Cvičenie 2: Stochastický počet

Stochastický počet

:: Wienerov proces ::

Opakovanie: Definujte Wienerov proces
Stiahnite si súbor wiener.R, ktorý obsahuje okrem ďalších funkcií aj definíciu Wienerovho procesu:

Poznamenajme, že výpočtovo to nemusí byť optimálne (cykly vo všeobecnosti nie sú) - môžete si to samostatne upraviť. Teraz budeme ale pracovať s touto funkciou.
Môžeme vykresliť trajektóriu:

Dostaneme graf podobný tomuto:

:: Cvičenia (1) ::

Pridajte viac trajektórií do toho istého grafu:

Nie je isté, že nová trajektória sa zmestí do toho rozsahu y-ovej osi, ktorú náš graf (na základe prvej trajektórie) má. Vypočítajte hranice pre vertikálnu os, aby s pravdepodobnosťou 95 percent bol koncový bod trajektórie zobrazený na grafe.

Samozrejme, to nezaručuje, že bude zobrazená celá trajektória. Maximum Wienerovho procesu sa budeme zaoberať v príkladoch na precvičenie.
Vygenerujte hodnoty náhodnej premennej w(1)+w(2) (všimnime si, že nám stačí generovať Wienerov proces v časoch 1 a 2, jemné delenie nie je potrebné) a spravte histogram jej hodnôt. Vypočítajte pravdepodobnostné rozdelenie tejto náhodnej premennej a porovnajte so získaným histogramom.

:: Cvičenia (2) ::

Predpokladajme, že cena akcie sa riadi geometrickým Brownovym pohybom s parametrami

= 0.30,

= 0.25 a že dnešná cena akcie je 150 USD.

Nakreslite hustotu rozdelenia ceny akcie o mesiac. Ako kontrolu porovnajte s histogramom vygenerovaných hodnôt ceny akcie v tomto čase.
Aká je pravdepodobnosť, že o mesiac bude cena akcie menšia ako 140 USD?
Aká je stredná hodnota štvrťročného výnosu? Aká je pravdepodobnosť, že bude záporný?

:: Odhadovanie parametrov GBP pre ceny akcií v R ::

Budeme používať knižnicu quantmod, pomocou ktorej pohodlne stiahneme dáta o cenách akcií do R-ka:

Začiatok dát:
Odhady budeme počítať z nasledovných cien:
Stiahnite si skript GBPakcie.R a odhadnite podľa postupu z prednášky parametre GBP, ktorým modelujeme cenu tejto akcie.
Predpokladajme, že ceny dvoch akcií sú modelované dvoma GBP, pričom korelácia medzi prírastkami príslušných Wienerovych procesov je daná konštanta. Odvoďte koreláciu výnosov týchto akcií.
Stiahnite si ceny dvoch akcií, odhadnite parametre GBP pre každú z nich a koreláciu Wienerovych procesov.

:: Viacrozmerná Itóova lema ::

Predpokladajme, že ceny dvoch akcií sú modelované dvoma GBP, pričom korelácia medzi prírastkami príslušných Wienerovych procesov je daná konštanta.

Odvoďte člen rádu dt pre súčin dS₁ dS₂ a vysletlite, prečo sú ostatné členy vyššieho rádu.
Cena opcie V (napríklad spread option) závisí od ceny obidvoch opcií a od času. Vypočítajte diferenciál dV.

:: Ornstein-Uhlenbeckov proces ::

Definícia: Ornstein-Uhlenbeckov proces je náhodný proces zadaný stochastickou diferenciálnou rovnicou

kde sú kladné konštanty. Takýto proces sa nazýva Ornstein-Uhlenbeckov proces.
Príklad použitia na modelovanie úrokových mier je v príkladoch na precvičenie.
Najjednoduchším pôsobom, ako získať aproximáciu riešenia stochastickej diferenciálnej rovnice je nahradiť diferenciály diferenciami (analógia Eulerovej metódy pre obyčajné diferenciálne rovnice, pri stochastických diferenciálnych rovniciach sa nazýva Euler-Marujamova metóda) - skript OUproces.R:

Ukážka:
Terminológia: Deterministická časť procesu (pri časovom diferenciáli dt) sa nazýva drift, stochastická časť (pri diferenciáli Wienerovho procesu dw) sa nazýva volatilita.
Priraďte nasledujúce hodnoty parametrov k ich trajektóriám:
- = 20, = 1, = 1
- = 3, = 1, = 1
- = 20, = 3, = 5
- = 20, = 3, = 1

Odvoďte - rovnakým postupom ako na prednáške pre geometrický Brownov pohyb - obyčajnú diferenciálnu rovnicu pre strednú hodnotu Ornstein-Uhlenbeckovho procesu a vyriešte ju.

:: Ďalšie príklady na precvičenie ::

Označme t_M čas, v ktorom trajektória Wienerovho procesu nadobúda svoje maximum na časovom intervale [0, 1]. Vygenerujte realizácie tejto náhodnej premennej a zobrazte jej histogram.

Na obrázku dolu je trajektória Wienerovho procesu a zodpovedajúca hodnota t_M, spolu s ukážkou výsledného histogramu.
Nech w je Wienerov proces, definujme B(t) = w(t) - t w(1) pre čas t z intervalu [0, 1]. Tento proces je známy ako Brownov most (Brownian bridge). Nakreslite trajektórie tohoto procesu a vysvetlite jeho meno.
Nech w je Wienerov proces, definujme proces

teda jeho hodnota v čase t je maximum Wienerovho procesu na intervale [0,t].

Na obrázku dolu je trajektória Wienerovho procesu a zodpovedajúca trajektória procesu M.
- Vygenerujte realizácie tohto náhodného procesu a zobrazte histogram jeho hodnôt v čase t=1.
- Odhadnite strednú hodnotu procesu v čase t=1. (Tu si treba uvedomiť, že pri výpočte maxima z hodnôt v diskrétnych časoch je maximum podhodnotené v porovnaní so skutočným maximom trajektórie. Preto na dosiahnutie dostatočnej presnosti odhadu strednej hodnoty nestačí generovať veľký počet simulácií, ale aj dostatočne jemné delenie časového intervalu.)
Ornstein-Uhlenbeckov proces sa používa napríklad pri modelovaní úrokových mier. Vašíčkov model predpokladá, že okamžitá úroková miera (prakticky - pri analýze reálnych dát - úroková miera na krátky čas) sa riadi Ornstein-Uhlenbeckovym procesom.

V článku Athanasios Episcopos: Further evidence on alternative continuous time models of the short-term interest rate. Journal of International Financial Markets, Institutions and Money 10 (2000) 199-212 autor odhadoval modely úrokových mier. Všeobecný model, ktorým sa zaoberal, je

Špeciálnou voľbou niektorých parametrov dostávame konkrétne modely, jedným z nich je aj Vašíčkov model. Výsledky pre Nový Zéland (odhady parametrov pre mesačné dáta od apríla 1986 do apríla 1998 sú v nasledujúcej tabuľke:

Zdroj: (Episcopos, 2000)
- Proces je v inom tvare, ako sme definovali Ornstein-Uhlenbeckov proces. Vyjadrite ho pomocou parametrov , , . K akej hodnote sa dlhodobo približuje úroková miera?
- Vygenerujte priebeh vývoja úrokovej miery na základe odhadnutých parametrov Vašíčkovho modelu. Zakreslite do jedného grafu niekoľko možných priebehov štartujúcich z rovnakej začiatočnej hodnoty, spolu so strednou hodnotou.
V článku Babbs, S. H., Nowman, K. B. (1999). Kalman filtering of generalized Vasicek term structure models. Journal of Financial and Quantitative Analysis 34 (01), 115-130 sa navrhuje nasledovný model pre úrokovú mieru:

Vysvetlite tvrdenie "whose impact dies away exponentially" pomocou výpočtu strednej hodnoty faktora.
V článku Schwartz, E. S. (1997). The stochastic behavior of commodity prices: Implications for valuation and hedging. The Journal of Finance, 52(3), 923-973 autor navrhuje niekoľko modelov pre ceny komodít, jeden z nich je nasledovný:

Odvoďte, že z rovnice (1) vyplýva, že pre logaritmus ceny platia vzťahy (2), (3).

Poznámka: Toto bol jeden z modelov pre ceny komodít, ktorými sa zaoberal Miloslav Torda vo svojej bakalárskej práci Stochastické diferenciálne rovnice a ich aplikácie vo finančnom modelovaní z roku 2015. Modelmi pre ceny komodít sa v tomto kurze zaoberať nebudeme, pre záujemcov odkaz na bakalárku: [pdf]