Cvičenie 5: Black-Scholesov vzorec - greeks

Pod opciou budeme počas celého cvičenia rozumieť európsku opciu na akciu nevyplácajúcu dividendy.


Cvičenie 1
Dokážeme vlastnosti funkcií, ktoré budeme neskôr potrebovať pri analýze amerických opcií. V poslednej úlohe máme o call opcii dokázané, že jej cena z Black-Scholesovho vzorca je kladná a leží medzi hodnotami S a S-E*exp(-r \tau). Teraz dokážeme, že
  • Graf ceny call opcie na akciu nevyplávajúcu dividendy nepretína payoff diagram.
  • Graf ceny put opcie na akciu nevyplávajúcu dividendy vždy pretína payoff diagram.
Nakreslite grafy (graf payoffu a ceny v jednom obrázku), ktoré ilustrujú tieto vlastnosti.

Greeks - derivácie ceny opcie podľa jednotlivých parametrov:


Cvičenie 2
  1. Nakreslite graf závislosti delty call opcie od aktuálnej ceny akcie. Nakreslite do jedného grafu deltu pre rôzne časy do expirácie. V čom sa líšia?
  2. Pri odvodení Black-Scholesovho vzorca vystupuje delta ako počet akcií, ktoré kúpime pri hedžovaní jednej predanej opcie. Na základe tejto interpretácie vysvetlite priebeh grafu z predchádzajúcej úlohy - znamienko, monotónnosť, priebeh pre tau blízke nule.
  3. Nakreslite graf závislosti gamy call opcie od aktuálnej ceny akcie. Nakreslite do jedného grafu gamu pre expiračné ceny. V čom sa líšia? Gama je derivácou delty podľa S, vyjadruje teda zmenu delty pri zmene ceny akcie. Interpretujte závislosť gamy od ceny akcie na základe získaných grafov a interpretácie delty ako počte kúpených akcií pri hedžovaní jednej predanej call opcie.
  4. Ako sa líši delta call a put opcie? Ako sa líši ich gama?
  5. Uvažujme nasledujúce hodnoty parametrov (výpočet zo stránky http://www.sitmo.com/live/OptionVanilla.html):
    Vidíme, že cena príslušnej call opcie je 10.4505 USD, cena put opcie je 5.5735 USD. Aká by bola cena tejto akcie, ak by cena akcie bola 99 USD namiesto 100 USD? Ak by cena akcie bola 95 USD? Vypočítajte približnú hodnotu pomocou greeks a potom ju porovnajte s presnou.
  6. Čomu by sa približne rovnala cena put opcie nasledujúci deň, ak by cena akcie zostala rovnaká? Porovnajte s presnou hodnotou.

Cvičenie 3
V súbore msft.txt je vývoj cien akcie firmy MSFT a opcií na tieto akcie. Formát:
  • Zvoľte si deň a načítajte dáta o vývoji akcie počas tohto dňa. Zvožte si akciu a načítajte dáta o vývoji ceny tejto opcie v danom dni. V súbore msft-call-apr-25.txt sú tieto hodnoty pre call opciu s expiračnou cenou 25 USD a expiráciou v apríli (bid cena akcie, ask cena akcie, bid cena opcie, ask cena opcie).
  • Aproximujme deriváciu v definícii delty diferenciou, t.j. delta sa približne rovná podielu zmeny ceny opcie a zmeny ceny akcie. Vypočítajte túto hodnotu pre jednotlivé okamihy, v ktorých máme zaznamenané ceny. Zobrazte ich priebeh počas dňa.
  • Skomentujte výsledok. Zhoduje sa s teóriou? V čom sa zhoduje, v čom nie?


Cvičenia z finančných derivátov
Beáta Stehlíková, 2008