SPEKTRUM LINEÁRNEHO ZOBRAZENIA

Pri štúdiu lineárneho zobrazenia A : X → X nám často pomôže, ak vieme toto zobrazenie rozložit’ na jednoduchšie zobrazenia. Ak napr. existujú uzavreté podpriestory X_{1}, X_{2} ⊂ X tak, že X_{1} ∩ X_{2} = {0}, X_{1} + X_{2} = X a pritom A(X_{i}) ⊂ X_{i}, i = 1, 2, (t.j. priestory X_{1}, X_{2} sú A-invariantné), potom zobrazenie A môžeme písat’ v tvare A = A_{1} ⊕ A_{2}, kde A_{i} = A/X_{i} : X_{i} → X_{i} , i = 1, 2. Ak je X konečnorozmerný priestor (nad C), potom pri výbere vhodnej bázy môžeme A reprezentovat’ maticou v Jordanovom kanonickom tvare, ktorá nám poskytuje rozklad na zobrazenia príslušné jednotlivým Jordanovym bunkám: A = A_{1} ⊕ … ⊕ A_{k}, kde A_{i} je reprezentované maticou tvaru

( \begin{matrix}λ_{i} & 1 & 0 & … & 0 \\ 0 & λ_{i} & 1 & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & … & λ_{i} \end{matrix} ) ,

a λ_{i} je vlastné číslo zobrazenia A. Z lineárnej algebry plynie, že priestor X_{i} príslušný zobrazeniu A_{i} sa už nedá d’alej rozložit’ na A-invariantné podpriestory. Ak označíme P_{i} projekciu na priestor X_{i}, potom zrejme platí

A = ∑_{i=1}^{k} AP_{i} = ∑_{i=1}^{k} λ_{i}P_{i} + ∑_{i=1}^{k}(A_{i} − λ_{i})P_{i} ,

kde zobrazenie A_{i}-λ_{i} je nilpotentné, t.j. (A_{i} − λ_{i})^{n} = 0 pre vhodné n. V prípade, že A je symetrické, je A reprezentované Jordanovou maticou, ktorá je diagonálna (jej bunky majú vel’kost’ 1), takže A má tvar A =

∑_{i=1}^{k} λ_{i}P_{i} a zobrazenie A_{i} predstavuje násobenie číslom λ_{i}. Tento rozklad

umožňuje tiež jednoduchý funkčný kalkulus pre zobrazenie A, napr. platí

A^{n} = ∑_{i=1}^{k} λ_{i}^{n}P_{i}, A^{−1} = ∑_{i=1}^{k} \frac{1}{λ_{i}} P_{i} (ak λ_{i} ≠ 0 pre každé i).

Našou snahou v tejto kapitole bude určit’ spektrum (t.j. analóg k množine vlastných čísel) zobrazenia A aj v nekonečnorozmernom prípade; pre samoadjungované zobrazenie tiež uvedieme tvrdenie o jeho spektrálnom rozklade a o jeho unitárnej ekvivalencii s operátorom násobenia.

Spektrálny rozklad možno urobit’ tiež pre normálne zobrazenia (vid’ napr. [R2]) a pre niektoré d’al’sie typy zobrazení (tzv. spektrálne operátory, vid’ [DS]). Vo všeobecnom prípade sa dá otázka rozkladu zobrazenia často riešit’ aspoň čiastočne: podl’a toho, či sa nám podarí (určit’ a) rozložit’ jeho spektrum (vid’ §1).

1. SPEKTRUM A REZOLVENTA

V celej kapitole o spektre lineárneho zobrazenia budeme predpokladat’, že X je B-priestor nad C a A je uzavreté lineárne zobrazenie v X s definičným oborom D(A). Operátor λI − A : x ↦ λx − Ax (kde λ ∈ C) budeme stručne zapisovat’ ako λ − A. Povieme, že číslo λ ∈ C patrí do

• rezolventnej množiny ϱ(A), ak je zobrazenie λ−A prosté, jeho obor hodnôt R(λ − A) je hustý v X a k nemu inverzné zobrazenie (λ − A)^{−1} je spojité

• spektra σ(A), ak nepatrí do rezolventnej množiny

• bodového spektra σp(A), ak zobrazenie λ − A nie je prosté. Číslo λ sa potom nazýva vlastné číslo zobrazenia A, l’ubovol’ný nenulový prvok priestoru N (λ) := N (λ − A) sa nazýva vlastný vektor zobrazenia A a dimenzia priestoru N (λ) sa nazýva (geometrická) násobnost’ vlastného čísla λ. Algebraická násobnost’ vlastného čísla λ je dimenzia priestoru ⋃_{k≥0} N ((λ − A)^{k}).

• spojitého spektra σc(A), ak je zobrazenie λ − A prosté, jeho obor hodnôt je hustý, ale zobrazenie (λ − A)^{−1} nie je spojité

• zbytkového spektra σr(A), ak je zobrazenie λ − A prosté, ale nemá hustý obor hodnôt.

1 Nech X = C^{n}, A ∈ L(X). Potom z lineárnej algebry plynie σc(A) = σr(A) = ∅, t.j. spektrum A sa skladá len z vlastných čísel. Ak zobrazenie A reprezentujeme maticou v Jordanovom kanonickom tvare, l’ahko zistíme, že počet vlastných čísel sa rovná n (= dimenzia priestoru X); každé vlastné číslo však pritom musíme započítat’ tol’kokrát, aká je jeho algebraická násobnost’. Napr. pre spektrum zobrazenia A reprezentovaného maticou

( \begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{matrix} )

platí σ(A) = {1, 2}, pričom geometrická násobnost’ oboch vlastných čísel je 2, algebraická násobnost’ vlastného čísla λ=1 je tiež 2. Ďalej platí

4 = dim N((1 − A)^{2}) < dim N((1 − A)^{3}) = dim((1 − A)^{k}) = 5

pre každé k ≥ 3, takže algebraická násobnost’ vlastného čísla λ=1 je 5.

2 Nech λ ∈ ϱ(A). Potom R(λ − A) = X a teda (λ − A)^{−1} ∈ L(X). Dokážte. Riešenie: Nech λ ∈ ϱ(A), y ∈ X. Pretože R(λ − A) je hustý v X, existujú x_{n} ∈ X

tak, že (λ − A)x_{n} → y. Zo spojitosti (λ − A)^{−1} teraz plynie cauchyovskost’ postupnosti x_{n} = (λ − A)^{−1}(λ − A)x_{n}, takže x_{n} → x pre vhodné x ∈ X. Ďalej platí Ax_{n} = λx_{n} −(λ−A)x_{n} → λx−y a z uzavretosti zobrazenia A dostávame x ∈ D(A), Ax = λx−y, t.j. y = (λ − A)x ∈ R(λ − A).

3 Nech X = C([0, 1]) = BUC((0, 1)), (Ax)(t) = x′(t).

(i) Ak D(A) = {x ∈ C^{1}([0, 1]) ; x(0) = 0}, potom σ(A) = ∅. (ii) Ak D(A) = C^{1}([0, 1]), potom σp(A) = C. (iii) Ak D(A) = {x ∈ C^{1}([0, 1]) ; x(0) = x(1)}, potom σ(A) = σp(A) = {2πin; n celé}. Vo všetkých troch prípadoch je A uzavreté zobrazenie.

4 Nech X = L^{p}(−π, π), p < ∞, Ax = x′, D(A) = {x ∈ W^{1,p}(−π, π) ; x(−π) = x(π)}. Potom je A uzavreté zobrazenie s hustým definičným oborom a σ(A) = σp(A) = {in; n celé}.

5 Nech X_{1} = BUC(IR), X_{2} = L^{1}(IR), X_{3} = L^{p}(IR), 1 < p < ∞ a nech A_{k} je X_{k}-realizácia diferenciálneho operátora Ax = x′, t.j. D(A_{k}) = {x ∈ X_{k}; Ax ∈ X_{k}} (k = 1, 2, 3). Potom σ(A_{k}) = σp(A_{1}) = σr(A_{2}) = σc(A_{3}) = iIR.

6 Nech IR^{+} = [0, +∞), X_{1} = BUC(IR^{+}), X_{2} = L^{p}(IR^{+}), p ≥ 1 a A_{k} je X_{k}- realizácia Ax = x′. Potom σ(A_{k}) = σp(A_{1}) = {λ; Re λ ≤ 0}, σp(A_{2}) = {λ; Re λ < 0}, σc(A_{2}) = iIR.

7 Nech X = L^{2}(IR^{n}), φ : IR^{n} → C je spojitá funkcia a M_{φ} je X-realizácia operátora násobenia funkciou φ, t.j. M_{φ}f = φf. M_{φ} je uzavreté zobrazenie s hustým definičným oborom (tzv. maximálny multiplikatívny operátor), σ(M_{φ}) = \overline{R(φ)}, σr(M_{φ}) = ∅, σp(M_{φ}) = {λ ∈ C ; μ(φ^{−1}(λ)) > 0}, kde μ je Lebesgueova miera v IR^{n}. Naviac pre reálnu funkciu φ je zobrazenie M_{φ} samoadjungované. Dokážte.

Mnohé diferenciálne operátory v X sú prostredníctvom Fourierovej transformácie unitárne ekvivalentné s maximálnymi multiplikatívnymi operátormi, čo umožňuje jednoduché určenie ich spektra. Napr. operátor D_{j} = \frac{1}{i} ∂_{j} je unitárne ekvivalentný s M_{φ} pre φ(x) = x_{j}, takže σ(D_{j}) = σc(D_{j}) = IR. Podobne σ(−△) = σc(−△) = IR^{+}. Ukážte, že odtial’ napr. plynie, že úloha △u = f v L^{2}(IR^{n}) má riešenie len pre hustú množinu pravých strán f ∈ L^{2}(IR^{n}).

8 Použite Fourierovu transformáciu F tiež v nasledujúcich príkladoch:

• Nech u ∈ L^{1}(IR^{n}), X = L^{2}(IR^{n}), Af = u ∗ f (konvolúcia). Potom je A spojitý lineárny operátor v X so spektrom rovným uzáveru množiny {(2π)^{n/2}Fu(ξ) ; ξ ∈ IR^{n}}, pričom Fu ∈ BUC(IR^{n}) a Fu(ξ) → 0 pre |ξ| → ∞.

• Nech X = L^{2}(IR). Položte (T φ)(x) = φ(x+a), kde a > 0, a ukážte, že T je unitárne zobrazenie so spektrom σ(T) = σc(T) = {λ; |λ| = 1}. 9 Dokážte, že pre adjungované zobrazenie platí σ(A′) = σ(A). (Návod: Dokazuj-

te ϱ(A′) = ϱ(A) a použite pritom Banachovu vetu o zobrazeniach s uzavretým oborom hodnôt. Pripomeňme, že D(A′) nemusí byt’ hustý.) Ďalej ukážte, že σr(A) ⊂ σp(A′) ⊂ σr(A) ∪ σp(A). (Návod: N (λ − A′) = R(λ − A)^{∘}.)

Podl’a cvičenia 2 je pre λ ∈ ϱ(A) zobrazenie R(λ, A) := (λ−A)^{−1} prvok B-priestoru L(X). Vektorová funkcia R(·, A) : ϱ(A) → L(X) : λ ↦ R(λ, A) sa nazýva rezolventa. Platí nasledujúce tvrdenie: ϱ(A) je otvorená množina a rezolventa je holomorfná (analytická) vektorová funkcia. Ďalej platí (i) R(λ, A)R(μ, A) = R(μ, A)R(λ, A) (komutovanie) (ii) R(λ, A) − R(μ, A) = (μ − λ)R(μ, A)R(λ, A) (rezolventná (Hilbertova)

identita)

Návod dôkazu: Pre λ ∈ ϱ(A) a μ ∈ C formálne platí

\begin{aligned}R(μ, A) & = \frac{1}{μ − A} = \frac{1}{(λ − A) − (λ − μ)} = \frac{1}{λ − A} · \frac{1}{1 − \frac{λ−μ}{λ−A}} \\ & = R(λ, A) ∑_{k=0}^{∞}(λ − μ)^{k}R^{k}(λ, A) \end{aligned}

pričom uvedená nekonečná suma má zrejme zmysel pre |λ − μ| < \frac{1}{∥R(λ, A)∥}. Pre takéto

μ položte B_{μ} = R(λ, A) ∑_{k=0}^{∞}(λ − μ)^{k}R^{k}(λ, A) a pomocou rozpisu μ − A = (μ − λ) + (λ − A)

ukážte (μ − A)B_{μ} = I, B_{μ}(μ − A) = I/D(A), odkial’ plynie μ ∈ ϱ(A), R(μ, A) = B_{μ}, a teda tiež holomorfnost’ rezolventy. K dôkazu identity (i) resp. (ii) použite identitu

(λ − A)(μ − A) = (μ − A)(λ − A)

resp. rozpis

R(λ − A) − R(μ, A) = R(λ, A)(μ − A)R(μ, A) − R(λ, A)(λ − A)R(μ, A).

10 Nech sú A, B uzavreté zobrazenia. Ukážte, že potom platí

(i) Ak λ ∈ ϱ(A) ∩ ϱ(B), potom R(λ, A)(B − A)R(λ, B) ⊂ R(λ, B) − R(λ, A). (ii) Ak λ ∈ ϱ(A), D(A) ⊂ D(B) a zobrazenie C = (B − A)R(λ, A) je spojité, ∥C∥ < 1,

potom λ ∈ ϱ(B), R(λ, B) = R(λ, A) ∑_{k=0}^{∞} C^{k}.

11 Nech je A uzavreté zobrazenie, ϱ(A) ≠ ∅, a nech B ∈ L(X). Potom platí: A komutuje s B (t.j. BA ⊂ AB) práve vtedy, ked’ existuje λ ∈ ϱ(A) tak, že R(λ, A)B = BR(λ, A), a to platí práve vtedy, ked’ pre každé λ ∈ ϱ(A) je R(λ, A)B = BR(λ, A). Dokážte. (Návod: Ak B komutuje s A, potom R(λ, A)B = R(λ, A)B(λ − A)R(λ − A) = R(λ, A)(λ − A)BR(λ, A) = BR(λ, A). Ak B komutuje s R(λ, A), potom BAR(λ, A) = B(λR(λ, A) − I) = (λR(λ, A) − I)B = AR(λ, A)B = ABR(λ, A), takže BA ⊂ AB.)

12 Nech je A uzavreté zobrazenie s hustým definičným oborom a nech ϱ(A) ≠ ∅. Potom je A^{n} uzavreté zobrazenie s hustým definičným oborom. Dokážte.

Riešenie pre n = 2: Nech λ ∈ ϱ(A), x ∈ X a ε > 0. Potom existuje x̃ ∈ D(A) tak, že ∥x − x̃∥ < ε. Pre y = (λ − A)x̃ d’alej existujú y_{n} ∈ D(A) tak, že y_{n} → y. Potom pre z_{n} = R(λ, A)y_{n} platí z_{n} ∈ D(A^{2}), z_{n} → R(λ, A)y = x̃, takže ∥x − z_{n}∥ < ε pre vel’ké n, odkial’ plynie hustota D(A^{2}).

Ak x_{n} ∈ D(A^{2}), x_{n} → x, A^{2}x_{n} → z, potom rozpisom A = A − λ + λ dostávame Ax_{n} = −R(λ, A)A^{2}x_{n} − λx_{n} + λ^{2}R(λ, A)x_{n}, t.j. Ax_{n} → y pre vhodné y, odkial’ vzhl’adom k uzavretosti A plynie x ∈ D(A), Ax = y, y ∈ D(A), Ay = z, takže tiež x ∈ D(A^{2}), A^{2}x = z, t.j. A^{2} je uzavreté.

Nech je σ_{1} ohraničená podmnožina σ(A), ktorá je zároveň uzavretá

i otvorená v σ(A) (tzv. spektrálna množina). Nech je Γ konečný systém

Jordanovych kriviek konečnej dĺžky oddel’ujúci σ_{1} od σ(A)\σ_{1} (t.j. ind_{Γ}λ =

1 pre λ ∈ σ_{1} a ind_{Γ}λ = 0 pre λ ∈ σ(A)\σ_{1}). Potom je zobrazenie P := \frac{1}{(2πi)} ∫_{Γ} R(λ, A) dλ spojitá projekcia v X, P (X) ⊂ D(A). Ak označíme

X_{1} = P (X), X_{2} = (I − P)(X), potom sú priestory X_{1}, X_{2} A-invariant-né, zúženie A_{1} zobrazenia A na priestor X_{1} je spojité lineárne zobrazenie v priestore X_{1} so spektrom σ(A_{1}) = σ_{1} a zúženie A_{2} zobrazenia A na D(A) ∩ X_{2} je uzavreté zobrazenie v X_{2} so spektrom σ(A_{2}) = σ(A)\σ_{1}.

Ak je špeciálne σ_{1} = {λ_{o}} (izolovaný bod spektra), potom má rezolventa v okolí bodu λ_{o} Laurantov rozvoj

R(λ, A) = \frac{P}{λ − λ_{o}} + ∑_{k=1}^{∞} \frac{B^{k}}{(λ − λ_{o})^{k+1}} − ∑_{k=0}^{∞}(λ − λ_{o})^{k}C^{k+1},

kde B = (A − λ_{o})P, C = −\frac{1}{2πi} ∫_{Γ} \frac{R(λ, A)}{λ − λ_{o}} dλ a P je príslušná spektrálna

projekcia. Ak je λ_{o} pól rezolventy stupňa ν, potom λ_{o} ∈ σp(A) a X_{1} = N ((λ_{o} − A)^{n}), X_{2} = R((λ_{o} − A)^{n}) pre každé n ≥ ν (číslo ν sa nazýva Rieszov index vlastného čísla λ_{o}).

Idea dôkazu 1. časti tvrdenia: Označme ∫ ; = \frac{1}{2πi}∫. Nech sú Γ_{1}, Γ_{2} dva systémy Jordanovych kriviek splňujúce predpoklady tvrdenia a nech ind_{Γ_{1}} λ = 0 pre λ ∈ Γ_{2}, ind_{Γ_{2}} λ = 1 pre λ ∈ Γ_{1}. Potom platí

P^{2} = ∫ ; _{Γ_{1}} ∫ ; _{Γ_{2}} R(λ, A)R(μ, A) dμ dλ = ∫ ; _{Γ_{1}} ∫ ; _{Γ_{2}} \frac{R(λ, A) − R(μ, A)}{μ − λ} dμ dλ
= ∫ ; _{Γ_{1}} ∫ ; _{Γ_{2}} \frac{R(λ, A)}{μ − λ} dμ dλ − ∫ ; _{Γ_{2}} ∫ ; _{Γ_{1}} \frac{R(μ, A)}{μ − λ} dλ dμ = ∫ ; _{Γ_{1}} R(λ, A) dλ − 0 = P ,

x ∈ X

\begin{matrix}∫ ; _{Γ} λR(λ, A)x dλ = & ∫ ; _{Γ}(λR(λ, A) − I)x dλ = ∫ ; _{Γ} AR(λ, A)x dλ \\ = & A (∫ ; _{Γ} R(λ, A)x dλ) = AP x , \end{matrix}

AP x = ∫ ; _{Γ} AR(λ, A)x dλ = ∫ ; _{Γ} R(λ, A)Ax dλ = P Ax ,

takže P je projekcia. S využitím posledného cvičenia v dodatku II dostávame d’alej pre takže P x ∈ D(A), AP ∈ L(X). Pre x ∈ D(A) platí tiež

odkial’ plynie A-invariantnost’ priestorov X_{1} a X_{2}.

Zvol’me μ ∈ C\Γ a položme B = ∫ ; _{Γ} \frac{R(λ, A)}{μ − λ} dλ. Ak ind_{Γ} μ = 0, potom pre x ∈ X_{1}

platí

(μ − A)Bx = B(μ − A)x = ∫ ; _{Γ}(R(λ, A) + \frac{I}{μ − λ})x dλ = P x = x ,

takže μ ∈ ϱ(A_{1}). Analogicky pre ind_{Γ} μ = 1 a x ∈ X_{2} (resp. x ∈ D(A_{2})) dostávame (μ − A)Bx = −x (resp. B(μ − A)x = −x), takže μ ∈ ϱ(A_{2}). Zvyšok tvrdenia plynie z rovnosti σ(A) = σ(A_{1}) ∪ σ(A_{2}).

13 Nech je λ_{o} izolovaný bod spektra. Dokážte, že pre zobrazenia P, B, C vyskytujúce sa v Laurantovom rozvoji rezolventy platí P C = CP = 0, B = BP = P B, CA ⊂ AC ∈ L(X), (λ_{o} − A)C = P − 1.

14 Nech je λ_{o} izolovaný bod spektra a nech dim R(P) < ∞, kde P = P (λ_{o}) je spektrálna projekcia príslušná spektrálnej množine σ_{1} = {λ_{o}}. Ukážte, že potom je λ_{o} nutne pól rezolventy, a teda tiež λ_{o} ∈ σp(A). (Návod: Pre spektrum zobrazenia D = (A − λ_{o})/X_{1} platí σ(D) = {0}, pričom ide o zobrazenie v konečnorozmernom priestore X_{1} = R(P). Odtial’ plynie D^{n} = 0 pre vhodné n, takže B^{k} = D^{k}P = 0 pre dostatočne vel’ké k.)

15 Nech je A matica z príkladu 1. Čomu sa rovná Rieszov index vlastných čísel 1 a 2 ? (ν_{1} = 3, ν_{2} = 1)

16 Nech má rezolventa R(·, A) izolovanú singularitu v ∞. Dá sa ukázat’, že táto singularita je odstránitel’ná (t.j. rezolventa je analytická v ∞) práve vtedy, ked’ A ∈ L(X). Ukážte, že ak A ∉ L(X), musí íst’ dokonca o podstatnú singularitu, t.j. ∞ nie je pól rezolventy. (Návod: Nech je ∞ pól rezolventy, R(λ, A) = λ^{k}R_{k} + λ^{k−1}R_{k−1} + …, kde k ≥ 1, R_{k} ≠ 0. Potom AR(λ, A) = −1+λR(λ, A) = −1+λ^{k+1}R_{k} +λ^{k}R_{k−1} +…, takže pre každé x ∈ X a λ → ∞ platí λ^{−k−1}R(λ, A)x → 0 a A(λ^{−k−1}R(λ, A)x) → R_{k}x. Z uzavretosti A plynie R_{k}x = 0, spor.)

17 Na základe tvrdenia v predošlom cvičení definujme tzv. rozšírené spektrum σ̃(A) ako σ(A) ∪ {∞} pre A ∉ L(X) a položme σ̃(A) = σ(A) pre A ∈ L(X). Ukážte, že

pre prosté uzavreté zobrazenie A s hustým D(A) i R(A) platí λ ∈ σ̃(A) ⟺ \frac{1}{λ} ∈ σ̃(A^{−1})

(kde kladieme 1/0 = ∞, 1/∞ = 0). Vyslovte a dokážte tiež analogické tvrdenia pre σp(A), σr(A) a σc(A).

18 Nech X = L^{2}(IR), α ∈ C, Re α < 0, a nech je pre f ∈ X funkcia y = Af ∈ X

definovaná ako riešenie diferenciálnej rovnice y′ = αy + f, t.j. y(t) = ∫_{−∞}^{t} e^{α(t−τ)}f(τ) dτ.

Ukážte, že A je normálne zobrazenie a σ(A) = σc(A) = \{\frac{1}{ix − α} ; x ∈ IR\} ∪ \{0\}. (Návod:

Pomocou Fourierovej transformácie ukážte, že σ(A^{−1}) = σc(A^{−1}) = {ix − α; x ∈ IR} a potom s využitím predošlého príkladu určte σ(A) a σc(A). Normalitu dokazujte tiež najprv pre zobrazenie A^{−1}.)

Pri určovaní spektra operátora (Af)(t) = ∫_{−∞}^{t} h(t − τ)f(τ) dτ, kde funkcia h má

tvar h(t) = ∑_{i=1}^{k} c_{i} exp(α_{i}t) (Re α_{i} < 0), sa dá tiež použit’ Laplaceova transformácia (vid’ [NS], §6.6).

19 Nech je σ_{1} spektrálna množina zobrazenia A a nech je P príslušná spektrálna projekcia. Ukážte, že adjungované zobrazenie P′ je spektrálna projekcia príslušná zobrazeniu A′ (a množine σ_{1}).

20 Nech je λ pól rezolventy a zároveň vlastné číslo A konečnej (algebraickej) násobnosti. Potom platí dim N (λ − A) = dim N (λ − A′), R(λ − A) = N (λ − A′)^{∘}. Dokážte.

(Návod: Nech X = X_{1}⊕X_{2}, A = A_{1}⊕A_{2} je spektrálny rozklad príslušný spektrálnej množine σ_{1} = {λ}. Potom dim X_{1} < ∞, R(λ − A) = R(λ − A_{1}) ⊕ R(λ − A_{2}) = R(λ − A_{1}) ⊕ X_{2}, takže

dim N (λ − A′) = dim R(λ − A)^{∘} = dim R(λ − A_{1})^{∘(X_{1})}
= dim N (λ − A_{1}) = dim N (λ − A) .

Ďalej použite Banachovu vetu o zobrazeniach s uzavretým oborom hodnôt.)

2. SPEKTRUM SPOJITÝCH ZOBRAZENÍ

Ak je A ∈ L(X), potom je σ(A) neprázdna kompaktná množina. Ak

položíme r(A) = sup{|λ|; λ ∈ σ(A)} (tzv. spektrálny polomer), potom

platí r(A) = lim_{n→∞} ∥A^{n}∥^{1/n} ≤ ∥A∥. Ak je naviac X H-priestor a A je

samoadjungované, potom r(A) = ∥A∥.

Idea dôkazu: Označme ϱ = inf_{n} ∥A^{n}∥^{1/n} ≤ ∥A∥, s = lim sup_{n→∞} ∥A^{n}∥^{1/n}. K danému

ε > 0 zvol’me m tak, aby ∥A^{m}∥^{1/m} < ϱ + ε a položme C = max_{0≤i<m} ∥A^{i}∥. Potom pre

n = pm + q, 0 ≤ q < m, dostávame ∥A^{n}∥ ≤ C(ϱ + ε)^{pm}, odkial’ jednoducho plynie s ≤ ϱ + ε, a teda tiež s ≤ ϱ, čiže existuje lim ∥A^{n}∥^{1/n} = ϱ.

Ak |λ| > ϱ, potom podobne sa podobne ako v dôkaze otvorenosti rezolventnej množi-

ny ukáže, že existuje R(λ, A) = \frac{1}{λ} ∑_{k=0}^{∞} \frac{A^{k}}{λ^{k}}, t.j. r(A) ≤ ϱ. Ďalej z tohto explicitného vy-

jadrenia R(λ, A) plynie ∥R(λ, A)∥ → 0 pre |λ| → ∞, takže spektrum nemôže byt’ prázdne (inak by totiž rezolventa musela byt’ podl’a Liouvillovej vety konštantná, t.j. R(·, A) ≡ 0, čo nie je možné).

Zvol’me teraz R > r(A). Z jednoznačnosti Laurantovho rozvoja plynie, že rad

R(λ, A) = \frac{1}{λ} ∑_{k=0}^{∞} \frac{A^{k}}{λ^{k}} konverguje na kružnici |λ| = R, takže

∥A^{n}∥ = ∥\frac{1}{2πi} ∫_{|λ|=R} λ^{n}R(λ, A) dλ∥ ≤ R^{n+1} max_{|λ|=R} ∥R(λ, A)∥ ,

odkial’ plynie ϱ ≤ R, a teda tiež ϱ ≤ r(A).

V prípade samoadjungovaného zobrazenia A platí ∥A∥ = sup_{∥x∥≤1} |⟨Ax, x⟩|, odkial’

dostaneme ∥A^{2^{k}}∥ = ∥A∥^{2^{k}}, takže r(A) = ∥A∥.

21 Nech X = ℓ^{1}, A : (x_{1}, x_{2}, x_{3}, …) ↦ (x_{2}, x_{3}, x_{4}, …). Potom σ(A) = {λ; |λ| ≤ 1}, σp(A) = {λ; |λ| < 1}, σc(A) = {λ; |λ| = 1} a pre adjungované zobrazenie platí A′ : ℓ^{∞} → ℓ^{∞} : (x_{1}, x_{2}, x_{3}, …) ↦ (0, x_{1}, x_{2}, …), σ(A′) = σr(A′) = {λ; |λ| ≤ 1}.

22 Nech X = BUC((0, 1)), (Af)(t) = t ∫_{0}^{1} sf(s) ds. Ukážte, že potom σ(A) = σp(A) = {0, 1/3}.

23 Nech X = L^{2}((0, 1)), (Ax)(t) = ∫_{0}^{t} K(t, s)x(s) ds, kde K ∈ L^{2}((0, 1)^{2}). Potom platí r(A) = 0 (zobrazenia s touto vlastnost’ou sa nazývajú kvázinilpotentné). Dokážte toto tvrdenie za dodatočného predpokladu |K(t, s)| ≤ M. (Návod: Dokážte indukciou

∫_{0}^{t} |(A^{k}x)(s)|^{2} ds ≤ \frac{(Mt)^{2k}∥x∥^{2}}{k! 2^{k}}, odkial’ ∥A^{k}∥^{1/k} → 0.)

Ukážte, že r(A) = 0 tiež v prípade X = C([0, 1]) a K ∈ C([0, 1]^{2}).

24 Nech A, B ∈ L(X) komutujú. Dokážte, že potom r(A + B) ≤ r(A) + r(B), r(AB) ≤ r(A)r(B). Platia tieto nerovnosti aj bez predpokladu komutovania A, B ? (Návod: Uvažujte A = ({0 \atop 1} {0 \atop 0}), B = ({0 \atop 0} {1 \atop 0}).)

25 Nech je X H-priestor, nech A ∈ L(X) je normálny a r(A) = 0. Dokážte, že potom A = 0. (Návod: ∥A^{∗}A∥ = r(A^{∗}A) ≤ r(A^{∗})r(A) = 0)

26 Nech je A uzavreté zobrazenie a nech je λ_{o} izolovaný bod σ(A). Ukážte, že hlavná čast’ príslušného Laurantovho rozvoja rezolventy konverguje pre l’ubovol’né λ ≠ λ_{o}. (Návod: r(B) = 0.)

27 Nech A_{k}, A ∈ L(X), A_{k} → A v L(X). Nech λ_{k} ∈ σ(A_{k}), λ_{k} → λ. Potom platí λ ∈ σ(A). Dokážte.

Opačné tvrdenie (ku každému λ ∈ σ(A) existujú λ_{k} ∈ σ(A_{k}) tak, že λ_{k} → λ) obecne neplatí, dokonca nemusí ani r(A_{k}) → r(A). Dokážte platnost’ uvedeného obráteného tvrdenia za dodatočného predpokladu, že X je H-priestor a zobrazenia A_{k}, A sú samoadjungované.

28 Nech A, B ∈ L(X). Potom σ(AB)\{0} = σ(BA)\{0}. Dokážte. (Návod: Ak 1 ∈ ϱ(AB), C = R(1, AB), potom (1 + BCA) = R(1, BA), takže 1 ∈ ϱ(BA).)

29 (i) Použite cvičenie 28 na dôkaz neexistencie zobrazení A, B ∈ L(X) s vlastnost’ou [A, B] = 1, kde [A, B] = AB − BA. (Návod: Ak AB − BA = 1, potom σ(AB) = σ(BA + 1) = σ(BA) + 1.) Dá sa dokonca dokázat’, že v nekonečnorozmernom priestore pre l’ubovol’né K ∈ K(X) neexistujú A, B ∈ L(X) tak, že [A, B] = 1 + K, pričom v separabilnom H-priestore sú zobrazenia tvaru 1 + K jedinými zobrazeniami, ktoré sa nedajú napísat’ v tvare [A, B].

(ii) Existujú uzavreté zobrazenia vlastnost’ou [A, B] = 1/D, kde D = D(AB)∩D(BA) je hustý podpriestor X ? (Návod: Položte X = L^{2}(IR), Af = f′, (Bf)(x) = xf(x).)

(iii) Ukážte, že ak pre A, B ∈ L(X) platí [A, [A, B]] = 0, potom platí r([A, B]) = 0. (Návod: Pre C ∈ L(X) položme △C = AC − CA, takže [A, B] = △B. S využitím identít △(BC) = △B · C + B · △C a △^{2}B = 0 dokážte identitu △^{n}B^{n} = n!(△B)^{n} a tú použite na odhad ∥(△B)^{n}∥^{1/n}.)

30 Nech A ∈ L(X). Položme

σappr(A) = {λ; (∃x_{n} ∈ X) ∥x_{n}∥ = 1, ∥(λ − A)x_{n}∥ → 0}

(aproximatívne bodové spektrum). Dokážte, že platí:

(i) σp(A) ∪ σc(A) ⊂ σappr(A) (ii) σappr(A) je uzavretá množina (iii) ∂σ(A) ⊂ σappr(A)

Nech A ∈ L(X), U je okolie σ(A) v C a f : U → C je analytická funkcia. Potom môžeme definovat’ zobrazenie

f(A) = \frac{1}{2πi} ∫_{Γ} f(λ)R(λ, A) dλ,

kde Γ je l’ubovol’ný konečný systém Jordanovych kriviek konečnej dĺžky s vlastnost’ou ind_{Γ}λ = 1 pre λ ∈ σ(A), ind_{Γ}λ = 0 pre λ ∈ C\U. Potom platí

• f(A) ∈ L(X)

• f ↦ f(A) je lineárne zobrazenie

• (fg)(A) = f(A)g(A)

• f(λ) = ∑_{n=0}^{∞} α_{n}λ^{n} na okolí σ(A) ⇒ f(A) = ∑_{n=0}^{∞} α_{n}A^{n} (v L(X))

• f_{n} → f rovnomerne na okolí σ(A) ⇒ f_{n}(A) → f(A) v L(X)

• f(σ(A)) = σ(f(A))

• f(A′) = (f(A))′

• ak A, B ∈ L(X) komutujú, f je analytická v ε-okolí σ(A) a |λ| < ε pre každé λ ∈ σ(B), potom je f analytická v okolí σ(A + B) a platí

f(A + B) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{f^{(n)}(A)B^{n}}{n!} .

Podobne sa dá definovat’ zobrazenie f(A) ∈ L(X) aj pre neohraničené (t.j. nespojité) uzavreté zobrazenie A s neprázdnym ϱ(A), ak je f analytická na okolí σ(A) a v nekonečne. Tu platí

f(A) = f(∞) I + \frac{1}{2πi} ∫_{Γ} f(λ)R(λ, A) dλ.

31 Dokážte prvých 7 tvrdení o zobrazeniach f(A). V prípade dôkazu (fg)(A) = f(A)g(A) postupujte podobne ako v dôkaze P^{2} = P pre spektrálnu projekciu.

32 Nech A ∈ L(X) je kvázinilpotentné zobrazenie (t.j. r(A) = 0) a nech existuje funkcia f ≢ 0 analytická v okolí nuly tak, že f(A) = 0. Potom je A nilpotentné, t.j. A^{n} = 0 pre vhodné n. Dokážte.

Riešenie: Pre vhodné n platí f(λ) = λ^{n}g(λ), kde g(0) ≠ 0. Potom A^{n} = (fg^{−1})(A) = f(A)g^{−1}(A) = 0.

33 Nech A ∈ L(X) a nech P (A) = 0 pre polynóm P stupňa n. Ukážte, že potom má množina σ(A) nanajvýš n prvkov.

3. SPEKTRUM A KOMPAKTNOSŤ

Nech je A ∈ K(X). Potom pre l’ubovol’né λ ≠ 0 je R(λ − A) uzavretý a platí tzv. Fredholmova alternatíva: bud’ R(λ − A) = X alebo (vo vylučovacom zmysle) N (λ−A) ≠ {0}. Odtial’ (na základe vety o otvorenom zobrazení) plynie, že každé λ ∈ σ(A), λ ≠ 0, je vlastným číslom zobrazenia A. Naviac sa dá ukázat’, že každé nenulové λ ∈ σ(A) je izolovaným bodom spektra, takže σ(A) je nanajvýš spočítatel’ná množina.

34 Nech A ∈ K(X), 0 ≠ λ_{o} ∈ σ(A) a nech P = P (λ_{o}) je projekcia príslušná spektrálnej množine {λ_{o}}. Ukážte, že platí dim R(P) < ∞, takže λ_{o} je pól rezolventy a vlastné číslo konečnej algebraickej násobnosti a platia tiež tvrdenia cvičenia 20. (Návod:

P = \frac{1}{2πi} ∫_{Γ} R(λ, A) dλ = \frac{1}{2πi} ∫_{Γ}(R(λ, A) − \frac{1}{λ}) dλ = \frac{1}{2πi} ∫_{Γ} \frac{1}{λ} AR(λ, A) dλ ∈ K(X),

pretože AR(λ, A) ∈ K(X).)

35 Nech X = ℓ^{2}, A(x_{1}, x_{2}, …) = (0, x_{1}, \frac{x_{2}}{2} , \frac{x_{3}}{3} , …). Ukážte, že A ∈ K(X),

σ(A) = {0} a 0 nie je vlastným číslom zobrazenia A. Porovnajte tento výsledok s cvičením 14.

36 Nech q ∈ C([0, 1]), λ ∈ C. Ukážte, že platí: bud’ má úloha

\begin{matrix}−u′′ + λqu = & f v (0, 1) \\ u(0) = u(1) = & 0 \end{matrix}

pre každé f ∈ C([0, 1]) jednoznačné riešenie u ∈ C^{2}([0, 1]) alebo má homogénna úloha

\begin{matrix}−u′′ + λqu = & 0 v (0, 1) \\ u(0) = u(1) = & 0 \end{matrix}

netriviálne riešenie. Čo sa dá povedat’ o množine tých λ ∈ C, pre ktoré nastáva druhá možnost’ ? (Návod: Reformulujte úlohu ako integrálnu rovnicu.)

37 Nech A ∈ L(X) a nech P (A) ∈ K(X) pre vhodný polynóm P. Potom je σ(A) spočítatel’ná množina s konečným počtom hromadných bodov. Dokážte.

Ak je X H-priestor a zobrazenie A ∈ K(X) je samoadjungované, potom sú všetky jeho vlastné čísla reálne, ich algebraická násobnost’ sa rovná geometrickej a vlastné vektory príslušné rôznym vlastným vektorom sú navzájom kolmé (vid’ tiež nasledujúci §). Naviac v X existuje ortonormálna báza {e_{α}} tvorená vlastnými vektormi zobrazenia A, pričom A sa dá napísat’ v tvare Ax = ∑ λ_{k}⟨x, e_{k}⟩e_{k}, kde e_{k} sú vlastné vektory (a prvky spomínanej bázy) prislúchajúce nenulovým vlastným číslam λ_{k} a pre vlastné čísla λ_{k} platí λ_{k} → 0 (pokial’ ich nie je len konečne vel’a).

Idea dôkazu existencie spomínanej bázy: Pre každé 0 ≠ λ ∈ σ(A) zvolíme ortonormálnu bázu konečnorozmerného priestoru N (λ − A); zjednotením týchto báz dostaneme ortonormálny zoznam E = {e_{k}}. Ak položíme Y = E^{⊥}, potom je A/Y samoadjungované, ∥A/Y ∥ = r(A/Y) = 0.

38 Nech je X H-priestor a nech je zobrazenie A ∈ K(X) samoadjungované. Usporiadajme jeho vlastné čísla {λ_{k}} podl’a vel’kosti ich absolútnych hodnôt: |λ_{1}| ≥ |λ_{2}| ≥ … (každé vlastné číslo je v tejto postupnosti zapísané tol’kokrát, kol’ko je jeho násobnost’). Dokážte, že potom platí

|λ_{k}| = max{|⟨Ax, x⟩|; ∥x∥ ≤ 1, x ⊥ {e_{1}, …, e_{k−1}}}.

(Návod: |λ_{1}| = r(A) = ∥A∥ = max{|⟨Ax, x⟩|; ∥x∥ ≤ 1}. Ďalej uvažujte A_{1} = A/{e_{1}}^{⊥} atd’.) Takisto platí

|λ_{k}| = inf_{M} sup{|⟨Ax, x⟩|; ∥x∥ = 1, x ⊥ M}

(kde M sú podpriestory X dimenzie k−1). Využite túto variačnú charakterizáciu vlastných čísel na dôkaz nerovnosti λ_{k}(A_{1}) ≤ λ_{k}(A_{2}), kde A_{i} ∈ K(X) sú samoadjungované a nezáporné, A_{1} ≤ A_{2} (t.j. A_{2} − A_{1} ≥ 0) a λ_{k}(A_{i}) je k-te vlastné číslo zobrazenia A_{i} (i = 1, 2).

39 Nech X = L^{2}((0, 1)), (Af)(x) = ∫_{0}^{1} K(x, y)f(y) dy, kde K(x, y) = cos 2π(x−y) resp. K(x, y) = min(x, y) resp. K(x, y) = e^{−|x−y|}. Podl’a cvičení v predošlých kapitolách je A ∈ K(X) samoadjungované. Nájdite vlastné čísla a funkcie zobrazenia A. (Výsledok: Pre K(x, y) = cos 2π(x − y) je σ(A) = {1/2, 0}, N (1/2 − A) = {c_{1}e^{2πix} + c_{2}e^{−2πix}}. Pre K(x, y) = min(x, y) je σ(A) = \{((n+ \frac{1}{2} )π)^{−2} ; n celé\} a príslušné vlastné funkcie majú tvar φ_{n}(x) = sin π(n+ \frac{1}{2} )x; ide o riešenie diferenciálnej rovnice λφ′′+φ = 0, φ(0) = 0, φ′(1) = 0.

Pre K(x, y) = e^{−|x−y|} platí σ(A) = \{\frac{2}{1 + k_{n}^{2}} \}_{n} a príslušné vlastné funkcie majú tvar

φ_{n}(x) = sin(k_{n}x)+k_{n} cos(k_{n}x), kde k_{n} sú kladné korene rovnice 2 cotg k = k−1/k; funkcie φ_{n} sú riešeniami diferenciálnej rovnice φ′′ = (1 − 2λ)φ, φ′(0) = φ(0), φ′(1) = −φ(1).)

40 Nech je X separabilný H-priestor, A ∈ K(X) samoadjungované, nech {e_{k}} je ortonormálna báza X tvorená vlastnými vektormi zobrazenia A s vlastnými číslami λ_{k}. Nech λ ∈ ϱ(A). Ukážte, že riešenie x rovnice λx − Ax = y možno vyjadrit’ v tvare x =

∑ \frac{⟨y, e_{k}⟩}{λ − λ_{k}} e_{k}, takže R(λ, A)x = ∑ \frac{1}{λ − λ_{k}} P_{k}x, kde P_{k} je spektrálna projekcia príslušná

λ_{k}.

41 Nech je X separabilný H-priestor a A ∈ K(X). Ukážte, že existujú ortonormálne bázy {e_{k}}, {f_{k}} v X a postupnost’ nezáporných čísel {λ_{k}}, λ_{k} → 0, tak, že Ax = ∑ λ_{k}⟨x, e_{k}⟩f_{k}. (Návod: Ukážte, že zobrazenie |A| je kompaktné (a samoadjungované), takže |A|x = ∑ λ_{k}⟨x, e_{k}⟩e_{k}. Ďalej A = U|A|, kde U/\overline{R(|A|)} je izometria, ⟨Ue_{i}, Ue_{j}⟩ = ⟨e_{i}, e_{j}⟩ pre nenulové λ_{i}, λ_{j}.)

42 Povieme, že uzavreté zobrazenie A má kompaktnú rezolventu, ak existuje λ_{o} ∈ ϱ(A) tak, že R(λ_{o}, A) ∈ K(X). Ukážte, že pre zobrazenie A s kompaktnou rezolventou platí (i) R(λ, A) ∈ K(X) pre každé λ ∈ ϱ(A)

(Návod: R(λ, A) = R(λ_{o}, A) + (λ_{o} − λ)R(λ, A)R(λ_{o}, A)) (ii) každé λ ∈ σ(A) je izolovaný bod spektra, pól rezolventy a vlastné číslo konečnej

násobnosti (Návod: Ukážte λ ∈ σ(A) ⟺ \frac{1}{λ_{o} − λ} ∈ σ(R(λ_{o}, A)), takže σ(A) je

izolovaná množina. Ďalej ukážte, že pre každé λ ∈ σ(A) je príslušná spektrálna projekcia kompaktná.)

(iii) ak je A samoadjungované, potom preň platia analogické tvrdenia ako pre kompaktné samoadjungované zobrazenia (existencia ortonormálnej bázy vlastných vektorov, …). 43 Nech je Ω ohraničená oblast’ v IR^{n} s hladkou hranicou, X = L^{2}(Ω), Au = −△u

pre u ∈ D(A) = {u ∈ W^{2,2}(Ω) ; u = 0 na ∂Ω}. Ukážte, že zobrazenie A má kompaktnú rezolventu. (Návod: Platí

∥u∥ · ∥A^{−1}u∥ ≥ ⟨u, A^{−1}u⟩ = ∫_{Ω} |∇(A^{−1}u)|^{2} dx ≥ c∥A^{−1}u∥_{W^{1,2}}^{2},

takže ∥A^{−1}u∥_{W^{1,2}} ≤ C∥u∥. Odtial’ s použitím kompaktnosti vnorenia W^{1,2} ⊂ L^{2} plynie kompaktnost’ A^{−1}.)

Pretože A je tiež samoadjungované a kladné, je jeho spektrum tvorené postupnost’ou kladných vlastných čísel λ_{1} ≤ λ_{2} ≤ …, pričom λ_{k} → ∞ a dá sa tiež ukázat’ λ_{1} < λ_{2}.

44 Nech X = L^{2}(IR^{n}), Aφ = −△φ + V φ, φ ∈ D(IR^{n}), kde V : IR^{n} → IR^{+} je lokálne integrovatel’ná a V (x) → ∞ pre |x| → ∞. Zobrazenie A je symetrické a zdola ohraničené, takže existuje jeho Friedrichsove rozšírenie Â. Ukážte, že toto zobrazenie má kompaktnú rezolventu. (Návod: Môžeme predpokladat’ V ≥ 1. Ukážte, že pre ψ = Â^{−1}φ, kde φ ∈ D(Â), ∥φ∥ ≤ 1, platí ∫ |∇ψ|^{2} + ∫ V |ψ|^{2} ≤ 1 a použite Rellichove kritérium kompaktnosti v L^{2}(IR^{n}).)

Ak d’alej zvolíme Ṽ ∈ L^{n/2}(IR^{n}) + L^{∞}(IR^{n}), potom sa dá ukázat’, že forma β(φ, ψ) = ∫ V φ\overline{ψ} a zobrazenie Â splňujú predpoklady KLMN vety, takže môžeme definovat’ samoadjungované zobrazenie Ã, pre ktoré formálne platí Ãφ = −△φ + V φ + Ṽ φ. Ukážte, že tiež zobrazenie Ã má kompaktnú rezolventu.

45 Nech X = L^{2}(IR) a Â je Friedrichsove rozšírenie zobrazenia Aφ = −φ′′ + V φ, kde V (x) = x^{2} a D(A) = S. Podl’a predošlých cvičení tvoria vlastné čísla zobrazenia Â postupnost’ λ_{k} → +∞ (k = 0, 1, 2, …) a príslušné vlastné funkcie e_{k} tvoria ortonormálnu bázu v priestore X. Ukážte, že λ_{k} = 2k + 1 a (až na násobok) e_{k} = B^{k}e_{o}, kde e_{o}(x) = e^{−x^{2}/2} a (Bφ)(x) = −φ′(x) + xφ(x). (Návod: Ukážte Ae_{o} = λ_{o}e_{o}, A(Bφ) = (λ + 2)Bφ pre φ ∈ S, Aφ = λφ, odkial’ plynie, že λ_{k}, e_{k} sú vlastné čísla a vlastné funkcie zobrazenia Â. Ďalej ukážte, že {e_{k}} generuje hustý podpriestor v X.)

4. PODSTATNÉ SPEKTRUM

Nech je A uzavreté zobrazenie s hustým definičným oborom. Povieme, že λ ∈ σess(A) (podstatné spektrum), ak je bud’ λ hromadný bod σ(A) alebo je λ vlastné číslo nekonečnej algebraickej násobnosti alebo priestor R(λ − A) nie je uzavretý (v prípade samoadjungovaného zobrazenia v H-priestore je posledná možnost’ zahrnutá v predošlých). Potom λ ∈ σ(A)\σess(A) práve vtedy, ked’ je λ pól rezolventy a zároveň vlastné číslo konečnej (algebraickej) násobnosti. Odtial’ plynie, že pre každé λ ∉ σess(A) je zobrazenie λ−A fredholmovské (t.j. R(λ−A) je uzavretý, dim N (λ−A) < ∞, codim R(λ − A) < ∞) a dim N (λ − A) = codim R(λ − A) (vid’ cvičenie 20).

Definujme d’alej

σess^{1}(A) ={λ ∈ C ; R(λ − A) nie je uzavretý alebo
dim N (λ − A) = codim R(λ − A) = ∞}
σess^{2}(A) ={λ ∈ C ; λ − A nie je fredholmovské}
σess^{3}(A) ={λ ∈ C ; λ ∈ σess^{2}(A) alebo dim N (λ − A) ≠ codim R(λ − A)}

Zrejme σess^{1}(A) ⊂ σess^{2}(A) ⊂ σess^{3}(A) ⊂ σess(A), pričom ide o uzavreté množiny. Ak je A samoadjungované zobrazenie v H-priestore, potom platí

σess^{i}(A) = σess(A) (i = 1, 2, 3).

Podstatné spektrum je invariantné voči kompaktným poruchám; presnejšie pre l’ubovol’né uzavreté zobrazenia A, B platí: ak B je A-kompaktné, potom σess^{i}(A + B) = σess^{i}(A) pre i = 1, 2, 3.

Ak pre A ∈ L(X) položíme ress(A) = sup{|λ|; λ ∈ σess(A) ∪ {0}} (analogicky ress^{i}(A)) a ∥A∥ess = inf{∥A + K∥; K ∈ K(X)}, potom pre i = 1, 2, 3 platí ress^{i}(A) = ress(A) = lim_{n→∞}(∥A^{n}∥ess)^{1/n}.

46 Nech dim X = ∞. Dokážte, že

• pre A ∈ L(X) platí σess(A) ≠ ∅

• pre A ∈ K(X) platí σess(A) = {0} • pre A s kompaktnou rezolventou platí σess(A) = ∅

47 Nech X = L^{2}(IR^{3}), Hφ = −△φ + V φ pre φ ∈ D(H) = W^{2,2}(IR^{n}), kde V : IR^{n} → IR, V ∈ L^{2} + L^{∞}, V (x) → 0 pre |x| → ∞. Ukážte, že σess(A) = [0, +∞). (Návod: H je A-kompaktnou perturbáciou operátora A = −△.) Ukážte tiež, že predpoklad V (x) → 0 pre |x| → ∞ je podstatný. (Návod: Vol’te V ≡ 1.)

48 Nech je λ ∈ ∂σ(A) hromadný bod σ(A). Potom platí λ ∈ σess^{1}(A). Dokážte. 49 Nech je λ izolovaný bod spektra, λ ∈ σess(A). Potom λ ∈ σess^{1}(A). Dokážte. 50 Ukážte, že σess^{3}(A) = ⋂{σ(A + K) ; K ∈ K(X)}. 51 Nech X = ℓ^{2} × ℓ^{2}, A : X → X : (x, y) ↦ ((x_{2}, x_{3}, …), (0, y_{1}, y_{2}, …)), K :

X → X : (x, y) ↦ ((0, 0, 0, …), (x_{1}, 0, 0, …)). Potom je σess^{i}(A) = σess^{i}(A + K) = σess(A + K) = {λ; |λ| = 1} pre i = 1, 2, 3, ale σess(A) = {λ; |λ| ≤ 1}. Dokážte.

5. SPEKTRÁLNY ROZKLAD SAMOADJUNGOVANÝCH ZOBRAZENÍ

V tomto § budeme predpokladat’, že A je samoadjungované zobrazenie v H-priestore X. Za tohto predpokladu platí σ(A) ⊂ IR, σr(A) = ∅ a vlastné vektory príslušné rôznym vlastným číslam sú navzájom kolmé.

Dôkaz: Pre x ∈ D(A) platí

\begin{matrix}∥(λ − A)x∥^{2} = & ⟨λx − Ax, λx − Ax⟩ = … = ∥(Re λ − A)x∥^{2} + | Im λ|^{2}∥x∥^{2} \\ ≥ & | Im λ|^{2}∥x∥^{2} , \end{matrix}

odkial’ plynie σ(A) ⊂ IR. Z cvičenia 9 d’alej vyplýva σr(A) ⊂ σp(A^{∗}) = σp(A), takže σr(A) = ∅. Ak sú λ_{1}, λ_{2} dve rôzne vlastné čísla A a x_{1}, x_{2} sú príslušné vlastné vektory, potom

λ_{1}⟨x_{1}, x_{2}⟩ = ⟨λ_{1}x_{1}, x_{2}⟩ = ⟨Ax_{1}, x_{2}⟩ = ⟨x_{1}, Ax_{2}⟩ = ⟨x_{1}, λ_{2}x_{2}⟩ = λ_{2}⟨x_{1}, x_{2}⟩ ,

takže ⟨x_{1}, x_{2}⟩ = 0.

Rieszov index všetkých vlastných čísel je 1 (t.j. algebraická násobnost’ = geometrická násobnost’). Ak je λ_{o} izolovaný bod σ(A), potom λ_{o} ∈ σp(A). Ďalej platí inf σ(A) = inf{⟨Ax, x⟩; x ∈ D(A), ∥x∥ = 1}, podobne pre supremum.

Ak je zobrazenie A naviac zdola ohraničené a položíme

λ_{k} = sup inf {⟨Ax, x⟩; x ∈ D(A), ∥x∥ = 1, x ⊥ {y_{1}, …, y_{k−1}}},

kde supremum berieme cez všetky možné y_{1}, …, y_{k−1} ∈ X, potom pre každé n ∈ IN platí práve jedno z nasledujúcich dvoch tvrdení

• existuje n vlastných čísel λ_{1} ≤ λ_{2} ≤ … ≤ λ_{n} < inf σess(A)

• inf σess(A) = λ_{n} = λ_{n+1} = … a existuje maximálne (n − 1) vlastných čísel A menších než λ_{n}. 52 Nech X = L^{2}(IR^{3}), Hφ = −△φ + V φ pre φ ∈ W^{2,2}(IR^{3}), kde V (x) = −1/|x|.

Ukážte, že existuje nekonečne vel’a vlastných čísel H menších než 0. (Návod: Podl’a príkladu 47 je σess(H) = [0, ∞), takže vzhl’adom k vyššie uvedenému tvrdeniu stačí dokázat’, že pre každé n ∈ IN existujú f_{1}, f_{2}, …, f_{n} ∈ X lineárne nezávislé tak, že ⟨Hf, f⟩ < 0 pre l’ubovol’né nenulové f z lineárneho obalu funkcií f_{1}, f_{2}, …, f_{n}. Zvol’me φ ∈ X s nosičom v množine {x; 1 < |x| < 2}, φ ≢ 0, a položme φ_{R}(x) = φ(x/R). Ukážte, že ⟨Hφ_{R}, φ_{R}⟩ ≤ R ∫ |∇φ|^{2} − (R^{2}/2) ∫ |φ|^{2} < 0 pre R > R_{o} a zvol’te f_{i} = φ_{R_{i}}, kde R_{i} = 2^{i}R_{o}.)

V d’al’šom vyslovíme tvrdenie, podl’a ktorého možno každej borelovskej množine v IR priradit’ istú spektrálnu projekciu, pričom v prípade spektrálnej množiny zobrazenia A pôjde o spektrálnu projekciu zavedenú v prvom § tejto kapitoly. Označme si preto písmenom B systém všetkých borelovských množín v IR (vid’ dodatok II).

Ortogonálna projekcia v X je zobrazenie P ∈ L(X) s vlastnost’ami P^{2} = P, P (X) ⊥ (I − P)(X). Rozkladom jednotky nazývame systém ortogonálnych projekcií (P (Ω))_{Ω∈B} v X s vlastnost’ami

(i) P (∅) = 0, P (IR) = I (ii) P (Ω_{1} ∩ Ω_{2}) = P (Ω_{1})P (Ω_{2})

(iii) Ω = ⋃_{n=1}^{∞} Ω_{n} (disj. zjednotenie) ⇒ P (Ω)x = ∑_{n=1}^{∞} P (Ω_{n})x ∀x ∈ X.

Medzi samoadjungovanými zobrazeniami v X a rozkladmi jednotky existuje vzájomne jednoznačný vzt’ah: Ak je (P (Ω))_{Ω∈B} rozklad jednotky a x ∈ X, označme μ_{x}(Ω) = ⟨P (Ω)x, x⟩ (μ_{x} je tzv. spektrálna miera). Potom existuje jediné samoadjungované zobrazenie A s vlastnost’ou ⟨Ax, x⟩ = ∫_{IR} λ dμ_{x}(λ) pre každé x ∈ D(A) = {x ∈ X; ∫_{IR} λ^{2}dμ_{x} < ∞}. Symbolicky píšeme A = ∫_{IR} λ dP_{λ} (kde P_{λ} = P ((−∞, λ])). Pre l’ubovol’né samoadjungované zobrazenie A zase existuje jediný rozklad jednotky (P (Ω))_{Ω∈B}, pre ktorý A = ∫_{IR} λ dP_{λ}. Pre Ω = (a, b] je pritom projekcia P (Ω) daná vzorcom

P (Ω)x = lim_{δ→0+} lim_{ε→0+} \frac{1}{2πi} ∫_{a+δ}^{b+δ} (R(s − iε, A) − R(s + iε, A))x ds.

Spojitým samoadjungovaným zobrazeniam zodpovedajú ohraničené rozklady jednotky (t.j. rozklady, pre ktoré existuje ohraničená Ω ∈ B s vlastnost’ou P (Ω) = I).

Spektrum σ(A) sa dá charakterizovat’ pomocou spektrálnych projekcií P (Ω) nasledujúcim spôsobom:

• λ ∈ σ(A) ⟺ P ((λ − ε, λ + ε)) ≠ 0 pre každé ε > 0

• λ ∈ σp(A) ⟺ P ({λ}) ≠ 0. Potom N (λ − A) = R(P ({λ})).

• λ ∈ σess(A) ⟺ dim R(P ((λ − ε, λ + ε))) = ∞ pre každé ε > 0

Pomocou uvedeného priradenia sa dá tiež definovat’ pre borelovskú funkciu f : IR → C uzavreté zobrazenie f(A) = ∫_{IR} f(λ) dP_{λ} s hustým definičným oborom D(f(A)) = {x ∈ X; ∫_{IR} |f(λ)|^{2}dμ_{x} < ∞}. Zobrazenie f(A) závisí len od reštrikcie f na množinu σ(A) a má nasledujúce vlastnosti:

• f je reálna ⇒ f(A) je samoadjungované

• f ≥ 0 ⇒ f(A) je nezáporné

• f je ohraničená ⇒ f(A) ∈ L(X)

• f ≠ 0 ⇒ f(A) je prosté, f(A)^{−1} = \frac{1}{f} (A)

• f(A) + g(A) ⊂ (f + g)(A)

• f(A)g(A) ⊂ (fg)(A), D(f(A)g(A)) = D(fg(A)) ∩ D(g(A))

• f(A)^{∗} = \overline{f}(A)

• R(P (Ω)) je f(A)-invariantný pre každú Ω ∈ B

• σ(f(A)) = ⋂ \overline{f(Ω)}, kde prienik sa berie cez všetky Ω ⊂ σ(A) s vlastnost’ou P (Ω) = I. Ak je f spojitá, potom σ(f(A)) = \overline{f(σ(A))}. Ak

naviac A ∈ L(X), potom σ(f(A)) = f(σ(A)).

• Ax = λx ⇒ f(A)x = f(λ)x

• α ∈ ϱ(A) ⇒ R(α, A) = ∫_{IR} \frac{1}{α − λ} dP_{λ}

• f_{n}, f sú rovnako ohraničené, f_{n} → f (bodove) ⇒ f_{n}(A)x → f(A)x • ak je f spojitá, potom pre Ω = (a, b] platí

f(A)P (Ω)x = lim_{δ→0+} lim_{ε→0+} \frac{1}{2πi} ∫_{a+δ}^{b+δ}f(s)(R(s−iε, A) − R(s+iε, A))x ds

Pomocou spektrálnych mier sa dá tiež dokázat’ nasledujúce tvrdenie (tzv. spektrálna veta v tvare operátora násobenia): Nech je X separabilný H-priestor a A samoadjungované zobrazenie v X. Potom existuje priestor M s konečnou mierou μ, meratel’ná funkcia F : M → IR a unitárne zobrazenie U : X → L^{2}(M) tak, že UAU^{−1}f = F · f pre každé f ∈ U(D(A)). Ak je A ∈ L(X), potom F ∈ L^{∞}(M).

53 Ukážte, že f(A) je normálne zobrazenie pre l’ubovol’nú f : IR → C borelovskú. 54 Ukážte, že pre x, y ∈ D(A) platí ⟨Ax, y⟩ = ∫_{IR} λ dμ_{x,y}(λ), kde μ_{x,y}(Ω) =

⟨P (Ω)x, y⟩. (Návod: Ak označíme a(x) = ⟨Ax, x⟩, potom platí 4⟨Ax, y⟩ = a(x+y)−a(x− y) + ia(x + iy) − ia(x − iy).)

55 Pre A nezáporné, s ∈ IR^{+} môžeme definovat’ nezáporné zobrazenie A^{s} a pre A kladné môžeme definovat’ zobrazenie A^{z} pre l’ubovol’né z ∈ C (f(s) = exp(z log(s))). Pritom platí A^{z_{1}}A^{z_{2}} ⊂ A^{z_{1}+z_{2}}. Dokážte.

56 Nech je A kladné, α ∈ (0, 1). Potom A^{−α} = \frac{sin πα}{π} ∫_{0}^{∞}λ^{−α}(A + λ)^{−1} dλ.

(Návod: ∫_{0}^{∞}λ^{−α} dP_{λ} = c ∫_{0}^{∞}λ^{−α} ∫_{0}^{∞} \frac{z^{−α}}{1 + z} dz dP_{λ} = c ∫_{0}^{∞} ∫_{0}^{∞} \frac{μ^{−α}}{λ + μ} dP_{λ} dμ = c ∫_{0}^{∞}μ^{−α}(A +

μ)^{−1} dμ, kde z = μ/λ, c = \frac{sin πα}{π}.)

57 Nech je A kladné, A^{−1} ∈ K(X), α ∈ (0, 1). Potom A^{−α} ∈ K(X). Dokážte. (Návod: Použite predošlé cvičenie alebo postupujte takto: platí ∥A^{−α}x∥^{2} = ⟨A^{−2α}x, x⟩ = ∫_{IR} λ^{−2α} dμ_{x} ≤ (∫_{IR} λ^{−2} dμ_{x})^{α}(∫_{IR} 1 dμ_{x})^{1−α} = ∥A^{−1}x∥^{2α} · ∥x∥^{2−2α}. Ak je {x_{n}} ohraničená postupnost’ v X, potom pre vhodnú podpostupnost’ je {A^{−1}x_{n_{k}}} cauchyovská, a teda tiež {A^{−α}x_{n_{k}}} je cauchyovská.)

58 Ak A ∈ K(X) alebo má A kompaktnú rezolventu, potom Ax = ∑_{k} λ_{k}P_{k}x,

kde λ_{k} sú vlastné čísla A a P_{k} je spektrálna projekcia príslušná množine {λ_{k}}. Ďalej

f(A)x = ∑_{k} f(λ_{k})P_{k}x.

59 Ukážte, že množina analytických vektorov zobrazenia A je hustá v X. (Návod: Pre x ∈ X uvažujte prvky x_{n} = f_{n}(A)x, kde f_{n} = χ_{[−n,n]}.)

60 Nech sú A, B samoadjungované zobrazenia. Povieme, že zobrazenia A, B komutujú, ak komutujú všetky ich spektrálne projekcie. Dokážte, že A, B komutujú práve vtedy, ked’ komutujú zobrazenia R(α, A) a R(β, B) pre každé α, β ∈ C\IR.

Poznámka: Ak je D hustý podpriestor X, pre zobrazenia A : D → D, B : D → D platí ABφ = BAφ pre každé φ ∈ D a zobrazenia \overline{A}, \overline{B} sú samoadjungované, potom sa ešte môže stat’, že zobrazenia \overline{A}, \overline{B} nekomutujú v zmysle vyššie uvedenej definície (vid’ [RS,VIII.5]).

61 Nech X = L^{2}(IR), Aφ = iφ′ pre φ ∈ W^{1,2}(IR). Nech f_{1}(t) = \frac{sin at}{ia}, f_{2}(t) =

\frac{1}{t^{2} + a^{2}} (a > 0). Pomocou Fourierovej transformácie ukážte, že platí

f_{1}(A) : φ ↦ \frac{φ(· + a) − φ(· − a)}{2a} , f_{2}(A) : φ ↦ \frac{1}{2a} ∫_{IR} e^{−a|·−y|}φ(y) dy.

62 Nech X = L^{2}(IR^{+}), (Af)(x) = ∫_{0}^{∞} \frac{f(y)}{x + y} dy. Ukážte, že σ(A) = [0, π] a A je

ekvivalentný operátoru násobenia funkciou F (ξ) = \frac{π}{cosh(πξ)} v L^{2}(IR). (Návod: Zámenou

premenných x = e^{t}, y = e^{s}, f(x) = e^{−t/2}φ(t) získa A tvar Ã : L^{2}(IR) → L^{2}(IR) : φ ↦ G∗φ,

kde G(t) = \frac{1}{2 cosh(t/2)} . Ďalej použite Fourierovu transformáciu.)

63 Nech je A ∈ L(X) samoadjungované a nech existuje w ∈ X tak, že množina {P (A)w; P je polynóm} je hustá v X. Prvok w sa potom nazýva cyklický vektor zobrazenia A a o zobrazení A hovoríme, že má jednoduché spektrum. Ukážte, že takéto zobrazenie je unitárne ekvivalentné s operátorom Ã : L^{2}(σ(A), μ_{w}) → L^{2}(σ(A), μ_{w}) : f ↦ F f, kde F (λ) = λ. (Návod: Položte U(P (A)w) = P, ukážte korektnost’ tejto definície a potom rozšírte U na celé X.)

Ukážte d’alej, že v nasledujúcich príkladoch je w cyklický vektor zobrazenia A:

• dim X = n < ∞, A má n jednoduchých vlastných čísel so zodpovedajúcimi vlastnými

vektormi e_{1}, …, e_{n}; w = ∑_{i=1}^{n} e_{i}.

• X = L^{2}((−1, 1)), (Af)(x) = xf(x), w(x) ≡ 1.

• X = L^{2}((0, 1)), (Af)(x) = x^{2}f(x), w(x) ≡ 1.

Ďalej ukážte, že zobrazenie (Af)(x) = x^{2}f(x) v priestore L^{2}((−1, 1)) nemá jednoduché spektrum. (Návod: Pre u(x) = w(−x) sign x je u ⊥ {P (A)w}.)

Nakoniec uvažujte neohraničený operátor (Af)(x) = xf(x) v L^{2}(IR), položte w(x) = e^{−x} a ukážte, že množina {P (A)w}_{P} je hustá v L^{2}(IR).

Nech je d’alej μ Lebesgueova miera v IR, nech je A samoadjungované zobrazenie v X, x ∈ X a nech je μ_{x} príslušná spektrálna miera. Ak sú miery μ_{x}, μ navzájom singulárne (vid’ § DII.5) a funkcia φ_{x}(t) = μ_{x}((−∞, t)) je spojitá, povieme, že miera μ_{x} je singulárna a spojitá voči Lebesgueovej miere. Miera μ_{x} sa nazýva bodová, ak existuje spočítatel’ná množina {x_{n}} ⊂ IR tak, že μ_{x} = ∑ α_{n}δ(x_{n}), kde α_{n} ∈ IR^{+} a δ(x_{n}) je Diracova miera sústredená v bode x_{o}. Položme

Xac = {x ∈ X; μ_{x} je absolútne spojitá voči Lebesgueovej miere} Xs = {x ∈ X; μ_{x} je spojitá a singulárna voči Lebesgueovej miere} Xp = {x ∈ X; spektrálna miera μ_{x} je bodová} Priestory Xp, Xac, Xs sú A-invariantné a tvoria rozklad priestoru X.

Ak označíme σac(A) = σ(A/Xac) (absolútne spojité spektrum), σs(A) = σ(A/Hs) (singulárne spektrum), potom platí σ(A) = \overline{σp(A)} ∪ σac(A) ∪ σs(A), pričom nemusí íst’ o disjunktné zjednotenie. Ďalej kladieme σd(A) = σ(A)\σess(A) (diskrétne spektrum).

Vyšetrovanie singulárneho a absolútne spojitého spektra je dôležité napr. pre teóriu rozptylu. Pre tieto dve spektrá (bohužial’) neplatia také všeobecné perturbačné tvrdenia ako pre podstatné spektrum; možno však dokázat’ nasledujúce tvrdenie: Nech sú A, K samoadjungované zobrazenia v separabilnom H-priestore X, nech K ∈ K(X) a nech pre jeho vlastné čísla λ_{n} platí ∑_{n} |λ_{n}| < ∞. Potom σac(A) = σac(A + K) a reštrikcie zobrazení A a A+K na príslušné priestory Xac sú unitárne ekvivalentné.

Jedným z kritérií pre určovanie uvedených spektier je tiež nasledujúce tvrdenie: Nech −∞ < a < b < +∞ a P = P ((a, b)) je príslušná spektrálna projekcia. Nech x ∈ X, p > 1 a

sup_{0<ε<1} ∫_{a}^{b} | Im ⟨R(s + iε, A)x, x⟩|^{p} ds < ∞.

Potom P x ∈ Xac.

Idea dôkazu: S použitím rovnosti ⟨R(s − iε, A)x, x⟩ = ⟨x, R(s + iε, A)x⟩ a Hölderovej nerovnosti dostávame pre l’ubovol’ný interval (c, d) ⊂ (a, b)

⟨P ((c, d))x, x⟩ ≤ \frac{1}{π} lim_{ε→0+} ∫_{c}^{d} | Im ⟨R(s + iε, A)x, x⟩| ds ≤ C|d − c|^{1/p′},

takže ⟨P (Ω)x, x⟩ ≤ C(μ(Ω))^{1/p′} pre každú Ω ∈ B, Ω ⊂ (a, b) (μ je Lebesgueova miera a p′ je exponent duálny k p). Odtial’ plynie absolútna spojitost’ μ_{x} v (a, b).

64 Nech X = L^{2}(IR^{3}), Aφ = −△φ pre φ ∈ W^{2,2}. Ukážte, že X = Xac, takže σs(A) = σp(A) = ∅. (Návod: V tomto jednoduchom prípade stačí použit’ Fourierovu transformáciu a vyšetrit’ zodpovedajúci multiplikatívny operátor. Naznačme však dôkaz s využitím vyššie uvedeného tvrdenia, pretože podobný postup sa v spojení s perturbačnými metódami hodí aj pre obecnejšie Schrödingerove operátory. Stačí zrejme dokázat’, že pre každé φ ∈ D(IR^{3}) a −∞ < a < b < +∞ platí P ((a, b))φ ∈ Xac. Platí

(R(λ, A)φ)(x) = − ∫_{IR^{3}} \frac{e^{i\sqrt{−λ}|x−y|}}{4π|x − y|} φ(y) dy,

kde \sqrt{−λ} je zvolená tak, aby Im \sqrt{−λ} > 0. Na odhad ⟨R(λ, A)φ, φ⟩ teraz použite Sobolevovu nerovnost’: pre f ∈ L^{p}(IR^{n}), g ∈ L^{q}(IR^{n}), 0 < λ < n, 1 < p, q < ∞, \frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{λ}{n} = 2,

platí ∫_{IR^{n}} ∫_{IR^{n}} \frac{|f(x)g(y)|}{|x − y|^{λ}} dx dy ≤ C∥f∥_{L^{p}}∥g∥_{L^{q}} .)

Poznámka: Rovnaké tvrdenie (X = Xac) platí aj pre zobrazenie A = −△ + V, kde potenciál V splňuje odhad ∫_{IR_{3}} ∫_{IR_{3}} \frac{|V (x)V (y)|}{|x − y|^{2}} dx dy < (4π)^{2}. Pre potenciál V (x) =

± \frac{e^{−μ|x|}}{|x|}, μ > 0, zase platí σac(A) = [0, ∞), σs(A) = ∅, σp(A) ⊂ (−∞, 0] je konečná (= ∅ pre μ > 1).

65 Nech X = L^{2}(IR), Aφ = −φ′′ + V φ, kde V : IR → IR je 2π-periodická, po častiach spojitá, ohraničená funkcia, D(A) = W^{2,2}(IR). Nech sú E_{1}^{P} ≤ E_{2}^{P} ≤ … (resp. E_{1}^{A} ≤ E_{2}^{A} ≤ …) vlastné čísla operátora A zúženého na podpriestor {f ∈ W^{2,2}(0, 2π) ; f(0) = f(2π)} (resp. {f ∈ W^{2,2}(0, 2π) ; f(0) = −f(2π)}). Položme α_{2k−1} = E_{2k−1}^{P}, α_{2k} = E_{2k}^{A}, β_{2k−1} = E_{2k−1}^{A}, β_{2k} = E_{2k}^{P}. Potom platí α_{n} < β_{n} ≤ α_{n+1}, σ(A) = σac(A) =

⋃_{n=1}^{∞}[α_{n}, β_{n}], σp(A) = σs(A) = ∅ (pričom tvrdenie o absolútnej spojitosti spektra možno

dokázat’ aj pre periodické potenciály v IR^{n}).

Predpokladajte len, že V : IR → IR je 2π-periodická, V ∈ L2_{loc}(IR) a ukážte, že A je samoadjungovaný operátor s definičným oborom W^{2,2}(IR) a σp(A) = ∅. (Návod: K dôkazu samoadjungovanosti použite Kato-Rellichovu vetu. Keby λ ∈ σp(A), potom pre N = N (λ − A) musí platit’ dim N = ∞, pretože φ(· + 2π) ∈ N pre každé φ ∈ N, avšak z teórie diferenciálnych rovníc plynie dim N ≤ 2, čo vedie k sporu.)

V [RS] je spojité spektrum samoadjungovaného zobrazenia A definované ako zjednotenie σac(A)∪σs(A). Nasledujúce dva príklady ukazujú, že táto definícia je odlišná od našej.

66 Nech je \{e_{n}\} ortonormálna báza v X, Ae_{n} = \frac{1}{n} e_{n}. Potom X = X_{p}, takže σac(A) = σs(A) = ∅, ale 0 ∈ σc(A). Dokážte.

67 Nech X = L^{2}((0, 1)), Af = φ · f, kde φ(x) = x pre x ≤ 1/2, φ(x) = 1/2 pre x ≥ 1/2. Potom 1/2 ∈ σac(A)\σc(A). Dokážte a určte tiež priestory Xp, Xac, Xs a projekcie P ([0, λ)).