Sylaby ŠZS

stehlikova · **Napísal:** Pia Mar 06, 2020 11:53 am

OTÁZKY ŠTÁTNEJ ZÁVEREČNEJ SKÚŠKY
študijného odboru Ekonomicko-finančná matematika a modelovanie

Predmet ŠZS: Matematické a finančné modelovanie

Optimálne riadenie

Definujte hodnotovú funkciu pre diskrétnu úlohu optimálneho riadenia s pevným
časom a napíšte príslušnú rovnicu dynamického programovania. Popíšte možné
metódy riešenia rovnice.
Pre lineárno-kvadratickú úlohu diskrétneho optimálneho riadenia napíšte rovnicu
dynamického programovania a uveďte myšlienku odvodenia Riccatiho maticovej
rovnice. V akom tvare dostaneme hodnotovú funkciu a optimálnu spätnú väzbu?
Ako metóda odvodenia Riccatiho rovnice súvisí s metódou neurčitých koeficientov
používanou pri riešení rovnice dynamického programovania?
Sformulujte stochastickú úlohu diskrétneho optimálneho riadenia, definujte pojem
stratégie, vysvetlite rozdiel oproti programovému riadeniu. Napíšte príslušnú rovnicu
dynamického programovania.
Sformulujte všeobecnú schému diskrétnych a spojitých úloh optimálneho riadenia.
Definujte pojem riadenia, prípustného riadenia a optimálneho riadenia. Prečo pri
spojitých úlohách nevystačíme so spojitými riadeniami?
Pre štandardnú úlohu optimálneho riadenia (autonómnu s voľným časom)
sformulujte Pontrjaginov princíp maxima (PPM) ako nutnú podmienku optimality. Ako
sa zmení znenie PPM ak zmeníme voľný čas za pevný, resp. autonómna úloha sa
zmení na neautonómnu?
Ekonomicky interpretujte formuláciu úlohy optimálneho riadenia. Definujte hodnotovú
funkciu a pomocou nej uveďte vzťah, ktorý umožňuje ekonomicky interpretovať
adjungovanú premennú ako tieňovú cenu. Pomocou tejto interpretácie vysvetlite
podmienku maxima.
Sformulujte základnú úlohu variačného počtu a napíšte pre ňu Eulerovu rovnicu.
Charakterizujte ju. Ako súvisia úlohy variačného počtu s úlohami optimálneho
riadenia? Stretli ste sa v ekonomickej teórii s úlohami, ktoré sa dali formulovať ako
úlohy variačného počtu?
Pre spojitú úlohu optimálneho riadenia s pevným časom uveďte dodatočnú
podmienku, pre ktorú je Pontrjaginov princíp maxima nielen nutnou, ale aj
postačujúcou podmienkou optimality a sformulujte vo forme (Arrowovej) vety. Uveďte
dôsledky tejto vety.

Dostupná literatúra v knižnici FMFI UK:

M. Halická, P. Brunovský, P. Jurča: Optimálne riadenie: Viacetapové rozhodovacie
procesy v ekonómii a financiách /. Bratislava: EPOS, 2009
M. Halická, P. Jurča: Optimálne riadenie II. Spojité úlohy s aplikáciami do ekonómie a
financií, učebný text prístupný pre študentov na
http://www.iam.fmph.uniba.sk/institute/ ... enie_2.pdf

Stochastický kalkulus a aplikácie

Merateľné množiny, miera, merateľné funkcie. Definícia Lebesgueovho integrálu pre
jednoduché a všeobecné merateľné funkcie. Limitné vety: Lebesgueova veta
o monotónnej konvergencii a Lebesgueova veta o majorante.
Radon-Nikodymova veta. Definícia a vlastnosti podmienenej strednej hodnoty.
Brownov pohyb. Itôva lema. Stochastická diferenciálna rovnica pre vývoj ceny akcie
a jej riešenie.
Základné východiská Black-Scholesovej teórie oceňovania opcií na akcie.
Nahradenie derivátu samofinancovanou stratégiou. Oceňovanie derivátov pomocou
rizikovo neutrálnej pravdepodobnostnej miery. Black-Scholesove vzorce.

Dostupná literatúra v knižnici FMFI UK:

I. Melicherčík, L. Olšarová, V. Úradníček: Kapitoly z finančnej matematiky. EPOS, 2005
D. Ševčovič, B. Stehlíková, K. Mikula: Analytické a numerické metódy oceňovania
finančných derivátov. Bratislava : Slovenská technická univerzita, 2009
W. Rudin: Analýza v reálném a komlexním oboru. Academia, 2003

Aplikácie parciálnych diferenciálnych rovníc

Lineárne a kvázilineárne rovnice prvého rádu. Metóda charakteristík pre lineárnu
homogénnu rovnicu 1. rádu a jej geometrická interpretácia.
Rovnica vedenia tepla na neohraničenom intervale a jej odvodenie. Tvar explicitného
riešenia začiatočnej úlohy pomocou Greenovej funkcie.
Metóda odvodenia explicitného riešenia parabolickej rovnice vedenia tepla na
neohraničenom intervale pomocou Greenovej funkcie. Princíp porovnávania a
zhladzovania riešení.
Fourierova metóda separácie premenných pre parabolickú rovnicu na ohraničenom
intervale so zadanými okrajovými podmienkami.
Harmonické funkcie. Tvar fundamentálnej harmonickej funkcie. Využitie a aplikácie
harmonických funkcii a vety o troch potenciáloch napr. v komplexnej analýze resp.
dôkaze základnej vety algebry.

Dostupná literatúra v knižnici FMFI UK:

D. Ševčovič: Parciálne diferenciálne rovnice a ich aplikácie / Bratislava : Iris, 2008/2016

Numerické metódy

Numerické metódy na riešenie ODR s počiatočnou podmienkou: Eulerova explicitná
schéma. Eulerova implicitná schéma. Crankova--Nicolsonova schéma. Metóda
konečných diferencií pre okrajové úlohy druhého rádu. Chyba diskretizácie metódy
konečných diferencií.
Numerické metódy na riešenie PDR: Metóda sietí, konečno-diferenčné aproximácie
parciálnych derivácií. Explicitné a implicitné schémy na riešenie parabolickej PDR.
Crankova--Nicolsonova schéma. Stabilita numerických schém metódy konečných
diferencií.

Dostupná literatúra v knižnici FMFI UK:

J. Babušíková, M. Slodička, J. Weisz : Numerické metódy. Bratislava UK, 2000
E. Vitásek: Numerické metody . Praha : Státní nakladatelství technické literatury, 1987

stehlikova · **Napísal:** Pia Mar 06, 2020 11:56 am

Blok Matematické modelovanie

Viacrozmerné štatistické analýzy

Odhadovanie parametrov vo viacrozmernom lineárnom modeli: funkcia vierohodnosti,
metóda maximálnej vierohodnosti, Cramerova-Raova nerovnosť.
Testovanie hypotéz vo viacrozmernom lineárnom modeli: test pomerom
vierohodností, testovanie hypotéz o strednej hodnote a kovariančnej matici
viacrozmerného normálneho rozdelenia.
Analýza rozptylu: model analýzy rozptylu, jedno- a dvojfaktorová analýza rozptylu,
profilová analýza, viacrozmerná analýza rozptylu.

Dostupná literatúra v knižnici FMFI UK:

W. K. Härdle, L. Simar: "Applied Multivariate Statistical Analysis", Springer 2012
F. Lamoš, R. Potocký: "Pravdepodobnosť a matematická štatistika: Štatistické analýzy",
Bratislava Univerzita Komenského 1998

Konvexná optimalizácia

Teória konvexného programovania pre úlohy v štandardnom tvare (minimalizácia
konvexnej funkcie s ohraničeniami vyjadrenými pomocou konvexných a afinných
funkcií) –prehľad: formulácia úlohy, kritériá konvexnosti funkcií, operácie
zachovávajúce konvexnosť funkcií, Lagrangeova duálna úloha, Slaterova podmienka
a Slaterova veta, geometrická interpretácia, Kuhn-Tuckerove podmienky optimality a
Kuhn-Tuckerova veta.
Formulácia úlohy kónického lineárneho programovania, pojem konvexného a
vlastného kužeľa, príklady vlastných kužeľov, formulácie typických tried uloh: LP,
SOCP, SDP a zdôvodnenie vzťahu medzi nimi, vnorenie konvexnej množiny do
konvexného kužeľa a reformulácia úlohy konvexného programovania v štandardnom
tvare do tvaru úlohy kónického lineárneho programovania.
Dualita v kónickom lineárnom programovaní: pojem duálneho kužeľa a
samoduálneho kužeľa, príklady dvojíc duálnych kužeľov, odvodenie duálnej úlohy
kónického lineárneho programovania pomocou Lagrangeovej funkcie, duálna SDP,
SOCP úloha, Znenie slabej a silnej vety o dualite a podmienky optimality pre úlohy
kónického lineárneho programovania.

Dostupná literatúra v knižnici FMFI UK:

Boyd, Vandenberghe - Convex Optimization
M. Trnovská: Kónické lineárne programovanie, text dostupný na internete

Spracovanie digitálnych signálov

Definícia digitálneho signálu, vzorkovacia perióda a frekvencia, Nyquistova veta,
aliasing. Základné diskrétne signály a základné operácie s nimi.
Diskrétna Fourierova transformácia (DFT) - bázové vektory, definícia DFT a inverznej
DFT, vlastnosti DFT, interpretácia vybraných členov DFT. Príklad využitia DFT v
praktickej aplikácii. Z-transformácia: definícia, región konvergencie. Póly a nuly
polynómu z-transformácie. Vlastnosti a využitie z-transformácie.
Spracovanie digitálnych signálov. LTI filtre: definícia a vlastnosti, príklad LTI filtra.
Impulzná odozva, frekvenčná odozva, prenosová funkcia - ich definície
a interpretácie resp. využitie. Impulzná odozva pre FIR, IIR filtre, frekvenčná odozva
pre lowpass, highpass, band pass filtre.

Dostupná literatúra v knižnici FMFI UK:

L. Tan, J. Jiang. Digital signal processing Fundamentals and applications. Waltham:
Academic Press, 2013.

stehlikova · **Napísal:** Pia Mar 06, 2020 11:59 am

Blok Ekonomické a finančné modelovanie

Časové rady

Biely šum. Testovanie bieleho šumu. Stacionarita a ergodocita časového radu.
Waldova reprezentácia. Korelácie medzi hodnotami procesu, autokorelačná funkcia a
ukážka jej výpočtu pre zvolený AR proces (Yule-Wolkerove rovnice, diferenčná
rovnica).
Autoregresné modely (AR), modely kĺzavých priemerov (MA - moving average).
Definícia ACF a PACF, ich charakteristický priebeh pre AR a MA procesy. ARMA
modely. Podmienky stacionarity a invertovateľnosti a ich odvodenie. Diferencovanie
časového radu, ADF test jednotkového koreňa, ARIMA modely.

Dostupná literatúra v knižnici FMFI UK:

G. Kirchgässner, J. Wolters: Introduction to modern time series analysis. Springer, 2008

Finančné deriváty

Black-Scholesov a Mertonov model - odvodenie PDR pre cenu európskeho derivátu.
Postup riešenia PDR pre cenu derivátu transformáciou na RVT. Citlivosť ceny na
parametre.
Americké deriváty a ich oceňovanie - úloha s voľnou hranicou, úloha lineárnej
komplementarity, numerické riešenie PSOR metódou.
Short rate modely úrokových mier - stochastická diferenciálna rovnica pre okamžitú
úrokovú mieru, odvodenie PDR pre cenu dlhopisu, základné modely.

Dostupná literatúra v knižnici FMFI UK:

D. Ševčovič, B. Stehlíková, K. Mikula: Analytické a numerické metódy oceňovania
finančných derivátov. Nakladateľstvo STU, Bratislava 2009.

Stochastické metódy operačnej analýzy

Definícia Markovovho reťazca (MR) s diskrétnym a spojitým časom. Matica prechodu
a príslušné diferenčné resp. diferenciálne rovnice. Kolmogorovove a Chapman-Kolmogorovove rovnice.
Výpočet rovnovážneho rozdelenia pre diskrétny a spojitý
MR. Initenzity MR, definícia a vlastnosti.
Teória hromadnej obsluhy: Systém M/M/1 - formulácia úlohy, predpoklady, myšlienka
odvodenia rovníc pre pravdepodobnosti stavov, príklad výpočtu niektorých
charakteristík systému. Rozdiely v teórii systémov M/M/n a M/D/1 oproti M/M/1.
Teória zásob. Základná deterministická úloha teórie zásob bez deficitu a s deficitom –
formulácia úloh, predpoklady, rozličné možnosti strát z deficitu. Prípad viacerých
tovarov od jedného dodávateľa pre úlohu bez deficitu.
Teória zásob. Stochastická úloha so signalizáciou, úloha s periodickou kontrolou.
Myšlienka jednorazovej úlohy teórie zásob (predavača novín).

Dostupná literatúra v knižnici FMFI UK:

K. Janková, S. Kilianová, P. Brunovský a P. Bokes: Markovove reťazce a ich aplikácie.
Epos, Bratislava 2014

stehlikova · **Napísal:** Pia Mar 06, 2020 12:00 pm

V PDF formáte:

Ekonomická a finančná matematika

Sylaby ŠZS

Kto je on-line