SAMOADJUNGOVANÉ ZOBRAZENIA

Samoadjungované (=samozdružené) zobrazenia v H-priestore tvoria významnú triedu operátorov. Tieto zobrazenia majú dôležité vlastnosti (existencia spektrálneho rozkladu a príslušného funkčného kalkulu, generovanie C^{o}-semigrúp unitárnych zobrazení) a pritom reprezentujú vel’a operátorov v matematickej fyzike (napr. hamiltoniány v kvantovej mechanike). Dokázat’ samoadjungovanost’ (najmä neohraničeného) zobrazenia však nie je vždy úplne jednoduché a to je jeden z dôvodov, prečo tomuto pojmu venujeme celú kapitolu.

1. ADJUNGOVANÉ ZOBRAZENIA V B-PRIESTOROCH

Nech sú X, Y B-priestory a A : X → Y lineárne zobrazenie s hustým definičným oborom D(A). Pre g ∈ Y′ definujme zobrazenie f_{g} : D(A) → IK : x ↦ g(Ax) a označme D(A′) = {g ∈ Y′; f_{g} je spojité}. Pre g ∈ D(A′) možno zrejme príslušnú formu f_{g} jednoznačne rozšírit’ na formu f̃_{g} ∈ X′. Adjungované zobrazenie A′ : Y′ → X′ k zobrazeniu A definujeme pre g ∈ D(A′) predpisom A′g = f̃_{g}, t.j. platí (A′g)(x) = g(Ax) pre každé x ∈ D(A) a g ∈ D(A′).

Zobrazenie A′ je vždy uzavreté (dokážte !), ale nemusí mat’ hustý definičný obor (takže zobrazenie A′′ nemusí byt’ vždy definované).

Pre A ∈ L(X, Y) platí A′ ∈ L(Y′, X′), ∥A′∥ = ∥A∥, a tiež A ∈ K(X, Y) ⟺ A′ ∈ K(Y′, X′).

1 Nech A : IK^{n} → IK^{m} je reprezentované maticou (a_{ij}). Ukážte, že A′ : IK^{m} → IK^{n} je reprezentované maticou (a_{ji}).

2 Nech A : ℓ^{1} → ℓ^{1} : (x_{1}, x_{2}, …) ↦ (x_{2}, x_{3}, …). Ukážte, že zobrazenie A′ sa dá reprezentovat’ ako zobrazenie ℓ^{∞} → ℓ^{∞} : (y_{1}, y_{2}, …) ↦ (0, y_{1}, y_{2}, …).

3 Nech X = ℓ^{p}, 1 ≤ p < ∞, nech A : X → IK, Ax = ∑_{k=1}^{∞} x_{k} pre x = (x_{1}, x_{2}, …) ∈

D(A) = ℓ^{1} ∩ ℓ^{p}. Potom D(A′) ≠ {0} len pre p = 1. Dokážte. Je A uzavreté ?

4 Nech je A zobrazenie v ℓ^{1} definované predpisom Ax = (x_{1}, 2x_{2}, 3x_{3}, …) pre x = (x_{1}, x_{2}, …) ∈ D(A) = {x ∈ ℓ^{1} ; Ax ∈ ℓ^{1}}. Ukážte, že A je uzavreté zobrazenie s hustým definičným oborom, ale zobrazenie A′ nemá hustý definičný obor.

5 Nech je A : X → Y uzavreté zobrazenie s hustým definičným oborom a nech je priestor Y reflexívny. Ukážte, že potom má A′ : Y′ → X′ tiež hustý definičný obor.

Riešenie: Nech \overline{D(A′)} ≠ Y′. Z Hahn–Banachovej vety a reflexivity Y plynie, že existuje 0 ≠ y_{o} ∈ Y tak, že y′(y_{o}) = 0 pre každé y′ ∈ D(A′). Pretože graf G(A) ∈ X × Y je uzavretý podpriestor neobsahujúci bod [0, y_{o}], existuje podl’a Hahn–Banachovej vety funkcionál z′_{1} = [x′_{1}, y′_{1}] ∈ X′ ×Y′ = (X ×Y)′, ktorý oddel’uje tieto dve konvexné množiny, t.j. x′_{1}(x) + y′_{1}(Ax) = 0 pre každé x ∈ D(A), x′_{1}(0) + y′_{1}(y_{o}) = y′_{1}(y_{o}) ≠ 0. Z rovnosti y′_{1}(Ax) = −x′_{1}(x) plynie y′_{1} ∈ D(A′), čo je však v spore s vol’bou y_{o}.

6 Nech A, B : X → Y a nech je D(A) ∩ D(B) hustý v X. Dokážte, že potom platí A′ + B′ ⊂ (A + B)′. Ukážte tiež, že pre B ∈ L(X, Y) platí A′ + B′ = (A + B)′, pričom pre všeobecné B rovnost’ nastat’ nemusí. (Návod: Uvažujte B = −A, D(A′) ≠ Y′.)

7 Nech X = Y = L^{p}((0, 1)), (Af)(t) = ∫_{0}^{t} f(s) ds. Ukážte, že zobrazenie A′ sa

dá reprezentovat’ ako zobrazenie L^{p′}((0, 1)) → L^{p′}((0, 1)) : g ↦ G, kde G(t) = ∫_{t}^{1} g(s) ds a 1/p + 1/p′ = 1.

8 Ak je M resp. N podpriestor priestoru X resp. X′, označme M^{∘} = {f ∈ X′; f(x)=0 ∀x ∈ M} resp. N^{∘} = {x ∈ X; f(x)=0 ∀f ∈ N}. Nech je A : X → Y lineárne zobrazenie s hustým definičným oborom. Ukážte, že platí N (A) ⊂ R(A′)^{∘}, N (A′) = R(A)^{∘}, R(A′) ⊂ N (A)^{∘}, R(A) ⊂ N (A′)^{∘}.

Ďalej platí tzv. Banachova veta: Ak je A : X → Y uzavreté zobrazenie s hustým definičným oborom, potom sú nasledujúce výroky ekvivalentné:

• R(A) je uzavretý

• R(A′) je uzavretý

• R(A) = N (A′)^{∘}

• R(A′) = N (A)^{∘}

Dôsledkom tejto vety je tiež nasledujúce tvrdenie: Nech A : X → Y je uzavreté, \overline{D(A)} = X. Potom R(A) = Y ⟺ (A′)^{−1} je spojité.

9 Nech je A ∈ L(X, Y), X reflexívny. Ukážte, že R(A′) je hustý v X′ práve vtedy, ked’ je A prosté. (Návod: Pre dôkaz implikácie ⇒ použite predošlé cvičenie; pri dôkaze obrátenej implikácie ukážte, že z predpokladu N (A) = {0} a reflexivity X plynie tiež N (A′′) = {0} a potom opät’ použite predošlé cvičenie.)

Dokážte tiež, že predpoklad reflexivity je nutný. (Návod: Položte X = ℓ^{1}, Ax = (x_{1}, x_{2}/2, x_{3}/3, …).)

2. ADJUNGOVANÉ ZOBRAZENIA V H-PRIESTORE

Nech je X H-priestor so skalárnym súčinom ⟨·, ·⟩ a A : X → X lineárne zobrazenie s hustým definičným oborom D(A). Pre y ∈ X položme f_{y} : D(A) → IK : x ↦ ⟨Ax, y⟩ a označme D(A^{∗}) = {y ∈ H; f_{y} je spojité}. Pre y ∈ D(A^{∗}) možno funkcionál f_{y} rozšírit’ na f̃_{y} ∈ X′ a ten sa dá pomocou Rieszovej vety o reprezentácii reprezentovat’ prvkom z_{y}, t.j. f̃_{y}(x) = ⟨x, z_{y}⟩ pre každé x ∈ X. Adjungované zobrazenie A^{∗} : D(A^{∗}) → X definujeme† predpisom A^{∗}y = z_{y}, takže pre každé x ∈ D(A) a y ∈ D(A^{∗}) platí ⟨Ax, y⟩ = ⟨x, A^{∗}y⟩.

Ak označíme R : X → X′ : x ↦ ⟨·, x⟩ (R je izomorfizmus priestorov X a X′), potom zrejme platí A^{∗} = R^{−1}A′R, takže všetky tvrdenia platné pre adjungované zobrazenia v B-priestoroch sa vd’aka tomuto vzt’ahu medzi A′ a A^{∗} dajú jednoducho preformulovat’ pre adjungované zobrazenia v Hpriestore. Špeciálne, zobrazenie A^{∗} je uzavreté.

Ďalej sa dá ukázat’, že D(A^{∗}) je hustý v X (t.j. existuje A^{∗}^{∗}) práve vtedy, ked’ má A uzavreté rozšírenie. Potom platí \overline{A} = A^{∗}^{∗}.

Zobrazenie A sa nazýva symetrické, ak A ⊂ A^{∗} (t.j. G(A) ⊂ G(A^{∗}), kde G(A) ⊂ X × X je graf zobrazenia A). Zobrazenie A sa nazýva samoadjungované, ak A = A^{∗}.

Symetrické zobrazenie A sa nazýva zdola ohraničené, ak existuje α ∈ IR tak, že pre každé x ∈ D(A) platí ⟨Ax, x⟩ ≥ α∥x∥^{2}. Ak je A zdola ohraničené konštantou α = 0 (resp. α > 0), potom sa A nazýva nezáporné (resp. kladné).

10 Nech A : IK^{n} → IK^{n} je reprezentované maticou (a_{ij}). Potom je A^{∗} reprezentované maticou (\overline{a_{ji}}).

11 Nech X = L^{2}((0, 1)), (Ax)(t) = ∫_{0}^{t} x(s) ds. Potom (A^{∗}y)(t) = ∫_{t}^{1} \overline{y(s)} ds. Dokážte.

† Adjungované zobrazenie A^{∗} sa dá zrejme definovat’ aj pre zobrazenie A : X → Y, kde X, Y sú dva (rôzne) H-priestory; my to však v d’al’šom nebudeme potrebovat’.

12 Nech A_{n} : ℓ^{2} → ℓ^{2} : (x_{1}, x_{2}, …) ↦ (x_{n+1}, x_{n+2}, …). Ukážte, že A_{n}x → 0 pre každé x, ale A_{n}^{∗}x ↛ 0 pre žiadne x ≠ 0.

13 Nech je A ∈ L(X) samoadjungované. Ukážte, že platí ∥A∥ = sup{|⟨Ax, x⟩|; ∥x∥ ≤ 1}.

Riešenie: Označme α = sup{|⟨Ax, x⟩|; ∥x∥ ≤ 1}. Zrejme platí α ≤ ∥A∥. Ďalej platí

4 Re ⟨Ax, y⟩ = ⟨A(x + y), x + y⟩ − ⟨A(x − y), x − y⟩ ≤ α(∥x + y∥^{2} + ∥x − y∥^{2}) ,

∥A∥ = sup{|⟨Ax, y⟩|; ∥x∥ ≤ 1, ∥y∥ ≤ 1}. Zvol’me l’ubovol’né x, y, ∥x∥ ≤ 1, ∥y∥ ≤ 1. Potom pre vhodné β ∈ C, |β| = 1, platí ⟨Ax, y⟩ = β|⟨Ax, y⟩|, takže

\begin{matrix}|⟨Ax, y⟩| = & ⟨Ax, βy⟩ ≤ \frac{α}{4}(∥x + βy∥^{2} + ∥x − βy∥^{2}) \\ = & \frac{α}{2}(∥x∥^{2} + ∥βy∥^{2}) = \frac{α}{2}(∥x∥^{2} + ∥y∥^{2}) ≤ α , \end{matrix}

odkial’ plynie ∥A∥ ≤ α.

14 Nech A ∈ L(X). Ukážte, že A = A_{1} + iA_{2}, kde A_{1}, A_{2} ∈ L(X) sú samoadjungované. (Návod: A_{1} = \frac{1}{2} (A + A^{∗}), A_{2} = \frac{i}{2} (A^{∗} − A).)

15 Nech X = L^{2}(M), (Af)(x) = ∫_{M} K(x, y)f(y) dy, kde jadro K ∈ L^{2}(M × M) je symetrické (t.j. K(x, y) = \overline{K(y, x)}). Potom je A ∈ K(X) samoadjungované. Dokážte.

16 Nech X = L^{2}((0, 1)), Af = if′ pre f ∈ D(A) = W_{o}^{1,2}((0, 1)) = {f ∈ W^{1,2}((0, 1)) ; f(0)=f(1)=0}. Dokážte, že A je uzavreté symetrické zobrazenie, D(A^{∗}) = W^{1,2}((0, 1)).

Riešenie: Nech f ∈ D(A), g ∈ W^{1,2}((0, 1)). Potom platí ⟨Af, g⟩ = ∫_{0}^{1} if′\overline{g} dx =

∫_{0}^{1} f\overline{ig′} dx, takže |⟨Af, g⟩| ≤ ∥f∥_{L^{2}}∥g∥_{W^{1,2}}, teda g ∈ D(A^{∗}), A^{∗}g = ig′. Odtial’ plynie, že A je symetrické a W^{1,2}((0, 1)) ⊂ D(A^{∗}). Zvol’me teraz l’ubovol’né g ∈ D(A^{∗}) a označme G(t) = ∫_{0}^{t}(A^{∗}g)(s) ds. Pre každé f ∈ D(A) potom dostávame

∫_{0}^{1} if′\overline{g} dx = ⟨Af, g⟩ = ⟨f, A^{∗}g⟩ = ∫_{0}^{1} f\overline{A^{∗}g} dx = − ∫_{0}^{1} f′\overline{G} dx,

t.j. ∫_{0}^{1} f′\overline{h} dx = 0, kde h = G−ig. Ak položíme špeciálne f_{h}(t) = ∫_{0}^{t} h(x) dx−t ∫_{0}^{1} h(x) dx,

potom f_{h} ∈ D(A) a f′_{h} = h − c, kde c = ∫_{0}^{1} h(x) dx, takže

∥h − c∥^{2} = ∫_{0}^{1} f′_{h}\overline{(h − c)} dx = ∫_{0}^{1} f′_{h}\overline{h} dx = 0,

t.j. G − ig = h = c, g(t) = −i(∫_{0}^{t} (A^{∗}g)(x) dx − c), odkial’ plynie g ∈ W^{1,2}((0, 1)). Rovnakým postupom môžeme ukázat’ A^{∗}^{∗} = A, t.j. A je uzavreté (tento fakt sa však dá dokázat’ aj priamo).

17 Nech sú A, B zobrazenia s hustým definičným oborom. Ukážte, že platí:

• Ak A ⊂ B, potom B^{∗} ⊂ A^{∗}.

• Ak je definičný obor zobrazenia AB hustý, potom B^{∗}A^{∗} ⊂ (AB)^{∗}.

• Ak je A prosté a jeho obor hodnôt R(A) je hustý, potom (A^{−1})^{∗} = (A^{∗})^{−1}.

• Ak existuje uzáver \overline{A} zobrazenia A, potom A^{∗} = (\overline{A})^{∗}.

18 Dokážte nasledujúce tvrdenia:

• Ak je A symetrické a D(A) = X, potom je A samoadjungované a spojité. (Návod: Samoadjungovanost’ je zrejmá z definície, spojitost’ plynie z vety o uzavretom grafe.)

• Ak je A symetrické a R(A) = X, potom je A samoadjungované. (Návod: Ak x ∈ D(A^{∗}), potom existuje u ∈ D(A) tak, že A^{∗}x = Au, lebo A^{∗}x ∈ X = R(A). Pre každé v ∈ D(A) potom platí ⟨Av, x⟩ = ⟨v, A^{∗}x⟩ = ⟨v, Au⟩ = ⟨Av, u⟩, takže x = u ∈ D(A).)

• Ak je A samoadjungované a prosté, potom je inverzné zobrazenie A^{−1} samoadjungované. (Návod: Nech x ⊥ R(A). Ukážte, že potom nutne x ∈ D(A^{∗}), A^{∗}x = Ax = 0, takže x = 0, teda R(A) = D(A^{−1}) je hustý a (A^{−1})^{∗} je definované. Podl’a cvičenia 17 je potom (A^{−1})^{∗} = (A^{∗})^{−1} = A^{−1}.) 19 Pomocou dôsledku Banachovej vety (vid’ cvičenie 8) dokážte nasledujúce tvr-

denie: Ak je A uzavreté a kladné, potom je R(A^{∗}) = X. (Návod: Z uzavretosti A plynie A = A^{∗}^{∗}. Pretože ∥Ax∥ · ∥x∥ ≥ ⟨Ax, x⟩ ≥ α∥x∥^{2}, je zobrazenie A^{−1} spojité. Použite spomínaný dôsledok na zobrazenie A^{∗}.) Miesto kladnosti A zrejme stačilo predpokladat’ Re⟨Ax, x⟩ ≥ α∥x∥^{2}.

20 Zo spektrálneho rozkladu samoadjungovaných zobrazení (vid’ nasledujúca kapitola) plynie toto tvrdenie: Ak je A nezáporné samoadjungované zobrazenie, potom existuje jediné nezáporné samoadjungované zobrazenie A^{1/2}, pre ktoré (A^{1/2})^{2} = A. Ak naviac platí A ∈ L(X), potom tiež A^{1/2} ∈ L(X). Obecne zrejme platí D(A) ⊂ D(A^{1/2}); ukážte, že rovnost’ D(A) = D(A^{1/2}) nastáva len pre A ∈ L(X). (Návod: Najprv ukážte, že z rovnosti uvedených definičných oborov plynie R(A) ⊂ D(A) a potom využite predošlý príklad.) Dá sa ukázat’ (J. von Neumann), že pre l’ubovol’né uzavreté zobrazenie A s hustým definičným oborom je zobrazenie A^{∗}A samoadjungované a nezáporné a jeho definičný obor je jadro zobrazenia A. Môžeme preto definovat’ zobrazenie |A| = (A^{∗}A)^{1/2}. Pritom platí D(|A|) = D(A) a v prípade nezáporného samoadjungovaného zobrazenia A zrejme |A| = A.

21 Zobrazenie U ∈ L(X) sa nazýva čiastočná izometria, ak je jeho reštrikcia na podpriestor N (U)^{⊥} izometria (t.j. ∥Ux∥ = ∥x∥ pre každé x ∈ N (U)^{⊥}). Ak je A uzavreté, potom existuje jediná čiastočná izometria U ∈ L(X) tak, že A = U|A| a súčasne N (U) = N (A). Rozklad A = U|A| sa nazýva polárny rozklad zobrazenia A. Nájdite polárny rozklad zobrazenia A : ℓ^{2} → ℓ^{2} : (x_{1}, x_{2}, …) ↦ (0, x_{1}, x_{2}/2, x_{3}/3, …).

22 Nájdite polárny rozklad zobrazenia A : C^{2} → C^{2} reprezentovaného maticou

({−1 \atop 2} {−2 \atop 1}). (Riešenie: ( 0 1 {−1 \atop 0})( 2 1 1 2).)

23 Prvok φ ∈ X sa nazýva analytický vektor zobrazenia A, ak φ ∈ D(A^{n}) pre

každé n ∈ IN a naviac ∑_{n} \frac{∥A^{n}φ∥s^{n}}{n!} < ∞ pre nejaké s > 0. Dá sa ukázat’, že uzavreté symet-

rické zobrazenie A je samoadjungované práve vtedy, ked’ má hustú množinu analytických vektorov. Dokážte nasledujúce tvrdenia:

• Zobrazenie A z príkladu 16 nemá nenulový analytický vektor. (Návod: Nech je φ analytický vektor A, potom φ ∈ C^{∞}((0, 1)) a φ^{(n)}(0) = 0 pre každé n. Ďalej

c_{n} := ∥A^{n}φ∥^{2} ≤ \frac{(n!)^{2}}{s^{2n}} od istého n,

|φ^{(n−1)}(t)|^{2} = |∫_{0}^{t} φ^{(n)}(τ) dτ|^{2} ≤ t ∫_{0}^{t} |φ^{(n)}(τ)|^{2} dτ ≤ tc_{n} ,

|φ^{(n−2)}(t)|^{2} = |∫_{0}^{t} φ^{(n−1)}(τ) dτ|^{2} ≤ c_{n}(∫_{0}^{t} τ^{1/2} dτ)^{2} = (\frac{2}{3})^{2}t^{3}c_{n} ,

indukciou |φ(t)|^{2} ≤ \frac{2^{2n−2}}{(2n − 1)!!^{2}} t^{2n−1}c_{n} < \frac{n^{2}}{s} (\frac{t}{s})^{2n−1} → 0 pre n → ∞ a t < s,

takže φ(t) = 0 pre t < s. Opakovaním tohto postupu dostávame φ ≡ 0.)

• Nech X = ℓ^{2} s ortonormálnou bázou {e_{n}}, Ae_{n} = ne_{n}, D(A) = {x; ∑ |n⟨x, e_{n}⟩|^{2} < ∞\}. Potom je A samoadjungované a platí A = \overline{A/D}, kde D je priestor konečných

lineárnych kombinácií vektorov f_{k,m} = e_{k} + \frac{1}{2^{k+m}} ∑_{n=k+m}^{∞} \frac{e_{n}}{n^{2+α(k,m)}} , kde α(k, m) ∈

(0, 1/2) volíme tak, aby α(k_{1}, m_{1}) ≠ α(k_{2}, m_{2}) pre (k_{1}, m_{1}) ≠ (k_{2}, m_{2}), k, m ∈ IN. Ďalej platí D ∩ D(A^{2}) = ∅, takže v D neexistuje analytický vektor A. 24 Nech je A samoadjungovaný operátor násobenia funkciou φ(x) = x v L^{2}(IR),

t.j. Af = φf pre f ∈ D(A) = {f ∈ L^{2}(IR) ; φf ∈ L^{2}(IR)}. Ukážte, že existujú jadrá D_{1}, D_{2} zobrazenia A tak, že D_{1} ∩ D_{2} = {0}.

25 Nech je A uzavreté zobrazenie s hustým definičným oborom a nech A^{∗}A ⊂ AA^{∗}. Ukážte, že potom je A normálne, t.j. A je uzavreté zobrazenie s hustým definičným oborom a A^{∗}A = AA^{∗}.

Riešenie: Zobrazenie A^{∗}A je samoadjungované (vid’ cvičenie 20), takže s využitím cvičenia 17 dostávame AA^{∗} = A^{∗}^{∗}A^{∗} ⊂ (AA^{∗})^{∗} ⊂ (A^{∗}A)^{∗} = A^{∗}A.

26 Nech je A normálne a prosté a nech je R(A) hustý. Ukážte, že potom je zobrazenie A^{−1} normálne.

Riešenie: (A^{−1})^{∗}A^{−1} = (A^{∗})^{−1}A^{−1} = (AA^{∗})^{−1} = (A^{∗}A)^{−1} = A^{−1}(A^{∗})^{−1} = A^{−1}(A^{−1})^{∗}.

27 Uzavreté zobrazenie A s hustým definičným oborom je normálne práve vtedy, ked’ D(A) = D(A^{∗}) a súčasne ∥Ax∥ = ∥A^{∗}x∥ pre každé x ∈ D(A). Ukážte implikáciu ⟸.

Riešenie: Pre x, y ∈ D(A) platí

4⟨Ax, Ay⟩ =⟨A(x + y), A(x + y)⟩ − ⟨A(x − y), A(x − y)⟩
+ i⟨A(x + iy), A(x + iy)⟩ − i⟨A(x − iy), A(x − iy)⟩
=∥A(x + y)∥^{2} − … = ∥A^{∗}(x + y)∥^{2} − … = 4⟨A^{∗}x, A^{∗}y⟩,

takže pre x ∈ D(A^{∗}A) = D(AA^{∗}) a y ∈ D(A) dostávame ⟨A^{∗}Ax, y⟩ = ⟨Ax, Ay⟩ = ⟨A^{∗}x, A^{∗}y⟩ = ⟨AA^{∗}x, y⟩, odkial’ plynie A^{∗}A = AA^{∗}.

28 Nech A ∈ L(X). Ukážte, že A je unitárne (t.j. AA^{∗} = A^{∗}A = I) práve vtedy, ked’ je A izometria (t.j. ∥Ax∥ = ∥x∥ pre každé x ∈ X).

29 Nech je A normálne zobrazenie. Ukážte, že potom existuje unitárne zobrazenie U tak, že platí A = U|A| = |A|U. (Návod: V polárnom rozklade A predefinujte čiastočnú izometriu pre x ∈ N (A) = N (A^{∗}) = N (|A|) = R(|A|)^{⊥} = R(A)^{⊥}; pre takéto x položte Ux = x.)

3. ROZŠÍRENIA SYMETRICKÝCH ZOBRAZENÍ

Nech je A symetrické zobrazenie v komplexnom H-priestore X. Zobrazenie λI − A (kde λ ∈ C) budeme skrátene zapisovat’ ako λ − A. Dá sa ukázat’, že dimenzia priestoru N (λ − A^{∗}) = R(\overline{λ} − A)^{⊥} je konštantná pre Im λ > 0 (resp. Im λ < 0); táto dimenzia sa nazýva index defektu zobrazenia A a označuje sa n_{+} (resp. n_{−}). Označme K_{±} = N (±i − A^{∗}) (tzv. defektné priestory zobrazenia A) a nech M_{±} sú uzavreté podpriestory priestorov K_{±} a U : M_{+} → M_{−} je izometria. Definujme zobrazenie A_{U} s definičným oborom D(A_{U}) = {φ + φ_{+} + Uφ_{+} ; φ ∈ D(A), φ_{+} ∈ M_{+}} predpisom A_{U}(φ+φ_{+} +Uφ_{+}) = Aφ+iφ_{+} −iUφ_{+}. Potom platí nasledujúce tvrdenie (J. von Neumann): Ak je A uzavreté symetrické zobrazenie, potom je A_{U} uzavreté symetrické rozšírenie zobrazenia A. Všetky uzavreté symetrické rozšírenia A pritom možno dostat’ týmto spôsobom. Ako dôsledok dostávame, že samoadjungované rozšírenie symetrického zobraze-

nia A existuje práve vtedy, ked’ sú priestory K_{+} a K_{−} izometrické; v prípade

separabilného H-priestoru X je tento požiadavok zrejme ekvivalentný pod-

mienke n_{+} = n_{−}.

30 Nech je A symetrické zobrazenie v priestore komplexných funkcií a nech pre každé φ ∈ D(A) platí \overline{φ} ∈ D(A), A\overline{φ} = \overline{Aφ} (= funkcia komplexne združená k Aφ). Ukážte, že potom existuje samoadjungované rozšírenie zobrazenia A.

Riešenie: Ak φ_{+} ∈ K_{+} = R(−i − A)^{⊥}, ψ ∈ D(A), potom ⟨\overline{φ_{+}}, (i − A)\overline{ψ}⟩ = \overline{⟨φ_{+}, (−i − A)ψ⟩} = 0, takže \overline{φ_{+}} ∈ R(i − A)^{⊥} = K_{−}. Analogicky platí \overline{φ_{−}} ∈ K_{+} pre φ_{−} ∈ K_{−}, takže U : K_{+} → K_{−} : φ ↦ \overline{φ} je izometria K_{+} na K_{−}.

31 Nech X = L^{2}((0, 1)), Af = A_{a}f = if′, D(A) = {f ∈ W^{1,2}((0, 1)) ; f(0)=f(1) =0}, D(A_{a}) = {f ∈ W^{1,2}((0, 1)) ; af(0)=f(1)}, kde |a| = 1. Potom je A uzavreté, symetrické zobrazenie, pre jeho adjungované zobrazenie platí D(A^{∗}) = W^{1,2}((0, 1)) (vid’ príklad 16). Ukážte, že zobrazenia A_{a} sú (jedinými) samoadjungovanými rozšíreniami zobrazenia A. (Návod: Defektné priestory A sú K_{±} = {c exp(±x) ; c ∈ C}, n_{+} = n_{−} = 1, izometrie U : K_{+} → K_{−} sú dané predpisom U(e^{x}) = be^{−x}, kde |b| = e.)

32 Nech X = L^{2}((0, ∞)), Af = if′, D(A) = {f ∈ W^{1,2}((0, ∞)) ; f(0)=0}. Ukážte, že A je symetrické, ale nemá samoadjungované rozšírenie. (Návod: n_{+} ≠ n_{−})

33 Nech X = L^{2}((0, 1)), Af = A_{1}f = −f′′, D(A) = {f ∈ W^{2,2}((0, 1)) ; f(0)= f′(0)=f(1)=f′(1)=0}, D(A_{1}) = {f ∈ W^{2,2}((0, 1)) ; f(0)=f(1), f′(0)=f′(1)} alebo D(A_{1}) ={f ∈ W^{2,2}((0, 1)) ; a_{1}f(0) + a_{2}f′(0) = b_{1}f(1) + b_{2}f′(1) = 0}, kde a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2} ∈ IR, |a_{1}| + |a_{2}| ≠ 0 ≠ |b_{1}| + |b_{2}|. Ukážte, že A je uzavreté symetrické zobrazenie s adjungovaným zobrazením A^{∗}f = −f′′, D(A^{∗}) = W^{2,2}((0, 1)), n_{+} = n_{−} = 2 a zobrazenie A_{1} je samoadjungované rozšírenie A.

34 Nech X = L^{2}((0, ∞)), D(A) = D((0, ∞)) (= priestor hladkých funkcií s kom-

paktným nosičom v (0, ∞)), Af = −f′′. Potom je A symetrické, K_{±} = \{c exp( \frac{−1 ± i}{\sqrt{2}} x) ;

c ∈ C}, n_{+} = n_{−} = 1. Pre samoadjungované rozšírenie platí opät’ A_{1}f = −f′′, pričom D(A_{1}) = {f ∈ W^{2,2}((0, ∞)) ; f′(0) + af(0) = 0} pre vhodné a ∈ IR alebo D(A_{1}) = {f ∈ W^{2,2}((0, ∞)) ; f(0)=0\}. Dokážte. Ukážte tiež, že D(\overline{A}) = \{φ ∈ W^{2,2}((0, ∞)) ; φ(0)=φ′(0) =0}.

35 Nech X = L^{2}((0, ∞)), D(A) = D((0, ∞)), Af = −f′′ + V f, kde V : (0, ∞) → IR je spojitá funkcia. Ukážte, že A je symetrické zobrazenie a n_{+} = n_{−} (využite príklad 30). Dá sa ukázat’ (vid’ [RS, §X.1]), že podmienka n_{+} = n_{−} = 0 (t.j. \overline{A} je samoadjungované) je splnená napr. pre V majúce nasledujúce dve vlastnosti

(i) V (x) ≥ 3x^{2}/4 pre x ≤ ε (ii) existuje kladná C^{1}-funkcia M : (0, ∞) → IR taká, že ∫_{1}^{∞} M(x)^{−1/2} dx = ∞, V ≥ −M, a funkcia M′(x) · M(x)^{−3/2} je ohraničená pre x → ∞. 36 Nech sú A, N symetrické zobrazenia s definičným oborom D, nech je \overline{N} samo-

adjungované, ⟨Nφ, φ⟩ ≥ ∥φ∥^{2}, ∥Aφ∥ ≤ c∥Nφ∥ a |⟨Aφ, Nφ⟩ − ⟨Nφ, Aφ⟩| ≤ d∥\overline{N}^{1/2}φ∥^{2} pre vhodné c, d > 0 a každé φ ∈ D. Ukážte, že pre indexy defektu zobrazenia A platí n_{±} = 0, t.j. zobrazenie \overline{A} je samoadjungované.

Toto tvrdenie umožňuje napr. dokázat’ samoadjungovanost’ uzáveru zobrazenia Hφ = −△φ + V · φ definovaného pre φ ∈ D(IR^{n}) ⊂ L^{2}(IR^{n}) za predpokladu, že potenciál V : IR^{n} → IR sa dá napísat’ v tvare V_{1} + V_{2}, kde V_{1}(x) ≥ −ax^{2} − b, V_{1} ∈ L2_{loc}(IR^{n}) (t.j. V_{1}/K ∈ L^{2}(K) pre každú kompaktnú množinu K ⊂ IR^{n}) a V_{2} ∈ L^{p}(IR^{n}), kde p ≥ max( \frac{n}{2} , 2), p > 2 pre n = 4 (vid’ [RS,X.38]).

(Návod pre dôkaz n_{±} = 0: Najprv ukážte, že D(\overline{N}) ⊂ D(\overline{A}) a že uvedené nerovnosti platia pre každé φ ∈ D(\overline{N}). Z príkladu 19 plynie R(\overline{N}) = X, takže špeciálne pre každé ψ ∈ D(A^{∗}) existuje φ = (\overline{N})^{−1}ψ ∈ D(\overline{N}) ⊂ D(\overline{A}). Platí ⟨ψ, φ⟩ = ⟨\overline{N}φ, φ⟩ = ∥\overline{N}^{1/2}φ∥^{2},

\begin{matrix}|Im⟨A^{∗}ψ, φ⟩| = & \frac{1}{2} |⟨φ, A^{∗}ψ⟩ − ⟨A^{∗}ψ, φ⟩| = \\ = & \frac{1}{2} |⟨\overline{A}φ, \overline{N}φ⟩ − ⟨\overline{N}φ, \overline{A}φ⟩| ≤ \frac{d}{2} ∥\overline{N}^{1/2}φ∥^{2} , \end{matrix}

takže Im⟨(±A^{∗} + id)ψ, φ⟩ ≥ \frac{d}{2} ∥\overline{N}^{1/2}φ∥^{2}, t.j. n_{±} = 0.)

Z vyššie uvedeného plynie, že pokial’ samoadjungované rozšírenie symetrického zobrazenia existuje, potom nie je jednoznačne určené. Ak je však A symetrické, zdola ohraničené zobrazenie, potom sa dá ukázat’ existencia jediného samoadjungovaného rozšírenia zobrazenia A s istými dodatočnými vlastnost’ami. Predpokladajme teda, že zobrazenie A je symetrické a zdola ohraničené konštantou α a pre φ ∈ D(A) položme ∥φ∥_{A}^{2} := ⟨Aφ, φ⟩ + (α+1)∥φ∥^{2}. Potom je (D(A), ∥ · ∥_{A}) NLP a jeho zúplnenie X_{A} sa dá spojito vnorit’ do priestoru X. Existuje jediné (tzv. Friedrichsove) samoadjungované rozšírenie Â zobrazenia A s vlastnost’ou D(Â) ⊂ X_{A}; toto zobrazenie je naviac zdola ohraničené konštantou α. Ak je A kladné zobrazenie, potom sú nasledujúce 4 tvrdenia ekvivalentné:

1. \overline{A} je samoadjungované

2. R(A) je hustý

3. N (A^{∗}) = {0} 4. A má jediné zdola ohraničené samoadjungované rozšírenie

37 Nech X = L^{2}(0, ∞), D(A) = D((0, ∞)), Aφ = −φ′′ (vid’ príklad 34). Potom platí D(Â) = {f ∈ W^{2,2}((0, ∞)) ; φ(0) = 0}. Dokážte. (Návod: Uvedomte si, že ∥ · ∥_{A} je norma priestoru W^{1,2}((0, ∞)), takže X_{A} = {φ ∈ W^{1,2} ; φ(0)=0}. Ďalej využite príklad 34.)

38 Nech X = L^{2}((0, 1)), Aφ = −φ′′, D(A) = D((0, 1)). Overte nasledujúce tvrdenia: platí D(Â) = {φ ∈ W^{2,2}((0, 1)) ; φ(0)=φ(1)=0} a Â je zdola ohraničené konštantou α = π^{2}. Ak je A_{1} samoadjungované rozšírenie A s definičným oborom D(A_{1}) = {φ ∈ W^{2,2}((0, 1)) ; φ′(0)=φ′(1)=0}, potom je A_{1} zdola ohraničené konštantou α =0; ak D(A_{1}) = {φ ∈ W^{2,2}((0, 1)) ; φ(0)= − φ(1), φ′(0)= − φ′(1)}, potom opät’ α = π^{2}. Všetky samoadjungované rozšírenia A sú zdola ohraničené, pretože indexy defektu A sú konečné.

39 Nech X = L^{2}(IR^{n}), D(H) = D(IR^{n}), H = −△ + V, kde potenciál V : IR^{n} → IR je zdola ohraničená funkcia, ktorá patrí do priestoru L2_{loc}(IR^{n}), t.j. V/K ∈ L^{2}(K) pre každú kompaktnú množinu K ⊂ IR^{n}. Potom pre dostatočne vel’ké c > 0 je zobrazenie H+c kladné a N ((H+c)^{∗}) = \{0\}, takže \overline{H+c} (a teda aj \overline{H}) je samoadjungované zobrazenie (vid’ napr. [RS,X.28]). Dokážte toto tvrdenie za predpokladu n = 1.

4. PERTURBÁCIE SAMOADJUNGOVANÝCH ZOBRAZENÍ

Nech sú A, B husto definované lineárne zobrazenia v H-priestore X. Pripomeňme, že píšeme B ≺ A, ak je B A-ohraničené, t.j. D(A) ⊂ D(B) a existujú a, b ∈ IR tak, že pre každé φ ∈ D(A) platí ∥Bφ∥ ≤ a∥Aφ∥+b∥φ∥. Ak môžeme v tejto nerovnosti zvolit’ a < 1 (resp. a ≤ 1), píšeme B ≺_{1} A (resp. B ⪯_{1} A); ak môžeme zvolit’ a l’ubovol’ne malé (kladné), píšeme B ≺ε A.

Jednou zo základných perturbačných viet je tzv. Kato-Rellichova veta: Ak je A samoadjungované, B symetrické zobrazenie a B ≺_{1} A, potom je A+B samoadjungované. Ak je naviac A zdola ohraničené, potom je tiež A+B zdola ohraničené. Predpoklad B ≺_{1} A v tejto vete je pritom automaticky splnený, ak zobrazenie B je A-kompaktné (potom dokonca B ≺ε A). Ak namiesto B ≺_{1} A predpokladáme len B ⪯_{1} A, potom platí, že zobrazenie \overline{A+B} je samoadjungované.

40 Nech X = L^{2}(IR^{3}), Hφ = −△φ + V · φ, kde V : IR^{3} → IR, V ∈ L^{2}(IR^{3}) + L^{∞}(IR^{3}) (napr. V (x) = − \frac{1}{|x|^{α}}, 0 < α < 3/2), D(H) = D(−△) = W^{2,2}(IR^{3}). Potom je H samoadjungované zobrazenie.

Riešenie: Zobrazenie Aφ = −△φ s definičným oborom D(A) = W^{2,2}(IR^{3}) je samoadjungované a zobrazenie Bφ = V · φ je symetrické. Ukážeme, že platí B ≺ε A, takže podl’a Kato-Rellichovej vety je H = A + B samoadjungované. Funkcia V sa dá napísat’ v tvare V_{1} + V_{2}, kde V_{1} ∈ L^{2}(IR^{3}) a V_{2} ∈ L^{∞}(IR^{3}). Ak položíme B_{i}φ = V_{i}φ (i = 1, 2), potom B = B_{1} + B_{2}, B_{2} ∈ L(X), takže B_{2} ≺ε A a stačí dokázat’ B_{1} ≺ε A. Z viet o vnorení a ekvivalentnosti noriem plynie ∥u∥_{L^{∞}} ≤ c̃∥u∥_{W^{2,2}} ≤ c(∥△u∥+ ∥u∥) pre každé u ∈ W^{2,2}(IR^{3}) (kde ∥u∥ = ∥u∥_{L^{2}}). Ak položíme φε(x) = εφ(x), dostávame

\begin{matrix}∥V_{1} · φ∥ ≤ & ∥V_{1}∥ · ∥φ∥_{L^{∞}} = ∥V_{1}∥ · ∥φε∥_{L^{∞}} ≤ \\ ≤ & c∥V_{1}∥ · (∥△φε∥ + ∥φε∥) = \\ = & c∥V_{1}∥ · (\sqrt{ε}∥△φ∥ + ε^{−3/2}∥φ∥) , \end{matrix}

odkial’ plynie B_{1} ≺ε A.

Podobne sa dá tiež dokázat’ samoadjungovanost’ H v L^{2}(IR^{n}), ak V ∈ L^{p} + L^{∞} a p ≥ 2, p > n/2.

Ďal’ším perturbačným tvrdením je tzv. KLMN veta. Nech je A nezáporné samoadjungované zobrazenie a β symetrická kvadratická forma na Q(A) = D(|A|^{1/2}) (t.j. β : Q(A) × Q(A) → C je lineárna v prvej premennej a β(φ, ψ) = \overline{β(ψ, φ)}) splňujúca odhad |β(φ, φ)| ≤ a⟨Aφ, φ⟩ + b∥φ∥^{2} pre vhodné a < 1 a každé φ ∈ D(A). Potom existuje jediné samoadjungované zobrazenie C, pre ktoré Q(C) = Q(A) a ⟨Cφ, ψ⟩ = ⟨A^{1/2}φ, A^{1/2}ψ⟩ + β(φ, ψ) pre každé φ, ψ ∈ Q(C). Naviac C je zdola ohraničené konštantou −b a platí D(C) = {φ ∈ Q(C) ; |⟨Cφ, ψ⟩| ≤ c∥ψ∥ ∀ψ ∈ Q(C)}.

41 Nech X = L^{2}(IR), Af = −f′′, D(A) = W^{2,2}(IR). Potom platí Q(A) = W^{1,2}(IR) ⊂ BUC(IR) a ak položíme β(φ, ψ) = φ(0) · \overline{ψ(0)} pre φ, ψ ∈ Q(A), potom sú splnené predpoklady KLMN vety, pretože pre φ ∈ D(A) platí

\begin{matrix}β(φ, φ) = & |φ(0)|^{2} = |φε(0)|^{2} ≤ c∥φε∥_{W^{1,2}}^{2} = \\ = & c(∥φε^{′}∥^{2} + ∥φε∥^{2}) = c(ε∥φ′∥^{2} + \frac{1}{ε} ∥φ∥^{2}) = \\ = & εc⟨Aφ, φ⟩ + \frac{c}{ε} ∥φ∥^{2} , \end{matrix}

kde φε(x) = φ(εx). Existuje teda jediné samoadjungované zobrazenie C tak, že Q(C) = Q(A) a ⟨Cφ, ψ⟩ = ⟨A^{1/2}φ, A^{1/2}ψ⟩ + β(φ, ψ) = ∫_{IR} φ′\overline{ψ′} dx + φ(0)\overline{ψ(0)}; formálne Cφ = −φ′′ +δ ·φ, kde δ je Diracova funkcia. Ukážte, že neplatí D(A) ⊂ D(C) ani D(C) ⊂ D(A).

Riešenie: Nech φ ∈ D(A), φ(x) = 1 pre |x| ≤ 1. Zvol’me ψ ∈ D(IR) s nosičom v intervale [−1, 1], 0 ≤ ψ ≤ 1, ψ(0) = 1 a položme ψ_{n}(x) = \sqrt{n}ψ(nx). Potom ψ_{n} ∈ Q(A) a ⟨Cφ, ψ_{n}⟩ = ∫_{IR} −φ′′ψ_{n} dx+φ(0)ψ_{n}(0) = \sqrt{n}. Keby φ ∈ D(C), potom \sqrt{n} = ⟨Cφ, ψ_{n}⟩ ≤ ∥Cφ∥ · ∥ψ_{n}∥ ≤ \sqrt{2}∥Cφ∥, čo nie je možné, takže φ ∈ D(A)\D(C).

Nech d’alej φ_{o} ∈ D(IR), φ_{o}(x) = 1 pre |x| ≤ 1 a φ(x) = (1 + \frac{|x|}{2} )φ_{o}(x). Potom zrejme φ ∈ Q(A)\D(A) a pre každé ψ ∈ Q(C) dostávame

\begin{matrix}|⟨Cφ, ψ⟩| = & | \frac{1}{2} ∫_{0}^{∞} φ_{o}\overline{ψ′} dx − \frac{1}{2} ∫_{−∞}^{0} φ_{o}\overline{ψ′} dx + ∫_{IR}(1 + \frac{|x|}{2} )φ′_{o}\overline{ψ′} dx + \overline{ψ(0)}| \\ = & | − \frac{1}{2} ∫_{0}^{∞} φ′_{o}\overline{ψ} dx + \frac{1}{2} ∫_{−∞}^{0} φ′_{o}\overline{ψ} dx − ∫_{IR}((1 + \frac{|x|}{2} )φ′_{o})′\overline{ψ} dx| ≤ c∥ψ∥ , \end{matrix}

takže φ ∈ D(C).

42 Poznámka: Pomocou KLMN vety možno tiež napr. korektne definovat’ samoadjungované zobrazenie H = −△+V v L^{2}(IR^{3}) pre potenciály V ∈ R +L^{∞}(IR^{3}), kde V ∈

R ⟺ ∫_{IR_{3}} ∫_{IR_{3}} \frac{|V (x)| · |V (y)|}{|x − y|^{2}} dx dy < ∞. Špeciálne môžeme zvolit’ V (x) = − \frac{1}{|x|^{α}} pre

0 < α < 2 (vid’ [RS,X.19]). Zápis H = −△ + V je však v tomto prípade formálny, pretože nemusí platit’ D(H) = D(△) ∩ D(V), ako tomu bolo v prípade Kato-Rellichovej vety.