Exponenciálne zhladzovanie
- Príklad
Holt-Wintersova metóda
- Príklad
- Cvičenie
Hodrick-Prescottov filter
- Cvičenie: produkčná medzera

Exponenciálne zhladzovanie

Máme dáta $x_1, x_2, \dots, x_n$ a chceme predikovať hodnotu $x_{n+k}$
V tejto časti predpokladáme, že v dátach nie je ani trend, ani sezónnnosť
Model: \[x_t = \mu_t + w_t\] kde
- $\mu_t$ je stredná hodnota (môže závisieť od času)
- $w_t$ sú nezávislé náhodné odchýlky s nulovou strednou hodnotou
Označme $a_t$ náš odhad strednej hodnoty $\mu_t$
Základná myšlienka exponenciálneho zhladzovania: ďalší odhad strednej hodnoty bude váženým priemerom predchádzajúceho odhadu (teda $a_{t-1}$) a novej realizovanej hodnoty $x_t$: \[a_t = \alpha x_t + (1-\alpha) a_{t-1},\] kde $a \in (0,1)$ je parameter
Parameter zhladzovania $\alpha$:
- $a \approx 1$ - slabé zhladzovanie, $a_t \approx x_t$
- $a \approx 1$ - silné zhladzovanie, $a_t \approx x_{t-1}$
Iný zápis $a_t$: \[a_t = \alpha x_t + \alpha(1-\alpha)x_{t-1} + \alpha (1-\alpha)^2 x_{t-2} + \dots\] váhy exponenciálne klesajú, preto názov exponenciálne zhladzovanie
Keďže nemáme trend ani sezónnosť, vieme spraviť iba \[\hat{x}_{n+k|n} = a_n\]
Pre daný parameter $\alpha$:
- $a_1=x_1$ a potom rekurentne
- máme teda predikčné chyby: $e_t = x_t - \hat{x}_{t|t-1} = x_t - a_{t-1}$
Optimálny parameter : minimalizujeme sumu štvorcov predikčných chýb: \[\sum_{t=2}^n e_t \rightarrow \min_{\alpha}\]

Príklad

P. S. P.Cowpertwait, A. V. Metcalfe: Introductory Time Series with R. Springer, 2009. Complaints to a motoring organization, pp. 56-58.

Dáta:
- motor.txt na stránke
- počet sťažností, mesačné dáta, 1996/01 - 1999/12

Exponenciálne zhladzovanie v R-ku:

model1 <-  HoltWinters(x, beta=FALSE, gamma=FALSE)

(lebo je špeciálny to prípad všeobecnejšieho modelu, pre ktorý máme funkciu HoltWinters - uvedieme neskôr)

model1

## Holt-Winters exponential smoothing without trend and without seasonal component.
## 
## Call:
## HoltWinters(x = x, beta = FALSE, gamma = FALSE)
## 
## Smoothing parameters:
##  alpha: 0.1429622
##  beta : FALSE
##  gamma: FALSE
## 
## Coefficients:
##       [,1]
## a 17.70343

Vykreslenie:

plot(model1)

Prístup k hodnote sum of squared errors, podľa ktorej sa vyberala optimálna $\alpha$: model1$SSE
Použitie našej hodnoty parametra $\alpha$: napríklad

HoltWinters(x, alpha=0.2, beta=FALSE, gamma=FALSE)

## Holt-Winters exponential smoothing without trend and without seasonal component.
## 
## Call:
## HoltWinters(x = x, alpha = 0.2, beta = FALSE, gamma = FALSE)
## 
## Smoothing parameters:
##  alpha: 0.2
##  beta : FALSE
##  gamma: FALSE
## 
## Coefficients:
##       [,1]
## a 17.97913

Cvičenie: Vykreslíme závislosť SSE od parametra $\alpha$ pre tieto dáta. Výpocet má potvrdiť optimálnu hodnotu $\alpha$, ktorú našlo R-ko.

Holt-Wintersova metóda

Charakteristiky casového radu:
- a_t = level - sezónne ocistená stredná hodnota
- b_t = slope - zmena hodnoty level z jednej periódy na druhú (zachytáva rôzne, aj krátkodobé trendy))
- s_t = ** seasonal component** - sezónna zložka (závisí napr. od mesiaca)
Predikcia pri aditívnej sezónnosti:

\[\hat{x}_{n+k|n} = a_n + k b_n + s_{n+k-p}\] pre $k \leq p$ (napr. $p=12$ pri mesačných dátach)

Pri multiplikatívnej sezónnosti:

\[\hat{x}_{n+k|n} = (a_n + k b_n) s_{n+k-p}\]

Algoritmus pre aditívnu sezónnosť s parametrami $\alpha, \beta, \gamma \in (0,1)$

\[a_t = \alpha (x_t - s_{t-p}) + (1-\alpha) (a_{t-1}+b_{t-1})\] \[b_t = \beta(a_t - a_{t-1}) + (1-\beta) b_{t-1}\] \[s_t = \gamma (x_t-a_t) + (1-\gamma) s_{t-p}\]

Analogicky pri multiplikatvnej sezónnosti (vzťahy sú aj v dokumentácii R-ka)
Parametre $\alpha, \beta, \gamma$ sa znova určia minimalizáciou SSE

Príklad

P. S. P.Cowpertwait, A. V. Metcalfe: Introductory Time Series with R. Springer, 2009. Sales of Australian wine, pp. 60-62

Dáta: * wine.txt na stránke * predaj austrálskeho vína v tisícoch litrov, mesačné dáta, 1980/01 - 1995/07

wine <- read.table("wine.txt", header=TRUE)
head(wine)

##   winet fortw dryw sweetw  red rose spark
## 1     1  2585 1954     85  464  112  1686
## 2     2  3368 2302     89  675  118  1591
## 3     3  3210 3054    109  703  129  2304
## 4     4  3111 2414     95  887   99  1712
## 5     5  3756 2226     91 1139  116  1471
## 6     6  4216 2725     95 1077  168  1377

attach(wine)

Zoberieme premennú sweetw - spravte z nej časový rad

Vidíme multiplikatívnu sezónnosť, takže:

HWsweet <- HoltWinters(sweetw, seasonal="multiplicative")
HWsweet

## Holt-Winters exponential smoothing with trend and multiplicative seasonal component.
## 
## Call:
## HoltWinters(x = sweetw, seasonal = "multiplicative")
## 
## Smoothing parameters:
##  alpha: 0.4086698
##  beta : 0
##  gamma: 0.4929402
## 
## Coefficients:
##            [,1]
## a   285.6890314
## b     1.3509615
## s1    0.9498541
## s2    0.9767623
## s3    1.0275900
## s4    1.1991924
## s5    1.5463100
## s6    0.6730235
## s7    0.8925981
## s8    0.7557814
## s9    0.8227500
## s10   0.7241711
## s11   0.7434861
## s12   0.9472648

Predikcie:

HWsweet.pred <- predict(HWsweet, n.ahead=48)
plot(HWsweet.pred)

V jednom grafe pomocou funkcie ts.plot:

ts.plot(sweetw, HWsweet.pred, 
        gpars=list(col=c("black","blue")))

Cvičenie

Uvažujme dáta o cestujúcich aerolinkami:

data(AirPassengers)
y <- AirPassengers
plot(y)

Vynechajte posledné dva roky, odhadnite Holt-Wintersov model a spravte predikcie. Porovnajte ich so skutočnými hodnotami.

Hodrick-Prescottov filter

Predpoklad: v dátach nie je sezónnosť
Cieľ: chceme odhadnúť trendovú zložku dát
Myšlienka: potrebujeme dosiahnuť dve kritériá, ktoré sú v protiklade, priradíme im preto váhy:
- vyhladené hodnoty by mali byť blízko skutočných
- hladkosť, malá krivosť grafu vyhladených hodnôt (nie veľké fluktuácie), tú vieme merať druhými diferenciami (analógia s druhou deriváciou)
Optimalizačná úloha, kde $y_1, \dots, y_n$ sú dáta a $\lambda >0$ je parameter: \[ \sum_{t=1}^n (y_t - \tilde{y}_t)^2 + \lambda \sum_{t=2}^{n-1} (\tilde{y}_{t+1} - 2\tilde{y}_{t} + \tilde{y}_{t-1})^2 \rightarrow \min_{\tilde{y}_1, \dots, \tilde{y}_n}\]
Hodrick-Prescottov filter v R-ku:
- knižnica library(mFilter)
- potom napr. hpf1 <- hpfilter(x,freq=100), kde freq je parameter $\lambda$
- odhadnutý trend: hpf1$trend
Vplyv parametra $\lambda$:
- zoberme dáta o pocte sťažností
- použime HP-filter napr. takto: hpf1 <- hpfilter(x,freq=100) a vykreslime:

hpf1 <- hpfilter(x,freq=100)
plot(x)
lines(hpf1$trend, col="blue")

Zopakujte pre inú hodnotu $\lambda$. Čo sa deje pre $0 $ a pre $\lambda \rightarrow \infty$?

Odporúčané hodnoty parametra $\lambda$:
- $\lambda = 100$ pre ročné dáta
- $\lambda = 1600$ pre kvartálne dáta
- $\lambda = 14400$ pre mesačné dáta

V našom prípade:

Cvičenie: produkčná medzera

Potenciálny hrubý domáci produkt a produkčná medzera
- potenciálny HDP: maximálny výstup, ktorý vie ekonomika pri daných faktoroch vyprodukovať bez inflačných tlakov
- skutočný HDP osciluje okolo potenciálneho (hospodárske cykly)
- produkčná medzera: rozdiel medzi potenciálnym a reálnym výstupom
Aplikácia HP filtra na skúmanie produkcnej medzery:
- trendom z HP filtra odhadneme potenciálny HDP
- je to jeden z prístupov z diplomovej práce http://www.iam.fmph.uniba.sk/studium/efm/diplomovky/2012/silanic/diplomovka.pdf
- zopakujeme tento postup pre niekoľko štátov a porovnáme

Modelovanie trendu

Beáta Stehlíková, Časové rady, FMFI UK

Exponenciálne zhladzovanie

Príklad

Holt-Wintersova metóda

Príklad

Cvičenie

Hodrick-Prescottov filter

Cvičenie: produkčná medzera