Black-Scholesov vzorec, implikovaná volatilita, greeks
:: Typy súborov pre Scilab ::
- Doteraz nám stačilo definovať niekoľko málo funkcií a tie sme potom používali, pričom sme spúšťali len krátky kód.
- Teraz budeme mať viac funkcií - ceny call a put opcií (s
dividendami aj bez), pre jednotlivé typy opcií implikovaná volatilita a
faktory citlivosti.
- Scilab má dva typy súborov - do sci sa napíšu definície všetkých funkcií (a súbor ibsahuje len tieto definície), sce obsahuje samotný kód, pričom na začiatku sa nahrajú príkazom getd(); všetky funkcie definované v sci-súboroch v pracovnom adresári.
-
Stiahnite si tieto súbory
black_scholes.sci (tu sú definované funkcie na výpočet ceny call opcie na akciu bez dividend a implikovanej volatility pre takúto opciu) a
tema4.sce
:: Cena európskej call a put opcie ::
- Príklad:
Úroková miera je jedno percento. Aká je cena call opcie s expiračnou
cenou 120 USD a s expiračným časom pol roka, ak dnešná cena akcie je 100
USD a volatilita akcie
je 0.3?
- Put opcia: dá sa oceniť napríklad pomocou put-call parity:
- Uvažujme portfólio zložené z mínus jednej call opcie, jednej put
opcie (na tú istú akciu, s rovnakou expiračnou cenou E a rovnakým
expiračným časom) a jednej príslušnej akcie.
- V čase expirácie je hodnota portfólia E.
- Preto ak do expirácie zostáva čas
, hodnota portfólia je
- cenu callu poznáme, takže môžeme vyjadriť cenu putu.
- Z linearity Black-Scholesovej rovnice vyplýva, že ak je koncová podmienka derivátu lineárnou kombináciou call a put opcií,
rovnakou lineárnou kombináciou cien call a put opcií dostaneme cenu tohto derivátu.
:: Cvičenia (1) ::
- Vypočítajte cenu európskej call opcie s expiráciou o pol roka, ktorej expiračná cena je 50 USD. Dnešná cena akcie je 41 USD,
jej volatilita je 0.3. Úroková miera je pol percenta.
-
Nakreslite graf s cenou akcie na x-ovej osi, na ktorom bude payoff call opcie a jej ceny pre niekoľko časov do expirácie.
Ukážka výstupu:.
- Napíšte funkciu, ktorá počíta cenu putu. Vypočítajte cenu put
opcie s expiračnou cenou 105 USD a s expiračným časom pol roka, ak
dnešná cena akcie je 100 USD a volatilita akcie
je 0.3.
- Zostrojte stratégiu typu butterfly pre zvolené parametre. Znovu nakreslite graf
s cenou akcie na x-ovej osi, na ktorom bude payoff stratégie a jej ceny pre niekoľko časov do expirácie.
Ukážka výstupu pre nasledovné dáta: expiračné ceny 120, 140, 160 USD;
volatilita akcie 0,25; úroková miera 0,01 (t.j. 1 percento).
:: Implikovaná volatilita ::
- Implikovaná volatilita je taká hodnota volatility
, ktorej dosadením do Black-Scholesovho vzorca dostaneme trhovú cenu opcie.
- Závislosť ceny call opcie od volatility:
- Cena call opcie je rastúcou funkciou volatility.
- Ak volatilita konverguje k nule, limita ceny call opcie je max(0,S-E*exp(-r
)).
- Ak, naopak, volatlita ide do nekonečna, limita ceny opcie je aktuálna cena akcie S.
- Ak je teda trhová cena call opcie z intervalu (max(0,S-E*exp(-r
)),S), tak implikovaná volatilita existuje a je jednoznačne určená.
- Je viacero možností, ako implikovanú volatilitu prakticky vypočítať, tu je jedna z nich:
Čo sa tu počíta:
:: Implikovaná volatilita ::
- Zväčšite rozsah volatility na x-ovej osi predchádzajúceho obázku tak, aby bolo vidieť jej limitu v nekonečne.
- Zvoľte také sady parametrov, aby ste na grafe závislosti ceny
opcie od volatility akcie videli obe možnosti, odkiaľ môže táto krivka
začínať.
- Vyskúšajte si samostatne výpočet implikovanej volatility pre zvolené parametre - toto je dôležité, tento výpočet budeme ešte potrebovať neskôr.
:: Delta opcie ::
- Derivácia ceny opcie podľa ceny akcie, rovná sa N(d1)
- Pri odvodení Black-Scholesovho vzorca vystupuje ako počet akcií, ktoré kúpime pri hedžovaní jednej predanej opcie a nazýva sa delta opcie.
- Takémuto hedžovaniu opcií sa hovorí delta hedžing.
:: Cvičenia (3) ::
-
Koľko akcií musíme mať v portfóliu pri delta hedžingu, ak
- sme vypísali 1000 call opcií s expiračnou cenou 25 USD a expiráciou o pol roka,
- sme vypísali 1000 put opcií s expiračnou cenou 20 USD a expiráciou o štvrť roka,
- sme kúpili 1000 call opciís expiračnou cenou 30 USD a expiráciou o rok,
- sme kúpili 1000 put opcií s expiračnou cenou 20 USD a expiráciou o mesiac,
ak dnešná cena akcie je 20 USD, volatilita je 0.3 a úroková miera je pol percenta?
-
Delta pre jednoduché deriváty.
- Ako vyzerajú riešenia Black-Scholesovej PDR pre koncovú podmienku S a pre koncovú podmienku c (kde c je konštatna)? Čomu sa rovná ich delta a akú má tento výsledok interpretáciu?
- Uvažujme Black-Scholesovu rovnicu na akciu s dividendami. Ako sa zmení riešenie PDR pre koncovú podmienku S a príslušná delta? Interpretujte finančne.
- Na nasledujúcom obrázku sú zobrazené delty troch call opcií v závislosti od ceny akcie. Tieto opcie sa líšia expiráciou:
o 1 deň, o pol roka, o 2 roky. Ostatné parametre sú rovnaké. Priraďte tieto expirácie grafom na obrázku.
- K čomu konverguje delta call opcie, ak čas zostávajúci o
expirácie ide do nuly a ak ide do nekonečna? Od čoho to závisí? Na
základe obrázka a interpretácie delty sformulujte hypotézu a dokážte
ju.
:: Cvičenia (4) - ostatné parametre citlivosti ::
- Z prednášky: závislosť delty od volatility, téma Black-Scholes III, posledný slajd:
- Graficky znázornite závislosť delty od volatility pre rôzne opcie.
- Explicitne vypočítajte DdeltaDvol, teda deriváciu delty podľa volatility akcie. Čo sa dá na základe vzorce očakávať pre opciu, ktorá je "deep in the money", ako sa spomína v článku? Porovnajte s numerickými výpočtami a grafmi.
- Na quant.stackexchange.com sa objavila nasledovná otázka:
Odpoveď začínala takto:
- Vysvetlite, najskôr bez výpočtu konrétnych numerických hodnôt, prečo kontrapríklad hľadať ako ITM opciu na akciu s vysokou volatilitou.
- Potom nájdite konkrétne hodnoty parametrov, ktoré budú tvoriť kontrapríklad k tvrdeniu z otázky.
Diskusia pokračovala:
- Ako závisí cena a delta opcie od ostatných parametrov? Nájdite hodnoty parametrov, ktoré budú tvoriť kontrapríklad pri volatilite 0.3 a pre opciu, ktorá nie je až tak výrazne ITM.
:: Ďalšie príklady na precvičenie ::
- Vypočítajte hodnotu stratégie, ktorá pozostáva z kúpy call opcie s
nízkou expiračnou cenou a predaja call opcie s vyššou expiračnou cenou s
tou istou dobou splatnosti. Výpočet ceny stratégie realizujte pre
nasledovné dáta: cena akcie 55 USD, volatilita akcie 0.4, úrok jeden a
pol percenta, expiračná doba 3 mesiace, expiračné ceny sú 50 a 60 USD.
- Príklad zo skúšky v zimnom semestri:
- Uvažujme call opciu na s expiračnou cenou 15 USD, ak dnešná
cena akcie je 9 USD. Pre ktoré z nasledujúcich cien opcie -- 2 USD, 5
USD, 7 USD, 10 USD, 15 USD -- existuje implikovaná volatilita? Pre ktorú
z nich je implikovaná volatilita najvyššia? Ako sa dá táto otázka
zodpovedať bez výpočtu všetkých implikovaných volatilít?
- Implikovaná volatilita pre put opcie: Pre aký interval
cien put opcií existuje? Je v týchto prípadoch určená jednoznačne?
Zrealizujte výpočet implikovanej volatility pre konkrétnu put opciu.
- Delta pre put opcie. Vypočítajte deltu put opcie.
Nakreslite graf jej závislosti od aktuálnej ceny akcie.
Vysvetlite priebeh tohto grafu - znamienko, monotónnosť, priebeh pre tau blízke nule.
- Na nasledujúcom obrázku sú zobrazené delty štyroch call opcií v závislosti od ceny akcie:
call opcia s E=30, put opcia s E=30, call opcia s E=60, put opcia s E=60. Ostatné parametre sú rovnaké.
Priraďte opcie grafom na obrázku.
- V súbore msft.txt je vývoj cien akcie firmy MSFT a opcií na tieto akcie. Formát:
Zvoľte si deň a načítajte dáta o vývoji akcie počas tohto dňa. Zvoľte si
opciu a načítajte dáta o vývoji ceny tejto opcie v danom dni. V súbore msft-call-apr-25.txt
sú tieto hodnoty pre call opciu s expiračnou cenou 25 USD a expiráciou v
apríli (bid cena akcie, ask cena akcie, bid cena opcie, ask cena
opcie).
- Vypočítajte implikovanú volatilitu pre každú minútu. Budete
potrebovať úrokovú mieru, dáta o úrokových mierach z 20. marca 2003 sú
napr. na stránke
http://www.federalreserve.gov/releases/h15/20030324/. Zobrazte priebeh implikovanej volatility.
- Vypočítajte pre každú minútu deltu opcie, pričom za volatilitu budete dosadzovať implikovanú volatilitu z danej minúty.
Zobrazte priebeh delty.