:: Cena európskej call a put opcie ::

• Call opcia:

  function [v]=call(S,E,r,sigma,tau)
  d1=(log(S/E)+(r+0.5*sigma^2)*tau)/(sigma*sqrt(tau));
  d2=(log(S/E)+(r-0.5*sigma^2)*tau)/(sigma*sqrt(tau));
  v=S*normcdf(d1)-E*exp(-r*tau)*normcdf(d2)
  

  
  
• Príklad:
  Úroková miera je jedno percento. Aká je cena call opcie s expiračnou cenou 120 USD a s expiračným časom pol roka, ak dnešná cena akcie je 100 USD a volatilita akcie je 0.3?

  >> call(100,120,0.01,0.3,0.5)
  
  ans = 
  
      2.6056
  

  
  
• Put opcia: dá sa oceniť napríklad pomocou put-call parity:
  • Uvažujme portfólio zložené z mínus jednej call opcie, jednej put opcie (na tú istú akciu, s rovnakou expiračnou cenou E a rovnakým expiračným časom) a jednej príslušnej akcie.
  • V čase expirácie je hodnota portfólia E.
  • Preto ak do expirácie zostáva čas , hodnota portfólia je - cenu callu poznáme, takže môžeme vyjadriť cenu putu.
  
  
• Z linearity Black-Scholesovej rovnice vyplýva, že ak je koncová podmienka derivátu lineárnou kombináciou call a put opcií, rovnakou lineárnou kombináciou cien call a put opcií dostaneme cenu tohto derivátu.

:: Cvičenia (1) ::

1. Vypočítajte cenu európskej call opcie s expiráciou o pol roka, ktorej expiračná cena je 50 USD. Dnešná cena akcie je 41 USD, jej volatilita je 0.3. Úroková miera je pol percenta.
   
   
2. Upravte funkciu call tak, aby ste mohli pracovať s vektorovými argumentmi a kresliť napríklad takého grafy:

   S=0:0.1:100;
   plot(S,call(S,50,0.01,0.25,1));
   

   Nakreslite graf s cenou akcie na x-ovej osi, na ktorom bude payoff call opcie a jej ceny pre niekoľko časov do expirácie.
   
   Ukážka výstupu:.
   
   
   
3. Napíšte funkciu, ktorá počíta cenu putu. Vypočítajte cenu put opcie s expiračnou cenou 105 USD a s expiračným časom pol roka, ak dnešná cena akcie je 100 USD a volatilita akcie je 0.3.
   
   
4. Zostrojte stratégiu typu butterfly pre zvolené parametre. Znovu nakreslite graf s cenou akcie na x-ovej osi, na ktorom bude payoff stratégie a jej ceny pre niekoľko časov do expirácie.
   
   Ukážka výstupu pre nasledovné dáta: expiračné ceny 30, 40, 50 USD; volatilita akcie 0,25; úroková miera 0,01 (t.j. 1 percento).
   
   
   
   
5. Analýza reálnych cien opcií.
   • V súbore ibm.txt si stiahnite denné dáta cien akcie firmy IBM a odhadnite z nich parameter geometrického Brownovho pohybu - tzv. historickú volatilitu.
   • Túto odhadnutú volatilitu budeme teraz dosadzovať do Black-Scholesovho vzorca. Uvažujme nasledujúce dáta zo 7. marca 2011 pre ceny akcie a call opcií:
     
   • Za bezrizikovú úrokovú mieru zoberieme výnos 3-mesačných Treasury bonds:
     
   • Na výpočet času zostávajúceho do expirácie môžete využiť takýto výpočet (zohľadňuje soboty a nedele, prípadné sviatky treba odpočítať samostatne):

     % pocet pracovnych dni medzi x,y vo formate 'mm/dd/yy' 
     x=datenum('03/01/11');
     y=datenum('03/31/11');
     
     pocDni=0;
     for i=x+1:y
         den=weekday(i); % 1=nedela, 2=pondelok, ...
         if (den>1)&&(den<7) pocDni=pocDni+1; end;
     end;
     

   • Vypočítajte Black-Scholesove ceny týchto opcií a porovnajte ich s reálnymi trhovými cenami. Aké sú rozdiely v centoch? Aké sú relatívne rozdiely v percentách?

:: Implikovaná volatilita ::

• Implikovaná volatilita je taká hodnota volatility sigma, ktorej dosadením do Black-Scholesovho vzorca dostaneme trhovú cenu opcie.
  
  
• Závislosť ceny call opcie od volatility:
  • Cena call opcie je rastúcou funkciou volatility.
  • Ak volatilita konverguje k nule, limita ceny call opcie je max(0,S-E*exp(-r)).
  • Ak, naopak, volatlita ide do nekonečna, limita ceny opcie je aktuálna cena akcie S.
  • Ak je teda trhová cena call opcie z intervalu (max(0,S-E*exp(-r)),S), tak implikovaná volatilita existuje a je jednoznačne určená.
  
  
• Je viacero možností, ako implikovanú volatilitu prakticky vypočítať, tu je jedna z nich:
  
  Definujeme funkciu rozdiel.m, ktorej parametrom je sigma a vracia rozdiel medzi skutočnou a Black-Scholesovou cenou. Ostatné parametre výpočtu sú definované ako globálne premenné:
  
  Príklad použitia:

  global s;
  global e;
  global tau;
  global r;
  global v;
  
  s=85.2;
  e=80;
  r=0.01;
  tau=0.5;
  v=11.12;
  
  % hladame nulovy bod tejto funkcie
  sig=0.01:0.01:0.5;
  plot(sig,rozdiel(sig),sig,zeros(1,length(sig)));
  fzero(@rozdiel,0.4);
  

  Výstup:
  

:: Implikovaná volatilita ::

1. Vyčítajte implikovanú volatilitu pre opcie na akcie IBM z cvičenia (1)/5. Zakreslite ich do grafu v závislosti od expiračnej ceny a pridajte do grafu historickú volatilitu.
   
   Výstup:
   

:: Závislosť ceny call opcie od ceny akcie ::

• Na základe grafu môžeme vysloviť niekoľko hypotéz:
  • V je rastúca funkcia S
  • Ak S0, tak V0.
  • Ak S, tak sa cena opcie pribli?uje k payoff diagramu, takže by mohlo platiť
    
    
• Interpretácia:
  • Ak sa cena akcie blíži k nule, znižuje sa pravdepodobnosť, že opciu uplatníme - opcia sa stáva bezcennou.
  • Ak S, tak
    • Opcia sa zrejme bude realizovať, teda v čase expirácie dostaneme akciu a zaplatíme E, po odúročení tejto platby na súčasnú hodnotu vyslovíme hypotézu
      
      
    • Taká istá úvaha ako predtým, len dodáme, že pre S je E (aj súčasná hodnota) zanedbateľná, takže očakávame
      
      
  • Ak je vyššia súčasná cena akcie, zvyšuje sa pravdepodobnosť, že ju uplatníme a dosiahneme zisk. Rovnako sa zvyšuje pravdepodobnosť vysokých cien akcie, a teda vysokého zisku z realizácie opcie.
• Matematicky:
  • Vypočítame limitu V pre S0 a ukážeme, že sa rovná 0.
  • Platia všetky tri navrhnuté aproximácie pre S (vypočítame limity). Graficky sa presvedčíme, že sa líšia kvalitou aproximácie pre konečné hodnoty S.
  • Derivácia V podľa S je N(d₁), čo je vždy kladné číslo. Teda V je rastúcou funkciou premennou S.

:: Delta opcie ::

• Derivácia ceny opcie podľa ceny akcie, ktorú sme počítali, má väčší význam, ako ukázať rastúcu závislosť. Pri odvodení Black-Scholesovho vzorca vystupuje ako počet akcií, ktoré kúpime pri hedžovaní jednej predanej opcie a nazýva sa delta opcie.

:: Cvičenia (3) ::

1. Nakreslite graf závislosti delty call opcie od aktuálnej ceny akcie. Nakreslite do jedného grafu deltu pre rôzne časy do expirácie. V čom sa líšia?
2. Na základe hedžovania predanej opcie vysvetlite priebeh grafu z predchádzajúcej úlohy - znamienko, monotónnosť, priebeh pre tau blízke nule.

:: ďalšie príklady na precvičenie ::

1. Vypočítajte hodnotu stratégie, ktorá pozostáva z kúpy call opcie s nízkou expiračnou cenou a predaja call opcie s vyššou expiračnou cenou s tou istou dobou splatnosti. Výpočet ceny stratégie realizujte pre nasledovné dáta: cena akcie 55 USD, volatilita akcie 0.4, úrok jeden a pol percenta, expiračná doba 3 mesiace, expiračné ceny sú 50 a 60 USD.
   
   
2. Uvažujme call opciu na s expiračnou cenou 15 USD, ak dnešná cena akcie je 9 USD. Pre ktoré z nasledujúcich cien opcie -- 2 USD, 5 USD, 7 USD, 10 USD, 15 USD -- existuje implikovaná volatilita? Pre ktorú z nich je implikovaná volatilita najvyššia? Ako sa dá táto otázka zodpovedať bez výpočtu všetkých implikovaných volatilít?
   
   
3. Implikovaná volatilita pre put opcie: Pre aký interval cien put opcií existuje? Je v týchto prípadoch určená jednoznačne? Zrealizujte výpočet implikovanej volatility pre konkrétnu put opciu.
   
   
4. Delta pre put opcie. Vypočítajte deltu put opcie. Nakreslite graf jej závislosti od aktuálnej ceny akcie. Vysvetlite priebeh tohto grafu - znamienko, monotónnosť, priebeh pre tau blízke nule.
   
   
5. Dokážte nasledovné tvrdenie o delte call opcie:
   
   Zdroj: Y.Kwok: Mathematical Methods for Financial Derivatives.
   
   
6. V súbore msft.txt je vývoj cien akcie firmy MSFT a opcií na tieto akcie. Formát:
   
   Zvoľte si deň a načítajte dáta o vývoji akcie počas tohto dňa. Zvoľte si opciu a načítajte dáta o vývoji ceny tejto opcie v danom dni. V súbore msft-call-apr-25.txt sú tieto hodnoty pre call opciu s expiračnou cenou 25 USD a expiráciou v apríli (bid cena akcie, ask cena akcie, bid cena opcie, ask cena opcie).
   • Vypočítajte implikovanú volatilitu pre každú minútu. Budete potrebovať úrokovú mieru, dáta o úrokových mierach z 20. marca 2003 sú napr. na stránke http://www.federalreserve.gov/releases/h15/20030324/. Zobrazte priebeh implikovanej volatility.
   • Vypočítajte pre každú minútu deltu opcie, pričom za volatilitu budete dosadzovať implikovanú volatilitu z danej minúty. Zobrazte priebeh delty.

---

---