BANACHOVE A HILBERTOVE PRIESTORY

1. ZÁKLADNÉ POJMY

Normovaným lineárnym priestorom (NLP) nazývame lineárny (= vektorový) priestor X nad telesom IK, na ktorom je daná nezáporná reálna funkcia ∥ · ∥ : X → IR^{+} (norma) s nasledujúcimi vlastnost’ami:

1. ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥ pre každé x, y ∈ X

2. ∥λx∥ = |λ| · ∥x∥ pre každé x ∈ X a λ ∈ IK

3. ∥x∥ = 0 ⟺ x = 0. Ak v NLP položíme ϱ(x, y) = ∥x − y∥, potom je ϱ (translačne invariantná) metrika, t.j. každý NLP je tiež metrický priestor. NLP X sa nazýva Banachov priestor (B-priestor), ak je úplný (t.j. každá cauchyovská postupnost’ v X má limitu).

1 Nech je X NLP. Dokážte, že X je B-priestor práve vtedy, ked’ pre každú postupnost’ {x_{n}} ⊂ X platí: ak ∑_{n=1}^{∞} ∥x_{n}∥ < ∞, potom je rad ∑_{n=1}^{∞} x_{n} konvergentný, t.j. exis-

tuje x ∈ X také, že (∀ε > 0)(∃n_{o}) n > n_{o} ⇒ ∥∑_{k=1}^{n} x_{k} − x∥ < ε. (Návod: Ak je X

úplný a ∑_{n=1}^{∞} ∥x_{n}∥ < ∞, potom je y_{n} = ∑_{k=1}^{n} x_{k} cauchyovská postupnost’ v X, takže rad

∑_{n=1}^{∞} x_{n} konverguje. Pri dôkaze implikácie ⇐ zvol’te l’ubovol’nú cauchyovskú postupnost’

{y_{n}} ⊂ X a vyberte z nej podpostupnost’ {y_{n_{k}}} tak, aby platilo ∑_{k=1}^{∞} ∥y_{n_{k}} − y_{n_{k−1}}∥ < ∞

(kde y_{n_{0}} = 0). Ukážte, že y_{n} → ∑_{k=1}^{∞}(y_{n_{k}} − y_{n_{k−1}}). )

2 Nech je X NLP. Ukážte, že jednotková gul’a B = {x ∈ X; ∥x∥ ≤ 1} je konvexná množina (t.j. pre každé x, y ∈ B a každé λ ∈ (0, 1) platí λx + (1 − λ)y ∈ B).

3 Nech sú ∥ · ∥_{1} a ∥ · ∥_{2} dve normy v lineárnom priestore X, pre ktoré platí: ∥x_{n}∥_{1} → 0 ⟺ ∥x_{n}∥_{2} → 0 (také normy sa nazývajú ekvivalentné). Ukážte, že potom existujú kladné konštanty A, B tak, že A∥x∥_{1} ≤ ∥x∥_{2} ≤ B∥x∥_{1} pre každé x ∈ X.

4 Nech sú M, N uzavreté podmnožiny B-priestoru X. Ukážte, že množina M + N = {x + y; x ∈ M, y ∈ N} nemusí byt’ uzavretá. (Návod: Vol’te X = IR^{2}, M = {(−x, 1/x) ; x > 0}, N = {(x, 0) ; x ≥ 0}.)

Množina M + N nemusí byt’ uzavretá ani ked’ sú M, N uzavreté podpriestory priestoru X (vid’ §2).

5 Nech je X NLP, nech je M ⊂ X uzavretá a N ⊂ X kompaktná. Ukážte, že je M + N uzavretá.

6 Ak sú M, N uzavreté podpriestory NLP X, dim N < ∞, potom je M + N uzavretý. Dokážte. (Návod: Nech z_{n} ∈ (M + N), z_{n} → z. Napíšte z_{n} v tvare z_{n} = x_{n} + y_{n}, kde x_{n} ∈ M, y_{n} ∈ N, ∥y_{n}∥ < inf{∥y∥; y ∈ N, z_{n} ∈ y + M} + 1. Ak pre vybranú postupnost’ z postupnosti {y_{n}} platí ∥y_{n}∥ → ∞, potom pre vybranú postupnost’ z postupnosti w_{n} = y_{n}/∥y_{n}∥ dostaneme w_{n} → w ∈ M ∩ N, takže z_{n} = (x_{n} + ∥y_{n}∥w) + (y_{n} − ∥y_{n}∥w) ∈ M + N, odkial’ plynie spor s vol’bou y_{n}, pretože ∥y_{n} − ∥y_{n}∥w∥ < ∥y_{n}∥ − 1 pre vel’ké n. Postupnost’ {y_{n}} je teda ohraničená, takže pre vybranú postupnost’ platí y_{n} → y ∈ N, x_{n} = z_{n} − y_{n} → z − y ∈ M, z = (z − y) + y ∈ M + N.)

Nech je X lineárny priestor (nad IK) so skalárnym súčinom, t.j. zobrazením ⟨·, ·⟩ : X × X → IK, ktoré je lineárne v prvej premennej a pre ktoré platí ⟨x, y⟩ = \overline{⟨y, x⟩} pre každé x, y ∈ X a ⟨x, x⟩ > 0 pre každé x ≠ 0. Na X môžeme definovat’ normu predpisom ∥x∥ = \sqrt{⟨x, x⟩}. Ak je takto vzniknutý NLP úplný (t.j. B-priestor), nazýva sa X Hilbertov priestor (H-priestor).

Ak je X H-priestor a x, y ∈ X, ⟨x, y⟩ = 0, potom sa prvky x, y nazývajú ortogonálne, píšeme x ⊥ y. Ak pre množinu M ⊂ X platí, že každé dva z jej prvkov sú ortogonálne a M ⊂ S = {x ∈ X; ∥x∥ = 1}, potom sa M nazýva ortonormálna množina. Každý H-priestor má ortonormálnu bázu, t.j. maximálnu ortonormálnu podmnožinu. Pre ortonormálnu bázu {x_{α}}_{α∈A} a l’ubovol’né x ∈ X platí x = ∑_{α∈A} ⟨x, x_{α}⟩x_{α}†

a ∥x∥^{2} = ∑_{α∈A} |⟨x, x_{α}⟩|^{2}. Ďalej v H-priestore platí Schwartzova nerovnost’

† Rovnost’ x = ∑_{α∈A} ⟨x, x_{α}⟩x_{α} znamená, že ∑_{α∈A} |⟨x, x_{α}⟩| < ∞ a pre každé ε > 0

existuje konečná množina K_{o} ⊂ A tak, že ∥x − ∑_{α∈K} ⟨x, x_{α}⟩x_{α}∥ < ε pre každú konečnú

množinu K ⊂ A s vlastnost’ou K_{o} ⊂ K.

|⟨x, y⟩| ≤ ∥x∥ · ∥y∥ a rovnobežníkové pravidlo ∥x + y∥^{2} + ∥x − y∥^{2} = 2∥x∥^{2} + 2∥y∥^{2}.

Ak je X H-priestor a K ⊂ X je neprázdna, uzavretá a konvexná množina, potom pre každé x ∈ X existuje jediný prvok P_{K}x ∈ K taký, že ∥x − P_{K}x∥ = inf_{y∈K} ∥x − y∥. Zobrazenie P_{K} : X → K sa nazýva (ortogonálna) projekcia na množinu K a je charakterizované podmienkou Re ⟨x − P_{K}x, y − P_{K}x⟩ ≤ 0 pre každé y ∈ K.

Ak je K uzavretý podpriestor v X, potom je zobrazenie I − P_{K} (kde I : X → X : x ↦ x je identické zobrazenie) projekcia na uzavretý podpriestor K^{⊥} = {y ∈ X; y ⊥ x ∀x ∈ K}.

7 Nech je K neprázdna, konvexná, uzavretá množina v H-priestore X. Ukážte, že projekcia P_{K} je neexpanzívne zobrazenie, t.j. ∥P_{K}x − P_{K}y∥ ≤ ∥x − y∥. (Návod: Sčítajte spolu nerovnosti Re ⟨x − P_{K}x, P_{K}y − P_{K}x⟩ ≤ 0 a Re ⟨y − P_{K}y, P_{K}x − P_{K}y⟩ ≤ 0.) Špeciálne, P_{K} : X → X je spojité zobrazenie. Ďalej ukážte, že ak je K uzavretý podpriestor priestoru X, potom je P_{K} lineárne zobrazenie.

8 Poznámka: Ak je K podpriestor B-priestoru X, potom projekciou na K sa nazýva l’ubovol’né lineárne zobrazenie P : X → K také, že P x = x pre každé x ∈ K. Ak je táto projekcia spojitá, potom je podpriestor K nutne uzavretý (dokážte !). Ak je naopak K uzavretý podpriestor, potom spojitá projekcia X → K nemusí existovat’.

Ak je X B-priestor a K je neprázdna uzavretá konvexná množina v X, x ∈ X, potom v K nemusí existovat’ prvok najlepšej aproximácie prvku x (t.j. prvok z ∈ K taký, že ∥z − x∥ ≤ ∥y − x∥ pre každé y ∈ K) a pokial’ existuje, tak nemusí byt’ jediný (vid’ nasledujúci §). Ak je však B-priestor X uniformne konvexný, t.j.

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x, y ∈ S) ∥x − y∥ > ε ⇒ ∥\frac{x + y}{2} ∥ < 1 − δ,

potom opät’ platí, že pre každú K ⊂ X uzavretú a konvexnú, K ≠ ∅, a pre každé x ∈ X existuje v K jediný prvok najlepšej aproximácie prvku x (symbolom S sme označili jednotkovú sféru v X).

9 Ukážte, že každý H-priestor je uniformne konvexný. (Návod: Použite rovnobežníkové pravidlo.)

2. PRÍKLADY B– A H–PRIESTOROV

V priestore IK^{n} môžeme zaviest’ normu napr. jedným z nasledujúcich spôsobov:

a) ∥x∥_{p} = (∑_{i=1}^{n} |x_{i}|^{p})^{1/p}, p ∈ [1, ∞)

b) ∥x∥_{max} = max_{1≤i≤n} |x_{i}|

Priestor IK^{n} s každou z týchto noriem je B-priestor a všetky uvedené normy sú ekvivalentné, t.j. ∥x_{n}∥_{p} → 0 ⟺ ∥x_{n}∥_{max} → 0 (dokážte; dá sa dokonca ukázat’, že l’ubovol’né dve normy v konečnorozmernom priestore sú ekvivalentné). Napriek tomu každá z týchto noriem má iné geometrické vlastnosti. Priestor IK^{n} s euklidovskou normou ∥ · ∥_{2} je H-priestor so skalárnym súčinom ⟨x, y⟩ = ∑_{i=1}^{n} x_{i}\overline{y_{i}}, takže pre každé x existuje jediný prvok jeho

najlepšej aproximácie v jednotkovej guli B. Túto vlastnost’ napr. priestor IK^{n} s normou ∥ · ∥_{1} alebo ∥ · ∥_{max} nemá:

10 Nech je X = IR^{2} s normou ∥·∥_{1} resp. ∥·∥_{max} a nech x = (1, 1) resp. x = (2, 0). Ukážte, že v B existuje nekonečne vel’a prvkov z takých, že ∥x − z∥ = inf_{y∈B} ∥x − y∥.

Odtial’ tiež plynie, že priestor IR^{2} s normou ∥ · ∥_{max} alebo ∥ · ∥_{1} nie je uniformne konvexný (o čom sa dá jednoducho presvedčit’ priamo). Dá sa dokázat’, že priestor IK^{n} s normou ∥ · ∥_{p}, p ∈ (1, ∞), je uniformne konvexný.

11 Ukážte, že priestor IK^{n} je separabilný. (Návod: Spočítatel’ná množina všetkých racionálnych čísel je hustá v IR.)

Nech je Ω l’ubovol’ná neprázdna množina a E B-priestor s normou | · |. Označme B(Ω, E) systém všetkých ohraničených funkcií f : Ω → E s normou ∥f∥ = sup_{t∈Ω} |f(t)|. Potom je B(Ω, E) B-priestor (dokážte !).

V prípade E = IK budeme písat’ len B(Ω) miesto B(Ω, IK) (podobne pre d’al’šie priestory).

Ak je naviac Ω metrický priestor, potom symbolom BC(Ω, E) budeme značit’ podpriestor priestoru B(Ω, E) tvorený všetkými spojitými ohraničenými funkciami Ω → E. Ide o uzavretý podpriestor priestoru B(Ω, E), takže je to B-priestor.

Ak je Ω metrický priestor s metrikou ϱ, potom sa funkcia f : Ω → E nazýva rovnomerne spojitá, ak

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀s, t ∈ Ω) ϱ(s, t) < δ ⇒ |f(s) − f(t)| < ε

(napr. funkcia f : (0, 1) → IR : t ↦ 1/t je spojitá, ale nie je rovnomerne spojitá); funkcia f : Ω → E sa nazýva α-hölderovská, α ∈ (0, 1], ak je

konečná hodnota p_{α}(f) = sup_{x≠y} \frac{|f(x) − f(y)|}{ϱ(x, y)^{α}}. Každá α-hölderovská funkcia

je rovnomerne spojitá.

Podpriestor priestoru B(Ω, E) tvorený všetkými ohraničenými, rovnomerne spojitými funkciami je opät’ uzavretý podpriestor a budeme ho značit’ BUC(Ω, E) (= Bounded, Uniformly Continuous). Ak je Ω kompaktný metrický priestor, potom je každá spojitá funkcia f : Ω → E ohraničená a rovnomerne spojitá, takže BUC(Ω, E) = BC(Ω, E) = C(Ω, E), kde C(Ω, E) je množina všetkých spojitých funkcií Ω → E. Ak Ω kompaktný metrický priestor a E je separabilný, potom je tiež priestor BUC(Ω, E) = C(Ω, E) separabilný.

Priestor BUC^{0,α}(Ω, E) je priestor všetkých α-hölderovských funkcií f ∈ BUC(Ω, E) s normou ∥f∥^{0,α} = sup_{t∈Ω} |f(t)| + p_{α}(f); ide opät’ o B-priestor.

12 Ukážte, že priestor X = BUC(IR) = BUC(IR, IK) nie je separabilný. (Návod: Nech φ ∈ X má nosič supp φ (= \overline{\{x; φ(x) ≠ 0\}}) v intervale (0, 1), φ ≢ 0. Pre l’ubovol’nú podmnožinu A celých čísel položme φ_{A} = ∑_{m∈A} φ(m + ·). Systém {φ_{A}}_{A} je nespočítatel’ný a ∥φ_{A} − φ_{B}∥ = ∥φ∥ > 0 pre každé A ≠ B.)

13 Nech má množina Ω aspoň dva rôzne prvky. Ukážte, že priestor B(Ω) nie je uniformne konvexný. (Návod: Nech t_{o} ∈ Ω; položte f_{1} ≡ 1 a f_{2} = χ_{{t_{o}}}, kde χ_{A} je charakteristická funkcia množiny A, t.j. χ_{A}(t) = 1 pre t ∈ A, χ_{A}(t) = 0 pre t ∉ A.)

Ukážte tiež, že priestor C([0, 1]) = BUC([0, 1]) = BUC((0, 1)) nie je uniformne konvexný.

14 Definujte v priestore X = C([0, 1]) normu predpisom ∥f∥ = ∫_{0}^{1} |f(t)| dt. Ukážte, že tento NLP nie je úplný. (Návod: Uvažujte postupnost’ funkcií {f_{n}}, kde f_{n}(t) = 0 pre t ≤ \frac{1}{2} − \frac{1}{n}, f_{n}(t) = 1 pre t ≥ \frac{1}{2} + \frac{1}{n} a f_{n} je lineárna na intervale [ \frac{1}{2} − \frac{1}{n} , \frac{1}{2} + \frac{1}{n}].)

Položte d’alej M = \{f ∈ X; f(x) = 0 pre x ≤ \frac{1}{2} \}, N = \{f ∈ X; f(x) = 0 pre x ≥ \frac{1}{2} \} a ukážte, že priestory M, N sú uzavreté, ale priestor M + N nie.

15 Ukážte, že v priestore C((0, 1)) neexistuje norma s nasledujúcou vlastnost’ou 0 ≤ f_{1} ≤ f_{2} ⇒ ∥f_{1}∥ ≤ ∥f_{2}∥. (Návod: Zvol’te nezápornú funkciu φ_{n} ∈ C((0, 1)) tak, aby jej nosič supp φ_{n} = \overline{\{x; φ_{n}(x) ≠ 0\}} bol obsiahnutý v intervale (\frac{1}{n + 1} , \frac{1}{n}) a pritom

φ_{n} ≢ 0. Položte φ = ∑_{n=1}^{∞} n \frac{φ_{n}}{∥φ_{n}∥} a ukážte, že φ ∈ C((0, 1)) nemôže mat’ konečnú normu.)

16 Nech Ω = (0, 1), f(t) = t^{β}, β ∈ (0, 1]. Ukážte, že f ∈ BUC^{0,α}((0, 1)), práve ked’ α ≤ β.

Definujme d’alej funkcie f_{n} : [0, 1] → IR predpisom: f_{n}(1/n) = (1/n)^{β}, f_{n}(0) = 0, f_{n}(t) = 0 pre t ≥ 2/n, f_{n} je lineárna na [0, 1/n] aj na [1/n, 2/n]. Ukážte, že f_{n} ∈ BUC^{0,1}((0, 1)), ale f_{n} → 0 v BUC^{0,α}((0, 1)), práve ked’ α < β.

17 Nech X = BUC^{0,α}((0, 1)). Pre a ∈ (0, 1) položme f_{a}(t) = (t − a)^{α} pre t > a, f_{a}(t) = 0 pre t ≤ a. Ukážte, že {f_{a}}_{a} tvorí nespočítatel’ný systém funkcií, pre ktoré platí ∥f_{a} − f_{b}∥ ≥ 1 (pre a ≠ b), a dokážte, že odtial’ plynie, že priestor X nie je separabilný.

Predpokladajme d’alej, že Ω je otvorená množina v IR^{n}. V priestore funkcií f ∈ BUC(Ω), ktorých všetky parciálne derivácie do rádu k existujú a patria opät’ do BUC(Ω), sa dá zaviest’ norma predpisom ∥f∥ = ∥f∥_{k} = ∑_{|α|≤k} sup_{t∈Ω} |D^{α}f(t)|, kde α = (α_{1}, …, α_{n}) je multiindex celých nezáporných

čísel, |α| = ∑_{i=1}^{n} α_{i} a D^{α}f(t) = \frac{∂^{|α|}f(t)}{∂^{α_{1}}t_{1} … ∂^{α_{n}}t_{n}}. Tento priestor označíme

BUC^{k}(Ω), ide zase o B-priestor. (Pozor: množina BUC^{k}(Ω) ⊂ BUC(Ω) nie je uzavretá v topológii priestoru BUC(Ω). Norma ∥ · ∥_{k} teda v priestore BUC(Ω) definuje inú (silnejšiu) topológiu ako je topológia indukovaná normou priestoru BUC(Ω).)

Podobne sa definuje B-priestor BUC^{k,α}(Ω) ako priestor všetkých funkcií f ∈ BUC^{k}(Ω), ktorých k-te derivácie sú α-hölderovské (s príslušnou normou).

Jednym z najdôležitejších príkladov B- a H-priestorov sú Lebesgueove priestory (vid’ tiež dodatok II). Nech je (X, μ) priestor s mierou. Symbolom L^{p}(X) (1 ≤ p < ∞) označme systém všetkých meratel’ných funkcií X → IK, pre ktoré je konečná hodnota ∥f∥_{p} = (∫_{X} |f|^{p} dμ)^{1/p}. V priestore

L^{p}(X) zavedieme reláciu ekvivalencie predpisom f ∼ g ⟺ f(x) = g(x) pre s.v. x ∈ X. Lebesgueov priestor L^{p}(X) definujeme ako faktorpriestor L^{p}(X)/∼ s normou ∥f∼∥_{p} = ∥f∥_{p}. Tento priestor je B-priestor, jeho prvky sú triedy ekvivalencie funkcií z L^{p}(X), ale väčšinou sa nerozlišuje medzi triedou f∼ a jej reprezentantom f. Podobne definujeme B-priestor L^{∞}(X) ako priestor L^{∞}(X)/∼, kde L^{∞}(X) je priestor meratel’ných funkcií f : X → IK, pre ktoré je konečné číslo ∥f∥_{∞} = ess sup_{X} |f| = inf_{{N⊂X \atop μ(N)=0}} sup_{x∈X\N} |f(x)|.

Analogicky sa tiež definujú priestory L^{p}(X, E), kde E je B-priestor (vid’ dodatok II).

Priestor L^{2}(X) je H-priestor so skalárnym súčinom ⟨f, g⟩ = ∫_{X} fḡ dμ. Ak X = IN a μ je aritmetická miera (t.j. μ({n}) = 1), potom sa pries-

tor L^{p}(X) značí tiež ℓ^{p}. Ak je X konečná množina s aritmetickou mierou, potom je zrejme priestor L^{p}(X) izomorfný s IK^{n}, kde n je počet prvkov množiny X.

Pre meratel’né funkcie f, g : X → IK platí tzv. Hölderova nerovnost’: ak p, q ≥ 1, 1/p + 1/q = 1, potom

∫_{X} |fg| dμ ≤ (∫_{X} |f|^{p} dμ)^{1/p} · (∫_{X} |g|^{q} dμ)^{1/q},

kde 0 · ∞ = 0.

18 Dá sa ukázat’, že priestory L^{p}(X), 1 < p < ∞, sú uniformne konvexné. Ukážte, že priestory L^{1}(Ω) a L^{∞}(Ω) (kde Ω je otvorená množina v IR^{n} s Lebesgueovou mierou) nie sú uniformne konvexné.

19 Ak je Ω otvorená množina v IR^{n}, potom sú priestory L^{p}(Ω), 1 ≤ p < ∞, separabilné. Ukážte, že priestor L^{∞}((0, 1)) nie je separabilný. (Návod: Pre a ∈ [0, 1] položte f_{a} = χ_{A(a)}, kde A(a) = [a − ε, a + ε] ∩ (0, 1), a ukážte ∥f_{a} − f_{b}∥ ≥ 1 pre a ≠ b.)

20 Nech X = L^{∞}((0, 1)) a nech K = {f ∈ C([0, 1]) ; ∫_{0}^{1} f(x) dx = 0}, f_{o} = χ_{[0,1/2]}. Ukážte, že K je uzavretý podpriestor B-priestoru X a v K neexistuje prvok najlepšej aproximácie pre f_{o}.

Sobolevove priestory. Nech je Ω otvorená množina v IR^{n}, k ∈ IN, p ∈ [1, ∞] a f ∈ L^{p}(Ω). Ak existuje funkcia g ∈ L^{p}(Ω) tak, že pre každú funkciu φ ∈ D(Ω) (= priestor hladkých funkcií s kompaktným nosičom v Ω, vid’ dodatok I) platí ∫_{Ω} f \frac{∂φ}{∂x_{i}} dx = − ∫_{Ω} gφ dx, potom povieme, že f má

distributívnu deriváciu \frac{∂φ}{∂x_{i}} v L^{p}(Ω). Sobolevov priestor W^{k,p}(Ω) je priestor tých funkcií f ∈ L^{p}(Ω), ktoré majú všetky distributívne derivácie až do rádu k v L^{p}(Ω). Norma v tomto priestore je daná predpisom ∥f∥_{k,p} =

( ∑_{|α|≤k} ∥D^{α}f∥_{L^{p}(Ω)}^{p})^{1/p}.

Priestory W^{k,p}(Ω) pre 1 ≤ p < ∞ sú separabilné, ale priestor W^{k,∞}(Ω) nie. Priestor W^{k,2}(Ω) je H-priestor.

Funkcie f ∈ W^{1,p}(Ω) sa dajú charakterizovat’ tiež nasledovne: funkcia f ∈ L^{p}(Ω) je v priestore W^{1,p}(Ω) práve vtedy, ked’ sa dá zmenit’ na množine miery nula tak, že je absolútne spojitá (vid’ dodatok II) na skoro všetkých (v zmysle (n − 1)-rozmernej Lebesgueovej miery) rovnobežkách s každou súradnicovou osou x_{i} (i = 1, …, n) a klasická derivácia \frac{∂φ}{∂x_{i}} podl’a každej premennej padne do priestoru L^{p}(Ω). Špeciálne pre n = 1 je f ∈ W^{1,p}(Ω) ⟺ f je absolútne spojitá a f′ ∈ L^{p}(Ω).

Ak je Ω ohraničená oblast’ so spojitou hranicou (presnú definíciu vid’ napr. [KJF, 6.2.3.]) a p < ∞, potom je priestor D(IR^{n})/Ω (= reštrikcie funkcií z D(IR^{n}) na oblast’ Ω) hustým podpriestorom priestoru W^{k,p}(Ω), takže Sobolevov priestor W^{k,p}(Ω) môžeme v tomto prípade tiež definovat’ ako zúplnenie priestoru BUC^{k}(Ω) s normou ∥ · ∥_{k,p}.

Sobolevov priestor W^{k,2}(IR^{n}) tiež možno charakterizovat’ ako priestor tých funkcií f ∈ L^{2}(IR^{n}), pre ktorých Fourierovu transformáciu f̂ platí ∫_{IR_{n}} |f̂(ξ)|^{2}(1 + |ξ|^{2})^{k} dξ < ∞.

21 Ukážte, že pre p < ∞ neplatí BUC^{k}(IR^{n}) ⊂ W^{k,p}(IR^{n}).

22 Nech f : (0, 1) → IR : x ↦ min{x, 1 − x}. Ukážte, že f ∈ W^{1,∞}((0, 1)), a neexistujú funkcie f_{n} ∈ BUC^{1}((0, 1)) tak, aby f_{n} → f vo W^{1,∞}((0, 1)).

23 Nech f = χ_{A}, kde A = (0, 1/2) × (0, 1) ⊂ IR^{2}. Ukážte, že f ∉ W^{1,2}((0, 1)^{2}). 24 Nech X = W^{1,2}((0, 1)), M = \{f ∈ X; f( \frac{1}{2n}) = 0 pre n = 1, 2, …\}, N = \{f ∈

X; f( \frac{1}{2n−1} ) = 0 pre n = 1, 2, …\}, φ(x) = x^{3/2}. Ukážte, že M, N sú uzavreté podpriestory X, ale φ ∈ \overline{M + N}\(M + N).

3. SPOJITÉ LINEÁRNE ZOBRAZENIA

25 Nech sú X, Y NLP a A : X → Y lineárne zobrazenie. Dokážte, že A je spojité práve vtedy, ked’ je ohraničené (t.j. zobrazuje ohraničené množiny v X na ohraničené množiny v Y). (Návod: Nech je M ⊂ X ohraničená a A(M) neohraničená. Potom existujú x_{n} ∈ M tak, že ∥Ax_{n}∥ → ∞. Ukážte, že pre z_{n} = \frac{x_{n}}{∥Ax_{n}∥} platí z_{n} → 0, ale Az_{n} ↛ 0,

takže A nie je spojité. Ak je naopak A ohraničené, potom ∥Ax∥ ≤ C pre každé ∥x∥ ≤ 1, odkial’ plynie ∥Ax − Az∥ ≤ C∥x − z∥, a teda tiež spojitost’ A. Z poslednej nerovnosti dokonca plynie, že každé spojité lineárne zobrazenie A : X → Y je rovnomerne spojité.)

Nech sú X a Y B-priestory s normami ∥·∥_{X} a ∥·∥_{Y}. Potom je priestor

L(X, Y) všetkých spojitých lineárnych zobrazení A : X → Y (definovaných

na celom priestore X) s normou ∥A∥ = sup{∥Ax∥_{Y} ; ∥x∥_{X} ≤ 1} B-priestor.

V prípade X = Y píšeme L(X) miesto L(X, X).

Ak je X ⊂ Y a identické zobrazenie I : X → Y : x ↦ x je spojité,

potom hovoríme, že priestor X je spojito vnorený do Y, píšeme X ⊂ Y.

Ak je naviac priestor X hustý v Y (v topológii priestoru Y), potom píšeme

X ⊂^{d} Y.

26 Každé lineárne zobrazenie A : IK^{n} → IK^{m} je spojité a dá sa reprezentovat’ ako matica (a_{ij}) typu m × n. Nech je v IK^{n} i v IK^{m} daná euklidovská norma. Potom platí

∥A∥ ≤ (∑_{i,j} |a_{ij}|^{2})^{1/2}. Dokážte.

27 Pre f : [0, 1] → IR položme (Af)(x) = x^{2}f(x). Určite normu A ∈ L(X), ak • X = L^{p}((0, 1)), 1 ≤ p ≤ ∞ (∥A∥ = 1)

• X = BUC^{1}((0, 1)) (∥A∥ = 3)

• X = BUC^{0,α}((0, 1)) (∥A∥ = 1 + \frac{2}{2 − α}(\frac{2 − 2α}{2 − α})^{1−α})

• X = W^{1,1}((0, 1)) (3 ≥ ∥A∥ ≥ 4/3)

28 Nech X = L^{p}(Ω), kde Ω je priestor so σ-konečnou mierou (špeciálne Ω ⊂ IR^{n}). Nech φ ∈ L^{∞}(Ω), A : X → X : f ↦ φ · f. Ukážte, že ∥A∥ = ∥φ∥_{L^{∞}}. Je predpoklad σkonečnosti miery potrebný ? (Riešenie: Pre p < ∞ áno; uvažujte Ω = {x, y}, μ({x}) = 1, μ({y}) = +∞, φ = χ_{{y}}.)

29 Pre f : [0, 1] → IR a a > 0 položme (Af)(x) = f(x^{a}). Zistite, pre ktoré a platí A ∈ L(X) a určite ∥A∥, ak

• X = L^{2}((0, 1)) (a ≤ 1, ∥A∥ = 1/\sqrt{a})

• X = BUC((0, 1)) (a > 0, ∥A∥ = 1)

• X = BUC^{0,α}((0, 1)) (a ≥ 1, ∥A∥ = a^{α})

• X = W^{1,2}((0, 1)) (a ≥ 1, \sqrt{a} ≤ ∥A∥ < \sqrt{a + 2})

30 Nech X = C([0, 1]) = BUC((0, 1)), A_{n} ∈ L(X), (A_{n}f)(t) = f(t^{1+1/n}). Ukážte, že A_{n}f → f pre každé f ∈ X, ale ∥A_{n} − I∥ = 1.

31 Nech X = L^{2}(IR), (A_{t}φ)(x) = φ(x + t). Ukážte, že A_{t} ∈ L(X), ∥A_{t}φ∥ = ∥φ∥ a súčasne ⟨A_{t}φ, ψ⟩ → 0 pre každé φ, ψ ∈ X a t → +∞ (t.j. A_{t} → 0 v tzv. slabej operátorovej topológii).

32 Nech (Af)(x) = ∫_{0}^{x} f(y) dy. Určite ∥A∥ pre A ∈ L(X, Y), ak

• X = L^{2}((0, 1)), Y = W^{1,2}((0, 1)) (2/\sqrt{3} ≤ ∥A∥ ≤ \sqrt{3/2})

• X = L^{∞}((0, 1)), Y = BUC^{0,1}((0, 1)) (∥A∥ = 2)

• X = BUC((0, 1)), Y = BUC^{1}((0, 1)) (∥A∥ = 2)

• X = BUC^{0,α}((0, 1)), Y = BUC^{1,α}((0, 1)) (∥A∥ = 2)

• X = Y = BUC((0, 1)) (∥A∥ = 1)

• X = Y = L^{2}((0, 1)) (∥A∥ = 2/π)

33 Nech Af = f′. Zistite, či A ∈ L(X, Y) a prípadne určite ∥A∥, ak

• X = Y = BUC^{1}((0, 1)) (A ∉ L(X, Y))

• X = BUC^{1,α}((0, 1)), Y = BUC^{0,α}((0, 1)) (∥A∥ = 1)

• X = W^{1,p}(IR), Y = L^{p}(IR) (∥A∥ = 1)

34 Ukážte, že W^{1,2}((0, 1)) ⊂ BUC^{0,1/2}((0, 1)).

Riešenie: Označme ∥ · ∥_{1,2} resp. ∥ · ∥^{0,1/2} normu v priestore W^{1,2} resp. BUC^{0,1/2}. Pre každé f ∈ W^{1,2} potom platí

|f(t) − f(s)| = | ∫_{s}^{t} f′(τ) dτ| ≤ (∫_{s}^{t} |f′(τ)|^{2}dτ)^{1/2} · |t − s|^{1/2} ≤ ∥f∥_{1,2} · |t − s|^{1/2},

takže f je 1/2-hölderovská a p_{1/2}(f) ≤ ∥f∥_{1,2}. Špeciálne tiež platí |sup_{(0,1)} |f| − inf_{(0,1)} |f|| ≤

∥f∥_{1,2}, a pretože

∥f∥_{1,2}^{2} ≥ ∫_{0}^{1} |f(τ)|^{2}dτ ≥ ∫_{0}^{1} (inf |f|)^{2}dτ = (inf |f|)^{2},

dostávame sup |f| ≤ ∥f∥_{1,2} + inf |f| ≤ 2∥f∥_{1,2}, takže ∥f∥^{0,1/2} = sup |f| + p_{1/2}(f) ≤ 3∥f∥_{1,2}. Odtial’ plynie W^{1,2}((0, 1)) ⊂ BUC^{0,1/2}((0, 1)), pričom norma tohto vnorenia je ≤ 3.

35 Nech X = {f ∈ W^{1,2}((0, 1)) ; f(0)=f(1)=0} (vzhl’adom k predošlému cvičeniu má podmienka f(0)=f(1)=0 zmysel a X je uzavretý podpriestor priestoru W^{1,2}). V pries-

tore X definujme normu ∥f∥ = (∫_{0}^{1} |f′(x)|^{2}dx)^{1/2}. Ukážte, že táto norma je v priestore

X ekvivalentná norme ∥ · ∥_{1,2} a že norma vnorenia (X, ∥ · ∥) ⊂ BUC((0, 1)) sa rovná 1/2. 36 Pre Sobolevove priestory platia tiež nasledujúce vnorenia (kde k ∈ IN, p ≥ 1):

• ak k < n/p, potom W^{k,p}(IR^{n}) ⊂ L^{q}(IR^{n}), kde 1/q = 1/p − k/n. Ak v priestore

W^{1,p}(IR^{n}) uvažujeme normu ∥f∥ = ∥∇f∥_{L^{p}}, potom sa norma vnorenia W^{1,p} ⊂ L^{q} (pre p > 1) nadobúda na funkciách tvaru f(x) = (λ + |x|^{p/(p−1)})^{1−n/p}, kde λ > 0,

takže napr. pre n = 3 a p = 2 je rovná \frac{1}{\sqrt{3}}(\frac{2}{π} )^{2/3}.

• ak k > n/p, potom W^{k,p}(IR^{n}) ⊂ BUC^{m,α}(IR^{n}), kde 0 ≤ m < k − n/p, 0 < α ≤ k − m − n/p, α < 1.

• ak je Ω ⊂ IR^{n} ohraničená oblast’ s lipschitzovskou hranicou (vid’ [KJF]), potom je pre k < n/p resp. k = n/p resp. k > n/p priestor W^{k,p}(Ω) spojito vnorený do priestoru L^{q}(Ω) resp. L^{r}(Ω) resp. BUC^{0,α}(Ω), kde 1/q ≥ 1/p − k/n resp. r ∈ [1, ∞) resp. α ≤ k − n/p, α < 1. V poslednom prípade sa dá tiež dokázat’ vnorenie

W^{k,p} ⊂ BUC^{m,α}, ak k > m + n/p, α ≤ k − m − n/p, α < 1.

37 Ak je Ω ⊂ IR^{n} otvorená a ohraničená, potom platí C(\overline{Ω}) = BUC(Ω) ⊂^{d} L^{p}(Ω)

pre l’ubovol’né 1 ≤ p < ∞ (vid’ tiež dodatok II). Ukážte, že vnorenie BUC(Ω) ⊂ L^{∞}(Ω) nie je husté. (Návod: Zvol’te x_{o} ∈ Ω a ε > 0 tak, aby A = {x; |x − x_{o}| < ε} ⊂ Ω a položte f = χ_{A} ∈ L^{∞}(Ω). Ukážte, že neexistujú f_{n} ∈ BUC(Ω) tak, aby f_{n} → f v L^{∞}(Ω); vid’ tiež príklad 22.)

38 Nech X = L^{2}((−1, 1)), f_{n}(t) = \sqrt{\frac{2n + 1}{2}} \frac{1}{2^{n}n!} \frac{d^{n}}{dt^{n}} [(t^{2} − 1)^{n}] (Legendrove

polynómy). Ukážte, že {f_{n}}_{n=0}^{∞} tvorí ortonormálnu bázu v X. (Návod pre dôkaz maximality (=úplnosti) systému {f_{n}}: Stačí dokázat’, že lineárne kombinácie funkcií f_{n} sú husté v X. To však plynie z toho, že priestor týchto kombinácií obsahuje všetky polynómy a tie tvoria podl’a Stone-Weierstrassovej vety hustú podmnožinu priestoru C([−1, 1]), ktorý je zase husto vnorený v L^{2}((−1, 1)) (vid’ predošlé cvičenie).) Podobné vlastnosti majú tiež Laguerrove, Hermitove, Jacobiho a Čebyševove polynómy v priestoroch L_{φ}^{2}((a, b)) s príslušnou váhou φ : (a, b) → IR^{+} (ide o priestory tých funkcií f, pre ktoré je konečná ∥f∥^{2} = ∫_{a}^{b} |f(x)|^{2}φ(x) dx).

Nech sú X, Y B-priestory, A_{α} ∈ L(X, Y), α ∈ M. Z Banach-Stein-

hausovej vety plynie, že ak je množina {∥A_{α}x∥}_{α∈M} ohraničená pre každé

x ∈ X, potom je množina {∥A_{α}∥}_{α∈M} ohraničená. Ak pre indexovú množinu M platí M = IN (t.j. ide o postupnost’ zobrazení {A_{n}}) a ak A_{n}x → Ax

pre každé x ∈ X, potom platí A ∈ L(X, Y), ∥A∥ ≤ lim inf ∥A_{n}∥ a A_{n}x →

Ax rovnomerne na kompaktných množinách v X. (vid’ tiež dodatok I).

39 Nech sú X, Y B-priestory, A_{n} ∈ L(X, Y), nech existuje hustá množina M ⊂ X tak, že A_{n}x → Ax pre každé x ∈ M, a nech je postupnost’ {∥A_{n}∥} ohraničená. Ukážte, že potom je postupnost’ {A_{n}x} konvergentná pre každé x ∈ X.

40 Nech je X podpriestor priestoru ℓ^{∞} tvorený všetkými postupnost’ami x = {x_{n}},

pre ktoré platí x_{n} = 0 pre n ≥ n_{o} = n_{o}(x). Definujme A_{n} : X → IK : x ↦ ∑_{k=1}^{n} x_{k}. Ukážte,

že postupnost’ {A_{n}(x)} je ohraničená pre každé x ∈ X, ale postupnost’ {∥A_{n}∥} nie.

41 Nech je X separabilný H-priestor s ortonormálnou bázou {e_{n}} a A_{n}x = ⟨x, e_{n}⟩. Ukážte, že A_{n}x → 0 pre každé x ∈ X a súčasne ∥A_{n}∥ = 1.

42 Nech je X B-priestor, A_{n} → A, B_{n} → B v L(X). Ukážte, že potom A_{n}B_{n} → AB v L(X).

Ďalej s použitím Banach-Steinhausovej vety dokážte, že ak A_{n}, B_{n} ∈ L(X) a A_{n}x → Ax, B_{n}x → Bx pre každé x ∈ X, potom A_{n}B_{n}x → ABx pre každé x ∈ X.

43 Systém funkcií \{f_{k}\}_{k=−∞}^{+∞}, kde f_{k}(x) = \frac{e^{ikx}}{\sqrt{2π}}, tvorí ortonormálnu bázu pries-

toru L^{2}((0, 2π)). Odtial’ plynie, že pre každé f ∈ L^{2}((0, 2π)) platí S_{n}f → f v L^{2}((0, 2π)), kde

S_{n}f = ∑_{k=−n}^{n} ⟨f, f_{k}⟩f_{k} = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}f(· + t) \frac{sin(n + \frac{1}{2} )t}{sin \frac{t}{2}} dt,

a funkciu f sme 2π-periodicky rozšírili na (2π, 4π). Ak je naviac f : [0, 2π] → IK absolútne spojitá a f(0) = f(2π), potom platí S_{n}f → f rovnomerne v [0, 2π].

Položme X = {f ∈ C([0, 2π]) ; f(0)=f(2π)}. Ukážte pomocou Banach-Steinhausovej vety, že ak zvolíme a ∈ [0, 2π], potom existuje f ∈ X tak, že Fourierov rad (S_{n}f)(a) funkcie f v bode a diverguje. (Návod: Predpokladajte opak, potom musí byt’ postupnost’ noriem zobrazení A_{n} : X → IK : f ↦ (S_{n}f)(a) ohraničená. Ukážte, že platí ∥A_{n}∥ =

\frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}|\frac{sin(n + \frac{1}{2} )t}{sin \frac{t}{2}} | dt → ∞ pre n → ∞.) Z Banach-Steinhausovej vety dokonca plynie,

že takéto funkcie f (pre ktoré je postupnost’ (S_{n}f)(a) neohraničená) tvoria reziduálnu množinu v priestore X, odkial’ plynie, že tiež pre každú spočítatel’nú množinu M ⊂ [0, 2π] existuje funkcia f ∈ X tak, že rad (S_{n}f)(a) diverguje pre každé a ∈ M.

Poznámka: Systém prvkov {f_{k}} v B-priestore sa nazýva topologická báza, ak pre každé f v tomto priestore existuje jediná postupnost’ čísel {c_{k}} ⊂ IK tak, že f = ∑ c_{k}f_{k}.

Z vyššie uvedeného plynie, že f_{k}(x) = e^{ikx} netvorí topologickú bázu v priestore X. V priestore L^{p}((0, 2π)) tvorí tento systém topologickú bázu práve pre 1 < p < ∞.

44 Pre f ∈ X = C([0, 1]) a x_{k} = \frac{k}{n} položme

(A_{n}f)(x) = ∑_{i=0}^{n}(∏_{k≠i} \frac{(x − x_{k})}{(x_{i} − x_{k})})f(x_{i}),

t.j. A_{n}f je Lagrangeov interpolačný polynóm funkcie f, A_{n} ∈ L(X). Ukážte, že existujú f_{n} ∈ X tak, že ∥f_{n}∥ = 1 a |(A_{n}f_{n})( \frac{1}{2n})| → ∞, odkial’ plynie ∥A_{n}∥ → ∞. Z Banach-Stein-hausovej vety teraz plynie, že existuje f ∈ X tak, že A_{n}f ↛ f v C([0, 1]).

Zobrazenia X → IK sa tiež nazývajú formy alebo funkcionály. Priestor L(X, IK) spojitých lineárnych foriem sa značí X′ (alebo X^{∗}) a nazýva sa duál (duálny priestor k) priestoru X. Základným tvrdením o lineárnych formách je tzv. Hahn-Banachova veta, z ktorej plynie, že l’ubovol’nú spojitú lineárnu formu f : M → IK (kde M je podpriestor X) možno rozšírit’ na spojitú lineárnu formu f̃: X → IK tak, aby ∥f̃∥ = sup{|f(x)|; x ∈ M, ∥x∥ ≤ 1}. Dôsledkom tejto vety je tiež tvrdenie o oddel’ovaní konvexných množín: Nech sú A, B neprázdne konvexné disjunktné množiny v NLP† X. Ak je A otvorená, potom existuje f ∈ X′ a ξ ∈ IR tak, že pre každé x ∈ A a y ∈ B platí Re f(x) < ξ ≤ Re f(y). Ak je A kompaktná a B uzavretá, potom existuje f ∈ X′ tak, že sup_{A} Re f < inf_{B} Re f. Množiny A a B teda môžeme od seba oddelit’ nadrovinou Re f = ξ pre vhodné ξ.

45 Ukážte, že pre každé x v NLP X platí ∥x∥ = max{|f(x)|; f ∈ X′, ∥f∥ ≤ 1}. 46 Nech sú x_{1}, …, x_{n} ∈ X lineárne nezávislé. Potom existujú f_{1}, …, f_{n} ∈ X′

tak, že f_{i}(x_{j}) = δ_{ij} (tzv. biortogonálna postupnost’). Dokážte.

Ukážte tiež, že pre dané f_{1}, …, f_{n} ∈ X′ lineárne nezávislé existujú x_{1}, …, x_{n} ∈ X tak, že f_{i}(x_{j}) = δ_{ij}.

47 Nech X = L^{2}((−1, 1)), A = {f ∈ BUC((−1, 1)) ; f(0) = α}, B = {f ∈ BUC((−1, 1)) ; f(0) = β}, α ≠ β. Potom sú A, B konvexné a disjunktné, ale nedajú sa od seba oddelit’ spojitým lineárnym funkcionálom v X. Dokážte. (Návod: A, B sú husté v X, takže pre 0 ≠ f ∈ X′ sú f(A), f(B) husté v IK. Ukážte, že dokonca platí f(A) = f(B) = IK.)

† stačí, aby X bol LKP (vid’ dodatok I)

Duál k H-priestoru X sa dá pomocou Rieszovej vety o reprezentácii stotožnit’ so samotným priestorom X; každej forme F ∈ X′ pritom zodpovedá prvok x_{F} ∈ X nasledujúcim spôsobom: F (x) = ⟨x, x_{F} ⟩ pre každé x ∈ X. Podobne duál k priestoru L^{p}(X, μ), 1 ≤ p < ∞, sa dá stotožnit’ s priestorom L^{q}(X, μ) (kde 1/p + 1/q = 1; q = +∞ pre p = 1) nasledovne: (L^{p})′ → L^{q} : F ↦ g_{F}, kde F (f) = ∫_{X} fḡ_{F} dμ pre každé f ∈ L^{p}.

Každý B-priestor X môžeme prirodzeným spôsobom vnorit’ do jeho druhého duálu X′′ = L(X′, IK); ide o zobrazenie Q : X → X′′ : x ↦ Q_{x}, kde Q_{x}(f) = f(x) pre f ∈ X′. Zobrazenie Q je izometria, t.j. ∥Q_{x}∥ = ∥x∥. Priestor X sa nazýva reflexívny, ak platí Q(X) = X′′. Každý H-priestor a každý uniformne konvexný B-priestor je reflexívny. Špeciálne, priestory L^{p} a W^{k,p} sú reflexívne pre 1 < p < ∞ (v prípade priestoru L^{p}(X, E) musí byt’ tiež priestor E reflexívny). Naproti tomu priestory L^{1}, L^{∞} a BUC reflexívne nie sú.

Reflexivita je topologická vlastnost’ (t.j. nezávisí na vol’be konkrétnej (ekvivalentnej) normy ako napr. uniformná konvexita) a reflexívne priestory majú celý rad dôležitých vlastností. V reflexívnom priestore je každá konvexná uzavretá ohraničená množina K kompaktná v tzv. slabej topológii (vid’ dodatok I), odkial’ napr. plynie, že l’ubovol’ná spojitá forma f : X → IR nadobúda na K svoje infimum i supremum a každé x ∈ X má v K prvok svojej najlepšej aproximácie. Nadobúdanie inf_{K} f sa dá v reflexívnom priestore dokázat’ aj pre nelineárne spojité funkcionály f : X → IR, ktoré sú konvexné (t.j. f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y) pre λ ∈ (0, 1)).

48 Nech X = BUC((0, 1), IR) a nech

• K = B = {f ∈ X; ∥f∥ ≤ 1}, F (f) = ∫_{0}^{1/2} f(t) dt − ∫_{1/2}^{1} f(t) dt

• K = {f ∈ B; f(0)=f(1)=0}, F (f) = ∫_{0}^{1} f(t) dt

• K = \{f ∈ B; f(\frac{1}{2n−1})=0 pre každé n ∈ IN\}, F (f) = ∑_{n∈IN} \frac{1}{2^{n}} f(\frac{1}{2n}).

Ukážte, že vo všetkých troch prípadoch platí F ∈ X′, K je konvexná, uzavretá a ohraničená, ale F nenadobúda na K svoje infimum ani supremum. Podl’a Rieszovej vety o reprezentácii (vid’ dodatok II) zodpovedá funkcionálu F konečná Radonova miera μ_{F}.

Čomu sa rovná μ_{F} v uvedených troch prípadoch ?

Položte d’alej K = {f ∈ B; f(0) = ∫_{0}^{1} f(t) dt = 0} a ukážte, že funkcia f(t)=t nemá v K prvok najlepšej aproximácie (vid’ tiež príklad 20.)

49 S využitím Rieszovej vety o reprezentácii a Hahn-Banachovej vety ukážte, že pre dané n ∈ IN existuje (konečná Radonova) miera μ_{n} na intervale [0, 1] tak, že P′(0) = ∫_{0}^{1} P dμ_{n} pre každý polynóm P stupňa ≤ n. Ukážte d’alej, že neexistuje (konečná Radonova) miera μ na [0, 1] tak, aby P′(0) = ∫_{0}^{1} P dμ pre l’ubovol’ný polynóm.

4. KOMPAKTNOSŤ V NLP

Kompaktnost’ je jeden zo základných pojmov vo funkcionálnej analýze. Kompaktné množiny majú niektoré dôležité vlastnosti, napr. spojitá funkcia na kompaktnej množine nadobúda svoje infimum, v metrickom priestore z každej postupnosti prvkov v kompaktnej množine možno vybrat’ konvergentnú podpostupnost’ (čo sa často využíva pri rôznych limitných prechodoch).

Podmnožina M B-priestoru X je relatívne kompaktná práve vtedy, ked’ je totálne ohraničená, t.j. pre každé ε > 0 existuje konečná množina Mε ⊂ M tak, že (∀x ∈ M)(∃xε ∈ Mε)∥x−xε∥ < ε. Množina Mε sa potom nazýva ε-siet’ množiny M. Pretože v IK^{n} je každá ohraničená množina totálne ohraničená, je každá ohraničená uzavretá množina v IK^{n} kompaktná. V nekonečnorozmernom B-priestore toto tvrdenie (bohužial’) neplatí: jednotková gul’a B nie je nikdy kompaktná. To je dôsledok tzv. Rieszovej lemy, podl’a ktorej pre každý uzavretý podpriestor Y ⊂ X, Y ≠ X, a každé ε > 0 existuje prvok x ∈ B tak, že dist(x, Y) = inf_{y∈Y} ∥x − y∥ ≥ 1 − ε. (V H-priestore zrejme stačí zvolit’ x ⊥ Y, ∥x∥ = 1.)

Dôkaz: Zvol’me x ∈ X\Y. Z uzavretosti Y plynie, že d = dist(x, Y) > 0. Zvol’me yε ∈ Y tak, aby d ≤ ∥x−yε∥ < d(1+ε) a položme xε = (x−yε)/∥x−yε∥. Potom xε ∈ B a pre l’ubovol’né y ∈ Y dostávame

∥xε − y∥ = \frac{1}{∥x − yε∥}∥x − ^{(yε + y∥x − yε∥)}_{∈Y}∥ ≥ \frac{d}{d(1 + ε)} > 1 − ε,

odkial’ plynie tvrdenie Rieszovej lemy.

Ak teraz zvolíme postupnost’ x_{n} ∈ B tak, že ∥x_{n} − x_{m}∥ ≥ 1 − ε pre každé n ≠ m, potom {x_{n}}_{n} nie je totálne ohraničená, takže B nie je kompaktná.

50 Nech je X separabilný H-priestor s ortonormálnou bázou {e_{n}}. Podl’a vyššie dokázaného nie je gul’a B = {x ∈ X; ∑_{n} |⟨x, e_{n}⟩|^{2} ≤ 1} kompaktná. Ukážte, že množina K = {x ∈ X; |⟨x, e_{n}⟩| ≤ 1/n ∀n ∈ IN} je kompaktná. (Návod: Nech je ε > 0 a zvol’me n tak, aby ∑_{k=n+1}^{∞} \frac{1}{k^{2}} < ε^{2}. Množina M^{n} = \{x = ∑_{i=1}^{n} c_{i}e_{i}; |c_{i}| ≤ 1/i\} je ohraničená množina v konečnorozmernom priestore, takže je totálne ohraničená a má konečnú ε-siet’ Mε^{n}. Ukážte, že Mε^{n} je 2ε-siet’ množiny M). Uvedomte si, čo toto tvrdenie znamená napr. v prípade priestoru L^{2}((0, 2π)): ukážte, že pre f ∈ BUC^{1}((0, 2π)) s vlastnost’ou f(0) = f(2π) platí |⟨f, e_{n}⟩| ≤ \sqrt{2π}∥f∥_{BUC^{1}}/n, kde e_{n}(t) = e^{int}/\sqrt{2π}.

51 Nech je 1 ≤ p < ∞ a nech M ⊂ ℓ^{p} je ohraničená. Ukážte, že M je relatívne kompaktná práve vtedy, ked’

lim_{n→∞}(sup{∑_{k=n}^{∞} |x_{k}|^{p}; x ∈ M}) = 0.

Kompaktné množiny v priestoroch BUC a L^{p} sa dajú charakterizovat’ nasledovne:

• (Arzelà-Ascoli) Nech je (K, ρ) kompaktný metrický priestor. Množina M ⊂ BUC(K) je relatívne kompaktná práve vtedy, ked’ je ohraničená a funkcie f ∈ M sú rovnako spojité, t.j.

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀f ∈ M)(∀x, y ∈ K)ϱ(x, y) < δ ⇒ |f(x)−f(y)| < ε

• (Riesz) Nech je Ω ⊂ IR^{n} otvorená a B_{k} = {x ∈ IR^{n}; |x| ≤ k}. Množina M ⊂ L^{p}(Ω) je relatívne kompaktná práve vtedy, ked’ je ohraničená a pre f ∈ M platí

(i) ∥f∥_{L^{p}(Ω\B_{k})} → 0 pre k → ∞ rovnomerne v M

(ii) ∥f(· + h) − f∥_{L^{p}(Ω)} → 0 pre |h| → 0 rovnomerne v M

Kompaktnost’ v priestore X = L^{2}(IR^{n}) sa dá tiež niekedy ukázat’ pomocou nasledujúceho kritéria (Rellich): Nech F : IR^{n} → IR^{+} je meratel’ná, F (x) → ∞ pre |x| → ∞. Potom je množina M = {f ∈ X; ∥f∥ ≤ 1, ∥F · f∥ ≤ 1, ∥F · f̂∥ ≤ 1} kompaktná v X (f̂ je Fourierova transformácia f).

Nech sú X, Y B-priestory. Zobrazenie f : X → Y sa nazýva kompaktné, ak zobrazuje ohraničené množiny v X na množiny, ktoré sú relatívne kompaktné v Y. Podpriestor priestoru L(X, Y) tvorený všetkými kompaktnými lineárnymi zobrazeniami budeme značit’ K(X, Y). Dá sa ukázat’, že ide o uzavretý podpriestor, takže je to opät’ B-priestor. Ak je X ⊂ Y a príslušné vnorenie je kompaktné, budeme písat’ X ⊂⊂ Y.

52 Ukážte, že priestor K(X) = K(X, X) je ideál priestoru L(X), t.j. AB, BA ∈ K(X) pre každé A ∈ K(X) a B ∈ L(X).

53 Ak je Ω ⊂ IR^{n} ohraničená oblast’ s lipschitzovskou hranicou (vid’ [KJF]), potom sa dá dokázat’, že pre k < n/p resp. k = n/p resp. k > n/p je priestor W^{k,p}(Ω) kompaktne vnorený do priestoru L^{q}(Ω) resp. L^{r}(Ω) resp. BUC^{0,α}(Ω), kde 1/q > 1/p−k/n resp. r ∈ [1, ∞) resp. α < k − n/p. Dokážte, že W^{1,2}((0, 1)) ⊂⊂ BUC((0, 1)).

Riešenie: Nech je M ⊂ W^{1,2} = W^{1,2}((0, 1)) ohraničená vo W^{1,2}, t.j. ∥f∥_{1,2} ≤ C pre každé f ∈ M. Z vnorenia W^{1,2} ⊂ BUC^{0,1/2} (vid’ príklad 34.) potom plynie, že M je ohraničená v BUC^{0,1/2} (takže tiež v BUC) a teda

sup_{f∈M} p_{1/2}(f) = sup_{f∈M} sup_{x≠y} \frac{|f(x) − f(y)|}{|x − y|^{1/2}} ≤ C̃,

odkial’ plynie, že funkcie f ∈ M sú rovnako spojité. Podl’a charakterizácie relatívne kompaktných množín v BUC je množina M relatívne kompaktná v BUC((0, 1)).

54 Ukážte, že pre otvorenú ohraničenú množinu Ω ⊂ IR^{n} je BUC^{1}(Ω) ⊂⊂ BUC(Ω). Dá sa ukázat’, že pre 0 < ν < λ ≤ 1 platí BUC^{k,λ}(Ω) ⊂⊂ BUC^{k,ν}(Ω) a v prípade B-pries-torov E ⊂⊂ F tiež BUC^{0,λ}(Ω, E) ⊂⊂ BUC^{0,ν}(Ω, F) (kde Ω môže byt’ l’ubovol’ný kompaktný metrický priestor).

55 Ak je Ω priestor s konečnou mierou a 1 ≤ p < q ≤ ∞, potom z Hölderovej nerovnosti plynie vnorenie L^{q}(Ω) ⊂ L^{p}(Ω). Ukážte, že vnorenie L^{q}((0, 1)) ⊂ L^{p}((0, 1)), 1 ≤ p < q ≤ ∞, nie je kompaktné. (Návod: Položte f_{n} = χ_{A_{n}}, kde A_{n} = ⋃_{k=0}^{n−1}(\frac{2k}{2n} , \frac{2k+1}{2n}). Potom je {f_{n}}_{n} ohraničená množina v L^{q}, ale neplatí ∥f_{n}(· + h) − f∥_{L^{p}} → 0 pre h → 0 rovnomerne v n.)

56 Ukážte, že zobrazenie A : BUC((0, 1)) → BUC((0, 1)) definované predpisom (Af)(x) = ∫_{0}^{x} f(s) ds je kompaktné. (Návod: A = I ∘ B, kde B : BUC → BUC^{1} : f ↦ Af je spojité a I : BUC^{1} → BUC : f ↦ f je kompaktné.) Podobne sa dá napr. ukázat’, že ak pre f ∈ L^{2}(Ω) (kde Ω ⊂ IR^{n} je ohraničená oblast’ s “rozumnou” hranicou) označíme Af ∈ L^{2}(Ω) (slabé) riešenie okrajového problému △u = f v Ω, u = 0 na hranici ∂Ω, potom je A kompaktné zobrazenie (A = I ∘ B, kde B : L^{2} → W^{2,2}, I : W^{2,2} ⊂⊂ L^{2}).

57 Ak má obor hodnôt R(A) = {y; (∃x) Ax = y} zobrazenia A ∈ L(X, Y) konečnú dimenziu, potom je A ∈ K(X, Y). Dokážte.

58 Zobrazenie A : ℓ^{2} → ℓ^{2} : (x_{1}, x_{2}, …) ↦ (x_{1}, \frac{x_{2}}{2} , \frac{x_{3}}{3} , …) je kompaktné.

(Návod: Zobrazenie A_{n} : ℓ^{2} → ℓ^{2} : (x_{1}, x_{2}, …) ↦ (x_{1}, \frac{x_{2}}{2} , …, \frac{x_{n}}{n} , 0, 0, …) je spojité a konečnorozmerné, teda kompaktné. Ukážte A_{n} → A v L(X) a využite uzavretost’ K(X).)

Zobrazenie A ∈ K(ℓ^{2}) sa teda dá aproximovat’ konečnorozmernými spojitými zobrazeniami. Takúto vlastnost’ má každé kompaktné zobrazenie A : X → Y, pokial’ je Y separabilný H-priestor (stačí, ak má Y tzv. Schauderovu bázu, čo platí napr. pre priestory W^{k,p} a L^{p}, 1 < p < ∞). Pre obecný (separabilný) B-priestor Y toto tvrdenie neplatí.

59 Nech sú Ω_{X} ⊂ IR^{n} a Ω_{Y} ⊂ IR^{m} ohraničené otvorené množiny, nech X = L^{p}(Ω_{X}), Y = L^{q}(Ω_{Y}) a K ∈ L^{r}(Ω_{Y} × Ω_{X}), kde r = max(p′, q) a p′ je exponent duálny k p (t.j. 1/p + 1/p′ = 1). Potom je zobrazenie A_{K} : X → Y definované predpisom (A_{K}f)(y) = ∫_{Ω_{X}} K(y, x)f(x) dx kompaktné.

Ukážte jednoduchšie tvrdenie: ak Ω_{X} = Ω_{Y} = (0, 1) ⊂ IR, K ∈ BUC((0, 1)^{2}), X = Y = BUC((0, 1)), potom je A_{K} : X → X kompaktné. (Návod: Využite charakterizáciu kompaktných množín v priestoroch BUC a rovnomernú spojitost’ jadra K.) Ďalej ukážte, že ak K(y, x) = 1/y, t.j. (A_{K}f)(y) = \frac{1}{y} ∫_{0}^{y} f(x) dx, potom A ∈ L(X)\K(X).

Dokážte tiež, že ak X = L^{2}((0, ∞)) a A : X → X je dané predpisom (Af)(t) = \frac{1}{t} ∫_{0}^{t} f(s) ds, potom A ∈ L(X)\K(X). (Návod pre dôkaz nekompaktnosti: Zvol’te f_{n}(x) = 2^{−n} pre x ∈ (2^{2n}, 2^{2n+1}), f_{n}(x) = −2^{−n−1} pre x ∈ (2^{2n+1}, 2^{2n+2}), f_{n}(x) = 0 ináč. Ukážte, že {f_{n}}_{n} ⊂ L^{2} je ohraničená, ale {Af_{n}}_{n} nemá konečnú ε-siet’.)

Ak sú X resp. Y H-priestory s ortonormálnymi bázami {e_{α}} resp. {f_{β}}

a A ∈ L(X, Y) splňuje podmienku ||| A |||^{2} = ∑_{α,β} |⟨Ae_{α}, f_{β}⟩|^{2} < ∞, potom

sa A nazýva Hilbert-Schmidtovo zobrazenie (číslo ||| A ||| nezáleží na konkrétnej vol’be ortonormálnych báz). Každé Hilbert-Schmidtovo zobrazenie je kompaktné, pretože sa dá aproximovat’ v L(X, Y) konečnorozmernými zobrazeniami tvaru A_{K} = ∑_{α∈K} ⟨·, e_{α}⟩ Ae_{α}, kde K je konečná indexová mno-

žina (dokážte !). Typickým príkladom Hilbert-Schmidtovho zobrazenia je integrálny operátor A : L^{2}(Ω) → L^{2}(Ω) definovaný predpisom (Af)(x) = ∫_{Ω} K(x, y)f(y) dy, kde K ∈ L^{2}(Ω × Ω) (Ω môže byt’ abstraktný priestor s mierou). Hodnota ||| A ||| sa pritom rovná norme jadra K v L^{2}(Ω × Ω).

60 Nech A : ℓ^{2} → ℓ^{2} : (x_{1}, x_{2}, …) ↦ (x_{1}, \frac{x_{2}}{\sqrt{2}} , \frac{x_{3}}{\sqrt{3}} , …). Ukážte, že A je kompaktné, ale nie je Hilbert-Schmidtovo zobrazenie.

5. UZAVRETÉ ZOBRAZENIA

Nech sú X, Y dva B-priestory a A je lineárne zobrazenie z priestoru X do priestoru Y s definičným oborom D(A). Symbolom N (A) budeme značit’ množinu {x ∈ X; Ax=0}, symbolom R(A) budeme značit’ obor hodnôt zobrazenia A, t.j. množinu {y ∈ Y ; (∃x ∈ X) Ax=y}.

Ak je A spojité zobrazenie D(A) → Y a D(A) je hustý podpriestor X, potom sa dá A jednoznačne rozšírit’ na zobrazenie Ã ∈ L(X, Y) (dokážte; využite hustotu D(A) a rovnomernú spojitost’ A).

61 Nech X = Y = L^{2}(IR^{n}) a (Af)(ξ) = \frac{1}{(2π)^{n/2}} ∫_{IR^{n}} f(x) e^{−i(x,ξ)} dx pre f ∈

D(A) = L^{1}(IR^{n}) ∩ L^{2}(IR^{n}) (Fourierova transformácia). Ukážte, že uvedeným predpisom sa A nedá korektne definovat’ pre l’ubovol’né f ∈ L^{2}(IR^{n}). Ďalej ukážte, že A je spojité a D(A) je hustý v X, takže sa A dá rozšírit’ na spojité zobrazenie celého priestoru L^{2}(IR^{n}).

Ak chceme vyšetrovat’ diferenciálny operátor ako zobrazenie v jednom B-priestore (napr. z dôvodu jeho spektrálnej analýzy), potom obyčajne nevystačíme s pojmom spojitého lineárneho zobrazenia, pretože takýto operátor je typický príklad neohraničeného (=nespojitého) zobrazenia. Tieto operátory však často majú celý rad dôležitých vlastností, ktoré obecné lineárne zobrazenia nemajú. Preto sa zavádza pojem uzavretého zobrazenia; tieto zobrazenia predstavujú dostatočne širokú triedu pre vyšetrovanie mnohých diferenciálnych (a iných) operátorov a pritom majú vel’a zo spomínaných dôležitých vlastností.

Zobrazenie A sa nazýva uzavreté, ak je jeho graf, t.j. množina G(A) = {(x, Ax) ; x ∈ D(A)}, uzavretá podmnožina kartézskeho súčinu X × Y. Ak zobrazenie A nie je uzavreté, ale má uzavreté rozšírenie (t.j. existuje uzavreté zobrazenie Ã : D(Ã) → Y tak, že D(A) ⊂ D(Ã) a Ãx = Ax pre každé x ∈ D(A)), potom definujeme jeho uzáver \overline{A} ako jeho najmenšie uzavreté rozšírenie, t.j. graf G(\overline{A}) zobrazenia \overline{A} je uzáver grafu G(A). Ak je A uzavreté zobrazenie s definičným oborom D(A) a D je lineárny podpriestor D(A) s vlastnost’ou A = \overline{A/D} (t.j. A je uzáverom svojej reštrikcie na priestor D), potom povieme, že D je jadro (anglicky core) zobrazenia A. Jadro zrejme nemusí byt’ jednoznačne určené.

Každé zobrazenie A ∈ L(X, Y) je uzavreté. Naopak platí nasledujúca veta o uzavretom grafe: ak je A : X → Y uzavreté a D(A) = X, potom A ∈ L(X, Y) (stále pritom predpokladáme, že X a Y sú B-pries-tory). Dôsledkom tohto tvrdenia je tiež veta o otvorenom zobrazení: Ak je A : X → Y uzavreté, prosté a R(A) = Y, potom A^{−1} ∈ L(Y, X).

Ak je A : X → Y uzavreté, potom jeho graf G(A) = {(x, Ax) ; x ∈ D(A)} s normou ∥(x, Ax)∥ = ∥x∥_{X} + ∥Ax∥_{Y} je B-priestor. Lineárne zobrazenie B : X → Y s definičným oborom D(B) obsahujúcim D(A) sa nazýva A-ohraničené (resp. A-kompaktné), ak je zobrazenie B_{A} : G(A) → Y : (x, Ax) ↦ Bx spojité (resp. kompaktné). Budeme písat’ B ≺ A, ak je B A-ohraničené. V tomto prípade zrejme existujú kladné konštanty a, b tak, že ∥Bx∥_{Y} ≤ a∥Ax∥_{Y} + b∥x∥_{X} pre každé x ∈ D(A). Ak v tejto nerovnosti môžeme zvolit’ a < 1 (resp. a ≤ 1), budeme písat’ B ≺_{1} A (resp. B ⪯_{1} A); ak môžeme zvolit’ a l’ubovol’ne malé (kladné), budeme písat’ B ≺ε A.

62 Nech X = Y = C([0, 1]), D(A) = {f ∈ X; existuje f′(0)}, Af = f′(0). Ukážte, že A : D(A) → IK nie je uzavreté ani nemá uzavreté rozšírenie. (Návod: Uvažujte f_{n}(t) = max(0, t − \frac{1}{n}) a ukážte f_{n} → f ∈ D(A), Af_{n} → 0, ale Af ≠ 0.)

63 Nech X = C([0, 1]), (Af)(t) = \frac{f(t)}{t} pre f ∈ D(A) = \{f ∈ X; existuje konečná

lim_{t→0+} \frac{f(t)}{t} \}. Ukážte, že A : X → X je uzavreté zobrazenie.

64 Nech X = C([0, 1]), D(A) = C^{1}([0, 1]) = BUC^{1}((0, 1)) ⊂ X, A : X → X : f ↦ f′. Potom je A uzavreté zobrazenie. Dokážte.

65 Nech je A : X → Y uzavreté a B ∈ L(X, Y) resp. B ∈ K(X, Y). Ukážte, že je B potom nutne A-ohraničené resp. A-kompaktné.

66 Zobrazenie Au = u′′ je uzavreté zobrazenie v X = L^{2}((0, 1)) s hustým definičným oborom D(A) = W^{2,2}((0, 1)). Zobrazenie Bu = u′ v L^{2}((0, 1)) s definičným oborom D(B) = W^{1,2}((0, 1)) je A-kompaktné, ale neplatí B ∈ L(X). Dokážte.

Ak zvolíme D(A) = {u ∈ W^{2,2}((0, 1)) ; u(0) = u′(0) = 0} a pre u ∈ D(A) definujeme

(Bu)(t) = \frac{u(t)}{t^{β}}, kde β < 2, potom je opät’ A uzavreté zobrazenie a B je A-kompaktné. Dokážte.

67 Nech sú A : X → Y, B : Y → Z uzavreté zobrazenia. Ukážte nasledujúce tvrdenia:

• Ak je B prosté, B^{−1} ∈ L(Z, Y), potom je BA : X → Z uzavreté.

• Ak je A spojité, R(A) ⊂ D(B), potom je BA spojité.

68 Nech je A uzavreté zobrazenie, B ≺_{1} A. Ukážte, že potom je tiež zobrazenie A+B (s definičným oborom D(A)) uzavreté. Dá sa predpoklad B ≺_{1} A zoslabit’ na B ⪯_{1} A ? (Návod pre riešenie otázky: Vol’te A tak, aby D(A) ≠ X a položte B = −A.)

69 Nech je A : X → Y prosté zobrazenie, A^{−1} ∈ L(Y, X). Nech B ≺ A, pričom konštanty a, b môžeme zvolit’ tak, aby b∥A^{−1}∥ + a < 1. Ukážte, že potom je A+B uzavreté, prosté a (A + B)^{−1} ∈ L(Y, X). Naviac (A + B)^{−1} ∈ K(Y, X), ak A^{−1} ∈ K(Y, X). (Návod: K dôkazu uzavretosti použite predošlé cvičenie. Ak označíme R = −BA^{−1}, potom z našich predpokladov plynie R ∈ L(Y), ∥R∥ < 1. Ďalej platí A + B = (I − R)A, takže (A + B)^{−1} = A^{−1}(I − R)^{−1}, kde (I − R)^{−1} = ∑_{k=0}^{∞} R^{k} ∈ L(Y).)

70 Nech X = Y = L^{p}((0, 1)), c ∈ [0, 1], Af = f′ a Bf = f(c) pre f ∈ W^{1,p}((0, 1)). Ukážte, že B ≺ε A pre p > 1, B ≺ A pre p = 1.

71 Nech X = L^{2}(IR^{n}) a nech je A X-realizácia operátora △, t.j. Au = △u pre u ∈ D(A) = {u ∈ X; △u ∈ X}. Dá sa ukázat’, že D(A) = W^{2,2}(IR^{n}) a že A je uzavreté zobrazenie. Ukážte, že zobrazenie I : X → X : u ↦ u nie je A-kompaktné. (Návod: Nech 0 ≢ φ ∈ D(A) má nosič obsiahnutý v množine {x ∈ IR^{n}; |x| < 1}. Položte φ_{n} = φ(·+ne_{1}), kde e_{1} = (1, 0, 0, …, 0), a ukážte, že {φ_{n}} je ohraničená v grafovej norme zobrazenia A, ale nie je relatívne kompaktná v X.)

72 Pre f ∈ L^{1}((0, 2π)) a n celé položme f̂(n) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}f(t)e^{−int} dt (t.j. f̂(n) je

Fourierov koeficient funkcie f). Definujme B-priestor c_{o} ako priestor tých postupností komplexných čísel {z_{n}}_{n=−∞}^{∞}, pre ktoré je konečná norma ∥z∥ = sup_{n} |z_{n}| a pre ktoré

naviac platí lim_{|n|→∞} z_{n} = 0. Ukážte, že zobrazenie F : L^{1} → c_{o} : f ↦ f̂ = {f̂(n)}_{n=−∞}^{∞}

je prosté spojité a lineárne a k nemu inverzné zobrazenie F^{−1} nie je spojité. (Návod: Linearita a spojitost’ F sú jednoduché. Pri dôkaze N (F) = {0} využite hustotu lineárneho obalu funkcií {e^{int}} v L^{2}((0, 2π)). Nespojitost’ F^{−1}: uvažujte f_{n}(t) = ∑_{k=−n}^{n} e^{ikt} a ukážte,

že ∥_{f_{n}}∥_{c_{o}} = 1, ale ∥f_{n}∥_{L^{1}} → ∞.) Ako dôsledok vety o otvorenom zobrazení dostávame, že zobrazenie F nie je surjektívne (R(F) ≠ c_{o}), takže existuje {z_{n}} ∈ c_{o} tak, že z_{n} nie sú Fourierove koeficienty žiadnej funkcie f ∈ L^{1}((0, 2π)).

73 Nech sú X, Y B-priestory, dim X = ∞, a nech je A ∈ K(X, Y) prosté. Ukážte, že potom R(A) ≠ Y. (Návod: Ak R(A) = Y, potom podl’a vety o otvorenom zobrazení je A^{−1} ∈ L(Y, X), takže I = A^{−1}A ∈ K(X), čo nie je možné.)

6. KOMPLEXIFIKÁCIA

V nasledujúcich kapitolách je vel’a výsledkov uvedených len pre komplexné B-priestory. Aby sa tieto výsledky dali použit’ aj v prípade reálneho priestoru, uvedieme si v tomto odstavci spôsob, ako možno reálny priestor a príslušné lineárne zobrazenia ” komplexifikovat’”.

Nech je X reálny B-priestor. Označme X_{C} priestor X × X so sčítaním a násobením skalárom λ = α + iβ ∈ C definovaným nasledovne:

\begin{aligned}(x_{1}, y_{1}) + (x_{2}, y_{2}) & = (x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2}) \\ λ(x, y) & = (αx − βy, βx + αy) \end{aligned}

Prvok z = (x, y) ∈ X_{C} sa dá reprezentovat’ v tvare x + iy, takže priestor X môžeme považovat’ za IR-lineárny podpriestor komplexného priestoru X_{C}. Ak v priestore X_{C} definujeme normu predpisom

∥z∥_{C} = sup_{0≤α≤2π} ∥ Re(e^{iα}z)∥ = sup_{0≤α≤2π} ∥x cos α + y sin α∥,

potom je X_{C} B-priestor a vnorenie X ⊂ X_{C} je (reálna) izometria. Podobne ak je X reálny H-priestor so skalárnym súčinom ⟨·, ·⟩, môžeme v X_{C} definovat’ skalárny súčin ⟨·, ·⟩_{C} predpisom

⟨x + iy, u + iv⟩_{C} = ⟨x, u⟩ + ⟨y, v⟩ + i(⟨y, u⟩ − ⟨x, v⟩).

Ak sú X, Y dva reálne priestory a A : X → Y je lineárne zobrazenie, definujme zobrazenie A_{C} : X_{C} → Y_{C} : (x + iy) ↦ Ax + iAy. Potom je A_{C} C-lineárne zobrazenie a A_{C}(X) ⊂ Y. Naopak, pre každé C-lineárne zobrazenie A : X_{C} → Y_{C} existujú jediné IR-lineárne zobrazenia A_{1}, A_{2} : X → Y tak, že Ax = A_{1}x + iA_{2}x pre každé x ∈ X, pričom sa jednoducho overí A = (A_{1})_{C} + i(A_{2})_{C}, takže priestor všetkých C-lineárnych zobrazení X_{C} → Y_{C} je vlastne komplexifikácia priestoru zobrazení tvaru A_{C}, kde A : X → Y je IR-lineárne zobrazenie. Ďalej platí A ∈ L(X, Y) ⟺ A_{C} ∈ L(X_{C}, Y_{C}) a pri stotožnení zobrazení A a A_{C} tiež L(X_{C}, Y_{C}) = (L(X, Y))_{C}, takže špeciálne (X_{C})′ = (X′)_{C} a (A_{C})′ = (A′)_{C}.

74 Nech je A : X → Y IR-lineárne zobrazenie. Ukážte, že A je uzavreté (resp. kompaktné) práve vtedy, ked’ je zobrazenie A_{C} : X_{C} → Y_{C} uzavreté (resp. kompaktné).