:

a) ∫_{−∞}^{∞} e^{−(ax^{2}+2bx+c)}dx, a > 0, ac − b^{2} > 0, b) ∫_{−∞}^{∞} e^{−ax^{2}}ch bxdx, a > 0,
c) ∫_{0}^{∞} e^{−(x^{2}+ \frac{a^{2}}{x^{2}} )}dx, a > 0,  d) ∫_{0}^{∞} \frac{e^{−ax^{2}} − e^{−bx^{2}}}{x^{2}} dx, a > 0, b > 0,
e) ∫_{0}^{∞} e^{−ax^{2}} cos bxdx, a > 0,  f) ∫_{0}^{∞} xe^{−ax^{2}} sin bxdx, a > 0.

52. Vyjdúc z integrálu

I(a, b) = ∫_{0}^{∞} e^{−ax} \frac{sin bx}{x}dx, a ≥ 0, b ∈ R,

vypočítajte Dirichletov integrál

D(b) = ∫_{0}^{∞} \frac{sin bx}{x}dx.

53. Pomocou Dirichletovho integrálu a Froullaniho vzorca vypočítajte:

a) ∫_{0}^{∞} \frac{e^{−ax^{2}} − cos bx}{x^{2}}dx, a > 0,  b) ∫_{0}^{∞} \frac{sin ax cos bx}{x}dx, a, b ∈ R,
c) ∫_{0}^{∞} \frac{sin ax sin bx}{x}dx, a ≠ ±b,  d) ∫_{0}^{∞} \frac{sin^{3} ax}{x}dx, a ∈ R,
e) ∫_{0}^{∞} (\frac{sin ax}{x})^{2} dx, a ∈ R,  f) ∫_{0}^{∞} (\frac{sin ax}{x})^{3} dx, a ∈ R,
g) ∫_{0}^{∞} \frac{sin^{4} x}{x^{2}}dx,  h) ∫_{0}^{∞} \frac{sin^{4} ax − sin^{4} bx}{x}dx, ab ≠ 0,

i) ∫_{0}^{∞} \frac{sin x^{2}}{x} dx.

54. Pomocou rovnosti

\frac{1}{1 + x^{2}} = ∫_{0}^{∞} e^{−y(1+x^{2})}dy

vypočítajte Laplaceov integrál

L(α) = ∫_{0}^{∞} \frac{cos αx}{1 + x^{2}} dx.

55. Vypočítajte integrály:

a) ∫_{0}^{∞} \frac{sin^{2} x}{1 + x^{2}} dx,  b) ∫_{0}^{∞} \frac{cos αx}{(1 + x^{2})^{2}} dx,

c) ∫_{−∞}^{∞} \frac{cos αx}{ax^{2} + 2bx + c}dx, a > 0, ac − b^{2} > 0.

56. Pomocou rovností \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{2}{\sqrt{π}} ∫_{0}^{∞} e^{−xy^{2}}dy, x > 0, vypočítajte tzv. Fresnelove integrály

∫_{0}^{∞} sin x^{2}dx = \frac{1}{2} ∫_{0}^{∞} \frac{sin x}{\sqrt{x}}dx,
∫_{0}^{∞} cos x^{2}dx = \frac{1}{2} ∫_{0}^{∞} \frac{cos x}{\sqrt{x}}dx.

57. Pomocou Fresnelových integrálov vypočítajte:

a) ∫_{−∞}^{∞} sin (ax^{2} + 2bx + c) dx, a ≠ 0,

b) ∫_{−∞}^{∞} sin x^{2}. cos 2axdx,  c) ∫_{−∞}^{∞} cos x^{2}. cos 2axdx.

58. Dokážte, že pre Laplaceovu funkciu Φ(x) = \frac{2}{\sqrt{π}} ∫_{0}^{x} e^{−t^{2}}dt platia vzt’ahy:

a) ∫_{0}^{x} Φ(at)dt = \frac{e^{−a^{2}x^{2}} − 1}{a\sqrt{π}} + xΦ(ax),  b) ∫_{0}^{∞} [1 − Φ(x)] dx = \frac{1}{\sqrt{π}}.

59. Dokážte, že pre Besselovu funkciu nultého rádu I_{0}(x) = \frac{1}{π} ∫_{0}^{π} cos (x sin φ) dφ platí:

a) ∫_{0}^{∞} e^{−ax}I_{0}(bx)dx = \frac{1}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} , a > 0,

b) ∫_{0}^{∞} \frac{sin ax}{x}I_{0}(x)dx = \{ \begin{matrix}\frac{π}{2} , & ak a ≥ 1, \\ arcsin a, & ak |a| ≤ 1, \\ −\frac{π}{2} , & ak a ≤ −1. \end{matrix}

60. Nájdite Laplaceovu transformáciu F (p) = ∫_{0}^{∞} e^{−pt}f(t)dt, p > 0, funkcie f, ak:

a) f(t) = t^{n}, n - prirodzené číslo,  b) f(t) = \sqrt{t},
c) f(t) = cos t,  d) f(t) = \frac{1 − e^{−t}}{t},

e) f(t) = sin (α\sqrt{t}).