Výsledky, návody a poznámky

1 \frac{1}{2}. 2 \frac{π}{4} . 3 \frac{2π}{3\sqrt{3}}. 4 \frac{1}{2a}. 5 1 − ln 2. 6 \frac{π}{2} . 7 \frac{1}{2}. 8 \frac{1}{4}(π + 2). Návod: urobit’ substitúciu \sqrt{x} = t a použit’ vetu 1.2. 9 \frac{2}{3} ln 2. 10 \frac{π}{\sqrt{2}}. Návod: vezmite do úvahy, že \frac{x^{2}+1}{x^{4}+1} = \frac{1+ \frac{1}{x^{2}}}{x^{2}+ \frac{1}{x^{2}}} (x ≠ 0) a urobte substitúciu

x − \frac{1}{x} = t; dostanete ∫_{−∞}^{∞} \frac{dt}{t^{2}+2}, na výpočet ktorého použite definíciu 1.4 alebo definíciu 1.7.

11 \frac{π}{2} − 1. Návod: urobte substitúciu arctg x = t. 12 \frac{a}{a^{2}+b^{2}} . 13 \frac{b}{a^{2}+b^{2}} . 14 π. 15 2. 16 2\frac{2}{3}. 17 5\frac{1}{4}. Návod: urobte substitúciu ^{3} \sqrt{x − 1} = t. 18 \frac{π}{2} . 19 −\frac{1}{4}. 20 Diverguje. 21 −1. 22 \frac{π}{2} . 23 π. 24 0.

25 \frac{1}{5} ln (1 + \frac{2}{\sqrt{3}}). Návod: vezmite do úvahy, že \frac{1}{x\sqrt{1+x^{5}+x^{10}}} = \frac{\frac{1}{x^{6}}}{\sqrt{(\frac{1}{x^{5}} )^{2}+ \frac{1}{x^{5}} +1}} a urobte substitúciu \frac{1}{x^{5}} = t.

26 \frac{1}{2}. Návod: urobte substitúciu najprv x^{2} = t a potom v získanom integráli položte t = cos φ; na výpočet použite definíciu 1.3.

27 (−1)^{p} p!. Návod: urobte substitúciu ln x = t. 28 I_{1} = I_{2} = −\frac{π}{2} ln 2. Návod: substitúciou \frac{π}{2} − x = t sa integrál I_{2} redukuje

na integrál I_{1}; potom 2I_{1} = I_{1} + I_{2} = ∫0^{\frac{π}{2}} ln (\frac{sin 2x}{2}) dx = −\frac{π}{2} ln 2 + ∫0^{\frac{π}{2}} ln (sin 2x) dx =

−\frac{π}{2} ln 2 + \frac{1}{2} ∫_{0}^{π} ln (sin t) dt = −\frac{π}{2} ln 2 + \frac{1}{2} ∫0^{\frac{π}{2}} ln (sin t) dt + \frac{1}{2} ∫ π_{\frac{π}{2}} ln (sin t) dt = −\frac{π}{2} ln 2 + I_{1}

(to sa dostane pomocou substitúcie π − t = z v integráli ∫ π_{\frac{π}{2}} ln (sin t) dt).

29 Návod: použite definíciu 1.1 a skutočnost’, že ak φ′(x) ∈ ℜ < a, η >, η ≥ a, tak aj |φ′(x)| ∈ ℜ < a, η >.

30 \frac{2 ^{4} \sqrt{8}e^{− \frac{π}{8}}}{1 − e^{−π}} . Návod: Pretože sin x > 0 pre 2kπ < x < π + 2kπ, k = 0, 1, 2, …

∫_{E} \frac{e^{− \frac{x}{2}} | sin x−cos x|}{\sqrt{sin x}}dx = ∑_{k=0}^{∞} ∫_{2kπ}^{π+2kπ} \frac{e^{− \frac{x}{2}} | sin x−cos x|}{\sqrt{sin x}}dx = ∑_{k=0}^{∞} e^{−kπ} ∫_{0}^{π} \frac{e^{\frac{t}{2}} | sin t−cos t|}{\sqrt{sin t}}dt (po substitúcii x − 2kπ = t). Integrál ∫_{0}^{π} \frac{e^{\frac{t}{2}} | sin t−cos t|}{\sqrt{sint}}dt je konvergentný, čo sa dokáže na základe definície 1.2 resp. definície 1.3, ak vezmeme do úvahy, že sin t − cos t ≤ 0 pre 0 ≤ t ≤ \frac{π}{4} a sin t − cos t ≥ 0 pre \frac{π}{4} ≤ t ≤ π a zapíšeme ho ako súčet dvoch integrálov.

31 n! 32 I_{n} = \frac{(n−1)!!}{n!!} \frac{π}{2} , ak n je párne; I_{n} = \frac{(n−1)!!}{n!!}, ak n je nepárne. Návod: urobte

substitúciu x = sin t.

33 a) 1; b) \frac{π}{2} ; c) 0. 34 Návod: použite definíciu 1.7, v ktorej položte d_{0}=0 a zohl’adnite skutočnost’, že

v a) je funkcia za znakom integrálu nepárna a v b) je párna.

35 Diverguje. 36 Konverguje. 37 Diverguje. 38 Diverguje. 39 Konverguje. 40 Diverguje. Návod: dokážte na základe definície 1.1. 41 Diverguje. Návod: pre dôkaz použite definíciu 1.2 a poznámku 1.1. 42 Konverguje (pozri úlohu 31). 43 Konverguje.

44 Konverguje. Návod: použite vetu 2.7.

45 Konverguje.

46 Konverguje. Návod: použite definíciu 1.7 a potom definíciu 1.2 resp. 1.3.

47 Diverguje. (Pozri návod k úlohe 46).

48 Konverguje.

49 Diverguje.

50 Diverguje. Návod: Napíšte daný integrál ako súčet dvoch integrálov ∫_{0}^{1} \frac{dx}{ln x} + ∫_{1}^{2} \frac{dx}{ln x}, pričom v druhom integráli funkcia \frac{1}{ln x} =O^{∗}(\frac{1}{x−1}) pre x → 1^{+}; d’alej využite poznámku 2.4 a definíciu 1.7.

51 Konverguje. Návod: Na základe definície 1.7 zapíšte integrál ako súčet dvoch integrálov a na prvý z nich použite poznámku 2.4 a na druhý dôsledok 2.2 (alebo poznámku 2.2).

52 Konverguje. Návod: Daný integrál má singulárny bod x = 0, t.j. integrál je typu integrála z definície 1.3. Využitím poznámky 1.4 sformulujte špeciálne porovnávacie kritérium v limitnom tvare pre uvedený typ nevlastného integrálu, podobne ako je toto kritérium sformulované vo vete 2.5 pre integrál z definície 1.2. Na základe toho hl’adajte

lim_{x→0^{+}} \frac{x^{p}| ln sin x|}{\sqrt{x}} (\frac{1}{2} < p < 1), kde x^{p} = (x − 0)^{p}.

53 Diverguje. Návod: Integrál zapíšte v tvare

∫_{0}^{+∞} \frac{sin^{2} x}{x}dx = ∫_{0}^{a} \frac{sin^{2} x}{x}dx + ∫_{a}^{+∞} \frac{sin^{2} x}{x}dx (a > 0).

Prvý integrál existuje, druhý integál na pravej strane rovnosti použitím vzorca sin^{2} x = \frac{1}{2} (1 − cos 2x) napíšte ako rozdiel dvoch integrálov použite na jeden z nich definíciu 1.1 a na druhý vetu 2.7.

54 Konverguje. Poznámka: bod x = 1 nie je singulárnym bodom funkcie \frac{ln x}{1−x^{2}} , lebo

existuje lim_{x→1^{−}} \frac{ln x}{1 − x^{2}} , o čom sa presvedčte sami.

55 Návod: Uvažujte dva prípady: a) s ≤ 0; b) s > 0.

a) Ak s ≤ 0, integrál existuje ako vlastný (prečo?).

b) Ak s > 0, funkcia \frac{1}{(sin x)^{s}} má singulárne body x = 0 a x = π. Podl’a definície 1.7 zapíšte integrál vo tvare ∫_{0}^{π} \frac{dx}{(sin x)^{s}} = ∫_{0}^{c} \frac{dx}{(sin x)^{s}} + ∫_{c}^{π} \frac{dx}{(sin x)^{s}} (0 < c < π). Na dôkaz konvergencie 1. integrálu použite poznámku 2.4 (tu a = 0); 2. integrál substitúciou π − x = t prevediete na integrál so singulárnym bodom x = 0. Z a), b) dostanete dôkaz tvrdenia úlohy.

56 Návod: Uvažujte dva prípady: a) p ≤ 0, b) p > 0. Prípad a) pozrite v návode k úlohe 55. V prípade b) funkcia \frac{sin x}{x^{p}} má singulárny bod x = 0. Na dôkaz konvergencie integrálu ∫_{0}^{1} \frac{sin x}{x^{p}}dx použite poznámku 2.4, pritom vezmite do úvahy, že \frac{sin x}{x^{p}} = \frac{sin x}{x}.\frac{1}{x^{p−1}} .

57 Návod: Použite vetu 2.7.

58 Pozrite návod k úlohe 57.

59 Konverguje, ak |α| < 1 a diverguje, ak |α| ≥ 1. Návod: Zapíšte daný integrál v tvare ∫_{0}^{c} \frac{dx}{x^{−α}(x^{2}+1)} + ∫_{c}^{∞} \frac{dx}{x^{−α}(x^{2}+1)} (c > 0). Použitím poznámky 2.4 na 1. integrál dostanete množinu A_{1} hodnôt parametra α, pre ktoré konverguje tento integrál, a množinu A′_{1} hodnôt parametra α, pre ktoré integrál diverguje. Podobne použitím poznámky 2.2 dostanete množiny A_{2} a A′_{2} pre 2. integrál. Potom je množina A = A_{1} ∩ A_{2} hodnôt parametra α, pre ktoré daný integrál konverguje, a množina A′ = A′_{1} ∪ A′_{2} je množinou hodnôt parametra α, pre ktoré daný integrál diverguje.

60 Konverguje, ak α < −1 a diverguje, ak α ≥ −1. Návod: Zapíšte funkciu, ktorú

integrujete vo tvare \frac{1}{x^{−α}} .\frac{1 + \frac{sin x}{x}}{1 − \frac{sin x}{x}} a použite poznámku 2.2.

61 Konverguje pre α > 1 a diverguje pre α ≤ 1. Návod: Urobte substitúciu ln x = t a na získaný integrál použite dôsledok 2.2.

62 Pre α < 1 konverguje, pre α ≥ 1 diverguje. Návod: Zapíšte integrál v tvare: ∫_{0}^{π} \frac{1}{x^{α}} dx − ∫0^{\frac{π}{2}} \frac{cos x}{x^{α}}dx − ∫ π_{\frac{π}{2}} \frac{cos x}{x^{α}}dx; prvé dva integrály majú singulárny bod x = 0, použite na nich poznámku 2.4.

63 Konverguje pre α > 0. Návod: Integrál zapíšte vo tvare súčtu dvoch integrálov: ∫_{0}^{c} \frac{e^{−x}}{x^{1−α}} dx+∫_{c}^{∞} \frac{x^{α−1}}{e^{x}} dx (c > 0); na prvý z nich použite poznámku 2.4 a na druhý dôsledok 2.2.

64 Konverguje pre 1 < α < 2. Návod: Zapíšte daný integrál vo tvare súčtu dvoch integrálov: ∫_{0}^{c} \frac{arctg ax}{x^{α}}dx + ∫_{0}^{∞} \frac{arctg ax}{x^{α}}dx (c > 0); na prvý z nich použite poznámku 2.4 a na druhý poznámku 2.2.

65 Konverguje pre 1 < α < 2. Návod: Urobte substitúciu ln(1 + x) = t a d’alej postupujte podl’a návodu k úlohe 63.

66 Konverguje pre α > 0 (a ≠ 0). Návod: Použite vetu 2.7.

67 Konverguje pre α > −1. Návod: Podl’a definície 1.7 zapíšte daný integrál ako súčet dvoch integrálov na prvý z nich použite poznámku 2.4 a na druhý poznámku 2.3.

68 Konverguje, ak p > −1 a q > −1. Návod: Po substitúcii ln \frac{1}{x} = u v danom integráli dostaneme integrál ∫_{0}^{∞} \frac{u^{a}}{e^{(1+p)u}} du. Ďalej postupujete podl’a návodu k úlohe 63.

69 Konverguje, ak m > −1, n − m > 1. Návod: Podl’a definície 1.7 zapíšte daný integrál ako súčet dvoch integrálov na prvý z nich použite poznámku 2.4 a na druhý poznámku 2.2.

70 Konverguje, ak m > −2, n − m > 1. Poznámka: Pri hl’adaní hodnôt parametrov m a n, pre ktoré daný integrál konverguje, postupujte podl’a návodu k úlohe 69.

71 Konverguje, ak p < 1, q < 1. Návod: Podl’a definície 1.7 zapíšte daný integrál v tvare súčtu dvoch integrálov: ∫_{0}^{c} \frac{dx}{sin^{p} x cos^{q} x} + ∫c^{\frac{π}{2}} \frac{dx}{sin^{p} x cos^{q} x} (0 < c < \frac{π}{2} ); funkciu \frac{1}{sin^{p} x cos^{q} x} v 1. integráli rozširte x^{p} a použite poznámku 2.4; v 2. integráli túto funkciu rozšírte výrazom (\frac{π}{2} − x)^{q} a použite poznámku 2.3.

72 Konverguje, ak min{p, q} < 1, max{p, q} > 1. Návod: Na základe definície 1.7 zapíšte daný integrál v tvare súčtu dvoch integrálov: ∫_{0}^{c} \frac{dx}{x^{p}+x^{q}} + ∫_{c}^{∞} \frac{dx}{x^{p}+x^{q}}; na zistenie konvergencie prvého z nich použite poznámku 2.4 v dvoch prípadoch a) p > q, b) p < q; na zistenie konvergencie druhého použite poznámku 2.2 tiež v uvedených dvoch prípadoch.

73 Konverguje, ak p > 1, q < 1. Návod: Použitím substitúcie ln x = t v danom integráli dostanete integrál ∫_{0}^{∞} \frac{dt}{e^{(p−1)t}t^{q}}. Ďalej postupujte podl’a návodu k úlohe 63.

74 Konverguje pre m > −1, n > −1, m + n < −1. Návod: Singulárne body funkcie, ktorú integrujeme na intervale (0, ∞) sú 0, 1, +∞. Podl’a definície 1.7 zapíšte daný integrál vo tvare súčtu štyroch integrálov: ∫_{0}^{d_{0}} f(x)dx + ∫_{d_{0}}^{1} f(x)dx + ∫_{1}^{d_{1}} f(x)dx + ∫_{d_{1}}^{∞} f(x)dx (0 < d_{0} < 1 < d_{1} < ∞, f(x) = x^{α}|x − 1|^{β}), z ktorých každý obsahuje len jeden singulárny bod. Na vyšetrenie konvergencie 1. a 3. integrálu použite poznámku 2.4, konvergencie 2. integrálu poznámku 2.3 a konvergenciu 4. integrálu poznámku 2.2.

75 Konverguje, ak p > 0 a q > 0. Návod: Podl’a definície 1.7 daný integrál zapíšte v tvare: ∫_{0}^{c} \frac{(1−x)^{q−1}}{x^{1−p}} dx + ∫_{c}^{1} \frac{x^{p−1}}{(1−x)^{1−q}} (0 < c < 1); na prvý z nich použite poznámku 2.4 a na druhý použite poznámku 2.3.

76 Konverguje pre p > 1, l’ubovol’né q, r < 1 a pre p = 1, q > 1, r < 1. Návod: Substitúciou ln ln x = u v danom integráli dostanete integrál

∫_{0}^{∞} \frac{du}{e^{(p−1)e^{u}}e^{(q−1)u}u^{r}} .

Ďalej postupujte podl’a návodu k úlohe 63, pričom pri vyšetrení konvergencie 2. integrálu (ktorý má singulárny bod ∞) rozlíšte dva prípady: a) p − 1 > 0, b) p − 1 = 0.

77 Konverguje, ak p_{i} < 1 (i = 1, 2, …, n), ∑_{i=1}^{n} p_{i} > 1. Návod: Funkcia, ktorú integrujeme na intervale (−∞, ∞) má tieto singulárne body: −∞, a_{1}, …, a_{n}, ∞. Ďalej postupujeme podobne ako v návode k úlohe 74.

78 Návod: Podl’a definície 1.7 zapíšte daný integrál ako súčet dvoch integrálov ∫_{0}^{c} \frac{sin tx}{x^{s}}dx + ∫_{c}^{∞} \frac{sin tx}{x^{s}}dx (c > 0, t ≠ 0). Poznámka 1.: Pre t = 0 dostanete nulovú funkciu, ktorej integrál absolútne konverguje na (0, ∞). Pri vyšetrovaní konvergencie daného integrálu postupujeme takto:

1. Použitím poznámky 2.4 dostanete \frac{| sin tx|}{x^{s}} = |\frac{sin tx}{tx}t| .\frac{1}{x^{s−1}} = O^{∗}(\frac{1}{x^{s−1}} ) pre x → 0^{+}, z čoho vyplýva, že ∫_{0}^{c} \frac{| sin tx|}{x^{s}}dx konverguje, ak s − 1 < 1, t.j. s < 2; použite poznámku 2.1.

2. Na získanie konvergencie 2. integrálu použite vetu 2.7. Z 1. a 2. dostanete množinu hodnôt parametra s, pre ktoré daný integrál konverguje. Poznámka 2.: Z 1. vyplýva, že 1. integrál absolútne konverguje pre s < 2.

Absolútnu konvergenciu 2. integrálu zistíte na základe prvej časti vety 2.4. Z poznámky 2. a absolútnej konvergencie 2. integrálu dostanete množinu hodnôt parametra s, pre ktoré daný integrál konverguje absolútne.

79 Návod: Použitím vzorca 1−cos tx = 2 sin^{2} \frac{tx}{2} v danom integráli dostanete integrál

2 ∫_{0}^{∞} \frac{sin^{2} \frac{tx}{2}}{x^{s}} dx. Funkcia \frac{sin^{2} \frac{tx}{2}}{x^{s}} je na (0, ∞) nezáporná, preto konvergencia tohoto integrálu je súčasne aj absolútnou konvergenciou. Pri skúmaní konvergencie integrálu postupujete podl’a návodu k úlohe 78., pričom v prvom z integrálov, ktoré dostanete po vyjadrení uvedeného integrálu ako súčtu dvoch integrálov, vezmite do úvahy, že

\frac{sin^{2} \frac{tx}{2}}{x^{s}} = \frac{t^{2}}{4} (\frac{sin \frac{tx}{2}}{\frac{tx}{2}} )^{2} .\frac{1}{x^{s−2}} , t ≠ 0.

80 Návod: Po použití vzorcov pre goniometrické funkcie polovičného argumenta v danom integráli dostanete 2 ∫_{0}^{∞} \frac{sin^{3} \frac{x}{2} cos \frac{x}{2}}{x^{s}} dx. Dôkaz tvrdenia úlohy preved’te podl’a návodu k úlohe 78.

81 Návod: a) Na zistenie konvergencie integrálu použite vetu 2.7. Pri dôkaze divergencie integrálu ∫_{0}^{∞} \frac{| cos x|}{\sqrt{x}}dx využite nerovnost’ | cos x| ≥ cos^{2} x.

b) Dôkaz robte podl’a návodu v a), pritom využite nerovnost’ | sin x| ≥ sin^{2} x.

c) Substitúciou x^{2} = t v danom integráli dostanete integrál typu, ktorý sa uvažuje v úlohe b).

82 Postup riešenia úlohy je ten istý, ako úlohy 81. a).

83 Konverguje absolútne, ak −1 < \frac{p+1}{q} < 0; konverguje neabsolútne, ak 0 ≤ \frac{p+1}{q} < 1. Návod: A. Po použití substitúcie x^{q} = t v danom integráli dostanete integrál \frac{1}{|q|} ∫_{0}^{∞} _{\frac{sin t}{t^{1− \frac{p+1}{q}}}} dt, ktorý na základe difinície 1.7 zapíšte ako súčet dvoch integrálov

\frac{1}{|q|} ∫_{0}^{π} \frac{sin t}{t^{1− \frac{p+1}{q}}} dt + \frac{1}{|q|} ∫_{π}^{∞} \frac{sin t}{t^{1− \frac{p+1}{q}}} dt.

Použitím poznámky 2.4 na 1. integrál a vety 2.7 na 2. integrál dostanete podmienku pre parametre p a q takú, aby daný integrál konvergoval.

B. 1. Pri skúmaní absolútnej konvergencie daného integrálu vezmite do úvahy, že 1. integrál konverguje aj absolútne pre tie isté hodnoty parametrov p a q, pre ktoré konverguje v obyčajnom zmysle.

2. Na zístenie absolútnej konvergencie 2. integrálu použite 1. čast’ vety 2.4. Z 1. a 2. dostanete podmienku pre p a q, aby daný integrál absolútne konvergoval.

Porovnaním výsledkov v A a B dostanete podmienku, za ktorej daný integrál konverguje neabsolútne.

84 Konverguje absolútne. Návod: Použitím substitúcie sec x = \frac{1}{cos x} = t v danom integráli dostanete ∫_{1}^{∞} \frac{sin t}{t\sqrt{t^{2}−1}}dt. Postup riešenia tejto úlohy je podobný postupu riešenia úlohy 83., len tu je o to l’ahšie, že nemáme nijaké parametre.

85 Konverguje neabsolútne. Návod: Urobte substitúciu e^{x} = t a na získaný integrál použite vetu 2.7. Pri skúmaní divergencie tohto integrálu využite nerovnost’ | cos t| ≥ cos^{2} t.

86 Konverguje absolútne, ak p > −2, q > p + 1; konverguje neabsolútne, ak p > −2, p < q ≤ p + 1. Poznámka: Pri riešení úlohy postupujte podl’a návodu k úlohe 83.

87 Návod: Ukážte, že ∫_{0}^{∞} \frac{P (t)}{Q(t)}dt konverguje absolútne a potom použite vetu 2.6.

88 Riešenie: Bez ujmy na všeobecnosti môžeme považovat’, že nerovnost’ f [φ(x)] φ′(x) ≤ qf(x) (q < 1) je splnená pre všetky x ∈< a, ∞). Nech b > c, x = φ(t), c = φ(a), b = φ(β), potom

∫_{c}^{b} f(x)dx = ∫_{a}^{β} f [φ(t)] φ′(t)dt ≤ q ∫_{a}^{β} f(t)dt = q (∫_{a}^{c} f(x)dx + ∫_{c}^{β} f(x)dx) ,

odkial’ vyplýva, že ∫_{c}^{b} f(x)dx − q ∫_{c}^{β} f(x)dx ≤ q ∫_{a}^{c} f(x)dx
alebo ∫_{c}^{β} f(x)dx + ∫_{β}^{b} f(x)dx − q ∫_{c}^{β} f(x)dx ≤ q ∫_{a}^{c} f(x)dx.

Pretože β ≤ b, f(x) > 0, integrál ∫_{β}^{b} f(x)dx ≥ 0 a teda, (1 − q) ∫_{c}^{β} f(x)dx ≤ q ∫_{a}^{c} f(x)dx

alebo ∫_{c}^{β} f(x)dx ≤ \frac{q}{1−q} ∫_{a}^{c} f(x)dx.

Ak b → ∞, tak aj β → ∞ a ∫_{c}^{∞} f(x)dx = lim_{β→∞} ∫_{c}^{β} f(x)dx ≤ \frac{q}{1 − 1} ∫_{a}^{c} f(x)dx.

Pretože integrály ∫_{a}^{∞} f(x)dx a ∫_{c}^{∞} f(x)dx konvergujú alebo divergujú súčasne (pozri poznámku 1.6), prvá čast’ tvrdenia je dokázaná.

Nech teraz f [φ(x)] φ′(x) ≥ f(x). Pre zavedené označenia máme:

\begin{aligned}∫_{c}^{b} f(x)dx = ∫_{a}^{β} f [φ(t)] φ′(t)dt & = ∫_{a}^{c} f [φ(t)] φ′(t)dt + ∫_{c}^{β} f [φ(t)] φ′(t)dt \\ & ≥ ∫_{a}^{c} f [φ(t)] φ′(t)dt + ∫_{c}^{β} f(t)dt. \end{aligned}

Ak b → ∞, tak aj β → ∞, a ∫_{c}^{∞} f(x)dx ≥ ∫_{a}^{c} f [φ(t)] φ′(t)dt + ∫_{c}^{∞} f(t)dt, čo je možné len vtedy, ked’ ∫_{c}^{∞} f(x)dx = ∞.

92 Nemusí. Návod: a) Z týmto integrálom ste sa stretli už v úlohe 81., kde sa zistilo na základe vety 2.7, že konverguje. Avšak lim_{x→∞} sin x^{2} neexistuje. (Prečo?)

b) Konvergenciu daného integrálu zistite na základe tvrdenia z odseku 1. Podl’a neho a po použití substitúcie x^{2} = t dostanete, že

∫_{0}^{∞} (−1)^{[x^{2}]} dx = ∑_{k=0}^{∞} ∫\begin{matrix}√ & \overline{k+1} \\ √ & \overline{k} \end{matrix} (−1)^{[x^{2}]} dt = ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{2} ∫_{k}^{k+1} \frac{(−1)^{[t]}}{\sqrt{t}} dt.

Ked’ vypočítate integrál za znakom sumácie, dostanete číselný rad, ktorého konvergenciu zistíte pomocou Leibnizovho kritéria. Potom ukážte, že tento výsledok nezávisí od vol’by postupnosti {η_{k}}_{k=0}^{∞} < (0, ∞), lim_{k→∞} η_{k} = ∞ (pozri [3]).

Záverom dostanete, že lim_{x→∞} (−1)^{[x^{2}]} neexistuje.

93 Návod: Uvažujte integrál ∫_{x_{0}}^{∞} f(x)f′(x)dx, ktorý konverguje na základe predpokladov z tejto úlohy. Využite túto skutočnost’, definíciu 1.1 a dôkaz tvrdenia urobte sporom.

94 Nie. (Odôvodnite to.)

95 Ak integrál ∫_{a}^{∞} f(x)dx konverguje neabsolútne a funkcia φ(x) je ohraničená, tak ∫_{a}^{∞} f(x)φ(x)dx môže divergovat’ (pozri úlohu 53., v ktorej za f(x) vezmite funkciu \frac{sin x}{x} a φ(x) = sin x). Na druhú otázku dáva odpoved’ veta 2.6.

96 Návod: Podl’a predpokladu existuje vlastná limita lim_{η→0^{+}} ∫_{η}^{1} f(x)dx (pozri definí-

ciu 1.3). Položte η = \frac{1}{n}, n ∈ N a predpokladajte, že f(x) je monotónne klesajúca na < \frac{1}{n}, 1 > (podobné úvahy potom môžete previest’ pre monotónne rastúce funkcie). Urobte delenie intervalu na n rovnakých častí a napíšte horný \overline{S} a dolný \underline{S} integrálny súčet funkcie f(x) zodpovedajúce danému deleniu takto:

\begin{aligned}\overline{S} & = \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n−1} f (\frac{k}{n}) = \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} f (\frac{k}{n}) − \frac{f(1)}{n}; \\ \underline{S} & = \frac{1}{n} ∑_{k=2}^{n} f (\frac{k}{n}) = \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} f (\frac{k}{n}) − \frac{f(\frac{1}{n})}{n}. \end{aligned}

Ďalej využite z teórie určitého integrálu známu nerovnost’

\underline{S} ≤ ∫ 1_{\frac{1}{n}} f(x)dx ≤ \overline{S}

a to, že lim_{n→∞} \frac{f(\frac{1}{n})}{n} = 0 (odôvodnite to!) a lim_{n→∞} \frac{f(1)}{n} = 0. Limitným prechodom v tejto nerovnosti dostanete platnost’ tvrdenia.

98 a) ln \frac{1}{2}. Poznámka: Vezmite do úvahy, že integrál má singulárne body 1, 2, ∞; b) 0; c) π; d) 0.