Testovanie hypotéz v heteroskedastickom modeli - príklad

Snow geeese

Aerial survey methods are regularly used to estimate the number of snow geese in their summer range areas west of Hudson Bay in Canada. To obtain estimates, small aircraft fly over the range and, when a flock of geese is spotted, an experienced person estimates the number of geese in the stock. To investigate the reliability of this method of counting, an experiment was conducted in which an airplane carrying two observers flew over n = 45 flocks, and each observer made an independent estimate of the of birds in each flock. Also, a photograph of the flock was taken so that an exact count of the number of birds in the flock could be made. The resulting data are in given in geese.txt.

As a result of this experiment, the practice of using visual counts of flock size to determite population estimates was discontinued in favor of using photographs.

S. Weisberg: Applied Linear Regression. John Wiley & Sons, 1985.
R. D. Cook, J. O. Jacobsen: Analysis of 1977 West Hudson Bay snow goose surveys. Unpublished report, Canadian Wildlife Services, 1977.

Model

Model

PHOTO = c(1) + c(2) OBS1 + ε,

kde PHOTO je skutočný počet husí (získaný z fotografie) a OBS1 je počet odhadnutý prvým pozorovateľom, najskôr odhadneme klasickým odhadom:


Obr. 1: Regresia

Máme však dôvod domnievať sa, že variancia chýb εi nie je konštantná. Ak náš odhad je, že v kŕdli je päť husí, je to zrejme presnejší odhad, ako keď ich počet odhadneme ako sto. To by znamenalo heteroskedasticitu v modeli.

Testovanie heteroskedasticity...

... prenechávame čitateľovi ako cvičenie ;-)

Whitov odhad kovariančnej matice

Pri odhadovaní modelu zvolíme v Options možnosť White Heteroskedasticity Consistent Covariance - White (Pozri prvý príklad s heteroskedasticitou. Dostaneme:


Obr. 2: Regresia s Whitovym odhadom kovariančnej matice

Ak klikneme na View - Covariance Matrix, dostaneme odhad kovariančnej matice.


Obr. 3: Whitov odhad kovariančnej matice

Testovanie nevychýlenosti odhadov

Testujeme nulovú hypotézu

c(1) = 0, c(2) = 1.

Pretože v modeli je heteroskedasticita, na testovanie tejto lineárnej hypotézy použijeme Waldov test.

Klikneme na View - Coefficients Tests - Wald Coefficient Resctrictions


Obr. 4: Waldov test

a zapíšeme hypotézu, ktorú chceme testovať.


Obr. 5: Waldov test

Dostaneme:


Obr. 6: Waldov test

Keďže počítame Waldov test, testovacia štatistika, ktorú z tohto výstupu potrebujeme, je Chi-square. V našom prípade sa hodnota štatistiky rovná 23.04392. Porovnáme ju s kritickou hodnotou alebo sa pozrime na P hodnotu. P hodnota je 0.000098. To je menej ako 0.05 (štandardná hladina významnosti), preto nulovú hypotézu o nevychýlenosti odhadov zamietame.

Poznámka:
Ak by sme mali splnené predpoklady použitia F testu na testovanie lineárnej hypotézy, zobrali by sme z výstupu Waldovho testu hodnotu F štatistiky (F statistic) a príslušnú P hodnotu.

Beáta Stehlíková (www)
Cvičenia z ekonometrie, 3mef