Ekonomická a finančná matematika

Fórum študentov, absolventov a pedagógov EFM na FMFI UK
Aktuálny čas je Sob Jún 06, 2020 6:32 pm

Všetky časy sú v GMT + 1 hodina




Vytvoriť novú tému Odpovedať na tému  [ Príspevkov: 4 ] 
Autor Správa
 Predmet príspevku: Sylaby ŠZS
PoslaťNapísal: Pia Mar 06, 2020 11:53 am 
Offline

Registrovaný: Štv Okt 04, 2007 9:30 pm
Príspevky: 22
OTÁZKY ŠTÁTNEJ ZÁVEREČNEJ SKÚŠKY
študijného odboru Ekonomicko-finančná matematika a modelovanie

Predmet ŠZS: Matematické a finančné modelovanie

Optimálne riadenie
  1. Definujte hodnotovú funkciu pre diskrétnu úlohu optimálneho riadenia s pevným
    časom a napíšte príslušnú rovnicu dynamického programovania. Popíšte možné
    metódy riešenia rovnice.
  2. Pre lineárno-kvadratickú úlohu diskrétneho optimálneho riadenia napíšte rovnicu
    dynamického programovania a uveďte myšlienku odvodenia Riccatiho maticovej
    rovnice. V akom tvare dostaneme hodnotovú funkciu a optimálnu spätnú väzbu?
    Ako metóda odvodenia Riccatiho rovnice súvisí s metódou neurčitých koeficientov
    používanou pri riešení rovnice dynamického programovania?
  3. Sformulujte stochastickú úlohu diskrétneho optimálneho riadenia, definujte pojem
    stratégie, vysvetlite rozdiel oproti programovému riadeniu. Napíšte príslušnú rovnicu
    dynamického programovania.
  4. Sformulujte všeobecnú schému diskrétnych a spojitých úloh optimálneho riadenia.
    Definujte pojem riadenia, prípustného riadenia a optimálneho riadenia. Prečo pri
    spojitých úlohách nevystačíme so spojitými riadeniami?
  5. Pre štandardnú úlohu optimálneho riadenia (autonómnu s voľným časom)
    sformulujte Pontrjaginov princíp maxima (PPM) ako nutnú podmienku optimality. Ako
    sa zmení znenie PPM ak zmeníme voľný čas za pevný, resp. autonómna úloha sa
    zmení na neautonómnu?
  6. Ekonomicky interpretujte formuláciu úlohy optimálneho riadenia. Definujte hodnotovú
    funkciu a pomocou nej uveďte vzťah, ktorý umožňuje ekonomicky interpretovať
    adjungovanú premennú ako tieňovú cenu. Pomocou tejto interpretácie vysvetlite
    podmienku maxima.
  7. Sformulujte základnú úlohu variačného počtu a napíšte pre ňu Eulerovu rovnicu.
    Charakterizujte ju. Ako súvisia úlohy variačného počtu s úlohami optimálneho
    riadenia? Stretli ste sa v ekonomickej teórii s úlohami, ktoré sa dali formulovať ako
    úlohy variačného počtu?
  8. Pre spojitú úlohu optimálneho riadenia s pevným časom uveďte dodatočnú
    podmienku, pre ktorú je Pontrjaginov princíp maxima nielen nutnou, ale aj
    postačujúcou podmienkou optimality a sformulujte vo forme (Arrowovej) vety. Uveďte
    dôsledky tejto vety.

Dostupná literatúra v knižnici FMFI UK:
  • M. Halická, P. Brunovský, P. Jurča: Optimálne riadenie: Viacetapové rozhodovacie
    procesy v ekonómii a financiách /. Bratislava: EPOS, 2009
  • M. Halická, P. Jurča: Optimálne riadenie II. Spojité úlohy s aplikáciami do ekonómie a
    financií, učebný text prístupný pre študentov na
    http://www.iam.fmph.uniba.sk/institute/ ... enie_2.pdf


Stochastický kalkulus a aplikácie
  1. Merateľné množiny, miera, merateľné funkcie. Definícia Lebesgueovho integrálu pre
    jednoduché a všeobecné merateľné funkcie. Limitné vety: Lebesgueova veta
    o monotónnej konvergencii a Lebesgueova veta o majorante.
  2. Radon-Nikodymova veta. Definícia a vlastnosti podmienenej strednej hodnoty.
  3. Brownov pohyb. Itôva lema. Stochastická diferenciálna rovnica pre vývoj ceny akcie
    a jej riešenie.
  4. Základné východiská Black-Scholesovej teórie oceňovania opcií na akcie.
    Nahradenie derivátu samofinancovanou stratégiou. Oceňovanie derivátov pomocou
    rizikovo neutrálnej pravdepodobnostnej miery. Black-Scholesove vzorce.

Dostupná literatúra v knižnici FMFI UK:
  • I. Melicherčík, L. Olšarová, V. Úradníček: Kapitoly z finančnej matematiky. EPOS, 2005
  • D. Ševčovič, B. Stehlíková, K. Mikula: Analytické a numerické metódy oceňovania
    finančných derivátov. Bratislava : Slovenská technická univerzita, 2009
  • W. Rudin: Analýza v reálném a komlexním oboru. Academia, 2003

Aplikácie parciálnych diferenciálnych rovníc
  1. Lineárne a kvázilineárne rovnice prvého rádu. Metóda charakteristík pre lineárnu
    homogénnu rovnicu 1. rádu a jej geometrická interpretácia.
  2. Rovnica vedenia tepla na neohraničenom intervale a jej odvodenie. Tvar explicitného
    riešenia začiatočnej úlohy pomocou Greenovej funkcie.
  3. Metóda odvodenia explicitného riešenia parabolickej rovnice vedenia tepla na
    neohraničenom intervale pomocou Greenovej funkcie. Princíp porovnávania a
    zhladzovania riešení.
  4. Fourierova metóda separácie premenných pre parabolickú rovnicu na ohraničenom
    intervale so zadanými okrajovými podmienkami.
  5. Harmonické funkcie. Tvar fundamentálnej harmonickej funkcie. Využitie a aplikácie
    harmonických funkcii a vety o troch potenciáloch napr. v komplexnej analýze resp.
    dôkaze základnej vety algebry.

Dostupná literatúra v knižnici FMFI UK:
  • D. Ševčovič: Parciálne diferenciálne rovnice a ich aplikácie / Bratislava : Iris, 2008/2016


Numerické metódy
  1. Numerické metódy na riešenie ODR s počiatočnou podmienkou: Eulerova explicitná
    schéma. Eulerova implicitná schéma. Crankova--Nicolsonova schéma. Metóda
    konečných diferencií pre okrajové úlohy druhého rádu. Chyba diskretizácie metódy
    konečných diferencií.
  2. Numerické metódy na riešenie PDR: Metóda sietí, konečno-diferenčné aproximácie
    parciálnych derivácií. Explicitné a implicitné schémy na riešenie parabolickej PDR.
    Crankova--Nicolsonova schéma. Stabilita numerických schém metódy konečných
    diferencií.

Dostupná literatúra v knižnici FMFI UK:
  • J. Babušíková, M. Slodička, J. Weisz : Numerické metódy. Bratislava UK, 2000
  • E. Vitásek: Numerické metody . Praha : Státní nakladatelství technické literatury, 1987

_________________
Beata Stehlikova


Hore
 Profil  
 
 Predmet príspevku: Re: Sylaby ŠZS
PoslaťNapísal: Pia Mar 06, 2020 11:56 am 
Offline

Registrovaný: Štv Okt 04, 2007 9:30 pm
Príspevky: 22
Blok Matematické modelovanie

Viacrozmerné štatistické analýzy
  1. Odhadovanie parametrov vo viacrozmernom lineárnom modeli: funkcia vierohodnosti,
    metóda maximálnej vierohodnosti, Cramerova-Raova nerovnosť.
  2. Testovanie hypotéz vo viacrozmernom lineárnom modeli: test pomerom
    vierohodností, testovanie hypotéz o strednej hodnote a kovariančnej matici
    viacrozmerného normálneho rozdelenia.
  3. Analýza rozptylu: model analýzy rozptylu, jedno- a dvojfaktorová analýza rozptylu,
    profilová analýza, viacrozmerná analýza rozptylu.

Dostupná literatúra v knižnici FMFI UK:
  • W. K. Härdle, L. Simar: "Applied Multivariate Statistical Analysis", Springer 2012
  • F. Lamoš, R. Potocký: "Pravdepodobnosť a matematická štatistika: Štatistické analýzy",
    Bratislava Univerzita Komenského 1998

Konvexná optimalizácia
  1. Teória konvexného programovania pre úlohy v štandardnom tvare (minimalizácia
    konvexnej funkcie s ohraničeniami vyjadrenými pomocou konvexných a afinných
    funkcií) –prehľad: formulácia úlohy, kritériá konvexnosti funkcií, operácie
    zachovávajúce konvexnosť funkcií, Lagrangeova duálna úloha, Slaterova podmienka
    a Slaterova veta, geometrická interpretácia, Kuhn-Tuckerove podmienky optimality a
    Kuhn-Tuckerova veta.
  2. Formulácia úlohy kónického lineárneho programovania, pojem konvexného a
    vlastného kužeľa, príklady vlastných kužeľov, formulácie typických tried uloh: LP,
    SOCP, SDP a zdôvodnenie vzťahu medzi nimi, vnorenie konvexnej množiny do
    konvexného kužeľa a reformulácia úlohy konvexného programovania v štandardnom
    tvare do tvaru úlohy kónického lineárneho programovania.
  3. Dualita v kónickom lineárnom programovaní: pojem duálneho kužeľa a
    samoduálneho kužeľa, príklady dvojíc duálnych kužeľov, odvodenie duálnej úlohy
    kónického lineárneho programovania pomocou Lagrangeovej funkcie, duálna SDP,
    SOCP úloha, Znenie slabej a silnej vety o dualite a podmienky optimality pre úlohy
    kónického lineárneho programovania.

Dostupná literatúra v knižnici FMFI UK:
  • Boyd, Vandenberghe - Convex Optimization
  • M. Trnovská: Kónické lineárne programovanie, text dostupný na internete

Spracovanie digitálnych signálov
  1. Definícia digitálneho signálu, vzorkovacia perióda a frekvencia, Nyquistova veta,
    aliasing. Základné diskrétne signály a základné operácie s nimi.
  2. Diskrétna Fourierova transformácia (DFT) - bázové vektory, definícia DFT a inverznej
    DFT, vlastnosti DFT, interpretácia vybraných členov DFT. Príklad využitia DFT v
    praktickej aplikácii. Z-transformácia: definícia, región konvergencie. Póly a nuly
    polynómu z-transformácie. Vlastnosti a využitie z-transformácie.
  3. Spracovanie digitálnych signálov. LTI filtre: definícia a vlastnosti, príklad LTI filtra.
    Impulzná odozva, frekvenčná odozva, prenosová funkcia - ich definície
    a interpretácie resp. využitie. Impulzná odozva pre FIR, IIR filtre, frekvenčná odozva
    pre lowpass, highpass, band pass filtre.

Dostupná literatúra v knižnici FMFI UK:
  • L. Tan, J. Jiang. Digital signal processing Fundamentals and applications. Waltham:
    Academic Press, 2013.

_________________
Beata Stehlikova


Hore
 Profil  
 
 Predmet príspevku: Re: Sylaby ŠZS
PoslaťNapísal: Pia Mar 06, 2020 11:59 am 
Offline

Registrovaný: Štv Okt 04, 2007 9:30 pm
Príspevky: 22
Blok Ekonomické a finančné modelovanie

Časové rady
  1. Biely šum. Testovanie bieleho šumu. Stacionarita a ergodocita časového radu.
    Waldova reprezentácia. Korelácie medzi hodnotami procesu, autokorelačná funkcia a
    ukážka jej výpočtu pre zvolený AR proces (Yule-Wolkerove rovnice, diferenčná
    rovnica).
  2. Autoregresné modely (AR), modely kĺzavých priemerov (MA - moving average).
    Definícia ACF a PACF, ich charakteristický priebeh pre AR a MA procesy. ARMA
    modely. Podmienky stacionarity a invertovateľnosti a ich odvodenie. Diferencovanie
    časového radu, ADF test jednotkového koreňa, ARIMA modely.

Dostupná literatúra v knižnici FMFI UK:
  • G. Kirchgässner, J. Wolters: Introduction to modern time series analysis. Springer, 2008

Finančné deriváty
  1. Black-Scholesov a Mertonov model - odvodenie PDR pre cenu európskeho derivátu.
    Postup riešenia PDR pre cenu derivátu transformáciou na RVT. Citlivosť ceny na
    parametre.
  2. Americké deriváty a ich oceňovanie - úloha s voľnou hranicou, úloha lineárnej
    komplementarity, numerické riešenie PSOR metódou.
  3. Short rate modely úrokových mier - stochastická diferenciálna rovnica pre okamžitú
    úrokovú mieru, odvodenie PDR pre cenu dlhopisu, základné modely.

Dostupná literatúra v knižnici FMFI UK:
  • D. Ševčovič, B. Stehlíková, K. Mikula: Analytické a numerické metódy oceňovania
    finančných derivátov. Nakladateľstvo STU, Bratislava 2009.

Stochastické metódy operačnej analýzy
  1. Definícia Markovovho reťazca (MR) s diskrétnym a spojitým časom. Matica prechodu
    a príslušné diferenčné resp. diferenciálne rovnice. Kolmogorovove a Chapman-Kolmogorovove rovnice.
    Výpočet rovnovážneho rozdelenia pre diskrétny a spojitý
    MR. Initenzity MR, definícia a vlastnosti.
  2. Teória hromadnej obsluhy: Systém M/M/1 - formulácia úlohy, predpoklady, myšlienka
    odvodenia rovníc pre pravdepodobnosti stavov, príklad výpočtu niektorých
    charakteristík systému. Rozdiely v teórii systémov M/M/n a M/D/1 oproti M/M/1.
  3. Teória zásob. Základná deterministická úloha teórie zásob bez deficitu a s deficitom –
    formulácia úloh, predpoklady, rozličné možnosti strát z deficitu. Prípad viacerých
    tovarov od jedného dodávateľa pre úlohu bez deficitu.
  4. Teória zásob. Stochastická úloha so signalizáciou, úloha s periodickou kontrolou.
    Myšlienka jednorazovej úlohy teórie zásob (predavača novín).

Dostupná literatúra v knižnici FMFI UK:
  • K. Janková, S. Kilianová, P. Brunovský a P. Bokes: Markovove reťazce a ich aplikácie.
    Epos, Bratislava 2014

_________________
Beata Stehlikova


Hore
 Profil  
 
 Predmet príspevku: Re: Sylaby ŠZS
PoslaťNapísal: Pia Mar 06, 2020 12:00 pm 
Offline

Registrovaný: Štv Okt 04, 2007 9:30 pm
Príspevky: 22
V PDF formáte:


Prílohy:
SZS-otazky2020.pdf [174.45 KiB]
28 krát

_________________
Beata Stehlikova
Hore
 Profil  
 
Zobraziť príspevky z predchádzajúceho:  Zoradiť podľa  
Vytvoriť novú tému Odpovedať na tému  [ Príspevkov: 4 ] 

Všetky časy sú v GMT + 1 hodina


Kto je on-line

Užívatelia prezerajúci fórum: Žiadny registrovaný užívateľ nie je prítomný a 1 hosť


Nemôžete zakladať nové témy v tomto fóre
Nemôžete odpovedať na témy v tomto fóre
Nemôžete upravovať svoje príspevky v tomto fóre
Nemôžete mazať svoje príspevky v tomto fóre
Nemôžete zasielať súbory v tomto fóre

Hľadať:
Skočiť na:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
Slovenský preklad.