LINEÁRNE TOPOLOGICKÉ PRIESTORY

1. TOPOLOGICKÉ PRIESTORY

Topologickým priestorom nazývame množinu X s daným systémom

Γ jej podmnožín splňujúcim nasledujúce podmienky:

1. ∅ ∈ Γ, X ∈ Γ,

2. G_{1} ∈ Γ, G_{2} ∈ Γ ⇒ G_{1} ∩ G_{2} ∈ Γ,

3. G_{α} ∈ Γ, α ∈ A ⇒ ⋃_{α∈A} G_{α} ∈ Γ.

Posledné dve podmienky znamenajú, že Γ je uzavretá vzhl’adom ku

konečným prienikom a (l’ubovol’ným) zjednoteniam.

Prvky systému Γ sa nazývajú otvorené množiny, ich doplnky v X

(t.j. množiny tvaru X\G, G ∈ Γ) sa nazývajú uzavreté množiny. Okolím

množiny M ⊂ X rozumieme každú takú množinu U_{M} ⊂ X, pre ktorú exis-

tuje otvorená množina G s vlastnost’ou M ⊂ G ⊂ U_{M}.

1 Overte, že nasledujúce dvojice (X, Γ) tvoria topologické priestory:

• X je l’ubovol’ná množina, Γ je systém všetkých podmnožín X (tzv. diskrétny priestor).

• X je l’ubovol’ná množina, Γ = {∅, X} (tzv. indiskrétny priestor).

• X je l’ubovol’ná množina, Γ pozostáva z ∅ a zo všetkých množín tvaru X\K, kde K je konečná (alebo spočítatel’ná). 2 Nech je X množina a nech je pre každé x ∈ X daný systém U(x) podmnožín X

s nasledujúcimi vlastnost’ami

(a) X ∈ U(x)

(b) U ∈ U(x) ⇒ x ∈ U

(c) U ∈ U(x), U ⊂ V ⇒ V ∈ U(x)

(d) U, V ∈ U(x) ⇒ U ∩ V ∈ U(x)

(e) (∀U ∈ U(x))(∃V ∈ U(x))(∀y ∈ V) U ∈ U(y) Definujme systém Γ_{U} podmnožín X nasledovne: G ∈ Γ_{U} ⟺ (∀x ∈ G) G ∈ U(x). Ukážte, že systém Γ_{U} vyhovuje podmienkam 1 .– 3. v definícii topologického priestoru a že v tomto topologickom priestore je U(x) systém všetkých okolí bodu x. Ukážte tiež, že ak je (X, Γ) topologický priestor a U(x) je systém všetkých okolí bodu x ∈ X, potom U(x) vyhovuje podmienkam (a) – (e) a ak pomocou týchto systémov U(x), x ∈ X, definujeme topológiu Γ_{U}, potom platí Γ_{U} = Γ. Topológiu na množine X teda možno ekvivalentne zadat’ systémami okolí jednotlivých bodov.

Ak je U(x) systém okolí bodu x, potom báza okolí bodu x je l’ubovol’ný systém B(x) ⊂ U(x) splňujúci podmienku (∀U ∈ U(x))(∃V ∈ B(x)) V ⊂ U. K určeniu topológie na X zrejme stačí poznat’ bázy okolí jednotlivých bodov. Nájdite podmienky typu (a)–(e), ktoré musí splňovat’ báza okolí bodu x.

Metrický priestor je dvojica (X, ϱ), kde X je množina a ϱ je metrika na X, t.j. ϱ : X × X → IR^{+} splňuje pre každé x, y, z ∈ X nasledujúce podmienky (α) ϱ(x, y) = ϱ(y, x) (β) ϱ(x, y) = 0 ⟺ x = y (γ) ϱ(x, z) ≤ ϱ(x, y) + ϱ(y, z)

3 Nech je (X, ϱ) metrický priestor. Definujme systém Γ ⊂ exp(X) nasledovne: G ∈ Γ ⟺ (∀x ∈ G)(∃ε > 0) Bε(x) ⊂ G, kde Bε(x) = {y ∈ X; ϱ(x, y) < ε}. Ukážte, že (X, Γ) je topologický priestor a že B(x) = {B_{1/n}(x)}_{n∈IN} je báza okolí bodu x.

Topologický priestor sa nazýva metrizovatel’ný, ak sa jeho topológia dá vytvorit’ práve uvedeným spôsobom.

Nech je d’alej (X, Γ) topologický priestor. Uzáver \overline{M} množiny M je najmenšia uzavretá množina obsahujúca M. Vnútro int(M) množiny M je najväčšia otvorená podmnožina M. Hranica množiny M je definovaná nasledovne: ∂M = \overline{M}\ int(M).

Množina M ⊂ X je hustá v X, ak je jej uzáver celé X. Priestor X sa nazýva separabilný, ak existuje spočítatel’ná množina M ⊂ X, ktorá je v ňom hustá.

Hovoríme, že postupnost’ prvkov x_{n} ∈ X konverguje k prvku x ∈ X (píšeme x_{n} → x), ak pre l’ubovol’né okolie U bodu x existuje n_{o} také, že x_{n} ∈ U pre n ≥ n_{o}.

4 Nech je (X, ϱ) metrický priestor, M ⊂ X. Dokážte, že platí

(a) \overline{M} = \{x ∈ X; (∃x_{n} ∈ M) x_{n} → x\}

(b) int(M) = {x ∈ X; (∃ε > 0) Bε(x) ⊂ M}

(c) ∂M = {x ∈ X; (∃x_{n} ∈ M)(∃y_{n} ∈ X\M) x_{n} → x, y_{n} → x}

(d) x_{n} → x, x_{n} → y ⇒ x = y

(e) Postupnost’ {x_{n}} konverguje k x, práve ked’ ϱ(x_{n}, x) → 0. 5 Nech X = [0, 1] s topológiou definovanou nasledovne: α) F ⊂ X je uzavretá, práve ked’ je konečná alebo F = X. Ukážte, že potom je každá

nekonečná množina A ⊂ X hustá v X (t.j. \overline{A} = X). Ďalej ukážte, že pre každé x ∈ X a každú postupnost’ {x_{n}} ⊂ X rôznych prvkov platí x_{n} → x. Vzhl’adom k predošlému cvičeniu (d) teda X nie je metrizovatel’ný.

β) F ⊂ X je uzavretá, práve ked’ je (nanajvýš) spočítatel’ná alebo F = X. Potom je každá nespočítatel’ná množina A ⊂ X hustá v X, ale pre žiadne x ∈ X\A neexistuje postupnost’ {x_{n}} ⊂ A tak, aby x_{n} → x. Dokážte. Vzhl’adom k predošlému cvičeniu (a) teda X nie je metrizovatel’ný.

γ) topológia je daná metrikou ϱ(x, y) = |x − y|.

6 Z predošlého príkladu vidno, že obecne neplatí rovnost’ \overline{M} = \{x ∈ X; (∃x_{n} ∈ M) x_{n} → x}. Môžeme však zaviest’ pojem usmerneného súboru ako množiny {x_{α}}_{α∈A} prvkov z X, kde indexová množina A je usporiadaná (t.j. máme na nej definovanú reflexívnu, antisymetrickú a tranzitívnu reláciu ≤) a každé jej dva prvky majú horný odhad (t.j. (∀α_{1}, α_{2} ∈ A)(∃α ∈ A) α_{1} ≤ α, α_{2} ≤ α). Povieme, že usmernený súbor {x_{α}}_{α∈A} konverguje k prvku x ∈ X (píšeme x_{α} → x), ak pre každé okolie U bodu x existuje α_{o} ∈ A tak, že x_{α} ∈ U pre každé α ≥ α_{o}. Ak zvolíme A = IN s prirodzeným usporiadaním, potom dostávame ako špeciálny prípad postupnost’ a jej konvergenciu. V obecnom topologickom priestore opät’ platí

\overline{M} = \{x ∈ X; existuje usmernený súbor \{x_{α}\} ⊂ M tak, že x_{α} → x\}.

Dokážte. (Návod: Nech x ∈ \overline{M}. Položte A = B(x), kde B(x) je nejaká báza okolí bodu x, a pre U_{1}, U_{2} ∈ A definujte usporiadanie U_{1} ≤ U_{2} ⟺_{def} U_{1} ⊃ U_{2}. Pre U ∈ A d’alej zvol’te x_{U} ∈ U ∩ M, potom x_{U} → x. Opačná implikácia je jednoduchá.)

Nech X, Y sú dva topologické priestory. Zobrazenie f : X → Y sa

nazýva spojité, ak vzor l’ubovol’nej otvorenej množiny v Y pri zobrazení f

je otvorená množina v X.

Ak máme na množine X dané dva systémy otvorených množín Γ_{1}, Γ_{2},

pričom Γ_{1} ⊂ Γ_{2}, potom sa topológia daná systémom Γ_{1} nazýva slabšia

(hrubšia) než topológia daná systémom Γ_{2}; topológia daná systémom Γ_{2} sa

nazýva silnejšia (jemnejšia) než topológia daná systémom Γ_{1}. Zrejme platí,

že Γ_{1} ⊂ Γ_{2} práve vtedy, ked’ je identické zobrazenie i : (X, Γ_{2}) → (X, Γ_{1})

spojité.

7 Ak sú X, Y metrické priestory, potom je f : X → Y spojité práve vtedy, ked’ pre l’ubovol’né x_{n}, x ∈ X platí: ak x_{n} → x v X, potom f(x_{n}) → f(x) v Y. Dokážte.

8 Ukážte, že metrika ϱ : X × X → IR je spojité zobrazenie.

9 Uvažujme opät’ topologické priestory z príkladu 5. Potom je topológia (β) aj topológia (γ) silnejšia ako topológia (α). Topológie (β) a (γ) sú navzájom neporovnatel’né (t.j. žiadna z nich nie je slabšia než tá druhá). Dokážte.

Topologický priestor X sa nazýva Hausdorffov (tiež T_{2} priestor), ak pre l’ubovol’né dva body x, y ∈ X existujú ich navzájom disjunktné okolia.

10 Dokážte nasledujúce tvrdenia:

• Metrický priestor je Hausdorffov topologický priestor.

• Ak je X Hausdorffov topologický priestor a x_{n} ∈ X, x_{n} → x, x_{n} → y, potom x = y.

• Priestory (α) a (β) v príklade 5 nie sú Hausdorffove.

Povieme, že systém {G_{α}; α ∈ A} otvorených množín je (otvoreným) pokrytím množiny M, ak M ⊂ ⋃_{α∈A} G_{α}. Množina M sa nazýva kompaktná, ak sa z každého jej (otvoreného) pokrytia dá vybrat’ konečné pokrytie (t.j. pre l’ubovol’né jej pokrytie {G_{α}; α ∈ A} existuje konečne vel’a indexov α_{1}, α_{2}, …, α_{k} tak, že M ⊂ G_{α_{1}} ∪ … ∪ G_{α_{k}}). Množina M sa nazýva relatívne kompaktná, ak je jej uzáver kompaktná množina. Budeme písat’ M_{1} ⊂⊂ M_{2}, ak je M_{1} relatívne kompaktná a \overline{M_{1}} ⊂ int(M_{2}). Podmnožina M metrického priestoru X je kompaktná práve vtedy, ked’ sa z každej postupnosti bodov {x_{n}} v M dá vybrat’ podpostupnost’ {x_{n_{k}}}, ktorá konverguje k nejakému bodu x_{o} ∈ M.

11 Množina A ⊂ IR^{n} je kompaktná práve vtedy, ked’ je uzavretá a ohraničená. 12 Nech je X kompaktný priestor a nech je f : X → Y spojité zobrazenie. Ukážte,

že potom je f(X) kompaktná množina v Y (špeciálne: ak Y = IR, potom f nadobúda na X svoje minimum aj maximum). Ak sú naviac (X, ϱ_{X}), (Y, ϱ_{Y}) metrické priestory, potom je f rovnomerne spojité, t.j. (∀ε > 0)(∃δ > 0) ϱ_{X}(x_{1}, x_{2}) < δ ⇒ ϱ_{Y} (f(x_{1}), f(x_{2})) < ε.

13 Nech je X l’ubovol’ný topologický priestor a nech x_{n}, x ∈ X, x_{n} → x. Potom je množina {x_{n}; n ∈ IN} ∪ {x} kompaktná. Dokážte.

Topologický priestor sa nazýva lokálne kompaktný, ak pre každý jeho bod existuje jeho otvorené, relatívne kompaktné okolie. Ak sa Hausdorffov lokálne kompaktný priestor dá napíst’ ako spočítatel’né zjednotenie kompaktných množín, potom sa nazýva σ-kompaktný. Lokálne kompaktný metrický priestor je σ-kompaktný práve vtedy, ked’ je separabilný. Každá otvorená a uzavretá podmnožina v IR^{n} je σ-kompaktný metrický priestor.

14 Nech je X σ-kompaktný priestor. Potom v ňom existuje fundamentálna postupnost’ relatívne kompaktných otvorených množín, t.j. taká postupnost’ otvorených množín {X_{k}}, pre ktorú platí X_{k} ⊂⊂ X_{k+1} a ⋃_{k=1}^{∞} X_{k} = X. Dokážte.

Nech je (X, Γ) topologický priestor a Y ⊂ X. Položme Γ_{Y} = {G ∩ Y ; G ⊂ Γ}. Potom je (Y, Γ_{Y}) topologický priestor, ktorý sa nazýva podpriestor priestoru (X, Γ).

Nech sú X_{a}, α ∈ A, topologické priestory, nech je X (množinový) súčin X_{α} a nech sú p_{α} : X → X_{α} príslušné projekcie. Na X potom môžeme definovat’ tzv. produktovú (súčinovú) topológiu ako najslabšiu topológiu na X, pri ktorej sú všetky projekcie p_{α} spojité. Priestor X sa potom nazýva produkt priestorov X_{α}. Ak sú G_{α} neprázdne otvorené množiny v X_{α} a G = ∏ G_{α}, potom je G otvorená v X práve vtedy, ked’ G_{α} = X_{α} pre všetky α ∈ A\K, kde K je konečná. Každá neprázdna otvorená množina v X sa pritom dá napísat’ ako zjednotenie takýchto množín G. Ak sú X_{α} kompaktné topologické priestory, potom je ich produkt opät’ kompaktný priestor (Tichonov).

15 Nech je indexová množina A konečná, A = {1, 2, ⋯, k}, a nech sú X_{i} = (X_{i}, ϱ_{i}) metrické priestory (i = 1, 2, ⋯, k). Potom je produktová topológia na X = ∏ X_{i} metrizovatel’ná. Jedna z metrík vytvárajúcich túto topológiu je metrika ϱ(x, y) = \sqrt{∑_{i} ϱ_{i}(x_{i}, y_{i})^{2}}. Dokážte.

16 Nech X = IR^{[0,1]}, t.j. X je produkt topologických priestorov X_{α} = IR (s euklidovskou metrikou), kde α ∈ A = [0, 1]. X je teda priestor všetkých reálnych funkcií na intervale [0, 1]. Ukážte, že jeho (produktová) topológia je topológia bodovej konvergencie, t.j. pre x_{n}, x ∈ X platí: x_{n} → x ⟺ x_{n}(t) → x(t) pre každé t ∈ [0, 1]. Ďalej položme Y_{C} = {x ∈ X; |x(t)| ≤ C ∀t ∈ [0, 1]}. Ukážte, že Y_{C} je kompaktná podmnožina X.

17 Nech je X opät’ priestor všetkých reálnych funkcií na [0, 1], ale s topológiou danou metrikou

ϱ(x, y) = sup_{t∈[0,1]} \frac{|x(t) − y(t)|}{1 + |x(t) − y(t)|} .

Dokážte, že ide naozaj o metriku a že platí x_{n} → x ⟺ x_{n}(t) → x(t) rovnomerne na [0, 1], t.j. ide o topológiu rovnomernej konvergencie, ktorá je zrejme silnejšia než topológia bodovej konvergencie z predošlého cvičenia. Ďalej dokážte, že množina Y_{C} z predošlého cvičenia nie je kompaktná. (Návod: Položte x_{n} = C · χ_{{1/n}} a ukážte, že z postupnosti {x_{n}} ⊂ Y_{C} sa nedá vybrat’ konvergentná podpostupnost’. Ukážte tiež, že x_{n} → 0 v topológii bodovej konvergencie.)

Nech je X metrický priestor. Postupnost’ {x_{n}} prvkov z X sa nazýva cauchyovská, ak pre každé ε > 0 existuje n_{o} tak, že ϱ(x_{n}, x_{m}) < ε pre každé n, m ≥ n_{o}. Ak má každá cauchyovská postupnost’ limitu v X (t.j. existuje x ∈ X tak, že x_{n} → x), potom sa X nazýva úplný metrický priestor. Pre každý metrický priestor X existuje jeho zúplnenie, t.j. taký úplný metrický priestor Y, že X je jeho hustým podpriestorom.

18 Dokážte nasledujúce tvrdenia:

• Uzavretý podpriestor úplného metrického priestoru je úplný metrický priestor.

• Kompaktný metrický priestor je úplný.

2. LOKÁLNE KONVEXNÉ PRIESTORY Nech je X lineárny priestor nad IK (t.j. nad IR alebo C) a nech je X

zároveň topologický priestor. X sa nazýva lineárny topologický priestor (LTP), ak sú operácie sčítania (X × X → X) a násobenia skalárom (IK × X → X) spojité. Zo spojitosti sčítania plynie, že v LTP sa l’ubovol’né okolie U bodu x dá napísat’ v tvare x + V, kde V je okolie nuly, takže topológiu v LTP možno zadat’ bázou okolí nuly. Systém všetkých okolí bodu x ∈ X budeme značit’ symbolom U(x). Zo spojitosti sčítania tiež plynie, že pre každé V ∈ U(0) existuje W ∈ U(0) tak, že W + W ⊂ V. Zo spojitosti násobenia skalárom zase plynie, že každé okolie nuly je absorbujúca (= pohlcujúca) množina, t.j. (∀x ∈ X)(∃α > 0) x ∈ αU (dokážte !).

19 Ukážte, že priestor z príkladu 17. nie je LTP. (Návod: Ukážte, že okolie nuly {x; ϱ(x, 0) < 1} nie je absorbujúca množina).

20 Dá sa ukázat’, že Hausdorffov LTP je metrizovatel’ný (t.j. existuje na ňom translačne invariantná metrika, ktorá dáva pôvodnú topológiu) práve vtedy, ked’ v ňom existuje spočítatel’ná báza okolí nuly. Ukážte, že priestor z príkladu 16. je LTP, ktorý nie je metrizovatel’ný.

21 Každý konečnorozmerný Hausdorffov LTP X je izomorfný s IK^{n} (n = dim(X)), t.j. existuje vzájomne jednoznačné spojité lineárne zobrazenie priestoru X na IK^{n} také, že k nemu inverzné zobrazenie je tiež spojité.

22 Nech sú X, Y LTP a f : X → Y lineárne zobrazenie. Potom je f spojité práve vtedy, ked’ je spojité v nule, t.j. pre každé okolie nuly V v Y existuje okolie nuly U v X tak, že f(U) ⊂ V. Dokážte.

Nech je X LTP. Množina M ⊂ X sa nazýva ohraničená, ak ju absorbuje každé okolie nuly, t.j. (∀U ∈ U(0))(∃α > 0) M ⊂ αU. Množina M ⊂ X sa nazýva totálne ohraničená, ak platí (∀U ∈ U(0))(∃ konečná K ⊂ X) M ⊂ K + U.

23 Dokážte, že v LTP platí

• každá kompaktná množina je totálne ohraničená

• každá totálne ohraničená množina je ohraničená Špeciálne každá konvergentná postupnost’ je ohraničená.

• ak sú A, B ohraničené a λ ∈ IK, potom sú ohraničené tiež množiny A ∪ B, A + B, λA a \overline{A}

• A je ohraničená, práve ked’ pre každé x_{n} ∈ A a λ_{n} ∈ IK, λ_{n} → 0, platí λ_{n}x_{n} → 0 • ak sú X, Y dva LTP, f : X → Y je lineárne a spojité a A ⊂ X je (totálne) ohraničená,

potom je f(A) (totálne) ohraničená

24 Nech je X = IR^{[0,1]} LTP z príkladu 16. Ukážte, že množina A ⊂ X je ohraničená práve vtedy, ked’ je bodove ohraničená, t.j. pre každé t ∈ [0, 1] je množina {x(t) ; x ∈ A} ⊂ IR ohraničená.

25 Nech je X metrizovatel’ný LTP a nech je ϱ príslušná translačne invariantná metrika. Potom je A ⊂ X ohraničená práve vtedy, ked’ je funkcia ϱ(·, 0) : X → IR^{+} ohraničená na množine A. Dokážte.

26 Ak sú X, Y LTP a f : X → Y je spojité, potom je ohraničené, t.j. zobrazuje ohraničené množiny v X na ohraničené množiny v Y. Dokážte.

Množina M ⊂ X sa nazýva absolútne konvexná, ak je konvexná (t.j. (∀x, y ∈ M)(∀λ ∈ (0, 1)) λx + (1 − λ)y ∈ M) a vyvážená (t.j. (∀x ∈ M)(∀λ ∈ IK) |λ| ≤ 1 ⇒ λx ∈ M). Ak pre každé okolie nuly U v X existuje konvexné okolie nuly V ⊂ U, potom sa X nazýva lokálne konvexný priestor. V d’al’šom budeme pracovat’ výhradne s Hausdorffovymi priestormi a skratkou LKP budeme mysliet’ vždy Hausdorffov lokálne konvexný priestor. Dá sa ukázat’, že v LKP existuje báza okolí nuly tvorená absolútne konvexnými, uzavretými množinami.

27 Nech p ∈ (0, 1) a nech je X priestor spojitých funkcií f : [0, 1] → IR s bázou okolí nuly tvorenou množinami tvaru Uε = {f ; ∫_{0}^{1} |f(x)|^{p} dx < ε}. Ukážte, že X je LTP, ale nie je LKP.

Polonorma (=seminorma) je funkcia p : X → IR^{+} s vlastnost’ami

p(x + y) ≤ p(x) + p(y) a p(λx) = |λ|p(x) pre každé λ ∈ IK a x, y ∈ X. Ak

naviac platí p(x) = 0 ⟺ x = 0, potom sa p nazýva norma.

28 Poznámka: Ak je p polonorma a U = {x ∈ X; p(x) < 1}, potom je U absolútne konvexná a absorbujúca množina a platí p = p_{U}, kde p_{U} (x) = inf{α > 0 ; x ∈ αU} je tzv. Minkowkého funkcionál množiny U. Ak je naopak U absolútne konvexná a absorbujúca, potom je p_{U} polonorma a platí {x; p_{U} (x) < 1} ⊂ U ⊂ {x; p_{U} (x) ≤ 1}. Naviac U je okolie nuly práve vtedy, ked’ je p_{U} : X → IR^{+} spojitá.

Ak je na lineárnom priestore X daný oddelitel’ný systém polonoriem {p_{α}}_{α∈A} (t.j. (∀x ∈ X)(∃α ∈ A) p_{α}(x) ≠ 0) a pre každú K ⊂ A konečnú označíme U_{K,ε} = {x; α ∈ K ⇒ p_{α}(x) < ε}, potom je {U_{K,ε}} báza okolí nuly lineárnej topológie, s ktorou je X LKP a ktorá sa nazýva topológia zadaná systémom polonoriem {p_{α}}_{α∈A}. Ide pritom o najslabšiu lineárnu topológiu na X, pri ktorej sú všetky polonormy p_{α} spojité. Naopak, ak je X LKP a B(0) je jeho báza absolútne konvexných okolí nuly, potom je {p_{U} }_{U∈B(0)} oddelitel’ný systém polonoriem a zadáva na X topológiu zhodnú s pôvodnou. Topológiu v LKP možno teda zadat’ systémom polonoriem, pričom ide o metrizovatel’ný priestor práve vtedy, ked’sa dá daná topológia zadat’spočítatel’ným (oddelitel’ným) systémom polonoriem. Ak je topológia v X zadaná jedinou normou, nazýva sa X normovaný lineárny priestor (NLP). To platí práve vtedy, ked’ v X existuje konvexné ohraničené okolie nuly.

Úplný metrizovatel’ný LKP sa nazýva Fréchetov priestor (F-pries-

tor). Úplný NLP sa nazýva Banachov priestor (B-priestor).

29 Pojem úplnosti možno rozšírit’ aj na nemetrizovatel’né LTP pomocou pojmu cauchyovský usmernený súbor. Usmernený súbor {x_{α}}_{α∈A} sa nazýva cauchyovský, ak (∀U ∈ U(0))(∃α_{o})(∀α_{1}, α_{2} ≥ α_{o}) x_{α_{1}} − x_{α_{2}} ∈ U. Ak je každý cauchyovský súbor v X konvergentný (t.j. x_{α} → x pre vhodné x ∈ X), potom sa X nazýva úplný LTP. Pre každý LTP X existuje úplný LTP X̃ taký, že X je hustým podpriestorom X̃.

Ak je X úplný Hausdorffov LTP a A ⊂ X, potom je A relatívne kompaktná práve vtedy, ked’ je totálne ohraničená.

30 Nech je E B-priestor s normou | · | (špeciálne IK) a nech je Ω Hausdorffov topologický priestor (nie nutne lineárny !). Symbolom C(Ω, E) budeme vždy rozumiet’ priestor všetkých spojitých zobrazení u : Ω → E s topológiou rovnomernej konvergencie na kompaktných množinách, t.j. báza okolí nuly v tomto priestore je tvorená množinami tvaru {u; sup_{t∈K} |u(t)| < ε}, kde ε > 0 a K ⊂ Ω je kompaktná.

Ak je naviac Ω σ-kompaktný metrický priestor, potom symbolom C_{o}(Ω, E) budeme označovat’ priestor všetkých spojitých zobrazení u : Ω → E, pre ktoré platí: pre každé ε > 0 existuje kompaktná množina K = K(u) ⊂ Ω tak, že |u(x)| < ε pre každé x ∈ Ω\K.

V priestore C_{o}(Ω, E) pritom vždy uvažujeme topológiu rovnomernej konvergencie, t.j. ide o B-priestor s normou ∥u∥ = sup_{t∈Ω} |u(t)|.

• Nech je Ω σ-kompaktný metrický priestor. Ukážte, že C(Ω, E) je F-priestor.

• Nech Ω = (0, 1). Funkcie φ_{n} : (0, 1) → IR definujme (pre n ≥ 3) nasledovne φ_{n}(t) = 0 pre t ∈ (0, \frac{1}{2n}] ∪ [\frac{2}{n} , 1)

φ_{n} je lineárna na intervale [\frac{1}{2n} , \frac{1}{n}] aj na intervale [\frac{1}{n} , \frac{2}{n}]

φ_{n}(\frac{1}{n}) = α_{n} > 0

Ukážte, že φ_{n} → 0 v C(Ω, IR) a (φ_{n} → 0 v C_{o}(Ω, IR) ⟺ α_{n} → 0). Ďalej ukážte, že priestor C(Ω, IR) (pre Ω = (0, 1)) nie je normovatel’ný.

31 Nech je Ω ⊂ C otvorená množina. Označme H(Ω) podpriestor priestoru C(Ω, C) tvorený všetkými holomorfnými funkciami. Ide o uzavretý podpriestor, takže je to F-priestor.

32 Označme S priestor funkcií f : IR^{n} → IK, ktoré majú spojité parciálne derivácie všetkých rádov a pre ktoré je konečná hodnota

p_{k,m}(f) = sup_{x∈IR^{n}}(1 + |x|^{k})|\frac{∂^{|m|}f(x)}{∂x_{1}^{m_{1}} … ∂x_{n}^{m_{n}}} |

pre každé k ∈ IN a každý multiindex m = (m_{1}, …, m_{n}) ∈ (IN ∪ {0})^{n} (kde |m| = ∑ m_{i}). Topológia v tomto priestore je daná spočítatel’ným systémom polonoriem {p_{k,m}}, takže ide o metrizovatel’ný LKP. Tento priestor je tiež úplný, takže je to F-priestor. Ukážte, že zobrazenia

• F_{1} : S → S : f ↦ \frac{∂f}{∂x_{i}}

• F_{2} : S → S : f ↦ (1 + |x|)f

• F_{3} : S → IK : f ↦ ∫_{IR^{n}} fφ dx, kde φ ∈ L^{2}(IR^{n})

• F_{4} : S → S : f ↦ f̂, kde f̂(ξ) = \frac{1}{(2π)^{n/2}} ∫_{IR^{n}} f(x) e^{−i(x,ξ)} dx

sú lineárne a spojité. Zobrazenie F_{4} (Fourierova transformácia) je dokonca izomorfizmus priestoru S na S.

33 Nech je Ω ⊂ IR^{n} otvorená množina. Definujme C^{∞}(Ω) ako priestor všetkých funkcií f : Ω → IK, ktoré majú spojité parciálne derivácie všetkých rádov, s topológiou zadanou systémom polonoriem

p_{K,r} = sup_{x∈K} ∑_{|m|≤r}|\frac{∂^{|m|}f(x)}{∂x_{1}^{m_{1}} … ∂x_{n}^{m_{n}}} |,

kde r ∈ IN ∪ {0} a K ⊂⊂ Ω. Tento priestor je F-priestor. Ak je K ⊂⊂ Ω kompaktná, potom symbolom D_{K}(Ω) budeme značit’ uzavretý podpriestor priestoru C^{∞}(Ω) tvorený tými funkciami f ∈ C^{∞}(Ω), ktorých nosič supp(f) = \overline{\{x; f(x) ≠ 0\}} je podmnožinou K.

Podobne označíme C^{m}(Ω) F-priestor m-krát spojite diferencovatel’ných funkcií na Ω s topológiou zadanou polonormami p_{K,r}, r ≤ m, a položíme

D_{K}^{m}(Ω) = {f ∈ C^{m}(Ω) ; supp(f) ⊂ K}.

Ak je K ⊂ IR^{n} kompaktná množina, definujme C^{∞}(K) ako priestor všetkých funkcií f ∈ C^{∞}(Ω) (kde Ω = Ω(f) je otvorená množina obsahujúca K) s topológiou zadanou polonormami p_{K,r}. Priestor C^{∞}(K) je metrizovatel’ný LKP, ktorý však obecne nie je úplný (dokážte!).

34 LKP X sa nazýva bornologický, ak je každá absolútne konvexná množina V, ktorá absorbuje všetky ohraničené množiny (t. j. pre každú A ⊂ X ohraničenú existuje α > 0 tak, že A ⊂ αV), okolím nuly v X. Dokážte, že platí

a) Ak je X metrizovatel’ný, potom je bornologický. (Návod: Nech je {U_{n}} báza okolí nuly v X (U_{n+1} ⊂ U_{n}) a nech V nie je okolie nuly. Potom existujú x_{n} ∈ U_{n} tak, že x_{n} ∉ nV, takže V neabsorbuje ohraničenú množinu {x_{n}}.)

b) Ak je X bornologický, Y lokálne konvexný priestor a lineárne zobrazenie F : X → Y je ohraničené (t. j. zobrazuje ohraničené množiny v X na ohraničené množiny v Y), potom je F spojité. 35 LKP X sa nazýva barelovaný, ak je každý barrel (= absolútne konvexná,

absorbujúca, uzavretá množina) okolím nuly v X. Dokážte, že platí

a) Ak je X F-priestor, potom je barelovaný. (Návod: Ak je U barrel, potom X = ⋃_{n=1}^{∞} nU. Ked’že X nie je 1. kategórie, nie je nU riedka pre vhodné n. Odtial’ plynie, že U má neprázdne vnútro, takže je okolím nuly.) Dá sa tiež dokázat’, že každý úplný bornologický priestor je barelovaný.

b) NLP X = {x ∈ C^{1}([0, 1]) ; x(0) = 0} s normou ∥x∥ = sup_{t∈[0,1]}|x(t)| nie je barelovaný. (Návod: Uvažujte U = {x ∈ X; |x(t)| ≤ t ∀t ∈ [0, 1]}.)

c) Dá sa dokázat’, že priestor IR^{[0,1]} z príkladu 16. je úplný, bornologický a barelovaný. Ukážte, že jeho podpriestor tvorený všetkými ohraničenými (resp. spojitými) funkciami x : [0, 1] → IR nie je barelovaný. (Návod: Uvažujte barrel {x; |x(t)| ≤ 1 ∀t ∈ [0, 1]}.) Z príkladov b) a c) plynie, že podpriestor barelovaného priestoru nemusí byt’ barelo-

vaný. Existuje tiež príklad ukazujúci, že dokonca ani uzavretý podpriestor barelovaného priestoru nemusí byt’ barelovaný (podobne pre bornologický priestor).

Nech je X lineárny priestor a nech je {X_{α}; α ∈ A} systém vektorových

podpriestorov X s nasledujúcimi vlastnost’ami:

a) ⋃_{α∈A} X_{α} = X

b) Pre každé α ∈ A je X_{α} F-priestor.

c) Ak X_{α} ⊂ X_{β}, potom X_{β} indukuje v X_{α} pôvodnú topológiu X_{α} (t.j. G_{α} je otvorená v X_{α}, práve ked’ existuje otvorená množina G_{β} v X_{β} tak, že G_{α} = G_{β} ∩ X_{α}).

d) Existuje kofinálna postupnost’ {X_{n}} v {X_{α}; α ∈ A}, t.j. X_{n} ⊂ X_{n+1} a pre každé α ∈ A existuje n ∈ IN tak, že X_{α} ⊂ X_{n}.

Potom existuje najsilnejšia lineárna topológia na X tak, že X_{α} je spojito vnorený do X pre každé α ∈ A. Priestor X s touto topológiou sa značí lim_{\overrightarrow{α}} X_{α}, nazýva sa LF-priestor (tiež striktná induktívna limita F-pries-

torov) a má tieto vlastnosti: (α) X je LKP, ktorý je úplný, bornologický a barelovaný (β) X indukuje v X_{α} pôvodnú topológiu (γ) B ⊂ X je ohraničená ⟺ (∃α)(B ⊂ X_{α} a B je ohraničená v X_{α}) (δ) Ak je Y LKP a T : X → Y lineárne zobrazenie, potom je T spojité

práve vtedy, ked’ je T/X_{α} : X_{α} → Y spojité pre každé α ∈ A. (ε) Ak X_{n} ≠ X_{n+1} pre každé n ∈ IN, potom X nie je metrizovatel’ný.

36 Nech je E B-priestor s normou | · | a Ω σ-kompaktný metrický priestor. Pre K ⊂⊂ Ω kompaktnú položme C_{K}(Ω, E) = {f ∈ C(Ω, E) ; supp(f) ⊂ K}; je to B-priestor s normou ∥f∥ = sup_{t∈K} |f(t)|. Ďalej položme C_{c}(Ω, E) = lim_{\overrightarrow{K⊂⊂Ω}} C_{K}(Ω, E), t.j. C_{c}(Ω, E) je LF-priestor funkcií Ω → E s kompaktným nosičom v Ω. Dá sa ukázat’, že platí

C_{c}(Ω, E) ⊂^{d} C_{o}(Ω, E) ⊂^{d} C(Ω, E),

(t.j. ide o husté a spojité vnorenia), pričom pre E separabilný sú to tiež separabilné priestory. Ak je Ω kompaktný metrický priestor, všetky tieto priestory sa rovnajú.

Ukážte, že pre postupnost’ φ_{n} z príkladu 30 neplatí φ_{n} → 0 v C_{c}(Ω, IR).

37 Nech je Ω otvorená množina v IR^{n} a D(Ω) = lim_{\overrightarrow{K⊂⊂Ω}} D_{K}(Ω) (vid’ príklad 33). Priestor D(Ω) (priestor hladkých funkcií s kompaktným nosičom v Ω) je teda LF-priestor, ktorý nie je metrizovatel’ný. Podobne kladieme D^{m}(Ω) = lim_{\overrightarrow{K⊂⊂Ω}} D_{K}^{m}(Ω). Potom platí

D(Ω) ⊂^{d} D^{m}(Ω) ⊂^{d} C_{c}(Ω, IK) ⊂^{d} L^{p}(Ω), kde L^{p} je Lebesgueov priestor, p ∈ [1, ∞). Ďalej tiež platí D(Ω) ⊂^{d} C^{∞}(Ω), D^{m}(Ω) ⊂^{d} C^{m}(Ω) a C^{∞}(Ω) ⊂^{d} C^{m}(Ω) ⊂^{d} C(Ω, IK). Ak položíme D = D(IR^{n}), potom platí D ⊂^{d} S.

38 Barelovaný LKP X sa nazýva Montelov, ak je každá ohraničená množina v X relatívne kompaktná. Platí

• priestory S, D(Ω), C^{∞}(Ω), D_{K}(Ω), H(Ω) sú Montelove

• priestor C_{c}((0, 1), IR) nie je Montelov (dokážte !)

• B-priestor X je Montelov ⟺ dim X < ∞

• produkt Montelovych priestorov je Montelov priestor

• striktná induktívna limita Montelovych priestorov je Montelov priestor

• uzavretý podpriestor Montelovho priestoru nemusí byt’ Montelov

• každý metrizovatel’ný Montelov priestor je separabilný

Ak sú X a Y LKP, potom symbolom L(X, Y) budeme značit’ množinu

všetkých spojitých lineárnych zobrazení priestoru X do Y. V tomto lineár-

nom priestore sa dajú rôznym spôsobom zaviest’ lokálne konvexné topoló-

gie. Najdôležitejšie z nich sú nasledujúce dve: b–topológia (jej báza okolí

nuly je tvorená množinami tvaru U_{A,V} = {F ∈ L(X, Y) ; F (A) ⊂ V }, kde

A ⊂ X je ohraničená a V je okolie nuly v Y) a s–topológia (s bázou okolí

nuly {U_{A,V} }, kde A ⊂ X je konečná a V je okolie nuly v Y). Z týchto dvoch

topológií je b–topológia zrejme silnejšia a nazýva sa tiež topológia rovno-

mernej konvergencie na ohraničených množinách; s–topológia sa nazýva tiež

topológia bodovej konvergencie alebo silná operátorová topológia.

39 Ak je X bornologický a Y úplný LKP, potom je priestor L(X, Y) s b-topológiou úplný. Dokážte. (Návod: Ak je {A_{α}} cauchyovský súbor v L(X, Y), potom je {A_{α}(x)} cauchyovský súbor v Y pre každé x ∈ X, takže A_{α}(x) → A(x). Zobrazenie A je zrejme lineárne; ukážte, že je ohraničené a teda tiež spojité.)

40 (Banach–Steinhaus) Nech je X barelovaný a Y l’ubovol’ný LKP, nech F ⊂ L(X, Y) je s–ohraničená množina (t.j. F je ohraničená v s–topológii, t.j. {F (x) ; F ∈ F} je ohraničená v Y pre každé x ∈ X). Ukážte, že potom je F rovnako spojitá, t.j. pre každé okolie nuly V v Y existuje okolie nuly U v X tak, že F (U) ⊂ V pre každé F ∈ F. (Návod: Ukážte, že ⋂_{F ∈F} F^{−1}(V) je barrel v X.) Odtial’ potom jednoducho plynie, že

F je tiež b–ohraničená. Špeciálne: ak F_{n} ∈ L(X, Y), F_{n}(x) → F (x) pre každé x ∈ X, potom F ∈ L(X, Y) (a dá sa tiež ukázat’, že F_{n} → F rovnomerne na totálne ohraničených množinách).

41 Nech je X barelovaný priestor a nech pre A_{n}, B_{n} ∈ L(X, X) platí A_{n} → A, B_{n} → B v s-topológii. Ukážte, že potom tiež A_{n}B_{n} → AB v s-topológii. Toto tvrdenie neplatí dokonca ani v H-priestore, ak miesto s-topológie uvažujeme tzv. slabú operátorovú topológiu (ktorej báza okolí nuly je tvorená množinami tvaru {A; |f(Ax)| < 1 pre x ∈ K, f ∈ K′}, kde K ⊂ X a K′ ⊂ L(X, IK) sú konečné množiny).

Lineárne zobrazenie F : X → Y definované len na podpriestore D(F) ⊂ X sa nazýva uzavreté, ak je jeho graf G(F) = {(x, F (x)) ; x ∈ D(F)} uzavretá podmnožina priestoru X × Y. Jedným zo základných tvrdení lineárnej funkcionálnej analýzy je nasledujúca veta o uzavretom grafe:

Ak sú X, Y LF-priestory a F : X → Y je uzavreté zobrazenie†, potom je F spojité.

Iná verzia tohto tvrdenia je tzv. veta otvorenom zobrazení: Nech sú X, Y LF-priestory, nech je F : X → Y uzavreté a F (X) = Y. Potom je F otvorené zobrazenie, t.j. pre každé okolie nuly U v X je F (U) okolie nuly v Y. Špeciálne: ak je F prosté, potom je F^{−1} spojité.

42 Nech je X F-priestor a nech sú X_{1}, X_{2} uzavreté podpriestory X, pre ktoré platí: pre každé x ∈ X existujú jednoznačne určené prvky x_{1} ∈ X_{1} a x_{2} ∈ X_{2} tak, že x = x_{1} + x_{2}. Ukážte, že potom je projekcia p_{1} : X → X_{1} : x ↦ x_{1} spojitá. (Návod: Ukážte, že p_{1} je uzavreté zobrazenie.)

43 Nech sú τ_{1}, τ_{2} dve topológie na lineárnom priestore X také, že (X, τ_{i}) je LFpriestor (i = 1, 2), a nech je τ_{1} slabšia než τ_{2}. Potom nutne platí τ_{1} = τ_{2}. Dokážte. (Návod: Použite vetu o otvorenom zobrazení pre identické zobrazenie i : (X, τ_{2}) → (X, τ_{1}).)

44 Poznámka: Veta o uzavretom grafe dá tiež použit’ na dôkaz spojitej závislosti riešení lineárnych diferenciálnych rovníc vzhl’adom k počiatočným podmienkam (napr. v topológii priestoru C^{∞}(IR^{n})).

3. DUALITA

Nech je X LKP. Priestor L(X, IK) spojitých lineárnych foriem X → IK sa označuje X′ (niekedy tiež X^{∗}) a nazýva sa duál (= duálny priestor k) priestoru X. V priestore X′ môžeme zaviest’ rôznym spôsobom lokálne konvexnú topológiu (vid’ predošlý odstavec), ale implicitne budeme pracovat’ s b–topológiou, t.j. s topológiou rovnomernej konvergencie na ohraničených množinách. Táto topológia priestoru X′ sa tiež nazýva β–topológia a priestoru X′ s touto topológiou sa tiež hovorí silný duál. Ak je X NLP, potom je X′ B-priestor s normou ∥f∥ = sup_{∥x∥≤1} |f(x)|.

† stačí, aby F bolo sekvenciálne uzavreté, t.j. aby pre každú postupnost’ {z_{n}} ⊂ G(F)

platilo: ak z_{n} → z ∈ X × Y, potom z ∈ G(F).

Topológia bodovej konvergencie (s–topológia) sa v priestore X′ označuje ako σ(X′, X)–topológia (alebo w^{∗}–topológia).

45 Pre duálny priestor platia nasledujúce tvrdenia

• Ak je X bornologický, potom je X′ úplný (vid’ cvičenie 39).

• Ak je X Montelov priestor, potom je tiež X′ Montelov priestor.

• Ak je X metrizovatel’ný, potom je X′ bornologický práve vtedy, ked’ je barelovaný.

46 Ak je X Hilbertov priestor (špeciálne IK^{n}), potom sa jeho duál dá pomocou Rieszovej vety o reprezentácii stotožnit’ s X: každému x ∈ X pritom zodpovedá spojitá lineárna forma f_{x} : X → IK : y ↦ ⟨y, x⟩, kde ⟨·, ·⟩ je skalárny súčin v X.

47 Nech je Ω otvorená podmnožina IR^{n} a nech X = L^{p}(Ω), p ∈ [1, +∞), je priestor meratel’ných funkcií f : Ω → IK, ktorých p–ta mocnina má konečný Lebesgueov integrál (vid’ dodatok II). Duál k tomuto priestoru sa dá reprezentovat’ pomocou priestoru L^{q}(Ω),

kde \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 (q = +∞ pre p = 1), nasledovne: každému prvku g ∈ L^{q} priradíme formu

F_{g} : L^{p} → IK : f ↦ ∫_{Ω} f(x)\overline{g(x)} dx. Toto priradenie je vzájomne jednoznačné zobrazenie L^{q} na (L^{p})′. V prípade p = +∞ je toto priradenie vnorením priestoru L^{1} do (L^{∞})′.

Uvedené tvrdenie sa dá zobecnit’ aj pre Bochnerov integrál a pre obecnejšie priestory s mierou. Napr. ak je E B-priestor, ktorého duál je separabilný, a p ∈ [1, ∞), potom platí (L^{p}(Ω, E))′ = L^{q}(Ω, E′), kde rovnost’ chápeme v zmysle priradenia L^{q}(Ω, E′) → (L^{p}(Ω, E))′ : g ↦ F_{g}, kde F_{g}(f) = ∫_{Ω} g(x)(f(x)) dx. To isté platí aj pre reflexívny (vid’ d’alej) B-priestor E, ak naviac predpokladáme p > 1.

48 Ak je Ω σ-kompaktný metrický priestor, potom duál k LF-priestoru C_{c}(Ω) sú Radonove miery, duál k B-priestoru C_{o}(Ω) sú konečné Radonove miery (vid’ dodatok II, Rieszova veta o reprezentácii).

49 Duál k priestoru H(Ω) sa dá charakterizovat’ ako priestor tých funkcií F̃, ktoré sú holomorfné na okolí množiny C\Ω a pre ktoré platí lim_{|z|→∞} F̃(z) = 0. Každému F ∈ H(Ω)′

pritom zodpovedá funkcia F̃(z) = F (fz), kde fz(s) = \frac{1}{z − s}, každému F̃ zodpovedá

funkcionál F (f) = \frac{1}{2πi} ∫_{Γ} fF̃, kde Γ je vhodný cyklus konečnej dĺžky.

50 Nech je X LKP a f : X → IK lineárne zobrazenie. Potom je f spojité (t.j. f ∈ X′), práve ked’ je N (f) = {x ∈ X; f(x) = 0} uzavretý podpriestor X. Dokážte.

51 Nech je X metrizovatel’ný LKP a f : X → IK lineárne zobrazenie, ktoré zobrazuje kompaktné množiny v X na ohraničené množiny v IK. Ukážte, že platí f ∈ X′.

52 Nech je X B-priestor, nech f_{n}, f ∈ X′, f_{n} → f v σ(X′, X)–topológii. Dokážte (pomocou Banach-Steinhausovej vety), že potom je postupnost’{∥f_{n}∥} ohraničená a ukážte tiež, že platí ∥f∥ ≤ liminf ∥f_{n}∥

LKP X môžeme prirodzeným spôsobom vnorit’ do jeho druhého duálu

X′′ = (X′)′; ide o vnorenie Q : X → X′′ : x ↦ Q_{x}, kde Q_{x} : X′ →

IK : f ↦ f(x). Priestor X sa nazýva reflexívny, ak je toto vnorenie

izomorfizmus priestoru X na X′′ (t.j. je to vzájomne jednoznačné, spojité

zobrazenie, ktorého inverz je tiež spojitý). V prípade barelovaného pries-

toru alebo NLP stačí požadovat’, aby zobrazenie Q bolo surjektívne (t.j.

Q(X) = X′′); potom je už nutne izomorfizmus.

53 Príklady a vlastnosti reflexívnych priestorov:

• každý Hilbertov priestor je reflexívny

• ak je 1 < p < ∞, Ω ⊂ IR^{n} otvorená a E reflexívny B-priestor (špeciálne IK), potom je L^{p}(Ω, E) reflexívny

• každý Montelov priestor je reflexívny

• každý reflexívny priestor je barelovaný

• ak je X reflexívny, potom je X′ reflexívny (opačné tvrdenie platí napr. pre B-pries-tor)

• ak sú priestory X_{n} v definícii LF-priestoru X reflexívne, potom je X reflexívny • ak je Ω kompaktný metrický priestor (a nejde o konečnú množinu), potom priestor

C(Ω) nie je reflexívny

• uzavretý podpriestor reflexívneho F-priestoru je reflexívny (pre obecný reflexívny priestor toto tvrdenie neplatí). 54 Nech je X Montelov priestor, nech f_{n} ∈ X′, f_{n} → f v σ(X′, X)–topológii.

Ukážte, že potom tiež f_{n} → f v silnej topológii priestoru X′ (t.j. rovnomerne na ohraničených množinách v X).

55 Ak sú X, Y LKP, X ⊂^{d} Y, potom platí Y′ ⊂ X′ (vnorenie I′ : Y′ → X′ je adjungovaným zobrazením k vnoreniu I : X → Y, t.j. I′(g)(x) = g(I(x)) pre g ∈ Y′ a x ∈ X). Dokážte. Ak je naviac X reflexívny, potom platí dokonca Y′ ⊂^{d} X′.

56 Nech je Ω ⊂ IR^{n} otvorená. Prvky duálu k LF-priestoru D(Ω) nazveme distribúcie (v Ω), prvky duálu k priestoru D^{m}(Ω) sa nazývajú distribúcie rádu ≤ m. Priestor (C^{∞}(Ω))′ sa nazýva priestor distribúcií s kompaktným nosičom. Prvky duálu k priestoru S sa nazývajú temperované distribúcie (tiež distribúcie pomaly rastúce v nekonečne).

Priestory distribúcií (D(Ω))′, (C^{∞}(Ω))′ a S′ sú bornologické a Montelove. Ak definujeme nosič distribúcie T ∈ (D(Ω))′ ako množinu supp(T) = {x ∈ Ω ; (∀U ∈ U(x))(∃φ ∈ D(U)) T (φ) ≠ 0}, potom platí (C^{m}(Ω))′ = {T ∈ (D^{m}(Ω))′; supp(T) ⊂⊂ Ω} (kde pre m = ∞ kladieme D^{∞}(Ω) = D(Ω)).

Z predošlého cvičenia plynie, že platí (C_{o}(Ω, IK))′ ⊂ (C_{c}(Ω, IK))′ ⊂ (D^{m}(Ω))′ ⊂ (D(Ω))′ a tiež (C^{∞}(Ω))′ ⊂^{d} (D(Ω))′ a S′ ⊂^{d} D′. Naviac sa dá dokázat’, že zobrazenie L^{1}(Ω) →

(C_{o}(Ω, IK))′ : f ↦ F_{f}, kde F_{f} (φ) = ∫_{Ω} fφ dx, je spojité a prosté, t.j. L^{1}(Ω) ⊂ (C_{o}(Ω, IK))′.

V zmysle tohto vnorenia potom tiež platí D(Ω) ⊂^{d} (D(Ω))′ a S ⊂^{d} S′.

Ukážte, že platí: Ak je T_{k} ∈ (D(Ω))′ a {T_{k}(φ)}_{k} je cauchyovská postupnost’ pre každé φ ∈ D(Ω), potom existuje distribúcia T ∈ (D(Ω))′ tak, že T_{k} → T v priestore (D(Ω))′. (Návod: Použite Banach-Steinhausovu vetu a cvičenie 54.)

57 Nech je F : S → S Fourierova transformácia. Potom je adjungované zobrazenie F′ : S′ → S′ (t.j. F′(T)(φ) = T (F (φ))) izomorfizmus priestoru S′ a súčasne ide o rozšírenie zobrazenia F. Zobrazenie F′ je izomorfizmus aj v tom prípade, ked’ v priestore S′ uvažujeme w^{∗} topológiu.

Dôležitým dôsledkom tzv. Hahn-Banachovej vety je to, že v LKP X

pre každé x ∈ X, x ≠ 0, existuje f ∈ X′ tak, že f(x) ≠ 0 (toto tvrdenie

nie je triviálne a pre obecný LTP neplatí !). V priestore X teda môžeme

zaviest’ (Hausdorffovu) lokálne konvexnú topológiu, ktorej báza okolí nuly

bude tvorená množinami tvaru U_{K,ε} = {x ∈ X; f ∈ K ⇒ |f(x)| < ε},

kde K ⊂ X′ je konečná a ε > 0. Táto topológia sa označuje σ(X, X′) (tiež

w–topológia) a nazýva sa slabá topológia na priestore X. Konvergencia

postupnosti {x_{n}} ⊂ X k prvku x ∈ X v tejto topológii sa značí symbolom

x_{n} ⇀ x (alebo tiež x_{n}→^{w}x).

58 Ukážte, že

• slabá topológia je slabšia ako pôvodná topológia

• x_{n} ⇀ x ⟺ f(x_{n}) → f(x) pre každé f ∈ X′

• ak je X separabilný Hilbertov priestor s ortonormálnou bázou {e_{n}} a skalárnym súčinom ⟨·, ·⟩, potom

• e_{n} ⇀ 0

• slabý uzáver jednotkovej sféry je jednotková gul’a

• nula patrí do slabého uzáveru množiny \{\sqrt{n}e_{n}; n ∈ IN\}

• množina {ne_{n}; n ∈ IN} je slabo uzavretá

• ak x_{n} ∈ X, x_{n} ⇀ x a ∥x_{n}∥ → ∥x∥, potom x_{n} → x (toto tvrdenie platí aj pre uniformne konvexné B-priestory, napr. L^{p}, p ∈ (1, ∞))

• ak x_{n} → x a y_{n} ⇀ y, potom ⟨x_{n}, y_{n}⟩ → ⟨x, y⟩

• ak A_{n} ∈ L(X, X), A_{n} → A v s-topológii a x_{n} ⇀ x, potom nemusí platit’ A_{n}x_{n} ⇀ Ax (Návod: položte A_{n} = U^{n−1}, kde Ue_{1} = 0 a Ue_{n+1} = e_{n})

Slabá topológia má nasledujúce vlastnosti:

• Ak je M ⊂ X slabo ohraničená (t.j. ohraničená v slabej topológii), potom je tiež ohraničená. Špeciálne, ak je X NLP a x_{n} ⇀ x, potom je {∥x_{n}∥} ohraničená a ∥x∥ ≤ liminf ∥x_{n}∥.

• Ak je M ⊂ X konvexná a uzavretá, potom je tiež slabo uzavretá.

• Ak je X reflexívny priestor, potom je každá ohraničená množina v X relatívne kompaktná v slabej topológii a každá postupnost’ cauchyovská v slabej topológii má limitu (X však nemusí byt’ úplný v slabej topológii !). Ak je naviac X reflexívny F-priestor, potom sa z každej ohraničenej postupnosti {x_{n}} ⊂ X dá vybrat’ konvergentná podpostupnost’.

• Nech je X NLP a nech B resp. B′ je jednotková gul’a v X resp. v X′. Potom platí:

• (B′, w^{∗}) je kompaktný (topologický priestor)

• X je separabilný ⟺ (B′, w^{∗}) je metrizovatel’ný

• X′ je separabilný ⟺ (B, w) je metrizovatel’ný

• X′ je separabilný ⇒ X je separabilný

• X je separabilný ⇒ (X′, w^{∗}) je separabilný (pre H-priestor platí tiež obrátené tvrdenie)

• X je nekonečnorozmerný B-priestor ⇒ (X′, w^{∗}) nie je metrizovatel’ný

59 Nech je X H-priestor. Ak je postupnost’ {v_{k}} ⊂ X ohraničená, potom existuje vybraná podpostupnost’ (ktorej prvky opät’ značíme v_{k}) tak, že postupnost’ w_{k} = (v_{1} + v_{2} + … + v_{k})/k konverguje v silnej topológii. Dokážte. (Návod: Môžeme predpokladat’ v_{k} ⇀ 0. Zvol’te podpostupnost’ tak, aby |⟨v_{i}, v_{k+1}⟩| ≤ \frac{1}{k} pre i = 1, …, k. Potom

∥w_{k}∥^{2} ≤ \frac{1}{k^{2}} ∑_{j=1}^{k} ∑_{i=1}^{k} |⟨v_{i}, v_{j}⟩| → 0.)

60 Nech je Ω σ-kompaktný metrický priestor, X = C_{o}(Ω) a μ_{k} ∈ X′, ∥μ_{k}∥ ≤ C. Ukážte, že existuje miera μ ∈ X′ tak, že pre vhodnú podpostupnost’μ_{k_{j}} platí: ∫_{Ω} φ dμ_{k_{j}} → ∫_{Ω} φ dμ pre každé φ ∈ X.

61 Nech X = ℓ^{1}. Potom x_{n} ⇀ x ⟺ x_{n} → x (vid’ dodatok II). Napriek tomu z predošlých tvrdení plynie, že ohraničené množiny v ℓ^{1} so slabou topológiou nie sú metrizovatel’né (pretože duál ℓ^{∞} nie je separabilný).

62 Ak je X NLP alebo barelovaný, potom je reflexívny práve vtedy, ked’ je topológia σ(X′, X) v priestore X′ rovná topológii σ(X′, X′′) (t.j. w^{∗} = w v X′).

63 Poznámka. Kvôli lepšiemu pochopeniu zavedenej terminológie uved’me niekol’- ko faktov z abstraktnej teórie duality:

Nech sú X, Y lineárne priestory (nad IK). Bilineárne zobrazenie ⟨·, ·⟩ : X × Y → IK sa nazýva dualita medzi X a Y, ak platí (∀x ∈ X, x ≠ 0)(∃y ∈ Y) ⟨x, y⟩ ≠ 0 a (∀y ∈ Y, y ≠ 0)(∃x ∈ X) ⟨x, y⟩ ≠ 0. Priestor Y môžeme prirodzeným spôsobom považovat’ za podpriestor lineárnych foriem na X: každému y ∈ Y priradíme lineárnu formu φ_{y} : X → IK : x ↦ ⟨x, y⟩. Povieme, že lokálne konvexná topológia τ na priestore X súhlasí s dualitou, ak platí X′ = Y t.j. formy φ_{y}, y ∈ Y, sú práve všetky spojité lineárne formy na X. Ak je napr. X LKP, Y = X′ a definujeme ⟨·, ·⟩ : X × X′ → IK : (x, f) ↦ f(x), potom ide o dualitu a (pôvodná) topológia na X súhlasí s touto dualitou.

Pre M ⊂ Y sa množina M^{∘} = {x ∈ X; |⟨x, y⟩| ≤ 1 ∀y ∈ M} nazýva polára množiny M (analogicky pre M ⊂ X). Na priestore X môžeme definovat’ lokálne konvexnú topológiu σ(X, Y): jej báza okolí nuly bude tvorená množinami tvaru K^{∘}, kde K ⊂ Y je konečná množina. Analogicky sa definuje σ(Y, X)–topológia na priestore Y. Dá sa ukázat’, že topológia σ(X, Y) je najslabšia topológia súhlasiaca s dualitou ⟨·, ·⟩.

Ak v priestore X definujeme lokálne konvexnú topológiu τ(X, Y) s bázou okolí nuly tvorenou množinami tvaru K^{∘}, kde K ⊂ Y je absolútne konvexná a σ(Y, X)-kompakt-ná, potom sa táto topológia nazýva Mackeyho topológia a ide o najsilnejšiu topológiu súhlasiacu s dualitou ⟨·, ·⟩. Ak je teda X LKP, potom je jeho topológia silnejšia ako topológia σ(X, X′) a slabšia ako topológia τ(X, X′).

V priestore X môžeme tiež definovat’ topológiu β(X, Y), jej báza okolí nuly je tvorená množinami tvaru K^{∘}, kde K ⊂ Y je l’ubovol’ná σ(Y, X)-ohraničená množina. Táto topológia je zrejme silnejšia ako τ(X, Y).

Platí:

• Všetky topológie súhlasiace s dualitou dávajú rovnaký systém ohraničených množín.

• Konvexná množina má rovnaký uzáver vo všetkych topológiach súhlasiacich s dualitou.

• LKP X je barelovaný, práve ked’ sa jeho topológia rovná topológii β(X, X′)

• V každom bornologickom priestore X sa jeho topológia sa rovná topológii τ(X, X′).

• Nech sú X, Y LKP a nech je u : X → Y lineárne. Ak je u spojité, potom je u slabo spojité (t.j. u : (X, σ(X, X′)) → (Y, σ(Y, Y′)) je spojité). Ak je u slabo spojité, potom je u : (X, τ(X, X′)) → (Y, τ(Y, Y′)) spojité. Špeciálne, pre všetky bornologické a barelované priestory tieto pojmy splývajú.

Nech sú X a Y NLP a T : X → Y lineárne zobrazenie. Zobrazenie

T sa nazýva nukleárne, ak existujú prvky f_{n} ∈ X′ a y_{n} ∈ Y tak, že

∑_{n} ∥f_{n}∥ · ∥y_{n}∥ < ∞ a T (x) = ∑_{n} f_{n}(x)y_{n} pre každé x ∈ X.

Ak je X LKP a U je uzavreté, absolútne konvexné okolie nuly v X,

potom je p_{U}(x) = inf{α > 0 ; x ∈ αU} (Minkowského funkcionál množiny

U) spojitá polonorma. Zaved’me v X reláciu ekvivalencie ∼ (= ∼^{U}) nasle-

dujúcim spôsobom: x ∼ y ⟺ p_{U}(x − y) = 0. V priestore X/∼ môžeme

definovat’ normu ∥x∼∥ = p_{U}(x), takto vzniknutý NLP označme X_{U}. Pries-

tor X sa nazýva nukleárny, ak pre každé absolútne konvexné uzavreté

okolie nuly U existuje absolútne konvexné uzavreté okolie nuly V ⊂ U tak,

že zobrazenie i : X_{V} → X_{U} : (x ∼^{V}) ↦ (x ∼^{U}) je nukleárne.

64 Overte korektnost’ definície zobrazenia i.

65 Ukážte, že platí:

• Každé nukleárne zobrazenie je totálne ohraničené, t.j. zobrazuje ohraničené množiny na totálne ohraničené množiny.

• Každá ohraničená množina v nukleárnom priestore je totálne ohraničená.

• Ak sú X, Y, Z H-priestory a T : X → Y, S : Y → Z sú Hilbert-Schmidtove zobrazenia, potom je ST : X → Z nukleárne. 66 Ukážte, že priestor IR^{[0,1]} je nukleárny.

67 Priestory C^{∞}(Ω), D(Ω), S aj ich silné duály (priestory distribúcií) sú nukleárne. Podobne priestor H(Ω) je nukleárny.

68 Platia nasledujúce tvrdenia:

• NLP X je nukleárny ⟺ dim(X) < ∞.

• Ak je LKP X úplný, barelovaný a nukleárny, potom je Montelov.

• Ak je X metrizovatel’ný LKP, potom je X nukleárny, práve ked’ je X′ nukleárny.

• Ak je LF-priestor X nukleárny, potom je X′ nukleárny.

• Podpriestor nukleárneho priestoru je nukleárny, podobne pre produkt a striktnú induktívnu limitu.

• Metrizovatel’ný nukleárny priestor je separabilný.

• Ak je X′ nukleárny, potom je každá ohraničená množina v X totálne ohraničená a separabilná.

V nukleárnych priestoroch platí okrem iného tzv. veta o jadre: Ak je

X nukleárny priestor, Y je LKP a B : X × Y → IK je spojitá bilineárna forma, potom je B nukleárna, t.j. má tvar B(x, y) = ∑_{n} a_{n}(x)b_{n}(y), pričom a_{n} ∈ X′ a b_{n} ∈ Y′ splňujú nerovnost’ ∑_{n} sup_{x∈U} |a_{n}(x)|· sup_{y∈V} |b_{n}(y)| < ∞, kde

U resp. V sú vhodné okolia nuly v X resp. v Y. Ak je X naviac barelovaný, potom stačí predpokladat’, že B je separátne spojitá.

Špeciálne pre priestory D(Ω) z vety o jadre plynie toto tvrdenie: Ak je B (separátne) spojitá bilineárna forma na D(Ω_{1}) × D(Ω_{2}), potom existuje distribúcia A ∈ D(Ω_{1} × Ω_{2}) tak, že platí B(f_{1}, f_{2}) = A(f_{1} ⊗ f_{2}), kde (f_{1} ⊗ f_{2})(x, y) = f_{1}(x) · f_{2}(y).