Black - Scholesov model
:: Black Scholesova cena európskych opcií ::
- Stiahnite si black_scholes.R - R skript pre toto cvičenie.
- Máme tu funkciu, ktorá počíta Black-Scholesovu cenu call opcie na akciu, ktorá nevypláca dividendy:
- Teraz môžeme počítať napríklad:
:: Cvičenia (1) ::
- Vypočítajte cenu európskej call opcie s expiráciou o rok, ak jej expiračná cena je 50 USD, súčasná cena akcie je 41 USA a jej volatilita je 0.3. Úroková miera je 0.5 percenta.
-
Nakrelite graf, ktorý má na x-ovej osi cenu akcie a zobrazuje ceny call opcie pre niekoľko rôznych časov do expirácie.
Ukážka výstupu:.
-
Napíšte funkciu, ktorá počíta Black-Scholesovu cenu put opcie. Potom vypočítajte cenu put opcie s expiračnou cenou 105 USD a expiráciou o pol roka, ak je aktuálna cena opcie 100 USD a jej volatilita je 0.3. Úroková miera je znovu 0.5 percenta.
- Implementuje výpočet implikovanej volatility call opcie na akciu, ktorá nevypláca dividendy. Tento výpočet budeme potrebovať pri nelineárnom Lelandovom modeli, ktorý berie do úvahy transakčné náklady.
- Predpokladajme, že akcia vypláca dividendy so spojitou dividendovou mierou q. Ako sa v tomto prípade zmení put-call parita? Ako sa potom dá vyjadriť cena put opcie pomocou ceny call opcie?
- Na prednáške sme odvodili, že cena chooser opcie sa dá ľahko vypočítať, ak vieme oceniť call a put opcie. Napíšte funkciu, ktorá oceňuje takúto opciu v Black-Scholesovom modeli.
:: Závislosť ceny opcie od parametrov ::
Budeme pracovať s akciou bez dividend.
- Závislosť ceny call opcie od expiračnej ceny
- Zobrazte závislosť ceny call opcie od expiračnej ceny graficky - pre zvolené hodnoty ostatných parametrov bude na x-ovej osi expiračná cena a na y-ovej cena call opcie.
- V prvom týždni sme sa zaoberali vlastnosťami opcií, ktoré nezávisia od modelu pre cenu akcie - pre call opciu máme, že závislosť od expiračnej ceny musí byť nerastúca a konvexná.
- Vypočítajte deriváciu Black-Scholesovej ceny call opcie podľa expiračnej ceny a pomocou lemy zo slajdov (strana 42) výraz pre deriváciu zjednodušte.
- Ukážte, že táto derivácia je záporná a že je rastúcou funkciou expiračnej ceny. Z toho vyplýva, že závislosť Black-Scholesovej ceny call opcie od expiračnej ceny je klesajúca a rýdzo konvexná.
- Závislosť ceny chooser opcie od času voľby
- Zobrazte závislosť ceny chooser opcie od času voľby. Prečo je takýto priebeh logický?
- Vypočítajte deriváciu ceny chooser opcie podľa času voľby a určte jej znamienko.
- Fixujte čas voľby a zobrazte závislosť ceny opcie od expiračnej ceny. Prečo je takýto priebeh logický? Numericky nájdite expiračnú cenu, pri ktorej je hodnota opcie minimálna.
:: Delta opcie a delta hedžing ::
- Derivácia ceny opcie podľa ceny akcie
- Pre call opciu na akciu, ktorá nevypláca dividendy, sa delta rovná N(d1).
- V odvodení Black-Scholesovho vzorca je to počet akcií, ktoré musíme mať v portfóliu na jednu vypísanú opciu - takémuto zaisteniu portfólia sa hovorí delta hedging.
:: Cvičenia (2) ::
-
Koľko akcií musíme mať v portfóliu, ak sme
- vypísali 1000 call opcií s expiračnou cenou 25 USD a expiráciou o pol roka,
- vypísali 1000 put opcií s expiračnou cenou 20 USD a expiráciou o pol roka,
- kúpili 1000 call opcií s expiračnou cenou 30 USD a expiráciou o pol roka,
- kúpili 1000 put opcií s expiračnou cenou 20 USD a expiráciou o pol roka,
pričom cena akcie dnes je 20 USD, jej volatilita je 0.3 a úroková miera je 0.5 percenta?
- Nasledovný graf zobrazuje deltu troch call opcií ako funkcií ceny akcie. Tieto opcie majú rôzny čas do expirácie.
1 deň, 1/2 roka, 2 roky. Ostatné parametre sú rovnaké. Priraďte časy expirície ku grafom.
Aká je limita delty call opcie, ak čas do expirácie ide k nule a keď ide do nekonečna?
- Predpokladajme, že akcia vypláca spojité dividendy. Čo očakávame pre deltu call opcie na základe jej interpretácie pomocou delta hedžingu? Aké bude mať znamienko a aká bude v porovnaní s deltou v prípade, že akcia dividendy nevypláca? Tieto vlastnosti dokážte.
:: Príklady na precvičenie ::
- Vypočítajte hodnotu stratégie, ktorá pozostáva z kúpy call opcie s
nízkou expiračnou cenou a predaja call opcie s vyššou expiračnou cenou s
tou istou dobou splatnosti. Výpočet ceny stratégie realizujte pre
nasledovné dáta: cena akcie 55 USD, volatilita akcie 0.4, úrok jeden a
pol percenta, expiračná doba 3 mesiace, expiračné ceny sú 50 a 60 USD.
- Príklad zo skúškovej písomky:
- Príklad zo vzorovej skúškovej písomky:
-
Greeks pre binárnu "cash-or-nothing" opciu. Z prednášok poznáme cenu binárnej opcie.
- Odvoďte jej deltu a vegu. Vysvetlite ich priebeh na základe finančnej interpretácie.
- Pri akej cene akcie je delta maximálna? Odvoďte analyticky pre všeobecné hodnoty parametrov a skontrolujte svoj výpočet numerickou optimalizáciou pri zvolených parametroch.
- Pre nasledovné deriváty zistite, ako ich zaisťovať pomocou delta hedžingu. Výpočet zrealizujte pre situáciu, v ktorej ste vypísali 1000 takýchto derivátov s expiráciou o mesiac, pričom aktuálna hodnota opcie je 200 USD, jej volatilita je 0.2 a úroková miera je 0.2 percenta:
- Derivát, ktorý v čase expirácie vyplatí hodnotu 1000/S
- Derivát, ktorý v čase expirácie vyplatí hodnotu S ln(S)
-
Delta pre jednoduché deriváty.
- Ako vyzerajú riešenia Black-Scholesovej PDR pre koncovú podmienku S a pre koncovú podmienku c (kde c je konštatna)? Čomu sa rovná ich delta a akú má tento výsledok interpretáciu?
- Uvažujme Black-Scholesovu rovnicu na akciu s dividendami. Ako sa zmení riešenie PDR pre koncovú podmienku S a príslušná delta? Interpretujte finančne.
- Z prednášky: závislosť delty od volatility, posledný slajd:
- Graficky znázornite závislosť delty od volatility pre rôzne opcie.
- Explicitne vypočítajte DdeltaDvol, teda deriváciu delty podľa volatility akcie. Čo sa dá na základe vzorce očakávať pre opciu, ktorá je "deep in the money", ako sa spomína v článku? Porovnajte s numerickými výpočtami a grafmi.
- Uvažujme opciu, ktorá vyplatí 1 USD, ak je v čase expirácie cena opcie medzi vopred zadanými hranicami E1 and E2 (inak je jej payoff nulový).
- Vypočítajte Black-Scholesovu cenu tejto opcie. Návod: Použite vzťah pre cenu cash-or-nothing opcie z prednášky.
- Vypočítajte deltu tejto opcie a nakreslite jej graf ako funkciu ceny akcie. Zopakujte pre niekoľko časov do expirácie? Čo sa deje, keď sa blížime k expirácii a prečo?
- Na stránke quant.stackexchange.com nájdeme aj nasledovnú otázku:
Odpoveď začína:
- Vysvetlite, najskôr bez výpočtu konkrétnych numerických hodnôt, prečo by sme mali hľadať protipríklad medzi ITM opciami na akciu s veľkou volatilitou-
- Následne, nájdite konkrétne hodnoty parametrov, aby ste dostali kontrapríklad k tvrdeniu z otázky.
Diskusia pokračovala:
- Aká je závislosť ceny a delty od ostatných paramerov? Nájdite hodnoty parametrov, pre ktoré dostaneme kontrapríklad pri volatilite rovnej 0.3 pre opciu, ktorá nie až tak výrazne ITM.