Modelovanie úrokových mier - Vašíčkov model
:: Jednofaktorový short rate model ::
- Short rate - okamžitá úroková miera, aproximuje sa úrokovou mierou s krátkoui splatnosťou
- Okamžitá úroková miera sa modeluje stochastickou diferenciálnou rovnicou:
teda trend vo vývoji úrokovej miery + náhodné fluktuácie okolo trendu
- Jednofaktorový model - jedna stochastická diferenciálna rovnica pre r, t. j. jeden zdroj náhodnosti vo vývoji okamžitej úrokovej miery (jeden Wienerov proces).
:: Vašíčkov model :::
- Stochastická diferenciálna rovnica pre okamžitú úrokovú mieru:
- Vlastnosť mean-reversion (priťahovanie k dlhodobej hodnote, k limitnej hodnote) - pre strednú hodnotu platí:
- Volatilita je konštantná, nezávisí teda od aktuálnej hodnoty úrokovej miery
:: Pravdepodobnostné rozdelenie úrokových mier ::
- Podmienené rozdelenie úrokovej miery, ak poznáme jej hodnotu r0 v čase 0 je normálne rozdelenie
s parametrami
- Znalosť tohoto rozdelenia nám umožňuje:
- Vygenerovať realizáciu procesu pre zadané parametre a začiatočnú hodnotu úrokovej miery.
- Odhadovať parametre procesu z dát.
- Upozornenie: V literatúre sa požívajú rôzne označenia pre lineárnu funkciu driftu, treba si vždy pozrieť, s akým driftom sa pracuje.
::Cvičenia (1) ::
- S procesom, ktorý sa vo Vašíčkovom modeli používa na modelovanie okamžitej úrokovej miery, sme sa už zaoberali na druhom cvičení. Zopakujme si závislosť priebehu procesu od parametrov podľa cvičenia(1)/1.
- Takisto sme spomínali Vašíčkov model a pracovali sme s parametrami z článku
Athanasios Episcopos: Further evidence on alternative continuous time models of the short-term interest rate. Journal of International Financial Markets, Institutions and Money 10 (2000) 199-212, kde autor odhadoval modely úrokových mier. Všeobecný model, ktorým sa zaoberal, je
Znovu zoberieme parametre pre Nový Zéland:
- Preveďte tieto parametre tak, aby sme proces mali
vyjadrený ho pomocou parametrov
,
,
. Zvoľte si začiatočnú hodnotu úrokovej miery a vygenerujte trajektóriu jej ďalšieho vývoja.
- Na začiatku semestra sme tento proces simulovali Euler-Marujamouvou aproximáciou. Porovnajte rozdelenie úrokovej miery získané touto aproximáciou s presným rozdelením, ak je časový krok 1 deň, 1 týždeň, 1 mesiac. Ďalej budeme požívať presné rozdelenie.
-
Predpokladajte, že dnešná hodnota úrokovej miery je 4.5 percenta. Aká je stredná hodnota úrokovej miery o týždeň, o mesiac a o rok? Zostrojte pre tieto úrokové miery intervalové odhady (stredná hodnota +/- 2*štandardná odchýlka).
- Aké je limitné rozdelenie úrokovej miery. Nakreslite graf hustoty tohto limitného rozdelenia. Doplňte do grafu hustoty rozdelenia úrokovej miery o mesiac, o rok, ... - tak, aby ste videli konvergenciu týchto hustôt k limitnej hustote.
- Jednou z nevýhod Vašíčkovho modelu je možnosť záporných úrokových mier. Vypočítajte pravdepodobnosť zápornej úrokovej miery v nasledovných prípadoch:
- limitné rozdelenie úrokovej miery
- úroková miera o mesiac, ak jej dnešná hodnota je 5 percent.
- úroková miera o mesiac, ak jej dnešná hodnota je pol percenta.
- úroková miera o týždeň, ak jej dnešná hodnota je 5 percent.
- úroková miera o týždeň, ak jej dnešná hodnota je pol percenta.
- Nájdite príklad takých parametrov, aby predchádzajúce pravdepodobnosti záporných úrokových mier boli väčšie (pri takýchto pravdepodobnostiach zrejme nie je model vhodný).
:: Metóda maximálnej vierohodnosti na odhadovanie parametrov ::
-
Podmienené rozdelenie úrokových mier je normálne, preto funkcia vierohodnostije súčin hustôt normálnych rozdelení. Odhady parametrov sa dajú explicitne vyjadriť.
- Damiano Brigo, Fabio Mercurio: Interest Rate Models - Theory and Practice. Second Edition. Springer, 2007. Kapitola 3.1.2, str. 61-62:
- Môže sa vám hodiť nasledujúci skript, v ktorom sú prepísané tieto vzorce pre odhady: [vasicekMLE.m]
:: Cvičenia (2) ::
- Ako z týchto odhadov dostaneme odhady parametrov
,
,
? Odvoďte príslušnú transformáciu.
:: Ďalšie príklady na precvičenie ::
- Stiahnite si dáta úrokovej miery (napr. 3M treasury bills, Euribor s krátkou dobou splatnosti a pod.) zo zvoleného časového intervalu. Zobrazte ich vývoj.
Zdroje dát - napríklad:
- Odhadnite parametre Vašíčkovho modelu a transformujte ich na parametre
,
,
.
- Pre zvolenú začiatočnú hodnotu úrokovej miery nakreslite do jedného grafu strednú hodnotu jej ďalšieho vývoja, intervaly spoľahlivosti a niekoľko simulácií.
-
Nájdite limitné rozdelenie úrokovej miery.