Obsah

I. Nevlastné integrály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1. Definície a základné vlastnosti nevlastných integrálov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 2. Podmienky konvergencie nevlastného integrálu. Absolútna a neabsolútna konvergen-

cia nevlastného integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 3. Hlavná hodnota nevlastného integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20

Výsledky, návody a poznámky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

II. Metrické priestory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1. Definícia a základné vlastnosti metrických priestorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2. Podmnožiny a body metrických priestorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3. Priestory so spočitatel’nou bázou, separabilné priestory. Úplné priestory . . . . . . . . . 43 4. Kompaktné priestory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5. Zobrazenie metrických (topologických) priestorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Výsledky, návody a poznámky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

III. Diferenciálny počet funkcii viac premenných . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69 1. Limita a spojitost’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

1.1. Definícia reálnej funkcie n reálnych premenných . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 1.2. Graf reálnej funkcie n premenných . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 1.3. Definícia vektorovej funkcie n premenných . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 1.4. Limita funkcie n premenných . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 1.5. Spojitost’ funkcie n premenných . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2. Parciálne derivácie. Diferenciál funkcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77 2.1. Parciálne derivácie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.2. A. Diferencovatel’nost’ funkcie n premenných . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

B. Diferencovatel’nost’ vektorovej funkcie n premenných . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.3. Parciálne derivácie vyšších rádov. Diferenciály vyšších rádov . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.4. Parciálne derivácie zložených funkcií . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81 2.5. Derivácia v smere. Gradient funkcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3. Funkcie určené implicitne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4. Pravidlo ret’azenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.1. Transformácia výrazov, ktoré obsahujú obyčajné derivácie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.2. Transformácia výrazov, ktoré obsahujú parciálne derivácie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.3. Transformácia nezávislých premenných a funkcie vo výraze, ktorý obsahuje par-

ciálne derivácie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98 5. Taylorov vzorec. Niektoré geometrické aplikácie diferenciálneho počtu . . . . . . . . . . 103

5.1. Taylorov vzorec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.2. Taylorov rad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.3. Klasifikácia singulárnych bodov rovinných kriviek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.4. Dotyková rovina a normála . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104

6. Extrémy funkcie n premenných . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 6.1. Lokálne extrémy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 6.2. Viazané lokálne extrémy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 6.3. Globálne extrémy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Výsledky, návody a poznámky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

IV. Parametrické integrály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 1. Riemanov parametrický integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 2. Nevlastné parametrické integrály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

A. Nevlastný parametrický integrál prvého druhu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 B. Nevlastný parametrický integrál druhého druhu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

3. Eulerove integrály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 A. Beta-funkcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 B. Gama-funkcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Výsledky, návody a poznámky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Literatúra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155