Modelovanie úrokových mier - Vašíčkov model

:: Jednofaktorový short rate model ::

:: Vašíčkov model :::

:: Pravdepodobnostné rozdelenie úrokových mier ::

::Cvičenia (1) ::

  1. S procesom, ktorý sa vo Vašíčkovom modeli používa na modelovanie okamžitej úrokovej miery, sme sa už zaoberali na druhom cvičení. Zopakujme si závislosť priebehu procesu od parametrov podľa cvičenia(1)/1.

  2. Takisto sme spomínali Vašíčkov model a pracovali sme s parametrami z článku Athanasios Episcopos: Further evidence on alternative continuous time models of the short-term interest rate. Journal of International Financial Markets, Institutions and Money 10 (2000) 199-212, kde autor odhadoval modely úrokových mier. Všeobecný model, ktorým sa zaoberal, je
    obr
    Znovu zoberieme parametre pre Nový Zéland:
    obr

    • Preveďte tieto parametre tak, aby sme proces mali vyjadrený ho pomocou parametrov kapa, theta, sigma. Zvoľte si začiatočnú hodnotu úrokovej miery a vygenerujte trajektóriu jej ďalšieho vývoja.

    • Na začiatku semestra sme tento proces simulovali Euler-Marujamouvou aproximáciou. Porovnajte rozdelenie úrokovej miery získané touto aproximáciou s presným rozdelením, ak je časový krok 1 deň, 1 týždeň, 1 mesiac. Ďalej budeme požívať presné rozdelenie.

    • Predpokladajte, že dnešná hodnota úrokovej miery je 4.5 percenta. Aká je stredná hodnota úrokovej miery o týždeň, o mesiac a o rok? Zostrojte pre tieto úrokové miery intervalové odhady (stredná hodnota +/- 2*štandardná odchýlka).

    • Aké je limitné rozdelenie úrokovej miery. Nakreslite graf hustoty tohto limitného rozdelenia. Doplňte do grafu hustoty rozdelenia úrokovej miery o mesiac, o rok, ... - tak, aby ste videli konvergenciu týchto hustôt k limitnej hustote.

    • Jednou z nevýhod Vašíčkovho modelu je možnosť záporných úrokových mier. Vypočítajte pravdepodobnosť zápornej úrokovej miery v nasledovných prípadoch:
      • limitné rozdelenie úrokovej miery
      • úroková miera o mesiac, ak jej dnešná hodnota je 5 percent.
      • úroková miera o mesiac, ak jej dnešná hodnota je pol percenta.
      • úroková miera o týždeň, ak jej dnešná hodnota je 5 percent.
      • úroková miera o týždeň, ak jej dnešná hodnota je pol percenta.

    • Nájdite príklad takých parametrov, aby predchádzajúce pravdepodobnosti záporných úrokových mier boli väčšie (pri takýchto pravdepodobnostiach zrejme nie je model vhodný).

:: Metóda maximálnej vierohodnosti na odhadovanie parametrov ::

:: Cvičenia (2) ::

  1. Ako z týchto odhadov dostaneme odhady parametrov kapa, theta, sigma? Odvoďte príslušnú transformáciu.

:: Ďalšie príklady na precvičenie ::



Cvičenia z finančných derivátov, 2011
Beáta Stehlíková, FMFI UK Bratislava


E-mail: stehlikova@pc2.iam.fmph.uniba.sk
Web: http://pc2.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova/

Valid HTML 4.01 Transitional Valid CSS!