3. Eulerove integrály

A. Beta-funkcia Definícia 3.1. Funkciu

B(x, y) = ∫_{0}^{1} t^{x−1} (1 − t)^{y−1} dt,

ktorá je definovaná pre x > 0, y > 0, nazývame Eulerovým integrálom prvého druhu alebo beta - funkciou.

Základné vlastnosti:

(i) B(x, y) = B(y, x).

(ii) B(x, y) = \frac{y − 1}{x + y − 1}B(x, y − 1).

(iii) B(x, n) = \frac{(n − 1)!}{x(x + 1)(x + 2) … (x + n + 1)} pre n = 1, 2, . . ..

(iv) B(x, y) = ∫_{0}^{∞} \frac{t^{x−1}}{(1 + t)^{x+y}} dt.

(v) B(x, 1 − x) = \frac{π}{sin πx}, 0 < x < 1.

B. Gama-funkcia Definícia 3.2. Funkciu

Γ(x) = ∫_{0}^{∞} e^{−t}t^{x−1}dt,

ktorá je definovaná pre x > 0, nazývame Eulerovým integrálom druhého druhu alebo gama-funkciou.

Základné vlastnosti:

(i) Γ(x + 1) = xΓ(x). (ii) Γ(n) = (n − 1)! pre prirodzené n. (iii) Γ(x)Γ(1 − x) = \frac{π}{sin πx}, 0 < x < 1. (iv) Γ(x)Γ (x + \frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{π}}{2^{2x−1}} Γ(2x), špeciálne:

Γ (n + \frac{1}{2}) = \frac{(2n − 1)!!}{2^{n}} \sqrt{π} pre prirodzené n.

(v) B(x, y) = \frac{Γ(x)Γ(y)}{Γ(x + y)}.

(vi) Γ(x) = lim_{n→∞} \frac{(n − 1)!}{x(x + 1)(x + 2) … (x + n − 1)}n^{x}.

61. Pomocou Eulerových integrálov vypočítajte nasledujúce integrály:

a) ∫_{0}^{1} \sqrt{x − x^{2}}dx,  b) ∫_{0}^{1} x^{3} (1 − x^{3})^{\frac{1}{3}} dx,
c) ∫_{0}^{1} x^{2}\sqrt{a^{2} − x^{2}}dx, a > 0,  d) ∫_{0}^{∞} \frac{\sqrt[5]{x}}{(1 + x^{3})^{2}} dx,
e) ∫_{0}^{∞} \frac{dx}{1 + x^{3}} ,  f) ∫_{0}^{∞} \frac{x^{2}}{1 + x^{4}} dx,

g) ∫_{0}^{∞} x^{2n}e^{−x^{2}}dx, n ∈ N.

62. Určte oblast’ existencie a vyjadrite pomocou Eulerových integrálov:

a) ∫_{0}^{∞} \frac{x^{m−1}}{1 + x^{n}} dx, n > 0,  b) ∫_{0}^{∞} \frac{x^{m−1}}{(1 + x)^{n}} dx,
c) ∫_{0}^{∞} \frac{x^{m}}{(a + bx^{n})^{p}} dx, a > 0, b > 0, n > 0, d) ∫_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt[n]{1 − x^{m}}} , m > 0,
e) ∫0^{\frac{π}{2}} sin^{m} x cos^{n} xdx,  f) ∫0^{\frac{π}{2}} tg ^{n}xdx,
g) ∫_{0}^{∞} x^{m}e^{−x^{n}}dx,  h) ∫_{0}^{1} (ln \frac{1}{x})^{p} dx,
i) ∫_{0}^{∞} x^{p}e^{−ax} ln xdx, a > 0,  j) ∫_{0}^{∞} \frac{x^{p−1} ln x}{1 + x}dx,
k) ∫_{0}^{∞} \frac{x^{p−1} − x^{q−1}}{(1 + x) ln x} dx,  l) ∫_{0}^{∞} \frac{x^{p−1} − x^{−p}}{1 − x} dx, 0 < p < 1.

63. Vypočítajte:

a) ∫_{0}^{1} ln Γ(x)dx (Raabeho integrál),  b) ∫_{a}^{a+1} ln Γ(x)dx, a > 0,
c) ∫_{0}^{1} ln Γ(x) sin πxdx,  d) ∫_{0}^{1} ln Γ(x) cos 2nπxdx, n je prirodzené číslo.

64. Dokážte, že ak I_{1} = ∫_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1 − x^{2n}}} a I_{2} = ∫_{0}^{1} \frac{x^{n}}{\sqrt{1 − x^{2n}}} dx, n je prirodzené číslo, tak

I_{1}I_{2} = \frac{π}{2n}.

65. Dokážte, že lim_{n→∞} ∫_{0}^{∞} e^{−x^{n}}dx = 1.

66. Pomocou rovnosti \frac{1}{x^{m}} = \frac{1}{Γ(m)} ∫_{0}^{∞} t^{m−1}e^{−xt}dt, x > 0, nájdite integrály:

a) ∫_{0}^{∞} \frac{cos ax}{x^{m}}dx, 0 < m < 1, a ≠ 0,  b) ∫_{0}^{∞} \frac{sin ax}{x^{m}}dx, 0 < m < 2.

67. Nájdite dl’žku lemniskáty r^{2} = a^{2} cos 2φ, a > 0.

68. Nájdite obsah časti roviny ohraničenej krivkou r^{4} = sin^{3} φ cos φ.

69. Nájdite obsah časti roviny ohraničenej krivkou |x|^{n} + |y|^{n} = a^{n}, n > 0, a > 0.