Modelovanie úrokových mier - Vašíčkov model
:: Jednofaktorový short rate model ::
- Úrokové miery - napríklad Euribor:
- Short rate - okamžitá úroková miera, aproximuje sa úrokovou mierou s krátkou splatnosťou
- Okamžitá úroková miera sa modeluje stochastickou diferenciálnou rovnicou:
teda trend vo vývoji úrokovej miery + náhodné fluktuácie okolo trendu
- Jednofaktorový model - jedna stochastická diferenciálna rovnica
pre r, t. j. jeden zdroj náhodnosti vo vývoji okamžitej úrokovej miery
(jeden Wienerov proces).
:: Vašíčkov model :::
- Stochastická diferenciálna rovnica pre okamžitú úrokovú mieru:
- Vlastnosť mean-reversion (priťahovanie k dlhodobej hodnote, k limitnej hodnote) - pre strednú hodnotu platí:
- Volatilita je konštantná, nezávisí teda od aktuálnej hodnoty úrokovej miery
- S procesom, ktorý sa vo Vašíčkovom modeli používa na modelovanie okamžitej úrokovej miery, sme sa už zaoberali na treťom cvičení. Zopakujme si závislosť priebehu procesu od parametrov podľa cvičenia(1)/1.
:: Pravdepodobnostné rozdelenie úrokových mier ::
- Odvodíme riešenie uvedenej stochastickej diferenciálnej rovnice v integrálnom tvare:
- Na základe tohto vyjadrenia odvoďte podmienené rozdelenie úrokovej miery, ak poznáme jej hodnotu r0 v čase 0 - je to normálne rozdelenie
s parametrami
- Znalosť tohoto rozdelenia nám umožňuje:
- Vygenerovať realizáciu procesu pre zadané parametre a začiatočnú hodnotu úrokovej miery.
- Odhadovať parametre procesu z dát.
- Upozornenie: V literatúre sa požívajú rôzne označenia pre
lineárnu funkciu driftu, treba si vždy pozrieť, s akým driftom sa
pracuje.
::Cvičenia (1) ::
- Na začiatku semestra, keď sme spomínali Vašíčkov model, sme pracovali s parametrami z článku
Athanasios Episcopos: Further evidence on alternative continuous time
models of the short-term interest rate. Journal of International
Financial Markets, Institutions and Money 10 (2000) 199-212, kde autor odhadoval modely úrokových mier. Všeobecný model, ktorým sa zaoberal, je
Znovu zoberieme parametre pre Nový Zéland:
- Preveďte tieto parametre tak, aby sme proces mali
vyjadrený ho pomocou parametrov
,
,
. Zvoľte si začiatočnú hodnotu úrokovej miery a vygenerujte trajektóriu jej ďalšieho vývoja.
- Na začiatku semestra sme tento proces simulovali
Euler-Marujamouvou aproximáciou. Porovnajte rozdelenie úrokovej miery
získané touto aproximáciou s presným rozdelením, ak je časový krok 1
deň, 1 týždeň, 1 mesiac, 1 rok. Ďalej budeme požívať presné rozdelenie.
-
Predpokladajte, že dnešná hodnota úrokovej miery je 4.5 percenta. Aká je
stredná hodnota úrokovej miery o týždeň, o mesiac a o rok? Zostrojte
pre tieto úrokové miery intervalové odhady (stredná hodnota +/-
2*štandardná odchýlka).
- Aké je limitné rozdelenie úrokovej miery. Nakreslite graf
hustoty tohto limitného rozdelenia. Doplňte do grafu hustoty rozdelenia
úrokovej miery o mesiac, o rok, ... - tak, aby ste videli konvergenciu
týchto hustôt k limitnej hustote.
- Jednou z nevýhod Vašíčkovho modelu je možnosť záporných
úrokových mier. Vypočítajte pravdepodobnosť zápornej úrokovej miery v
nasledovných prípadoch:
- limitné rozdelenie úrokovej miery
- úroková miera o mesiac, ak jej dnešná hodnota je 5 percent.
- úroková miera o mesiac, ak jej dnešná hodnota je pol percenta.
- úroková miera o týždeň, ak jej dnešná hodnota je 5 percent.
- úroková miera o týždeň, ak jej dnešná hodnota je pol percenta.
- Nájdite príklad takých parametrov, aby predchádzajúce
pravdepodobnosti záporných úrokových mier boli väčšie (pri takýchto
pravdepodobnostiach zrejme nie je model vhodný).
:: Metóda maximálnej vierohodnosti na odhadovanie parametrov ::
-
Podmienené rozdelenie úrokových mier je normálne, preto funkcia
vierohodnostije súčin hustôt normálnych rozdelení. Odhady parametrov sa
dajú explicitne vyjadriť.
- Damiano Brigo, Fabio Mercurio: Interest Rate Models -
Theory and Practice. Second Edition. Springer, 2007. Kapitola 3.1.2,
str. 61-62:
[books.google.com]
- Môže sa vám hodiť nasledujúci skript, v ktorom sú prepísané tieto vzorce pre odhady: [vasicekMLE.sce]
:: Cvičenia (2) ::
- Ako z týchto odhadov dostaneme odhady parametrov
,
,
? Odvoďte príslušnú transformáciu.
:: Ďalšie príklady na precvičenie ::
- Stiahnite si dáta úrokovej miery (napr. 3M treasury bills, Euribor s
krátkou dobou splatnosti a pod.) zo zvoleného časového intervalu.
Zobrazte ich vývoj.
Zdroje dát - napríklad:
- Odhadnite parametre Vašíčkovho modelu a transformujte ich na parametre
,
,
.
- Pre zvolenú začiatočnú hodnotu úrokovej miery nakreslite do
jedného grafu strednú hodnotu jej ďalšieho vývoja, intervaly
spoľahlivosti a niekoľko simulácií.
-
Nájdite limitné rozdelenie úrokovej miery.