:: Cena európskej call a put opcie ::

• Call opcia:

  function [v]=call(S,E,r,sigma,tau)
  d1=(log(S/E)+(r+0.5*sigma^2)*tau)/(sigma*sqrt(tau));
  d2=(log(S/E)+(r-0.5*sigma^2)*tau)/(sigma*sqrt(tau));
  v=S*normcdf(d1)-E*exp(-r*tau)*normcdf(d2)
  

  
  
• Príklad:
  Úroková miera je jedno percento. Aká je cena call opcie s expiračnou cenou 120 USD a s expiračným časom pol roka, ak dnešná cena akcie je 100 USD a volatilita akcie je 0.3?

  >> call(100,120,0.01,0.3,0.5)
  
  ans = 
  
      2.6056
  

  
  
• Put opcia: dá sa oceniť napríklad pomocou put-call parity:
  • Uvažujme portfólio zložené z mínus jednej call opcie, jednej put opcie (na tú istú akciu, s rovnakou expiračnou cenou E a rovnakým expiračným časom) a jednej príslušnej akcie.
  • V čase expirácie je hodnota portfólia E.
  • Preto ak do expirácie zostáva čas , hodnota portfólia je - cenu callu poznáme, takže môžeme vyjadriť cenu putu.
  
  
• Z linearity Black-Scholesovej rovnice vyplýva, že ak je koncová podmienka derivátu lineárnou kombináciou call a put opcií, rovnakou lineárnou kombináciou cien call a put opcií dostaneme cenu tohto derivátu.

:: Cvičenia (1) ::

1. Vypočítajte cenu európskej call opcie s expiráciou o pol roka, ktorej expiračná cena je 50 USD. Dnešná cena akcie je 41 USD, jej volatilita je 0.3. Úroková miera je pol percenta.
   
   
2. Nakreslite graf s cenou akcie na x-ovej osi, na ktorom bude payoff call opcie a jej cena pre niekoľko časov do expirácie.
   
   Ukážka výstupu:.
   
   
   
3. Analýza reálnych cien opcií.
   • V súbore ibm-data.txt si stiahnite denné dáta cien akcie firmy IBM a odhadnite z nich parameter geometrického Brownovho pohybu - tzv. historickú volatilitu.
   • Túto odhadnutú volatilitu budeme teraz dosadzovať do Black-Scholesovho vzorca. Uvažujme nasledujúce dáta zo 16. marca 2011 pre ceny akcie a call opcií:
     
   • Za bezrizikovú úrokovú mieru zoberieme výnos 3-mesačných Treasury bonds:
     
   • Na výpočet času zostávajúceho do expirácie môžete využiť takýto výpočet (zohľadňuje soboty a nedele, prípadné sviatky treba odpočítať samostatne):

     % pocet pracovnych dni medzi x,y vo formate 'mm/dd/yy' 
     % ukazka vypoctu pre x=1.3.2011 a y=31.3.2011
     
     x=datenum('03/01/11');
     y=datenum('03/31/11');
     
     pocDni=0;
     for i=x+1:y
         den=weekday(i); % 1=nedela, 2=pondelok, ...
         if (den>1)&&(den<7) pocDni=pocDni+1; end;
     end;
     

   • Vypočítajte Black-Scholesove ceny týchto opcií a porovnajte ich s reálnymi trhovými cenami. Aké sú rozdiely v centoch? Aké sú relatívne rozdiely v percentách?

:: Implikovaná volatilita ::

• Implikovaná volatilita je taká hodnota volatility , ktorej dosadením do Black-Scholesovho vzorca dostaneme trhovú cenu opcie.
  
  
• Závislosť ceny call opcie od volatility:
  • Cena call opcie je rastúcou funkciou volatility.
  • Ak volatilita konverguje k nule, limita ceny call opcie je max(0,S-E*exp(-r)).
  • Ak, naopak, volatlita ide do nekonečna, limita ceny opcie je aktuálna cena akcie S.
  • Ak je teda trhová cena call opcie z intervalu (max(0,S-E*exp(-r)),S), tak implikovaná volatilita existuje a je jednoznačne určená.
  
  
• Je viacero možností, ako implikovanú volatilitu prakticky vypočítať, tu je jedna z nich:
  
  Definujeme funkciu rozdiel.m, ktorej parametrom je sigma a vracia rozdiel medzi skutočnou a Black-Scholesovou cenou. Ostatné parametre výpočtu sú definované ako globálne premenné:
  
  Príklad použitia:

  global s;
  global e;
  global tau;
  global r;
  global v;
  
  s=85.2;
  e=80;
  r=0.01;
  tau=0.5;
  v=11.12;
  
  % hladame nulovy bod tejto funkcie
  sig=0.01:0.01:0.5;
  plot(sig,rozdiel(sig),sig,zeros(1,length(sig)));
  % vypocet
  sImpl=fzero(@rozdiel,0.4);
  

  Výstup:
  

:: Cvičenia (2) ::

1. Vyčítajte implikovanú volatilitu pre opcie na akcie IBM z cvičenia (1)/3. Zakreslite ich do grafu v závislosti od expiračnej ceny a pridajte do grafu historickú volatilitu.
   
   Výsledok - po vynechaní opcií s najnižšími expiračnými cenami (s ktorými sa veľmi málo obchodovalo) dostávame typický volatility smile:
   

:: Delta opcie ::

• Delta opcie je derivácia ceny opcie podľa ceny akcie. Pre call opciu sa rovná N(d₁)
• Z odvodenia Black-Scholesovho vzorca vidieť, že predstavuje počet akcií, ktoré kúpime pri hedžovaní jednej predanej opcie.

:: Cvičenia (3) ::

1. Nakreslite graf závislosti delty call opcie od aktuálnej ceny akcie. Nakreslite do jedného grafu deltu pre rôzne časy do expirácie. V čom sa líšia?
   
   
2. Na základe hedžovania predanej opcie vysvetlite priebeh grafu z predchádzajúcej úlohy - znamienko, monotónnosť, priebeh pre tau blízke nule.
   
   
3. V súbore msft.txt je vývoj cien akcie firmy MSFT a opcií na tieto akcie. Formát:
   
   Zvoľte si deň a načítajte dáta o vývoji akcie počas tohto dňa. Zvoľte si opciu a načítajte dáta o vývoji ceny tejto opcie v danom dni. V súbore msft-call-apr-25.txt sú tieto hodnoty pre call opciu s expiračnou cenou 25 USD a expiráciou v apríli (bid cena akcie, ask cena akcie, bid cena opcie, ask cena opcie).
   • Vypočítajte implikovanú volatilitu pre každú minútu. Budete potrebovať úrokovú mieru, dáta o úrokových mierach z 20. marca 2003 sú napr. na stránke http://www.federalreserve.gov/releases/h15/20030324/. Zobrazte priebeh implikovanej volatility.
   • Vypočítajte pre každú minútu deltu opcie, pričom za volatilitu budete dosadzovať implikovanú volatilitu z danej minúty. Zobrazte priebeh delty.

:: Ďalšie príklady na precvičenie ::

1. Napíšte funkciu, ktorá počíta cenu putu. Vypočítajte cenu put opcie s expiračnou cenou 105 USD a s expiračným časom pol roka, ak dnešná cena akcie je 100 USD a volatilita akcie je 0.3.
   
   
2. Vypočítajte hodnotu stratégie, ktorá pozostáva z kúpy call opcie s nízkou expiračnou cenou a predaja call opcie s vyššou expiračnou cenou s tou istou dobou splatnosti. Výpočet ceny stratégie realizujte pre nasledovné dáta: cena akcie 55 USD, volatilita akcie 0.4, úrok jeden a pol percenta, expiračná doba 3 mesiace, expiračné ceny sú 50 a 60 USD.
   
   
3. Zostrojte stratégiu typu butterfly pre zvolené parametre. Znovu nakreslite graf s cenou akcie na x-ovej osi, na ktorom bude payoff stratégie a jej ceny pre niekoľko časov do expirácie.
   
   Ukážka výstupu pre nasledovné dáta: expiračné ceny 30, 40, 50 USD; volatilita akcie 0,25; úroková miera 0,01 (t.j. 1 percento).
   
   
   
4. Uvažujme call opciu na s expiračnou cenou 15 USD, ak dnešná cena akcie je 9 USD. Pre ktoré z nasledujúcich cien opcie -- 2 USD, 5 USD, 7 USD, 10 USD, 15 USD -- existuje implikovaná volatilita? Pre ktorú z nich je implikovaná volatilita najvyššia? Ako sa dá táto otázka zodpovedať bez výpočtu všetkých implikovaných volatilít?
   
   
5. Dokážte nasledovné tvrdenie o delte call opcie:
   
   Zdroj: Y.Kwok: Mathematical Methods for Financial Derivatives.
   
   

---

---