:: Stochastický vývoj finančných veličín ::

• Z priebehov cien akcií (ako aj iných finančných veličín - úrokových mier, výmenných kurzov, ...) vidíme, že ich priebeh sa nedá popísať deterministickou funkciou. Preto sa na ich modelovanie používajú náhodné procesy.
  
  
• Vľavo: trend (vývoj ceny akcie počas piatich rokov), vpravo: fluktuácie (vývoj ceny akcie počas niekoľkých hodín):
  
  
  Zdroj: http://finance.google.com

:: Wienerov proces a Brownov pohyb ::

Stiahnite si [cv2procesy.sce] - súbor pre Scilab s doluuvedenými príkazmi, do ktorého budeme dopisovať ďalšie.

• Základným náhodným procesom, z ktorého sú ostatné odvodené, je Wienerov proces. Pripomeňme si jeho definíciu:
  
  Náhodný proces {W(t), t0} sa nazýva Wienerov proces, ak

  • prírastky W(t+) -  W(t) majú normálne rozdelenie s nulovou strednou hodnotou a s disperziou ,
  • pre každé delenie 0 = t₀  t₁  ...   t_n sú prírastky W_ti+1 - W_ti nezávislé náhodné premenné s parametrami podľa predchádzajúceho bodu,
  • W(0)=0,
  • trajektórie sú spojité.
  Ďalej bude w všade označovať Wienerov proces.
  
  
• Ako získame realizáciu Wienerovho procesu?
  • Budeme generovať aproximáciu - hodnoty v diskrétnych bodoch typu (čas, hodnota), ktoré pospájame.
  • Hodnoty budú v bodoch 0,,2, . . ., kde je dostatočne malý časový krok.
  • Hodnota v čase 0 je 0.
  • Prírastok na intervale [k, (k + 1)] je náhodná premenná s nulovou strednou hodnotou a varianciou .
  
  V Scilabe si najskôr definujeme pomocné funcie:
  
  
  
  A teraz už môžeme nakresliť trajktóriu:
  
  

  Nakreslite do jedného obrázku niekoľko trajektórií Wienerovho procesu. Ukážka výstupu:

  
  
  
• Ak k násobku Wienerovho procesu pridáme lineárny trend:
  
  dostávame proces, ktorý sa nazýva Brownov pohyb.

  Ak je parameter nulový, grafom je priamka. Pre nenulovú hodnotu sa k tomuto lineárnemu trendu pridávajú náhodné fluktuácie.
  
  V Scilabe napríklad:
  

  

  Nakreslite do jedného obrázku niekoľko trajektórií Brownovho pohybu, spolu s jeho strednou hodnotou. Ukážka výstupu:

  
  
  

:: Cvičenia (1) ::

1. Meňte parametre Brownovho pohybu a všímajte si, ako ovplyvňujú priebeh procesu. Potom priraďte procesy
   • x₁(t)=w(t)
   • x₂(t)=3*w(t)
   • x₃(t)=5+2*t+w(t)
   • x₄(t)=5+2*t+0.5*w(t)
   • x₅(t)=5-3*t+w(t)
   k ich realizáciám na grafe:
   
   
   

:: Geometrický Brownov pohyb ::

• Geometrický Brownov pohyb je proces definovaný vzťahom
  
  pričom x₀ predstavuje hodnotu procesu v čase 0.
  
  
• Pricíp generovania v Scilabe:
  
• Ukážka trajektórií geometrického Brownovho pohybu:
  
• Opakovanie z prednášky: Čomu sa rovná stredná hodnota geometrického Brownovho pohybu?
• Vytvorte podobný graf - s priebehmi realizácií a strednou hodnotou procesu.
  

:: Modelovanie cien akcií pomocou geometrického Brownovho pohybu ::

• Cenu akcie S modelujeme geometrickým Brownovym pohybom:
  
  
  
• Ak sa cena akcie S riadi geometrickým Brownovym pohybom, tak pre výnosy dostávame
  
  teda výnosy sú nezávislé náhodné premenné s normálnym rozdelením a uvedenými parametrami.
  
  

:: Cvičenia (2) ::

Pripomeňme si z prenášok z pravdepodobnosti definíciu a základné vlastnosti lognormálneho rozdelenia:

Stiahnite si [cv2akcie.sce] - súbor pre Scilab s postupom riešenia nasledujúcich úloh a niektorými užitočnými funkciami.

Predpokladajme, že cena akcie sa riadi geometrickým Brownovym pohybom s parametrami  = 0.30,  = 0.25 a že dnešná cena akcie je 150 USD.

1. Nakreslite hustotu rozdelenia ceny akcie o mesiac. Ako kontrolu porovnajte s histogramom vygenerovaných hodnôt ceny akcie v tomto čase.
2. Aká je pravdepodobnosť, že o mesiac bude cena akcie menšia ako 140 USD?
3. Aká je stredná hodnota štvrťročného výnosu? Aká je pravdepodobnosť, že bude záporný?

:: Odhadovanie parametrov GBP z cien akcií ::

Stiahnite si [cv2data.sce] - súbor pre Scilab s doluuvedenými príkazmi a postupom.

Ako získať parametre geometrického Brownovho pohybu z dát - odhadom parametrov normálneho rozdelenia z výnosov:

• Zopakujeme výpočet z prednášky. Použijeme dáta amzn.txt. Na začiatku súboru sú najstaršie dáta.
• Stiahneme si dáta.
• Nastavíme pracovný adresár tak, aby obsahoval súbor s dátami:
  
• Načítame dáta do Scilabu pomocou funkcie fscanfMat, ktorá má ako argument názov súboru uvedený v úvodzovkách.
• Definujeme časový krok medzi dvoma pozorovania dt, vyjadrený v rokoch. Máme denné dáta, teda dt=1/252:
  
• Definujeme výnosy - vytvoríme vektor výnosov v podľa horeuvedeného vzťhu.
• Vieme, že tieto výnosy majú normálne rozdelenie. Ďalej vieme, že strednú hodnotu normálneho rozdelenia odhadujeme aritmetickým priemerom a disperziu výberovou disperziou. Vypočítame teda priemer a výberovú disperziu vektora v - budú to odhady veličín a
  
• Nakoniec vypočítame odhady samotných parametrov a :
  

:: Odhad volatility interaktívne ::

• Na stránke https://bs81.shinyapps.io/sigma/
• Kvôli obmedzeniam na tzv. Active Hours bude aplikácia prístupná do 5.3.

:: Ďalšie príklady na precvičenie ::

1. Označme t_M čas, v ktorom trajektória Wienerovho procesu nadobúda svoje maximum na časovom intervale [0, 1]. Vygenerujte realizácie tejto náhodnej premennej a zobrazte jej histogram.
   
   Na obrázku dolu je trajektória Wienerovho procesu a zodpovedajúca hodnota t_M, spolu s ukážkou výsledného histogramu.
   
   
   
2. Nech w je Wienerov proces, definujme B(t) = w(t) - t w(1) pre čas t z intervalu [0, 1]. Tento proces je známy ako Brownov most (Brownian bridge). Nakreslite trajektórie tohoto procesu a vysvetlite jeho meno.
   
   
3. Nech w je Wienerov proces, definujme proces
   
   teda jeho hodnota v čase t je maximum Wienerovho procesu na intervale [0,t].
   
   Na obrázku dolu je trajektória Wienerovho procesu a zodpovedajúca trajektória procesu M.
   
   • Vygenerujte realizácie tohto náhodného procesu a zobrazte histogram jeho hodnôt v čase t=1.
   • Odhadnite strednú hodnotu procesu v čase t=1. (Tu si treba uvedomiť, že pri výpočte maxima z hodnôt v diskrétnych časoch je maximum podhodnotené v porovnaní so skutočným maximom trajektórie. Preto na dosiahnutie dostatočnej presnosti odhadu strednej hodnoty nestačí generovať veľký počet simulácií, ale aj dostatočne jemné delenie časového intervalu.)
   
   
4. Nech w je Wienerov proces, definujme proces m, ktorého hodnota v čase t je minimum Wienerovho procesu na intervale [0,t].
   • Vygenerujte realizácie tohto náhodného procesu a zobrazte histogram jeho hodnôt v čase t=1.
   • Odhadnite strednú hodnotu procesu v čase t=1. (Analogicky ako v predchádzajúcom príklade, treba si uvedomiť, že pri výpočte minima z hodnôt v diskrétnych časoch je minimum nadhodnotené v porovnaní so skutočným minimom trajektórie. Preto na dosiahnutie dostatočnej presnosti odhadu strednej hodnoty nestačí generovať veľký počet simulácií, ale aj dostatočne jemné delenie časového intervalu.)

---

---