C^{o}-SEMIGRUPY

Nech je X B-priestor a nech je A lineárne zobrazenie v priestore X. Ak je x(t) (t ≥ 0) riešenie Cauchyovej úlohy ẋ(t) = Ax(t), x(0) = x_{o}, a pre túto úlohu vieme dokázat’ existenciu a jednoznačnost’ riešenia pre l’ubovol’né x_{o} ∈ D(A), potom je zrejme T (t) : D(A) → D(A) : x_{o} ↦ x(t) lineárny operátor s nasledujúcou vlastnost’ou: T (t + s) = T (t)T (s). Ak pre uvedenú úlohu vieme dokázat’ tiež spojitú závislost’ riešenia na počiatočnej podmienke x_{o}, potom je zrejme zobrazenie T (t) spojité. Naviac funkcia x = T (·)x_{o} : [0, ∞) → D(A) je spojitá. Pomocou uvedených vlastností zobrazení T (t) sa definuje C^{o}-semigrupa T (vid’ d’alej).

Základnym problémom je otázka, pre ktoré zobrazenia A môžeme robit’ takéto úvahy, t.j. ktoré zobrazenia A generujú semigrupu T. Odpoved’ nám dáva tzv. Hille-Yosidova veta. V tejto kapitole uvedieme okrem tejto vety len niektoré základné vlastnosti a príklady C^{o}-semigrúp. Aplikácie teórie C^{o}-semigrúp možno nájst’ napr. v [RS] (teória rozptylu) alebo v [He] (teória semilineárnych parabolických rovníc).

1. ZÁKLADNÉ VLASTNOSTI Nech je X B-priestor, J = IR^{+} alebo J = IR, T (t) ∈ L(X) pre

t ∈ J. Systém T = {T (t)}_{t∈J} sa nazýva C^{o}-semigrupa (pre J = IR tiež C^{o}-grupa), ak platí

(i) T (0) = I (ii) T (t + s) = T (t)T (s) pre každé t, s ∈ J (iii) Zobrazenie J → X : t ↦ T (t)x je spojité pre každé x ∈ X.

Nech je T C^{o}-semigrupa. Ak definujeme Ax := lim_{t∈J, t→0} \frac{T (t)x − x}{t} (pre tie x, pre ktoré táto limita existuje), potom je A uzavreté zobrazenie s hustým definičným oborom a nazýva sa (infinitezimálny) generátor semigrupy T. Ak je T semigrupa s generátorom A, potom sa zobrazenie T (t) tiež symbolicky označuje e^{tA}.

C^{o}-semigrupa je svojím generátorom jednoznačne určená, t.j. ak sú T, S dve C^{o}-semigrupy s tým istým generátorom, potom T = S. Pre l’ubovol’né x ∈ D(A) a t > 0 d’alej platí T (t)x ∈ D(A), \frac{d}{dt}T (t)x = AT (t)x = T (t)Ax.

Vzt’ah ku Cauchyovej úlohe

Ak je A lineárne zobrazenie v X s hustým definičným oborom, potom riešením Cauchyovej úlohy ẋ(t) = Ax(t), x(0) = x_{o} ∈ D(A) rozumieme diferencovatel’nú funkciu x : IR^{+} → X takú, že x(0) = x_{o}, x(t) ∈ D(A)

a lim_{h→0} \frac{x(t + h) − x(t)}{h} = Ax(t) pre každé t ≥ 0 (pre t = 0 ide o limitu sprava). Uvedená Cauchyova úloha sa nazýva korektná, ak pre každé x_{o} ∈ D(A) existuje jediné jej riešenie x(t, x_{o}) a naviac platí: ak x_{n}, x_{o} ∈ D(A), x_{n} → x_{o}, potom x(t, x_{n}) → x(t, x_{o}) lokálne rovnomerne v IR^{+}. Platí:

(i) Ak je Cauchyova úloha pre A korektná, potom je T (t) = x(t, ·) (po spojitom rozšírení na X) C^{o}-semigrupa s generátorom \overline{A}.

(ii) Ak je T C^{o}-semigrupa s generátorom A, potom je Cauchyova úloha pre A korektná. Riešením tejto úlohy (pre x_{o} ∈ D(A)) je funkcia x(t, x_{o}) = T (t)x_{o} a platí x(·, x_{o}) ∈ C^{1}(IR^{+}, X). Funkcia x(t, x_{o}) = T (t)x_{o} pre x_{o} ∉ D(A) sa nazýva zovšeobecneným riešením.

(iii) Nech je A uzavreté zobrazenie, ϱ(A) ≠ ∅. Ak pre každé x_{o} ∈ D(A) existuje jediné riešenie Cauchyovej úlohy v triede C^{1}(IR^{+}, X), potom je Cauchyova úloha korektná.

Ak je T C^{o}-semigrupa s generátorom A, potom existujú M ≥ 1, ω ∈ IR tak, že ∥T (t)∥ ≤ Me^{ωt} pre každé t ∈ IR^{+}. Ak označíme ω(A) infimum

takých ω, potom platí ω(A) = inf_{t>0} \frac{log ∥T (t)∥}{t} = lim_{t→∞} \frac{log ∥T (t)∥}{t}. Ak je T

C^{o}-grupa, potom existujú M ≥ 1, ω ∈ IR^{+} tak, že ∥T (t)∥ ≤ Me^{ω|t|} pre každé t ∈ IR.

Budeme písat’ A ∈ G(M, ω), ak je A generátor C^{o}-semigrupy T, pre ktorú platí ∥T (t)∥ ≤ Me^{ωt}. Ak pre semigrupu T platí ∥T (t)∥ ≤ 1 pre každé t ∈ J, potom sa nazýva kontrahujúca semigrupa.

Pre generátor A C^{o}-semigrupy T platí tzv. veta o jadre: Ak je D ⊂ D(A) hustý podpriestor X, ktorý je T (t)-invariantný pre každé t ≥ 0, potom je to jadro zobrazenia A.

1 Nech je A generátor C^{o}-semigrupy, λ ∈ IR, B = A − λ. Ukážte, že B je tiež generátor C^{o}-semigrupy, ω(B) = ω(A) − λ.

2 Nech je A ∈ G(M, ω). Ukážte, že v X existuje ekvivalentná norma ∥ · ∥_{1} tak, že vzhl’adom k tejto novej norme platí ∥e^{tA}∥ ≤ e^{ωt}. (Návod: Vol’te ∥x∥_{1} = sup{e^{−ωt}∥e^{tA}x∥; t ≥ 0}.)

3 Nech je T C^{o}-semigrupa s generátorom A. Ukážte, že pre spektrálny polomer zobrazenia T (t) platí r(T (t)) = e^{tω(A)}. (Návod: r(T (t)) = lim ∥T (t)^{k}∥^{1/k} = (lim ∥T (kt)∥^{1/kt})^{t} = e^{tω(A)}.)

4 Translačné semigrupy v IR^{n}. Nech je Ω ⊂ IR^{n} otvorená množina a φ : J ×Ω → Ω globálny (polo)tok na Ω, t.j. φ(t + s, x) = φ(t, φ(s, x)) pre každé t, s ∈ J, x ∈ Ω. Ak je f funkcia definovaná na Ω, t ∈ J, položme T (t)f = f(φ(t, ·)).

(i) Ak je X = BUC(Ω), φ(t, ·) je rovnomerne spojitá na Ω a φ(t, x) → x pre t → 0 rovnomerne v Ω, potom je T kontrahujúca C^{o}-semigrupa na X.

(ii) Ak je X = L^{p}(Ω), 1 ≤ p < ∞, a tok φ je indukovaný vektorovým polom F ∈ C^{1}(Ω, IR^{n}), pričom sup_{Ω} | div F (x)| ≤ ω, potom je T C^{o}-grupa v X, ∥T (t)∥ ≤ e^{ω|t|/p}. Pre u ∈ C_{c}^{1}(Ω) = {u ∈ C^{1}(Ω) ; u má kompaktný nosič v Ω} platí Au = ⟨F, ∇u⟩, pričom C_{c}^{1}(Ω) je jadro zobrazenia A.

(iii) Nech je X jeden z priestorov BUC(IR^{n}), C_{o}(IR^{n}), L^{p}(IR^{n}), 1 ≤ p < ∞. Nech φ(t, x) = x + ta, kde a ∈ IR^{n} je pevné. Potom je T kontrahujúca C^{o}-grupa v X a jej generátor A je X-realizácia diferenciálneho operátora ∂/∂a. 5 Nech A ∈ L(X) a T (t) = e^{tA} v zmysle funkčného kalkulu v §III.2, t.j.

T (t) = \frac{1}{2πi} ∫_{Γ} e^{tλ}R(λ, A) dλ = ∑_{k=0}^{∞} \frac{(tA)^{k}}{k!} .

Ukážte, že T je C^{o}-grupa s generátorom A.

C^{o}-semigrupa T sa nazýva rovnomerne spojitá, ak je zobrazenie J → L(X) : t ↦ T (t) spojité. Platí nasledujúce tvrdenie: T je rovnomerne spojitá ⟺ D(A) = X ⟺ A ∈ L(X).

Ak je X = L^{∞}(Ω), kde Ω je priestor so σ-konečnou mierou, potom je každá C^{o}-semigrupa v X rovnomerne spojitá.

6 Nech λ > 0, t ≥ 0, p_{t}(k) = \frac{(λt)^{k}}{k!} e^{−λt} pre k ∈ IN ∪ \{0\} (Poissonovo rozdelenie s parametrom λt). Ak označíme δ_{k} Diracovu mieru s nosičom {k}, potom je p_{t} = ∑_{k=0}^{∞} p_{t}(k)δ_{k} konečná Radonova miera v IR s normou 1 (vid’ dodatok I alebo II). Ukážte, že predpisom

U(t)u = p_{t} ∗ u = e^{−λt} ∑_{k=0}^{∞} \frac{(λt)^{k}}{k!} u(· − k)

je definovaná rovnomerne spojitá C^{o}-semigrupa v priestore BC(IR) s generátorom Au(x) = λ(u(x) − u(x − 1)).

Nech je A generátor C^{o}-semigrupy T, λ > ω(A). Pre k ≥ 1 označme X_{k} priestor D(A^{k}) s normou ∥x∥_{k} = ∥(λ+A)^{k}x∥ a nech A_{k} je X_{k}-realizácia operátora A. Potom je X_{k} B-priestor, je to jadro A_{l} ak l < k, X_{k+1} ⊂ X_{k}, pričom ide o husté vnorenie; X_{k+1} ⊂⊂ X_{k}, ak má A kompaktnú rezolventu. Ďalej A_{k} ∈ L(X_{k+1}, X_{k}), X_{k} je invariantný pre e^{tA} (t ≥ 0) a A_{k} je generátor C^{o}-semigrupy e^{tA}/X_{k}.

Ak x_{o} ∈ X_{k}, l < k, potom pre x(t) = T (t)x_{o} platí x ∈ ⋂_{j=0}^{k−l} C^{j}(IR^{+}, X_{k−j}).

7 Nech je A generátor C^{o}-semigrupy T, nech X_{k} = D(A^{k}) a A_{k} je príslušná X_{k}- realizácia A (vid’ vyššie). Položme X_{∞} = ⋂_{k≥0} X_{k} s projektívnou topológiou, t.j. x_{n} → x v X_{∞} ⟺ x_{n} → x v X_{k} pre každé k. Ukážte, že platí: X_{∞} je F-priestor (vid’ dodatok I), X_{∞} ⊂^{d} X_{k} pre každé k, A_{∞} (= X_{∞}-realizácia A) je spojité lineárne zobrazenie v X_{∞} a generuje v X_{∞} C^{o}-semigrupu, ktorá je reštrikciou semigrupy e^{tA} na priestor X_{∞}. (Nezabudnite pritom definovat’ C^{o}-semigrupu v F-priestore.)

8 Nech je A generátor C^{o}-semigrupy. Ukážte, že pre x ∈ D(A^{m+1}) a t > 0 platí ” Taylorova formula ”

e^{tA}x − ∑_{k=0}^{m} \frac{t^{k}}{k!} A^{k}x = \frac{1}{m!} ∫_{0}^{t} (t − s)^{m}e^{sA}A^{m+1}x ds .

9 Nech A ∈ G(M, 0), x ∈ D(A^{2}). Potom platí ∥Ax∥^{2} ≤ 4M^{2}∥A^{2}x∥ · ∥x∥. Dokážte. (Návod: Integrovaním per partes dostaneme T (t)x − x = ∫_{0}^{t} T (τ)Ax dτ =

tAx + ∫_{0}^{t}(t − s)T (s)A^{2}x ds, odkial’ ∥Ax∥ ≤ \frac{2M}{t} ∥x∥ + \frac{Mt}{2} ∥A^{2}x∥. Pre A^{2}x ≠ 0 položte

t = 2\sqrt{∥x∥/∥A^{2}x∥}.)

Ak toto tvrdenie použijeme pre Af = f′ v priestore X = BUC(IR) alebo X = L^{p}(IR) (1 ≤ p < ∞), dostávame nerovnost’ ∥f′∥ ≤ 4∥f′′∥ · ∥f∥.

10 Gauss-Weierstrassova semigrupa. Nech X^{(1)} = BUC(IR^{n}), X^{(2)} = C_{o}^{k}(IR^{n}) (={f ∈ BUC(IR^{n}) ; D^{α}f(x) → 0 pre |x| → ∞ a |α| ≤ k}), X^{(3)} = W^{k,p}(IR^{n}), 1 ≤ p < ∞, T (t)f = w_{t} ∗ f, kde w_{t}(x) = (4πt)^{−n/2} exp(−|x|^{2}/4t). Potom je T kontrahujúca C^{o}- semigrupa na X^{(i)} s generátorom A rovným X^{(i)}-realizácii diferenciálneho operátora △. BUC^{k+2+m}(IR^{n}) (m ≥ 0) je jadro A v prípade i = 1; priestor S (vid’ § DI.2) je

jadro A v prípade i = 2, 3. Ďalej X_{m}^{(3)} = W^{k+2m,p}(IR^{n}), BUC^{k+2m}(IR^{n}) ⊂ X_{m}^{(1)},

C_{o}^{k+2m}(IR^{n}) ⊂ X_{m}^{(2)}.

C^{o}-semigrupa T je naviac pozitívna, t.j. T (t)f ≥ 0 pre každé f ≥ 0 a t ≥ 0. Ak f ≥ 0, f ≢ 0, potom dokonca platí (T (t)f)(x) > 0 pre každé x ∈ IR^{n} a každé t > 0. V obecnom usporiadanom B-priestore platí, že C^{o}-semigrupa T s generátorom A je pozitívna práve vtedy, ked’ je R(λ, A) pozitívny operátor (t.j. R(λ, A)x ≥ 0 pre x ≥ 0) pre dostatočne vel’ké λ > 0.

Gauss-Weierstrassova semigrupa sa dá definovat’ aj v priestoroch X = S a X = S′, v tom prípade je jej generátor △ ∈ L(X). Táto semigrupa má nasledujúcu zhladzujúcu vlastnost’: pre l’ubovol’né u_{o} ∈ S′ a t > 0 platí e^{t△}u_{o} ∈ C^{∞}(IR^{n}).

Z vlastností C^{o}-semigrupy T plynie existencia a jednoznačnost’ riešenia úlohy

\begin{matrix}u_{t} − △u = & 0  v IR^{n} × (0, ∞) \\ u(x, 0) = & u_{o}(x)  v IR^{n} \end{matrix}

Treba si však uvedomit’, že ide vždy o jednoznačnost’ v istej triede funkcií, pretože napr. existuje funkcia u ∈ C(IR × IR^{+}) ∩ C^{2}(IR × (0, ∞)), ktorá je riešením tejto úlohy pre n = 1 a u_{o} ≡ 0, a pritom u ≢ 0.

2. HILLE–YOSIDOVA VETA

Hille–Yosidova veta charakterizuje generátory C^{o}-semigrúp: Nech je A

lineárne zobrazenie v X. A ∈ G(M, ω) práve vtedy, ked’ je uzavreté, má

hustý definičný obor, (ω, ∞) ⊂ ϱ(A) a ∥R(λ, A)^{n}∥ ≤ M/(λ − ω)^{n} pre

každé n ∈ IN a λ > ω.

Ak A ∈ G(M, ω), potom tiež {λ ∈ C ; Reλ > ω} ⊂ ϱ(A) a pre Reλ >

ω platí ∥R(λ, A)^{n}∥ ≤ M/(Reλ − ω)^{n}, R(λ, A)x = ∫_{0}^{∞} e^{−λt}T (t)x dt =

∫_{0}^{∞} e^{−t(λ−A)}x dt.

Ďalej pre každé x ∈ X platí (1− \frac{t}{n}A)^{−n}x → e^{tA}x (pre n → ∞) lokálne

rovnomerne v IR^{+} a pre x ∈ D(A^{2}), γ > max(0, ω) platí tiež T (t)x =

\frac{1}{2πi} ∫_{γ−i∞}^{γ+i∞} e^{λt}R(λ, A)x dλ.

11 Nech je X reflexívny B-priestor a nech je A generátor C^{o}-semigrupy T. Ukážte, že potom je A′ generátor C^{o}-semigrupy T′. (Návod: Podl’a §II.1 je A′ uzavreté zobrazenie s hustým definičným oborom. Z §III.1 a §II.1 zase plynie ϱ(A′) = ϱ(A), ∥R(λ, A′)∥ = ∥R(λ, A)′∥ = ∥R(λ, A)∥, takže A′ je generátor C^{o}-semigrupy. Ďalej platí

e^{t(A′)}x = lim(1 − \frac{t}{n} A′)^{−n}x = lim[(1 − \frac{t}{n} A)^{−n}]′x = (e^{tA})′x .)

12 Nech je A generátor C^{o}-semigrupy T, nech je σ_{1} spektrálna množina A a X = X_{1} ⊕ X_{2} je príslušný A-invariantný rozklad X, t.j. A = A_{1} ⊕ A_{2}. Potom platí tiež e^{tA} = e^{tA_{1}} ⊕ e^{tA_{2}}. Dokážte.

13 Nech sú A, B generátory C^{o}-semigrúp v priestore X. Ak sú C, D ∈ L(X), položme [C, D] = CD − DC (komutátor). Ukážte, že nasledujúce tvrdenia sú ekvivalentné.

• e^{tB}A ⊂ Ae^{tB} pre každé t ≥ 0

• R(μ, B)A ⊂ AR(μ, B) pre každé μ > ω(B)

• existuje μ > ω(B) tak, že R(μ, B)A ⊂ AR(μ, B)

• existujú λ > ω(A), μ > ω(B) tak, že [R(λ, A), R(μ, B)] = 0

• [R(λ, A), R(μ, B)] = 0 pre každé λ > ω(A), μ > ω(B)

• [R(λ, A), e^{tB}] = 0 pre každé λ > ω(A) a každé t ≥ 0

• existuje λ > ω(A) tak, že [R(λ, A), e^{tB}] = 0 pre každé t ≥ 0

• [e^{sA}, e^{tB}] = 0 pre každé s, t ≥ 0 Pri dôkaze využite a dokážte toto tvrdenie: Ak C ∈ L(X), potom CA ⊂ AC ⟺ [C, e^{sA}] =0 pre každé s ≥ 0. (Návod pre dôkaz pomocného tvrdenia: Ak CA ⊂ AC, potom pre x ∈ D(A) platí \frac{d}{dt} (e^{(s−t)A}Ce^{tA}x) = 0, integrovaním pre t ∈ (0, s) dostávame Ce^{sA}x = e^{sA}Cx, odkial’ plynie [C, e^{sA}] = 0. Opačná implikácia je jednoduchá.)

14 Nech je T nilpotentná C^{o}-semigrupa, t.j. T (t) = 0 pre dostatočne vel’ké t. Potom pre jej generátor musí platit’ ω(A) = −∞, takže σ(A) = ∅. Ak napr. X = {f ∈ BUC((0, 1)) ; f(1) = 0} a A je X-realizácia diferenciálneho operátora f ↦ f′, potom e^{tA}f = f(· + t) je nilpotentná C^{o}-semigrupa, takže σ(A) = ∅.

15 Pre spektrum zobrazenia e^{tA} (t > 0) platia nasledujúce tvrdenia:

• exp(tσ(A)) ⊂ σ(e^{tA})

• exp(tσess(A)) ⊂ σess(e^{tA})

• exp(tσp(A)) ⊂ σp(e^{tA}) ⊂ exp(tσp(A)) ∪ {0} • exp(tσr(A))\ exp(tσp(A)) ⊂ σr(e^{tA})

• exp(tσc(A))\(exp(tσp(A)) ∪ exp(tσr(A))) ⊂ σc(e^{tA}) Uvedomte si, že v predošlom príklade platí σ(A) = ∅, ale σ(e^{tA}) ≠ ∅.

3. KONTRAHUJÚCE SEMIGRUPY

Podl’a Hille–Yosidovej vety je uzavreté zobrazenie A s hustým D(A) generátorom kontrahujúcej C^{o}-semigrupy práve vtedy, ked’ (0, ∞) ⊂ ϱ(A) a ∥R(λ, A)∥ ≤ 1/λ pre každé λ > 0. Generátory kontrahujúcich semigrúp sa dajú tiež charakterizovat’ pomocou tzv. m-disipatívnych zobrazení (Lumer– Phillips):

Lineárne zobrazenie A sa nazýva disipatívne, ak pre každé x ∈ D(A) existuje ϑ_{x} ∈ X′ tak, že ∥x∥^{2} = ∥ϑ_{x}∥^{2} = ϑ_{x}(x) a Re ϑ_{x}(Ax) ≤ 0. Ak je A disipatívne a existuje λ > 0 tak, že R(λ − A) = X, potom sa A nazýva m-disipatívne (a zobrazenie −A m-akretívne). Lineárne zobrazenie A je generátor kontrahujúcej C^{o}-semigrupy práve vtedy, ked’ má hustý definičný obor a je m-disipatívne. Predpoklad hustého definičného oboru je pritom automaticky splnený, ak je priestor X reflexívny.

Ekvivalentnou podmienkou disipativity je podmienka ∥(λ − A)x∥ ≥ Re λ∥x∥ pre každé Re λ ≥ 0 alebo tiež ∥(1 − εA)x∥ ≥ ∥x∥ pre každé ε > 0. Príkladom m-disipatívneho zobrazenia je zobrazenie −A, kde A je nezáporné samoadjungované zobrazenie v H-priestore. Ak je X = L^{p}(Ω), 1 ≤ p < ∞, (kde Ω je priestor so σ-konečnou mierou), potom je A disipatívne práve vtedy, ked’ pre každé u ∈ D(A) platí Re ∫_{Ω} |u|^{p−2}\overline{u} Au dμ ≤ 0.

Pre m-disipatívne zobrazenia platí podobná perturbačná veta ako pre samoadjungované zobrazenia: ak je A m-disipatívne zobrazenie s hustým definičným oborom, zobrazenie B je disipatívne, B ≺_{1} A, potom je A+B m-disipatívne. Ak je X reflexívny priestor a miesto predpokladu B ≺_{1} A predpokladáme len, B ⪯_{1} A, potom je zobrazenie \overline{A+B} m-disipatívne.

16 Nech je A generátor C^{o}-semigrupy a nech B ∈ L(X). Potom je A+B generátor C^{o}-semigrupy. Dokážte. (Návod: Vzhl’adom k cvičeniam 1 a 2 môžeme predpokladat’, že A generuje kontrahujúcu semigrupu, t.j. že A je m-disipatívne. Ďalej zobrazenie (B −∥B∥) je disipatívne, takže (A + B − ∥B∥) je m-disipatívne.)

4. GRUPY UNITÁRNYCH ZOBRAZENÍ

Charakterizáciu generátorov C^{o}-grúp unitárnych zobrazení dáva Sto-

neova veta: ak je X H-priestor, potom A je generátor C^{o}-grupy unitárnych

zobrazení práve vtedy, ked’ je zobrazenie iA samoadjungované (t.j. A^{∗} =

−A).

17 Nech je A samoadjungované, nech T (t) = f_{t}(A), kde f_{t}(λ) = e^{itλ} a zobrazenie f_{t}(A) chápeme v zmysle funkčného kalkulu z §III.5. Ukážte, že T (t) je C^{o}-semi-grupa s generátorom iA. (Návod: Z vlastností funkčného kalkulu pre samoadjungované zobrazenia plynie, že {f_{t}(A)} je C^{o}-semigrupa. Označme B jej generátor a položme

g_{t}(λ) = \frac{f_{t}(λ) − 1}{t}. Potom platí g_{t}(λ) → iλ pre t → 0, |g_{t}(λ)| = |λ|, takže pre x ∈ D(A)

platí ∥g_{t}(A)x − iAx∥^{2} = ∫ |g_{t}(λ) − iλ|^{2} dμ_{x}(λ) → 0, odkial’ plynie iA ⊂ B. Ak je P_{n} spektrálna projekcia príslušná zobrazeniu A a množine (−n, n), potom z vlastností

funkčného kalkulu plynie, že D = ⋃_{n=1}^{∞} P_{n}(X) je podpriestor D(A), ktorý je hustý v X

a f_{t}(A)-invariantný, takže podl’a vety o jadre je B = \overline{B/D} = \overline{iA/D} = iA.)

Z §III.5 teraz plynie exp(tσ(iA)) = \overline{σ(e^{itA})} (porovnajte s cvičením 15). Vyslovte a dokážte tiež analogické tvrdenie pre semigrupu e^{−tA}, kde A je nezáporné samoadjungované zobrazenie.

Ak špeciálne zvolíme A = △ v X = L^{2}(IR^{n}), dostávame, že spektrum operátora e^{it△} je jednotková kružnica v C. S využitím cvičenia 15 dostávame, že ide o spojité spektrum.

Nech d’alej X = ℓ^{2}, Ax = ((2π + 1)x_{1}, (4π + \frac{1}{2} )x_{3}, (6π + \frac{1}{3} )x_{3}, …). Ukážte, že A je samoadjungované zobrazenie s kompaktnou rezolventou, σp(e^{itA}) = exp(itσp(A)), σc(e^{itA}) = {1}, σc(A) = ∅.

18 Nech je H samoadjungovaný Schrödingerov operátor v L^{2}(IR^{n}) s definičným oborom D(H) = D(−△). Ukážte, že potom pre každé φ_{o} ∈ W^{2,2}(IR^{n}) existuje

jediné riešenie Schrödingerovej rovnice \frac{∂φ}{∂t} = iHφ, φ(0) = φ_{o} v L^{2}(IR^{n}) a platí

φ ∈ C(IR, W^{2,2}(IR^{n})) ∩ C^{1}(IR, L^{2}(IR^{n})).

19 Nech je T (t) = e^{it△} C^{o}-grupa generovaná operátorom i△ v L^{2}(IR^{n}). Potom sa dá ukázat’

e^{it△}u = lim_{R→∞} ∫_{|y|<R} k_{it}(· − y)u(y) dy ,

kde k_{z}(x) = (4πz)^{−n/2}e^{−|x|^{2}/(4z)} (porovnajte s Gauss–Weierstrassovou semigrupou).

C^{o}-semigrupa {e^{it△}; t ≥ 0} má nasledujúcu ” zhladzujúcu ” vlastnost’: ak 1 ≤ p ≤ 2, t > 0, potom ∥e^{it△}∥_{(p,p′)} ≤ (4πt)^{−nq}, kde q = 1/p − 1/2 a ∥ · ∥_{(p,p′)} je norma v priestore L(L^{p}, L^{p′}). Dokážte. (Návod: Ukážte, že ∥T (t)∥_{(2,2)} = 1, ∥T (t)∥_{(1,∞)} ≤ (4πt)^{−n/2} a použite Riesz–Thorinovu interpolačnú vetu: Ak ∥A∥_{(p_{i},q_{i})} = M_{i} (i = 1, 2), 0 < θ < 1,

\frac{1}{p} = \frac{1 − θ}{p_{1}} + \frac{θ}{p_{2}} , \frac{1}{q} = \frac{1 − θ}{q_{1}} + \frac{θ}{q_{2}} , potom ∥A∥_{(p,q)} ≤ M_{1}^{1−θ}M_{2}^{θ}.)

20 Nech A_{j} ∈ G(M_{j}, ω_{j}), j = 1, 2, …, k, sú generátory semigrúp T_{j}, ⋂_{j=1}^{k} D(A_{j}) je

hustý v X a ∥(T_{1}(t) … T_{k}(t))^{n}∥ ≤ Me^{nωt}, n = 1, 2, …, (M ≥ 1, ω ≥ 0). Nech d’alej pre A = A_{1} + … + A_{k} platí \overline{R(λ − A)} = X pre vhodné Re λ > ω. Potom \overline{A} ∈ G(M, ω) generuje semigrupu T, pre ktorú platí

T (t)x = lim_{n→∞}(T_{1}(\frac{t}{n}) … T_{k}(\frac{t}{n}))^{n}x ∀x ∈ X

(lokálne rovnomerne v t).

Špeciálne, ak sú A, B samoadjungované zobrazenia a \overline{A + B} je samoadjungované, potom

e^{it\overline{(A+B)}}x = lim_{n→∞}(e^{itA/n}e^{itB/n})^{n}x .

Použite toto tvrdenie spolu s predošlým príkladom na dôkaz nasledujúcej formuly: ak V ∈ L^{2}(IR^{3}) + L^{∞}(IR^{3}), Hu = −△u + V u v X = L^{2}(IR^{3}), potom

(e^{−itH}u)(x_{o}) = lim_{n→∞}(\frac{4πit}{n})^{−3n/2} ˜∫_{IR^{3}} … ˜ ∫_{IR^{3}} exp(iS_{n}(x_{o}, …, x_{n}, t)f(x_{n}) dx_{n} … dx_{1} ,

kde S_{n}(x_{o}, …, x_{n}, t) = ∑_{j=1}^{n} \frac{t}{n}[\frac{1}{4}(\frac{|x_{j} − x_{j−1}|}{t/n})^{2} − V (x_{j})], ˜ ∫_{IR^{3}} = lim_{m→∞} ∫_{|x|≤m} a všetky

limity sa chápu v L^{2} zmysle.

Poznámka: Pre semigrupu e^{−tH} sa dá dokázat’ vyjadrenie v tvare

(e^{−tH}u)(x) = ∫_{Ω_{α}} u(ω(t)) exp(− ∫_{0}^{t} V (ω(s)) ds) dμ_{x}(ω) ,

kde α ∈ (0.1/2), Ω_{α} je priestor všetkých α-hölderovských funkcií [0, ∞) → IR a μ_{x} je konečná miera v Ω_{α} (μ_{x} je reštrikcia konečnej Radonovej miery z priestoru ∏_{t≥0} İR^{3}, kde

İR^{3} = IR^{3} ∪ {∞} je jednobodová kompaktifikácia priestoru IR^{3}).

21 Uvažujme Maxwellove rovnice

\frac{∂D}{∂t} − rot H = − J
div D =ϱ
\frac{∂B}{∂t} + rot E =0
div B =0

v časovom valci Ω × IR, kde Ω ⊂ IR^{3} je otvorená množina s kompaktnou hranicou triedy C^{1}, na ktorej uvažujeme okrajové podmienky ν ×E = 0, B·ν = 0, kde ν je vektor vonkajšej normály k ∂Ω (toto modeluje napr. prípad, ked’ oblast’ IR^{3}\Ω je perfektný vodič, t.j. D = E = B = H = J = 0, ϱ = 0 v IR^{3}\Ω). Ďalej predpokladajme nasledujúce materiálové vzt’ahy a Ohmov zákon: D = εE, B = μH, J = σE, kde ε, μ, σ ∈ L^{∞}(Ω, L(IR^{3})), pričom predpokladáme, že ε(x), μ(x), σ(x) sú symetrické, rovnomerne pozitívne definitné matice (v prípade σ stačí pozitívna semidefinitnost’).

Ak pre počiatočnú podmienku B_{o} platí div B_{o} = 0 v Ω, B_{o} · ν = 0 na ∂Ω, potom sa heuristickými úvahami dá ukázat’ div B = 0 v Ω × IR, B · ν = 0 na ∂Ω × IR. Podobne za predpokladu div D_{o} = ϱ_{o} môžeme vylúčit’ rovnicu div D = ϱ, takže dostaneme systém

\begin{matrix}\frac{∂E}{∂t} − ε^{−1} rot H = & − ε^{−1}J \\ \frac{∂H}{∂t} + μ^{−1} rot E = & 0 \end{matrix}

s okrajovou podmienkou ν × E = 0.

Definujme teraz pre m ∈ L^{∞}(Ω, L(IR^{3})), kde m(x) je symetrická, rovnomerne pozitívne definitná matica, H-priestor H(Ω, m) ako priestor L^{2}(Ω, C^{3}) so skalárnym súčinom ⟨u, v⟩_{m} = ⟨mu, v⟩_{L^{2}} a položme

H(rot, Ω, m) = {u ∈ H(Ω, m) ; rot u ∈ H(Ω, m)}

so skalárnym súčinom ⟨u, v⟩_{rot} = ⟨u, v⟩_{m} + ⟨rot u, rot v⟩_{m} (ide o H-priestor). Potom platí D(\overline{Ω}, C^{3}) ⊂^{d} H(rot, Ω, m) ⊂^{d} H(Ω, m) a zobrazenie γ_{τ} : D(\overline{Ω}, C^{3}) → C(∂Ω, C^{3}) : u ↦ ν × u/∂Ω má jednoznačné spojité rozšírenie γ̃_{τ} ∈ L(H(rot, Ω, m), W^{−1/2,2}(∂Ω, C^{3})), kde Sobolevov priestor W^{−1/2,2} je definovaný napr. v [KJF].

Položme H = H(Ω, ε) × H(Ω, μ), D(A) = {(E, H) ∈ H; rot E, rot H ∈ L^{2}(Ω, C), γ̃_{τ} E = 0} a pre u = (E, H) ∈ D(A) definujme zobrazenie Au = (−ε^{−1} rot H, μ^{−1} rot E). Potom sa dá

nami skúmaný systém rovníc (za predpokladu J = 0) písat’ v tvare \frac{∂u}{∂t} + Au = 0. Ďalej sa dá ukázat’, že platí A^{∗} = −A, takže pre každé (E_{o}, H_{o}) ∈ D(A) existuje jediné riešenie (E, H) ∈ C^{1}(IR, L^{2}(Ω, C^{6})) ∩ C(IR, D(A)) systému

ε \frac{∂E}{∂t} − rot H =0  v Ω × IR
μ \frac{∂H}{∂t} + rot E =0  v Ω × IR
ν × E =0  na ∂Ω × IR
(E, H)(0) =(E_{o}, H_{o}) .

Ďalej platí, že 2E_{Ω}(t) = ∫_{Ω}((εE(t))·E(t)+(μH(t))·H(t)) dx je konštanta (zákon zachovania energie), pretože E_{Ω}(t) = ∥u(t)∥_{H}^{2}.

Využite cvičenie 16 na dôkaz existencie riešenia (E, H) systému

ε \frac{∂E}{∂t} − rot H = − J  v Ω × IR
μ \frac{∂H}{∂t} + rot E =0  v Ω × IR
ν × E =0  na ∂Ω × IR
(E, H)(0) =(E_{o}, H_{o}) ,

kde J = σE, σ ∈ L^{∞}(Ω, L(IR^{3})), a ukážte tiež, že \frac{d}{dt} E_{Ω}(t) = − ∫_{Ω}(σE) · E dx ≤ 0, ak

σ ≥ 0. (Návod: Položte B(E, H) = (ε^{−1}σE, 0).)

22 (Exkurzia do teórie rozptylu) V tomto cvičení budeme predpokladat’, že A, B sú samoadjungované zobrazenia v H-priestore X, takže zobrazenia iA, iB generujú C^{o}-se-migrupy unitárnych zobrazení e^{iAt}, e^{iBt}. Symbolom Pac(A) budeme značit’ projekciu na podpriestor Xac(A) tvorený všetkými prvkami x, ktorých spektrálne miery μ_{x} (vzhl’adom k zobrazeniu A) sú absolútne spojité voči Lebesgueovej miere. Analogicky sa definuje Pac(B). Vlnové operátory Ω^{±}(A, B) sú definované predpisom

Ω^{±}(A, B)x = lim_{t→∓∞} e^{iAt}e^{−iBt}Pac(B)x

za predpokladu, že uvedené limity existujú pre každé x ∈ X.

Ďalej kladieme X_{±} = R(Ω^{±}). L’ahko sa overí, že priestory X_{±} sú A-invariant-né, Ω^{±}(D(B)) ⊂ D(A), AΩ^{±}(A, B) = Ω^{±}(A, B)B a X_{±} ⊂ Xac(A). Operátory Ω^{±}(A, B) sa nazývajú úplné, ak X_{±} = Xac(A). Za predpokladu σs(A) = ∅ potom platí X_{±} = (Xp(A))^{⊥} (asymptotická úplnost’).

• Ak A = −△ v priestore X = L^{2}(IR^{3}), B = −△ + V, kde V ∈ L^{1} ∩ L^{2}, potom sa dá ukázat’, že vlnové operátory Ω^{±}(A, B) existujú a sú úplné. Ak existujú vlnové operátory, definujeme operátor rozptylu (S-maticu) predpisom

S = (Ω^{−})^{∗}Ω^{+}. Ukážte, že platí:

• Se^{−iAt} = e^{−iBt}S, D(A) je S-invariantný, S(Aφ) = A(Sφ)

• S je unitárny ⟺ X_{+} = X_{−}

5. ANALYTICKÉ A KOMPAKTNÉ SEMIGRUPY

C^{o}-semigrupa T sa nazýva analytická (holomorfná), ak je zobrazenie (0, ∞) → X : t ↦ T (t)x (reálno-) analytické pre každé x ∈ X. Analytické semigrupy majú tzv. zhladzujúcu vlastnost’, t.j. T (t)X ⊂ D(A^{k}) pre každé t > 0 a k ∈ IN.

Uzavreté zobrazenie A s hustým D(A) je generátor analytickej semigrupy práve vtedy, ked’ existujú M, β ∈ IR tak, že

(i) {λ ∈ C ; Reλ ≥ β} ⊂ ϱ(A) (ii) ∥R(λ, A)∥ ≤ M/(1 + |λ|) pre každé Reλ > β.

Pre generátor analytickej semigrupy platí σ(A) ⊂ {λ ∈ C ; | arg(λ − γ)| ≥ α + π/2} pre vhodné α, γ > 0. Ďalej ω(A) = sup{Reλ; λ ∈ σ(A)}. Ak ω(A) < a, potom ∥A^{k}e^{tA}∥ ≤ Ce^{at}/t^{k} pre každé k ≥ 0.

Ak je A generátor analytickej semigrupy a B ≺ε A alebo B je Akompaktné, potom je tiež (A + B) generátor analytickej semigrupy.

23 Jednoduchou postačujúcou podmienkou pre analytičnost’ semigrupy je napr. podmienka lim sup_{t→0+} ∥I − T (t)∥ < 2. Ukážte pomocou tohto kritéria, že semigrupa T (t) = e^{−tA}, kde A je nezáporné samoadjungované zobrazenie, je analytická. (Návod: ∥T (t)x − x∥^{2} = ∫_{IR_{+}} |e^{−tλ} − 1|^{2} dμ_{x}(λ) ≤ ∫_{IR_{+}} 1 dμ_{x}(λ) = ∥x∥^{2}.)

24 Pre vel’mi obecné okrajové úlohy pre systémy eliptických diferenciálnych rovníc sa dajú dokázat’ tzv. L^{p}-odhady (Agmon-Douglis-Nirenberg) zaručujúce, že príslušný diferenciálny operátor (spolu s okrajovými podmienkami) je generátorom analytickej C^{o}-semi-grupy v priestore L^{p}. Obecnost’ p(≠ 2) je dôležitá kvôli možnosti skúmania semilineárnych parabolických rovníc s l’ubovol’ným rastom nelinearity.

Nech je napr. Ω ⊂ IR^{n} otvorená, ohraničená množina s hranicou triedy C^{2}, nech je A diferenciálny operátor Au = −△u + ∑ a_{j} \frac{∂u}{∂x_{j}} + cu, kde a_{j} ∈ C^{1}(\overline{Ω}, IR), c ∈ L^{∞}(Ω, IR),

a nech je A^{#}u = −△u −∑ \frac{∂}{∂x_{j}} (a_{j}u) + cu k nemu formálne adjungovaný operátor. Nech X = L^{p}(Ω), 1 < p < ∞, a položme A_{p}u = Au pre u ∈ D(A_{p}), kde D(A_{p}) je uzáver množiny {u ∈ BUC^{2}(Ω) ; u = 0 na ∂Ω} v priestore W^{2,p}(Ω). Potom existuje λ_{o} ≥ 0 a C > 0 tak, že pre Re λ ≥ λ_{o} a u ∈ D(A_{p}) platí |λ| ∥u∥_{p} + ∥u∥_{2,p} ≤ C∥(λ + A_{p})u∥_{p} a súčasne R(λ + A_{p}) = X (kde ∥ · ∥_{p} resp. ∥ · ∥_{2,p} je norma v L^{p} resp. vo W^{2,p}). Použite tieto všeobecné výsledky k dôkazu nasledujúcich tvrdení:

• A_{p} je uzavreté fredholmovské zobrazenie v L^{p}(Ω) s kompaktnou rezolventou

• (A_{p})′ = Ap′^{#}

• existuje ω ≥ 0 tak, že −(ω + A_{p}) je m-disipatívne

• pre každé u_{o} ∈ D(A_{p}) existuje jediné riešenie u ∈ C(IR^{+}, D(A_{p})) ∩ C^{1}(IR^{+}, L^{p}(Ω)) (kde v D(A_{p}) uvažujeme normu z priestoru W^{2,p}(Ω)) úlohy

\begin{matrix}\frac{du}{dt} + Au = & 0  v Ω × (0, ∞) \\ u = & 0  na ∂Ω × (0, ∞) \\ u(·, 0) = & u_{o}  v Ω \end{matrix}

Semigrupa T sa nazýva kompaktná, ak je T (t) ∈ K(X) pre každé t > 0. To platí práve vtedy, ked’ je T : (0, ∞) → L(X) spojité zobrazenie a generátor A semigrupy T má kompaktnú rezolventu. Potom tiež pre každé σ ∈ IR platí σ+iτ ∈ ϱ(A) pre dostatočne vel’ké |τ| a ∥R(σ+iτ, A)∥ → 0 pre |τ| → ∞ (lokálne rovnomerne v σ).

Ak je A generátor kompaktnej semigrupy a B ∈ L(X), potom je tiež (A + B) generátor kompaktnej semigrupy.

25 Nech je A nezáporné samoadjungované zobrazenie s kompaktnou rezolventou. Ukážte, že −A generuje kompaktnú semigrupu. (Návod: Pri dôkaze spojitosti zobrazenia t ↦ T (t) postupujte ako v príklade 23.)