ZÁKLADNÉ POJMY Z TEÓRIE MIERY A INTEGRÁLU

1. MIERA

Nech je X neprázdna množina a M neprázdny systém jej podmnožín. M sa nazýva σ-algebra, ak je uzavretá na doplnky a spočítatel’né

zjednotenia (t.j. A ∈ M ⇒ X\A ∈ M, A_{n} ∈ M ⇒ ⋃_{n=1}^{∞} A_{n} ∈ M).

Ak je F l’ubovol’ný systém podmnožín X, potom na X existuje najmenšia σ-algebra obsahujúca F (tzv. σ-algebra generovaná F). Ak je X topologický priestor, potom sa prvky σ-algebry B generovanej systémom všetkých otvorených množín v X nazývajú borelovské množiny.

Nech je M σ-algebra na množine X. Funkcia μ : M → [0, +∞] sa nazýva (nezáporná) miera, ak je σ-aditívna (t.j. μ( ⋃_{n=1}^{∞} A_{n}) = ∑_{n=1}^{∞} μ(A_{n})

pre l’ubovol’ný systém navzájom disjunktných množín {A_{n}}_{n=1}^{∞} ⊂ M) a μ(∅) = 0. Prvky M sa potom nazývajú meratel’né množiny, trojica (X, M, μ) sa nazýva priestor s mierou.

1 Nech je (X, M, μ) priestor s mierou.

a) Nech A_{1}, A_{2}, ⋯ sú prvky M. Potom ⋂ A_{n} ∈ M.

b) Nech A, B ∈ M, A ⊂ B. Potom μ(A) ≤ μ(B).

c) Nech A_{1} ⊂ A_{2} ⊂ … sú prvky M, A = ⋃ A_{n}. Potom A ∈ M, μ(A_{n}) → μ(A).

d) Nech A_{1} ⊃ A_{2} ⊃ … sú prvky M, A = ⋂ A_{n}, μ(A_{1}) < ∞. Potom A ∈ M, μ(A_{n}) → μ(A).

Nech je (X, M, μ) priestor s mierou a nech je súčasne X topologický priestor. Miera μ sa nazýva

– borelovská, ak M obsahuje všetky borelovské množiny (t.j. B ⊂ M)

– regulárna, ak je borelovská a pre každú A ∈ M platí

μ(A) = inf{μ(U) ; A ⊂ U, U otvorená}
= sup{μ(K) ; K ⊂ A, K kompaktná}

– (nezáporná) Radonova, ak je regulárna a pre každú K ⊂ X kompakt-

nú platí μ(K) < ∞

– úplná, ak pre každú A ∈ M platí: ak μ(A) = 0 a B ⊂ A, potom

B ∈ M

– konečná (alebo ohraničená), ak μ(X) < ∞

– σ-konečná, ak existujú A_{n} ∈ M tak, že μ(A_{n}) < ∞ a X = ⋃ A_{n}.

2 Nech je X l’ubovol’ná množina a M = exp(X) (= systém všetkých podmnožín X) Položme μ(A) = |A| (= počet prvkov množiny A pre A konečnú, inak = ∞). Potom je μ tzv. aritmetická miera na X.

3 Nech x ∈ X, M = exp(X) a položme μ(A) = 1 ak x ∈ A, μ(A) = 0 ak x ∉ A. Potom je μ Diracova miera sústredená v bode x.

4 Nech X = IR^{n}. Potom existuje jediná úplná Radonova, translačne invariantná

miera μ v X taká, že pre A = (a_{1}, b_{1})×(a_{2}, b_{2})×…×(a_{n}, b_{n}) platí μ(A) = ∏_{i=1}^{n} (b_{i} − a_{i}). Je

to tzv. Lebesgueova miera v IR^{n}. Množina A ⊂ IR^{n} je lebesgueovsky meratel’ná, práve ked’ sa dá napísat’ v tvare B ∪ N, kde B je borelovská a N je podmnožina nejakej borelovskej množiny s nulovou mierou. Ďalej platí B {⊂ \atop ≠} M {⊂ \atop ≠} exp(IR^{n}). Ukážte, že pre každú spočítatel’nú množinu A ⊂ IR^{n} platí A ∈ M, μ(A) = 0.

5 Nech je φ : IR → IR neklesajúca funkcia. Pre a < b položme μ([a, b)) = lim_{x→b−} φ(x) − lim_{x→a−} φ(x). Funkcia μ sa potom dá rozšírit’ na úplnú Radonovu mieru (tzv.

Lebesgue-Stieltjesova miera). Špeciálne pre φ(x) = x dostávame Lebesgueovu mieru.

6 Nech je X nekonečnorozmerný separabilný Hilbertov priestor a nech je μ translačne invariantná miera na X taká, že μ(B_{1}) < ∞ (kde B_{1} je jednotková gul’a v X). Dokážte, že potom nutne platí μ(B_{1}) = 0.

7 Nech je (X, M, μ) priestor s mierou a nech ∅ ≠ A ∈ M. Položme M_{A} = {B ∈ M; B ⊂ A} a nech je μ_{A} reštrikcia miery μ na M_{A}. Ukážte, že (A, M_{A}, μ_{A}) je opät’ priestor s mierou. Dokážte, že ak je μ borelovská (resp. regulárna, Radonova, σ-konečná, úplná), potom má rovnakú vlastnost’ aj μ_{A}.

8 Funkcia μ^{∗} : exp(X) → [0, +∞] sa nazýva vonkajšia miera ak μ^{∗}(∅) = 0 a

μ^{∗}(A) ≤ ∑_{n=1}^{∞} μ^{∗}(A_{n}) pre A ⊂ ⋃_{n=1}^{∞} A_{n}. Pre l’ubovol’nú vonkajšiu mieru μ^{∗} môžeme definovat’

množinu M = {A ⊂ X; μ^{∗}(T) = μ^{∗}(T ∩ A) + μ^{∗}(T \A) ∀T ⊂ X}. Potom platí, že M je σ-algebra a zúženie μ^{∗} na M je úplná miera (Carathéodory).

Takýmto spôsobom sa dá napr. zostrojit’ Lebesgueova miera, ak pre A ⊂ IR^{n} položíme

μ^{∗}(A) = inf{∑_{k=1}^{∞} μ(I_{k}) ; A ⊂ ⋃ I_{k}}, kde I_{k} sú množiny tvaru (a_{1}^{k}, b_{1}^{k}) × · × (a_{n}^{k}, b_{n}^{k}) a

μ(I_{k}) = ∏_{i=1}^{n} (b_{i}^{k} − a_{i}^{k}). Funkcia μ^{∗} sa v tomto prípade nazýva Lebesgueova vonkajšia miera. Pre A ⊂ IR^{n} a p ≥ 0 položme d’alej

μ_{p}^{∗}(A) = lim_{δ→0+} inf\{∑_{i=1}^{∞} α_{p}(\frac{diam(A_{i})}{2})^{p}; A ⊂ ⋃_{i=1}^{∞} A_{i}, diam(A_{i}) < δ pre každé i\},

kde diam(A) je priemer množiny A (= sup_{x,y∈A} |x − y|) a α_{p} = \frac{Γ(1/2)^{p}}{Γ(1 + p/2)} (= objem jednotkovej gule v IR^{p} pre p ∈ IN). Potom je μ_{p}^{∗} (p-dimenzionálna) Hausdorffova vonkajšia miera a pre p = n pritom platí μ_{n}^{∗} = λ^{∗}, kde λ^{∗} je Lebesgueova vonkajšia miera v IR^{n}. Podl’a vyššie uvedeného postupu (Carathéodory) z Hausdorffovej vonkajšej miery μ_{p}^{∗} môžeme zostrojit’ (Hausdorffovu) mieru μ_{p}, pričom ide o úplnú, borelovskú, translačne invariantnú mieru. Ukážte, že platí

• Ak p < q a μ_{q}^{∗}(A) < +∞, potom μ_{p}^{∗}(A) = 0; ak p < q a μ_{p}^{∗}(A) > 0, potom μ_{q}^{∗}(A) = +∞. Číslo d(A) = sup{p > 0 ; μ_{p}^{∗}(A) = +∞} sa nazýva Hausdorffova dimenzia množiny A.

• μ_{0} je aritmetická miera

• pre p < n a G ⊂ IR^{n} otvorenú (≠ ∅) je μ_{p}(G) = +∞

• pre p < n miera μ_{p} nie je regulárna

2. ABSTRAKTNÝ LEBESGUEOV INTEGRÁL

Nech je (X, M, μ) priestor s mierou. Funkcia f : X → IK† sa nazýva meratel’ná, ak pre každú otvorenú množinu U ∈ IK platí f^{−1}(U) ∈ M. Ak je X topologický priestor a f^{−1}(U) je borelovská množina pre každú U ∈ IK otvorenú, potom sa f nazýva borelovsky meratel’ná. Každá spojitá funkcia je teda borelovsky meratel’ná a tiež meratel’ná (ak je μ borelovská miera).

9 Označme Λ = Λ(X) = Λ(X, M) systém všetkých meratel’ných funkcií na X. Nech f_{n} ∈ Λ, f_{n}(x) → f(x) pre každé x ∈ X. Ukážte, že potom tiež f ∈ Λ.

Ak sa dá funkcia f napísat’ v tvare f = ∑_{i=1}^{k} α_{i}χ_{A_{i}}, kde α_{i} ∈ IK, A_{i} ∈ M

sú navzájom disjunktné, μ(A_{i}) < ∞ a χ_{A} je charakteristická funkcia množi-

† Funkcia f : X → IR ∪ {−∞, +∞} sa nazýva meratel’ná, ak pre každé c ∈ IR platí f^{−1}((c, +∞]) ∈ M.

ny A (t.j. χ_{A}(x) = 1 pre x ∈ A a χ_{A}(x) = 0 pre x ∉ A), potom sa f nazýva jednoduchá funkcia. Pre takúto funkciu f a l’ubovol’nú meratel’nú množinu E definujeme ∫_{E} f dμ = ∑_{i} α_{i}μ(A_{i} ∩ E). Ďalej pre f : X → [0, +∞] meratel’nú definujeme

∫_{E} f dμ = sup{∫_{E} s dμ; s je jednoduchá, 0 ≤ s ≤ f}.

Ak je f : X → IK meratel’ná a ∫_{E} |f| dμ je konečný, potom definujeme (abstraktný) Lebesgueov integrál funkcie f formulou

∫_{E} f dμ = ∫_{E} (Re f)^{+}dμ − ∫_{E} (Re f)^{−}dμ + i ∫_{E} (Im f)^{+}dμ − i ∫_{E} (Im f)^{−}dμ

kde g^{+} = max(g, 0), g^{−} = max(−g, 0). Množinu všetkých takých funkcií f označíme L^{1} = L^{1}(X, M, μ). Platia nasledujúce tvrdenia:

– (Levi) Ak je 0 ≤ f_{1} ≤ f_{2} ≤ … postupnost’ meratel’ných funkcií, f_{n}(x) → f(x) pre každé x ∈ X, potom je f meratel’ná a ∫_{X} f dμ =

lim_{n→∞} ∫_{X} f_{n} dμ.

– (Lebesgue) Ak sú f_{n} : X → IK meratel’né, g ∈ L^{1}, |f_{n}(x)| ≤ g(x) a f_{n}(x) → f(x) pre každé x ∈ X, potom f_{n}, f ∈ L^{1} a ∫_{X} f dμ =

lim_{n→∞} ∫_{X} f_{n} dμ.

Ak je miera μ úplná (napr. Lebesgueova miera v IR^{n}), potom práve uvedené tvrdenia platia aj vtedy, ked’ predpoklad ” pre každé x ∈ X ” nahradíme slabším predpokladom ” pre s.v. (=skoro všetky) x ∈ X ”, t.j. daná vlastnost’ má platit’ pre všetky x ∈ X s výnimkou množiny nulovej miery.

10 Pomocou Lebesgueovej vety dokážte nasledujúce tvrdenie o derivovaní integrálu závislého na parametri: Nech je (X, M, μ) priestor s mierou, nech je I otvorený interval v IR, a_{o} ∈ I a nech funkcia f : X × I → IK splňuje nasledujúce vlastnosti:

a) f(·, a) : X → IK je meratel’ná pre každé a ∈ I, f(·, a_{o}) ∈ L^{1}(X)

b) pre každé x ∈ X a a ∈ I existuje konečná f_{a}(x, a) = \frac{∂f(x, a)}{∂a}

c) existuje g ∈ L^{1}(X) tak, že |f_{a}(x, a)| ≤ g(x) pre každé x ∈ X a a ∈ I Potom pre každé a ∈ I existuje F (a) = ∫_{X} f(·, a) dμ, funkcia F : I → IK je diferencovatel’ná a platí F′(a) = ∫_{X} f_{a}(·, a) dμ.

Rozmyslite si, ako možno zoslabit’ predpoklady b) a c) ak je μ úplná.

Pretože hodnota ∫_{X} f dμ sa nezmení, ak funkciu f ∈ L^{1} zmeníme na množine miery nula, zavádzame v priestore L^{1} reláciu ekvivalencie: f ∼ g ⟺ f(x) = g(x) pre s.v. x ∈ X. Dá sa ukázat’, že (faktor)priestor L^{1} = L^{1}/∼ (ktorého prvky sú triedy funkcií f∼ = {g ∈ L^{1} ; g ∼ f}) s normou ∥f∼∥ = ∫_{X} |f| dμ je Banachov priestor. V literatúre sa väčšinou nerozlišuje (a my to tiež nebudeme robit’) medzi triedou funkcií f∼ ∈ L^{1} a jej reprezentantom f ∈ f∼ ⊂ L^{1}, takže sa o prvku f∼ hovorí ako o funkcii X → IK. Podobne ako L^{1} sa definuje Banachov priestor L^{p} = L^{p}(X, M, μ) pre p > 1 ako priestor tried ekvivalencie meratel’ných funkcií, pre ktoré je ∥f∥ = (∫_{X} |f|^{p} dμ)^{1/p} konečný. Konečne, Banachov priestor L^{∞} je priestor tried ekvivalencie esenciálne ohraničených meratel’ných funkcií, t.j. funkcií f, pre ktoré je konečná norma ∥f∥ = ess sup |f| = inf_{{N⊂X \atop μ(N)=0}} sup_{x∈X\N} |f(x)|.

\underline{Konvergencia postupnosti v L^{p}}. Nech je (X, M, μ) priestor s mierou, f_{n}, f nech sú meratel’né funkcie X → IK a p ∈ [1, ∞). Označme ∥ · ∥_{p} normu v L^{p}. V nasledujúcich tvrdeniach budeme používat’ toto značenie

– f_{n} → f v L^{p}, ak ∥f_{n} − f∥_{p} → 0

– f_{n} ⇀ f, ak f_{n} konverguje k f v slabej topológii priestoru L^{p}, t.j. ∫_{X} f_{n}g dμ → ∫_{X} fg dμ pre každé g ∈ L^{q}, kde \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1

– f_{n} →^{μ} f, ak f_{n} konverguje k f podl’a miery, t.j. ak pre každé ε > 0

platí lim_{n→∞} μ{x; |f_{n}(x) − f(x)| ≥ ε} = 0

– f_{n} → f s.v., ak f_{n}(x) → f(x) pre s.v. x ∈ X

Ďalej budeme hovorit’, že f_{n} → f skoro rovnomerne, ak pre každé ε > 0 existuje A ∈ M tak, že μ(A) < ε a f_{n} → f rovnomerne na X\A.

Predpokladajme, že p ∈ [1, +∞) a f_{n}, f sú meratel’né. Potom platí:

a) Ak f_{n} → f v L^{p}, potom f_{n} →^{μ} f

b) Ak f_{n} →^{μ} f, potom existuje vybraná postupnost’ f_{n_{k}}, ktorá konverguje s.v. k f

c) Ak je postupnost’ {f_{n}} ohraničená v L^{p} (p > 1) a bud’ f_{n} →^{μ} f alebo f_{n} → f s.v., potom f_{n} ⇀ f.

d) Ak ∥f_{n}∥_{p} → ∥f∥_{p} a bud’ f_{n} →^{μ} f alebo f_{n} → f s.v., potom f_{n} → f v L^{p}.

e) Ak ∥f_{n}∥_{p} → ∥f∥_{p} (p > 1) a f_{n} ⇀ f, potom f_{n} → f v L^{p}.

f) (Vitali) Nech f_{n} ∈ L^{p}, f_{n} → f s.v. Potom f_{n} → f v L^{p}, práve ked’ súčasne platí

(i) (∀ε > 0)(∃Aε) μ(Aε) < ∞ a ∫_{X\Aε} |f_{n}|^{p} dμ < ε pre každé n (ii) lim_{μ(A)→0} ∫_{A} |f_{n}|^{p} dμ = 0 rovnomerne v n.

g) Ak f_{n} → f s.v. a |f_{n}| ≤ g ∈ L^{p}, potom f_{n} → f skoro rovnomerne.

h) Ak p < r < q ≤ +∞ a f_{n} → f v L^{p} aj v L^{q}, potom f_{n} → f v L^{r}.

Naviac platí ∥f∥_{r} ≤ ∥f∥_{p}^{1−θ} · ∥f∥_{q}^{θ}, kde \frac{1}{r} = \frac{1 − θ}{p} + \frac{θ}{q}.

Ak je μ naviac konečná, potom tiež platí i) Ak f_{n} → f rovnomerne v X, potom f_{n} → f v L^{p}.

j) Ak f_{n} → f s.v., potom f_{n} →^{μ} f.

k) (Jegorov) Ak f_{n} → f s.v., potom f_{n} → f skoro rovnomerne.

l) Ak f_{n} → f v L^{p} a p > q, potom f_{n} → f v L^{q}. Priestor L^{p}(IN, exp(IN), μ), kde μ je aritmetická miera na IN, sa značí ℓ^{p}. Pre priestor ℓ^{1} d’alej platí

m) Ak f_{n} ⇀ f, potom f_{n}(x) → f(x) pre každé x ∈ X a f_{n} → f v ℓ^{1}.

11 Ukážte platnost’ nasledujúcich tvrdení a porovnajte ich s tvrdeniami predošlými a) Nech f_{n}(x) = cos(nx). Potom f_{n} ∈ L^{p}([0, 2π]) pre každé p ≥ 1, f_{n} ⇀ 0 (pre každé

p ≥ 1), ale neplatí f_{n} → 0 s.v., f_{n} →^{μ} 0 ani f_{n} → 0 v L^{p}.

b) Nech f_{n}(x) = 1 + sin(nx), f ≡ 1. Potom f_{n} ⇀ f v L^{1}([0, 2π]), ∥f_{n}∥_{1} = ∥f∥_{1} = 2π, ale neplatí f_{n} → f v L^{1}, f_{n} →^{μ} f ani f_{n} → f s.v.

c) Nech f_{n} = nχ_{[0,1/n]}. Potom f_{n} ∈ L^{p}(IR) pre každé p ≥ 1, f_{n} → 0 s.v., f_{n} →^{μ} 0, ale neplatí f_{n} ⇀ 0. d) Nech f_{n} = \frac{1}{n} χ_{[1,e^{n}]}. Potom f_{n} ∈ L^{p}(IR) pre každé p ≥ 1, f_{n} → 0 rovnomerne v IR,

ale neplatí f_{n} ⇀ 0.

e) Nech f_{n} = \frac{1}{n} χ_{[0,n^{α}]} a p > α > q. Potom f_{n} → 0 v L^{p}(IR), ale neplatí f_{n} → 0 v L^{q}(IR)

f) Nech f_{n} = χ_{[n,n+1]}. Potom f_{n} ∈ L^{p}(IR) pre každé p ≥ 1, f_{n} → 0 s.v., ale neplatí f_{n} →^{μ} 0 ani f_{n} → 0 skoro rovnomerne.

g) Nájdite f_{n} ∈ ℓ^{p} (p > 1) tak, aby f_{n} ⇀ 0 a f_{n} ↛ 0 v ℓ^{p}.

3. LEBESGUEOV INTEGRÁL V IR A V IR^{n}

Nech je I interval v IR. Funkcia f : I → IK sa nazýva absolútne spojitá, ak pre každé ε > 0 existuje δ > 0 tak, že pre l’ubovol’né a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2}, …, a_{k}, b_{k} ∈ I s vlastnost’ou a_{1} < b_{1} ≤ a_{2} < b_{2} ≤ … ≤ a_{k} < b_{k} platí:

∑_{i=1}^{k}(b_{i} − a_{i}) < δ ⇒ ∑_{i=1}^{k} |f(b_{i}) − f(a_{i})| < ε

12 Každá absolútne spojitá funkcia je rovnomerne spojitá. Opačné tvrdenie neplatí. Dokážte.

13 Funkcia f : I → IK sa nazýva lipschitzovská, ak existuje L > 0 tak, že |f(x) − f(y)| ≤ L|x − y| pre každé x, y ∈ I. Ukážte, že platí

a) f je lipschitzovská práve vtedy, ked’ pre každé ε > 0 existuje δ > 0 tak, že pre l’ubovol’né a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2}, …, a_{k}, b_{k} ∈ I s vlastnost’ou a_{i} < b_{i} (i = 1, 2, …, k) platí:

∑_{i=1}^{k}(b_{i} − a_{i}) < δ ⇒ ∑_{i=1}^{k} |f(b_{i}) − f(a_{i})| < ε.

Špeciálne, každá lipschitzovská funkcia je absolútne spojitá

b) ak je funkcia f diferencovatel’ná a jej derivácia f′ je ohraničená, potom je f lipschitzovská

c) funkcia f : [0, 1] → IR : x ↦ \sqrt{x} je absolútne spojitá, ale nie je lipschitzovská

d) priestor lipschitzovských funkcií na [0, 1] s normou

∥f∥ = sup_{0≤x≤1} |f(x)| + sup_{0≤x<y≤1} \frac{|f(x) − f(y)|}{|x − y|}

je Banachov priestor

Nech a, b ∈ IR, a < b. Ak je funkcia F : [a, b] → IK absolútne spojitá, potom s.v. v [a, b] existuje jej derivácia F′. Ďalej F′ ∈ L^{1}((a, b)) a F (b)−F (a) = ∫_{a}^{b} F′(t) dt (= ∫_{[a,b]} F′dμ, kde μ je Lebesgueova miera v IR).

Naopak, ak je f ∈ L^{1}((a, b)), potom je funkcia F (x) = ∫_{a}^{x} f(t) dt absolútne spojitá a F′(x) = f(x) pre s.v. x ∈ (a, b).

• Dá sa tiež ukázat’, že ak je F : [a, b] → IK spojitá, pre všetky x ∈ (a, b) s výnimkou spočítatel’nej množiny existuje konečná F′(x) a F′ ∈ L^{1}((a, b)), potom F (b) − F (a) = ∫_{a}^{b} F′(t) dt.

• Existuje príklad funkcie f : [0, 1] → [0, 1], ktorá je spojitá, neklesajúca, f(0) = 0, f(1) = 1 a f′ = 0 s.v. (tzv. Cantorova funkcia)

• Nech f ∈ L^{1}(IR^{n}). Potom pre s.v. x_{o} ∈ IR^{n} platí

lim_{ε→0} \frac{1}{μ(Bε(x_{o}))} ∫_{Bε(x_{o})} |f(x) − f(x_{o})| dx = 0,

kde Bε(x_{o}) = {x; ∥x − x_{o}∥ < ε}.

\underline{Vzt’ah medzi Lebesgueovym a Riemannovym integrálom}. Riemannov integrál (R) ∫_{a}^{b} f dx je pre ohraničenú funkciu f : [a, b] → IK definovaný

ako limita súčtov tvaru ∑_{i=0}^{k} f(ξ_{i})(x_{i+1} − x_{i}) pre max_{i} |x_{i+1} − x_{i}| → 0 (kde

a = x_{0} < x_{1} < … < x_{k+1} = b a ξ_{i} ∈ [x_{i}, x_{i+1}]) za predpokladu, že táto limita existuje (pre l’ubovol’nú vol’bu {x_{i}} a {ξ_{i}}).

Riemannov integrál (ohraničenej) funkcie f existuje práve vtedy, ked’ má množina bodov nespojitosti funkcie f nulovú Lebesgueovu mieru. V tom prípade existuje aj Lebesgueov integrál a rovná sa Riemannovmu.

14 Nech je f : [0, 1] → {0, 1} Dirichletova funkcia (t.j. f(x) = 0 pre x iracionálne, f(x) = 1 pre x racionálne). Ukážte, že f ∈ L^{1}((0, 1)), ale f nie je riemannovsky integrovatel’ná. Existuje tiež príklad ohraničenej funkcie f ∈ L((0, 1)) takej, že žiadna funkcia g ∈ f∼ nie je riemannovsky integrovatel’ná.

\underline{Vzt’ah medzi Lebesgueovym a Newtonovym integrálom}. Nech −∞ ≤ a < b ≤ +∞ a nech má funkcia f : (a, b) → IK primitívnu funkciu F, t.j. F′ = f (čo platí napr. pre f spojitú). Ak existujú konečné limity lim_{x→b−} F (x) a lim_{x→a+} F (x), potom sa ich rozdiel nazýva Newtonov integrál funkcie f.

Ak existuje Newtonov aj Lebesgueov integrál funkcie f, potom sa rovnajú. Ak je f ∈ L^{1}((a, b)) spojitá, potom existuje tiež Newtonov integrál funkcie f. Ak existuje Newtonov integrál funkcie f ∉ L^{1}, potom je f meratel’ná, ∫ |f| dμ = +∞ a Newtonov integrál funkcie |f| neexistuje.

15 Nech (a, b) = (0, +∞), f(x) = \frac{sin(x)}{x}. Potom f ∉ L^{1}, ale existuje Newtonov integrál f (=π/2). Podobne pre (a, b) = (0, 1) a f = F′, kde F (x) = x^{2} sin \frac{1}{x^{2}} . Dokážte.

\underline{Veta o substitúcii}. Nech je f : IR^{m} → IR^{n} lipschitzovské zobrazenie (t.j. |f(x) − f(y)| ≤ L|x − y| pre každé x, y ∈ IR^{m}) a nech u ∈ L^{1}(IR^{m}). Označme J_{k}f(x) číslo \sqrt{∑ A_{k}^{2}}, kde A_{k} sú všetky subdeterminanty rádu k

matice f′(x) = (\frac{∂f_{i}}{∂x_{j}} (x)), a nech λ_{n} (resp. μ_{n}) je n-rozmerná Lebesgueova

(resp. Hausdorffova) miera.

Ak m ≤ n, potom platí

∫_{IR_{m}} u(x)J_{m}f(x) dλ_{m}(x) = ∫_{IR_{n}} ( ∑_{x∈f^{−1}(y)} u(x)) dμ_{m}(y).

Ak m > n, potom platí

∫_{IR_{m}} u(x)J_{n}f(x) dλ_{m}(x) = ∫_{IR_{n}} (∫_{f^{−1}(y)} u(x) dμ_{m−n}(x)) dλ_{n}(y)

(tzv. veta o koploche).

16 Nech je A ⊂ IR^{m} meratel’ná, m ≤ n a f : A → IR^{n} prosté a lipschitzovské zobrazenie. Potom platí μ_{m}(f(A)) = ∫_{A} J_{m}f(x) dλ_{m}(x). Dokážte.

4. SÚČIN MIER

Nech je (X, M, μ) aj (Y, N , ν) priestor s úplnou, σ-konečnou mierou. Nech Z = X × Y a nech je O σ-algebra v Z generovaná systémom množín tvaru A × B, kde A ∈ M a B ∈ N. Potom existuje jediná σ-konečná miera λ na O tak, že λ(A × B) = μ(A) · ν(B) pre každé A ∈ M a B ∈ N. Táto miera sa označuje μ ⊗ ν a jej zúplnenie (t.j. miera λ̂ definovaná na množinách tvaru C + S, kde C ∈ O a S ⊂ N, N ∈ O, λ(N) = 0, predpisom λ̂(C + S) = λ(C)) je úplná σ-konečná miera, ktorú označíme μ ˆ⊗ν. Ak sú X, Y σ-kompaktné metrické priestory (špeciálne IR^{n}) a miery μ, ν sú Radonove miery, potom je μ ˆ⊗ν tiež Radonova miera.

• Nech je μ_{k} k-rozmerná Lebesgueova miera v IR^{k}. Potom platí μ_{k+m} = μ_{k} ˆ⊗μ_{m}.

Pre Lebesgueov integrál funkcií definovaných na Z platia nasledujúce tvrdenia

(Tonelli) Ak je f : Z → IK meratel’ná, potom je funkcia |f(x, ·)| : Y → IR^{+} meratel’ná pre s.v. x ∈ X, funkcia ∫_{Y} |f(·, y)| dν(y) : X → IR^{+} ∪{+∞} je meratel’ná a platí

∫_{X}(∫_{Y} |f(x, y)| dν(y)) dμ(x) = ∫_{Z} |f| dλ̂.

(Fubini) Ak f ∈ L^{1}(Z), potom f(x, ·) ∈ L^{1}(Y) pre s.v. x ∈ X, ∫_{Y} f(·, y) dν(y) ∈ L^{1}(X) a

∫_{X}(∫_{Y} f(x, y) dν(y)) dμ(x) = ∫_{Z} f dλ̂.

17 Nech f(x, y) = \frac{x − y}{(x + y)^{3}} pre (x, y) ∈ M = (0, 1)^{2} ⊂ IR^{2}. Ukážte, že platí
∫_{0}^{1}(∫_{0}^{1} f(x, y) dy) dx = 1/2 = − ∫_{0}^{1}(∫_{0}^{1} f(x, y) dx) dy.

Platí f ∈ L^{1}(M) ?

18 Nech f : IR^{2} → IR, f = χ_{A} − χ_{B}, kde A = {(x, y) ; 0 < y < x < y + 1} a B = {(x, y) ; 0 < x < y < x + 1}. Spočítajte ∫_{IR}(∫_{IR} f(x, y) dy) dx a ∫_{IR}(∫_{IR} f(x, y) dx) dy.

5. ROZKLADY MIERY

Nech je M σ-algebra na množine X. Ak je funkcia λ : M → IR (resp. λ : M → C) σ-aditívna, potom sa λ nazýva znamienková† (resp. komplexná) miera. Pre takúto mieru sa dá definovat’ konečná nezáporná miera |λ| : M → IR^{+} (tzv. variácia miery λ) predpisom

|λ|(A) = sup{∑_{i=1}^{∞} |λ(A_{i})|; A = ⋃_{i=1}^{∞} A_{i}, A_{j} ∩ A_{k} = ∅}.

Komplexná (znamienková) miera λ sa nazýva borelovská resp. regulárna, ak je miera |λ| borelovská resp. regulárna.

Ak pre znamienkovú mieru položíme λ^{±} = \frac{1}{2}(|λ| ± λ), potom sú λ^{+} a λ^{−} nezáporné konečné miery na M a platí λ = λ^{+} − λ^{−} (tzv. Jordanov rozklad miery λ). Podobne pre komplexnú mieru existuje Jordanov rozklad λ = λ_{1} − λ_{2} + i(λ_{3} − λ_{4}), kde λ_{j} sú konečné nezáporné miery.

Povieme, že funkcia f ∈ L^{1} = L^{1}(X, M, λ), ak f ∈ L^{1}(X, M, λ_{j}) pre každé j (analogicky pre znamienkovú mieru) a potom kladieme

∫_{X} f dλ = ∫_{X} f dλ_{1} − ∫_{X} f dλ_{2} + i ∫_{X} f dλ_{3} − i ∫_{X} f dλ_{4}.

Ak je μ nezáporná miera na σ-algebre M, potom sa miera λ nazýva absolútne spojitá vzhl’adom k μ (píšeme λ ≪ μ), ak pre každú A ∈ M takú, že μ(A) = 0, platí λ(A) = 0. Táto podmienka je ekvivalená s nasledujúcou:

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀A ∈ M) μ(A) < δ ⇒ |λ(A)| < ε

19 Nech f ∈ L^{1}(X, M, μ), μ ≥ 0. Pre A ∈ M položme λ(A) = ∫_{A} f dμ. Potom platí λ ≪ μ. Dokážte.

† V definícii znamienkovej miery sa niekedy tiež pripúšt’a, aby táto nadobúdala niektorú z hodnôt ±∞. V tom prípade samozrejme jej variácia nemusí byt’ konečná. Znamienková miera sa tiež nazýva náboj.

Miery λ_{1}, λ_{2} sa nazývajú navzájom singulárne (píšeme λ_{1} ⊥ λ_{2}), ak existujú disjunktné množiny A_{1}, A_{2} ∈ M tak, že pre každé A ∈ M platí λ_{i}(A) = λ_{i}(A ∩ A_{i}), i = 1, 2 (t.j. miera λ_{i} je ” sústredená ” na A_{i}). Platia nasledujúce tvrdenia

(Hahnov rozklad) Pre každú znamienkovú mieru λ existujú disjunktné množiny A^{+}, A^{−} ∈ M tak, že A^{+} ∪ A^{−} = X a miera λ^{+} (resp. λ^{−}) je sústredená na A^{+} (resp. A^{−}) (Radon–Lebesgue–Nikodým) Nech je μ nezáporná σ-konečná miera a λ komplexná miera na σ-algebre M ⊂ exp(X). Potom existuje práve jedna dvojica mier λ_{a} a λ_{s} na M tak, že λ = λ_{a} + λ_{s}, λ_{a} ≪ μ a λ_{s} ⊥ μ. Naviac existuje jediný prvok h ∈ L^{1}(X, M, μ) tak, že λ_{a}(A) = ∫_{A} h dμ pre každé A ∈ M.

Funkcia h v práve uvedenej vete sa tiež označuje \frac{dλ_{a}}{dμ} a nazýva sa Lebesgue-Radon-Nikodýmova derivácia λ_{a} vzhl’adom k μ.

20 Nech je μ_{0} σ-konečná, μ_{1}, μ_{2} konečné nezáporné miery na (X, M) a nech μ_{2} ≪ μ_{1} ≪ μ_{0}. Ukážte, že s.v. (vzhl’adom k μ_{0}) platí \frac{dμ_{2}}{dμ_{0}} = \frac{dμ_{2}}{dμ_{1}} · \frac{dμ_{1}}{dμ_{0}} .

6. RIESZOVA VETA O REPREZENTÁCII

Nech je X σ-kompaktný metrický priestor (napr. otvorená alebo uzavretá množina v IR^{n}) a nech C_{c}(X) je priestor spojitých funkcií f : X → IK s kompaktným nosičom v X (topológia v tomto LF-priestore je zadaná v kapitole 1). Pre každú nezápornú Radonovu mieru μ na X je predpisom T_{μ}(f) = ∫_{X} f dμ definovaný na C_{c}(X) nezáporný lineárny funkcionál T_{μ} (t.j. T_{μ} je lineárne zobrazenie C_{c}(X) → IK také, že T_{μ}f ≥ 0 pre každú nezápornú funkciu f ∈ C_{c}(X)). Rieszova veta o reprezentácii hovorí, že takýmto spôsobom dostaneme všetky nezáporné lineárne funkcionály na C_{c}(X), pričom ide o jednoznačné zobrazenie.

21 Ukážte, že každý nezáporný lineárny funkcionál T na priestore C_{c}(X) je spojitý, t.j. T ∈ C′_{c}(X). Prvky priestoru M(X) = C′_{c}(X) sa nazývajú Radonove miery.

Z Rieszovej vety o reprezentácii d’alej plynie, že priestor M_{b}(X) = C′_{o}(X) je B-priestor konečných Radonovych mier a platí |μ|(X) = ∥T_{μ}∥.

22 Nech je X kompaktný metrický priestor (takže M(X) = M_{b}(X)) a nech je f_{n}, f ∈ C_{c}(X) = C_{o}(X) = C(X) = BUC(X). Potom f_{n} ⇀ f, práve ked’ je postupnost’ {∥f_{n}∥} ohraničená a zároveň f_{n}(x) → f(x) pre každé x ∈ X. Dokážte. (Návod: Ak f_{n} ⇀ f a x ∈ X, potom f_{n}(x) → f(x), pretože F : C(X) → IK : f ↦ f(x) je spojitá forma. Pri dôkaze opačnej implikácie použite reprezentáciu priestoru C′(X) a Lebesgueovu vetu.)

7. BOCHNEROV INTEGRÁL

Nech je X σ-kompaktný metrický priestor, μ nezáporná Radonova miera na M ⊂ exp(X) (špeciálne IR^{n} s Lebesgueovou mierou) a E Banachov priestor s normou ∥ · ∥. Funkcia u : X → E sa nazýva

– jednoduchá, ak je u(X) konečná množina, u^{−1}(e) ∈ M pre každé e ∈ u(X) a μ(u^{−1}(e)) < ∞ pre každé e ≠ 0

– (silno) meratel’ná, ak existuje postupnost’ {u_{n}} jednoduchých funkcií tak, že u_{n}(x) → u(x) pre s.v. x ∈ X

– slabo meratel’ná, ak je pre každé f ∈ E′ funkcia f(u(·)) : X → IK

meratel’ná Dá sa ukázat’ (Pettis), že u je meratel’ná práve vtedy, ked’ je slabo meratel’ná a μ−skoro separabilná (t.j. existuje množina N ∈ M miery nula tak, že množina u(X\N) je separabilná).

23 Dokážte nasledujúce tvrdenia

a) Ak je u : X → E alebo u : X → (E, σ) spojitá, potom je meratel’ná. (Symbolom σ myslíme slabú topológiu na E)

b) Ak sú u_{n} : X → E meratel’né a u_{n}(x) ⇀ u(x) s.v., potom je u meratel’ná.

c) Nech je F B-priestor, u : X → E meratel’ná a f : E → F spojitá. Potom je f ∘ u meratel’ná.

d) Nech je F reflexívny B-priestor, ktorý je husto a spojito vnorený do E. Nech je u : X → E meratel’ná, u(X) ⊂ F a u : X → F je μ−skoro separabilná. Potom je u : X → F meratel’ná.

e) Nech je F reflexívny B-priestor, ktorý je spojito vnorený do E, a nech u ∈ B(X, F) ∩ C(X, E). Potom u ∈ C(X, (F, σ)) a teda u : X → F je meratel’ná.

Pre u jednoduchú položme ∫_{X} u dμ = ∑_{0≠e_{j}∈u(X)} e_{j}μ(u^{−1}(e_{j})). Povie-

me, že funkcia u : E → X je B-integrovatel’ná (píšeme u ∈ L^{1}(X, E) = L^{1}(X, M, μ, E)), ak existuje postupnost’ jednoduchých funkcií u_{n} tak, že u_{n} → u s.v. a ∫_{X} ∥u_{n} − u∥ dμ → 0. V tom prípade definujeme ∫_{X} u dμ = lim ∫_{X} u_{n} dμ (overte korektnost’ definície!), pričom pre E = IK ide o už zavedený Lebesgueov integrál. Analogicky ako pre Lebesgueov integrál definujeme B-priestory L^{p}(X, E). Platí nasledujúce tvrdenie (Bochner):

Funkcia u : X → E je B-integrovatel’ná, práve ked’ je meratel’ná a ∥u∥ ∈ L^{1} (=L^{1}(X, IR)).

Pre Bochnerov integrál sa dajú dokázat’ analógie k mnohým tvrdeniam platným pre Lebesgueov integrál (Fubini, Tonelli, Lebesgue, Jegorov, Vitali …).

24 Nech sú E, F B-priestory, nech je C : E → F uzavreté lineárne zobrazenie s definičným oborom D(C), nech f : X → D(C), f ∈ L^{1}(X, E) a Cf ∈ L^{1}(X, F). Potom platí ∫_{X} f dμ ∈ D(C) a C(∫_{X} f dμ) = ∫_{X} Cf dμ. Dokážte toto tvrdenie za predpokladu C ∈ L(X).

V d’al’šom budeme predpokladat’, že miera μ má nasledujúcu vlastnost’: ak je G ⊂ X otvorená a neprázdna, potom μ(G) > 0. Tento predpoklad totiž zaručuje, že v každej triede f∼ ∈ L^{p}(X, E) existuje nanajvýš jedna spojitá funkcia, takže priestor C_{c}(X, E) môžeme považovat’ za podpriestor L^{p}(X, E) (dokážte !). Pre l’ubovol’né p ∈ [1, +∞] potom dokonca platí, že C_{c}(X, E) je spojito vnorený do L^{p}(X, E), pričom pre p < ∞ ide zároveň o husté vnorenie. Ako dôsledok dostávame, že pre separabilný priestor E a p < ∞ je L^{p}(X, E) separabilný B-priestor.

• Ak je Y = (Y, N , ν) d’al’ší priestor s mierou splňujúci rovnaké predpoklady ako (X, M, μ) a na priestore X ×Y uvažujeme súčinovú mieru μ ˆ⊗ν, potom pre p ∈ [1, ∞) platí L^{p}(X, L^{p}(Y, E)) = L^{p}(X × Y, E)