Ekonomická a finančná matematika

Fórum študentov, absolventov a pedagógov EFM na FMFI UK
Aktuálny čas je Str Júl 18, 2018 11:02 pm

Všetky časy sú v GMT + 1 hodina




Vytvoriť novú tému Odpovedať na tému  [ Príspevok: 1 ] 
Autor Správa
 Predmet príspevku: Sylaby SZS" Matematické a finančné modelovanie
PoslaťNapísal: Uto Mar 31, 2009 3:21 pm 
Offline

Registrovaný: Str Okt 03, 2007 9:40 pm
Príspevky: 250
Posledná úprava 15.1.2018 (D.Ševčovič)


OTÁZKY ŠTÁTNEJ ZÁVEREČNEJ SKÚŠKY
študijného odboru Ekonomicko-finančná matematika a modelovanie
Predmet ŠZS: Matematické a finančné modelovanie

Optimálne riadenie
1. Definujte hodnotovú funkciu pre diskrétnu úlohu optimálneho riadenia s pevným časom a napíšte príslušnú rovnicu dynamického programovania. Popíšte možné metódy riešenia rovnice.
2. Pre lineárno-kvadratickú úlohu diskrétneho optimálneho riadenia napíšte rovnicu dynamického programovania a uveďte myšlienku odvodenia Riccatiho maticovej rovnice. V akom tvare dostaneme hodnotovú funkciu a optimálnu spätnú väzbu? Ako metóda odvodenia Riccatiho rovnice súvisí s metódou neurčitých koeficientov používanou pri riešení rovnice dynamického programovania?
3. Sformulujte stochastickú úlohu diskrétneho optimálneho riadenia, definujte pojem stratégie, vysvetlite rozdiel oproti programovému riadeniu. Napíšte príslušnú rovnicu dynamického programovania.
4. Sformulujte všeobecnú schému diskrétnych a spojitých úloh optimálneho riadenia. Definujte pojem riadenia, prípustného riadenia a optimálneho riadenia. Prečo pri spojitých úlohách nevystačíme so spojitými riadeniami?
5. Pre štandardnú úlohu optimálneho riadenia (autonómnu s voľným časom) sformulujte Pontrjaginov princíp maxima (PPM) ako nutnú podmienku optimality. Ako sa zmení znenie PPM ak zmeníme voľný čas za pevný, resp. autonómna úloha sa zmení na neautonómnu?
6. Ekonomicky interpretujte formuláciu úlohy optimálneho riadenia. Definujte hodnotovú funkciu a pomocou nej uveďte vzťah, ktorý umožňuje ekonomicky interpretovať adjungovanú premennú ako tieňovú cenu. Pomocou tejto interpretácie vysvetlite podmienku maxima.
7. Sformulujte základnú úlohu variačného počtu a napíšte pre ňu Eulerovu rovnicu. Charakterizujte ju. Ako súvisia úlohy variačného počtu s úlohami optimálneho riadenia? Stretli ste sa v ekonomickej teórii s úlohami, ktoré sa dali formulovať ako úlohy variačného počtu?
8. Pre spojitú úlohu optimálneho riadenia s pevným časom uveďte  dodatočnú podmienku, pre ktorú je Pontrjaginov princíp maxima nielen nutnou, ale aj postačujúcou podmienkou optimality a sformulujte vo forme (Arrowovej) vety. Uveďte dôsledky tejto vety.

Dostupná literatúra v knižnici FMFI UK:
[1] M. Halická, P. Brunovský, P. Jurča: Optimálne riadenie: Viacetapové rozhodovacie procesy v ekonómii a financiách /. Bratislava: EPOS, 2009
[2] M. Halická, P. Jurča: Optimálne riadenie II. Spojité úlohy s aplikáciami do ekonómie a financií, učebný text prístupný pre študentov na http://www.iam.fmph.uniba.sk/institute/ ... enie_2.pdf




Matematická teória financií

1. Wienerov proces a Brownov pohyb. Geometrický Brownov pohyb. Itôva lema, stochastická diferenciálna rovnica pre vývoj ceny akcie.
2. Základné východiská Black-Scholesovej teórie oceňovania opcií na akcie. Nahradenie derivátu samofinancovanou stratégiou. Oceňovanie derivátov pomocou rizikovo neutrálnej pravdepodobnostnej miery. Black-Scholesove vzorce. Put-call parita.
3. Časová štruktúra úrokových mier a forwardové úrokové miery. Modely vývoja úrokových mier (1-faktorový Heath-Jarrow-Morton rámec). Dlhopisy ako deriváty úrokovej miery. Ho a Lee model pre úrokovú mieru.
4. Black-Scholesova teória oceňovania derivátov výmenného kurzu. Forwardový kurz. Black-Scholesove vzorce pre opcie na výmenný kurz.

Dostupná literatúra v knižnici FMFI UK:
[1] I. Melicherčík, L. Olšarová, V. Úradníček: Kapitoly z finančnej matematiky. EPOS, 2005
[2] D. Ševčovič, B. Stehlíková, K. Mikula: Analytické a numerické metódy oceňovania finančných derivátov / Bratislava : Slovenská technická univerzita, 2009


Aplikácie parciálnych diferenciálnych rovníc

1. Základy modelovania fyzikálnych a finančných problémov pomocou parciálnych diferenciálnych rovníc. Rovnica vedenia tepla na neohraničenom intervale a jej explicitné riešenie pomocou Greenovej funkcie.
2. Lineárne a kvázilineárne rovnice prvého rádu. Metóda charakteristík pre lineárnu homogénnu rovnicu 1. rádu a jej geometrická interpretácia.
3. Metóda odvodenia explicitného riešenia parabolickej rovnice vedenia tepla na neohraničenom intervale pomocou Greenovej funkcie. Princíp porovnávania a zhladzovania riešení.
4. Eliptické rovnice. Harmonické funkcie. Tvar fundamentálnej harmonickej funkcie. Využitie a aplikácie harmonických funkcii a vety o troch potenciáloch napr. v komplexnej analýze resp. dôkaze základnej vety algebry.

Dostupná literatúra v knižnici FMFI UK:
[1] D. Ševčovič: Parciálne diferenciálne rovnice a ich aplikácie / Bratislava : Iris, 2008/2016




Numerické metódy

1. Riešenia parciálnych diferenciálnych rovníc metódou konečných diferencií na numerickú aproximáciu parciálnych derivácií. Implicitné a explicitné numerické schémy na numerické riešenie parabolickej parciálnej diferenciálnej rovnice a ich stabilita.
2. Explicitná a implicitná Eulerova schéma na riešenie obyčajných diferenciálnych rovníc so zadanou počiatočnou podmienkou.

Dostupná literatúra v knižnici FMFI UK:
[1] J. Babušíková, M. Slodička, J. Weisz : Numerické metódy. Bratislava UK, 2000
[2] E. Vitásek: Numerické metody . Praha : Státní nakladatelství technické literatury, 1987

Blok Matematické modelovanie


Viacrozmerné štatistické analýzy


1. Odhadovanie parametrov vo viacrozmernom lineárnom modeli: funkcia vierohodnosti, metóda maximálnej vierohodnosti, Cramerova-Raova nerovnosť.

2. Testovanie hypotéz vo viacrozmernom lineárnom modeli: test pomerom vierohodností, testovanie hypotéz o strednej hodnote a kovariančnej matici viacrozmerného normálneho rozdelenia.

3. Analýza rozptylu: model analýzy rozptylu, jedno- a dvojfaktorová analýza rozptylu, profilová analýza, viacrozmerná analýza rozptylu.

Dostupná literatúra v knižnici FMFI UK:
[1] W. K. Härdle, L. Simar: "Applied Multivariate Statistical Analysis", Springer 2012
[2] F. Lamoš, R. Potocký: "Pravdepodobnosť a matematická štatistika: Štatistické analýzy", Bratislava Univerzita Komenského 1998


Konvexná optimalizácia

1. Porovnanie konvexných a kvázikonvexných funkcií. -definícia pre konvexnú a kvázikonvexnú funkciu a vzťah medzi triedami týchto funkcií. Ekvivalentná charakterizácia pomocou konvexnosti množín (epigraf, podúrovňové množiny). Podmienky 1. rádu pre konvexné a kvázikonvexné funkcie (bez dôkazu) - ich geometrická interpretácia.

2. Zhrnutie teórie duality pre konvexné úlohy typu:
min f0(x) pričom fi(x) ≤ 0, i=1,…,m, Ax=b.
Lagrangeova funkcia, Lagrangeova duálna funkcia a úloha. Slabá a silná dualita, Slaterova podmienka a Slaterova veta (bez dôkazu) a jej geometrická interpretácia.


3. Úlohy kónického lineárneho programovania: min cTx pričom Ax=b, xK.
Definícia vlastného kužeľa a duálneho kužeľa, príklady kužeľov. Formulácia úlohy semidefinitného porgramovania (SDP) a programovania nad kužeľmi 2. rádu (SOCP). Odvodenie Lagrangeovej duálnej úlohy k úlohe kónického lineárneho programovania, SDP, SOCP.

Dostupná literatúra v knižnici FMFI UK:
[1] Boyd, Vandenberghe - Convex Optimization (Otázka 1: Kap. 3.1.1, 3.1.7, 3.4.1, 3.4.2, 3.4.3; Otázka 2: Kap. 5.1.1, 5.1.2, 5.1.3, 5.2- úvod, 5.2.2, 5.2.3, 5.3.1; Otázka 3: Kap. 2.4.1, 2.6.1, 4.6.1, 4.6.2, 4.6.3, Pr. 5.12)





Spracovanie digitálnych signálov


1. Definícia digitálneho signálu, vzorkovacia perióda a frekvencia, Nyquistova veta, aliasing. Základné diskrétne signály a základné operácie s nimi.

2. Diskrétna Fourierova transformácia (DFT) - bázové vektory, definícia DFT a inverznej DFT, vlastnosti DFT, interpretácia vybraných členov DFT. Dvojrozmerná DFT. Príklad využitia DFT v praktickej aplikácii. Z-transformácia: definícia, región konvergencie. Póly a nuly polynómu z-transformácie. Vlastnosti a využitie z-transformácie.

3. Spracovanie digitálnych signálov. LTI filtre: definícia a vlastnosti, príklad LTI filtra. Impulzná odozva, frekvenčná odozva, prenosová funkcia, ich definície a interpretácie. FIR, IIR, low pass, high pass, band pass filtre.


Dostupná literatúra v knižnici FMFI UK:
[1] L. Tan, J. Jiang. Digital signal processing Fundamentals and applications. Waltham: Academic Press, 2013.
Blok Ekonomické a finančné modelovanie



Časové rady


1. Biely šum. Testovanie bieleho šumu. Stacionarita a ergodocita časového radu. Waldova reprezentácia. Korelácie medzi hodnotami procesu, autokorelačná funkcia a ukážka jej výpočtu pre zvolený AR proces (Yule-Wolkerove rovnice, diferenčná rovnica).

2. Autoregresné modely (AR), modely kĺzavých priemerov (MA - moving average), ARMA modely. Podmienky stacionarity a invertovateľnosti a ich odvodenie.

3. Diferencovanie časového radu, jednotkový koreň, ADF test jednotkového koreňa. Autokorelačná a parciálna autokorelačná funkcia a ich využitie pri identifikácii modelu.


Dostupná literatúra v knižnici FMFI UK:
[1] G. Kirchgässner, J. Wolters: Introduction to modern time series analysis. Springer, 2008



Finančné deriváty


1. Black-Scholesov a Mertonov model - odvodenie PDR pre cenu európskeho derivátu. Postup riešenia PDR pre cenu derivátu transformáciou na RVT. Citlivosť ceny na parametre.

2. Americké deriváty a ich oceňovanie - úloha s voľnou hranicou, úloha lineárnej komplementarity, numerické riešenie PSOR metódou.

3. Short rate modely úrokových mier - stochastická diferenciálna rovnica pre okamžitú úrokovú mieru, odvodenie PDR pre cenu dlhopisu, základné modely.


Dostupná literatúra v knižnici FMFI UK:
D. Ševčovič, B. Stehlíková, K. Mikula: Analytické a numerické metódy oceňovania finančných derivátov. Nakladateľstvo STU, Bratislava 2009.



Stochastické metódy operačnej analýzy


1. Definícia Markovovho reťazca (MR) s diskrétnym a spojitým časom. Matica prechodu a príslušné diferenčné resp. diferenciálne rovnice. Kolmogorovove a Chapman-Kolmogorovove rovnice. Výpočet rovnovážneho rozdelenia pre diskrétny aj spojitý MR. Initenzity MR, definícia a vlastnosti.

2. Teória hromadnej obsluhy: Systém M/M/1 - formulácia úlohy, predpoklady, myšlienka odvodenia rovníc pravdepodobností, príklad výpočtu niektorých charakteristík systému. Rozdiely v teórii systémov M/M/n a M/D/1 oproti M/M/1.

3. Teória zásob. Základná deterministická úloha teórie zásob bez deficitu a s deficitom. Formulácia, predpoklady, rozličné možnosti strát z deficitu. Stochastická úloha so signalizáciou, úloha s periodickou kontrolou. Myšlienka jednorazovej úlohy teórie zásob (predavača novín).


Dostupná literatúra v knižnici FMFI UK:
[1] K. Janková, S. Kilianová, P. Brunovský a P. Bokes: Markovove reťazce a ich aplikácie. Epos, Bratislava 2014

_________________
Daniel Sevcovic


Hore
 Profil  
 
Zobraziť príspevky z predchádzajúceho:  Zoradiť podľa  
Vytvoriť novú tému Odpovedať na tému  [ Príspevok: 1 ] 

Všetky časy sú v GMT + 1 hodina


Kto je on-line

Užívatelia prezerajúci fórum: Žiadny registrovaný užívateľ nie je prítomný a 1 hosť


Nemôžete zakladať nové témy v tomto fóre
Nemôžete odpovedať na témy v tomto fóre
Nemôžete upravovať svoje príspevky v tomto fóre
Nemôžete mazať svoje príspevky v tomto fóre
Nemôžete zasielať súbory v tomto fóre

Hľadať:
Skočiť na:  
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
Slovenský preklad.