Cvičenia z parciálnych diferenciálnych rovníc (ZS 2008/2009)

Beáta Stehlíková
M266
Email: stehlikova@pc2.iam.fmph.uniba.sk
Www: http://pc2.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova/

Druhá písomka: piatok 12.12, 8.30-10.00, poslucháreň F2

Cvičenia: pondelok 8.10-9.40 IX, streda 16.30-18.00 F328

Príklady na precvičenie:

• Lineárne a kvázilineárne PDR 1.rádu:
  • Filippov: Sbornik zadač po diferenciaľnym uravnenijam, príklady 1167-1210: str1.jpg, str2.jpg, str3.jpg
  • Skúšky na Moskovskej štátnej univerzite (1992-1996), príklady 208-215 v druhej časti knihy: str4.jpg
  • Filippov, príklady 216-221 v druhej časti knihy: str5.jpg. Preklad zadaní:
    • pr. 216 - 218: nájdite riešenia v prípadoch, keď existujú
    • pr. 219: majú nasledujúce rovnice riešenie v okolí bodu (1,0)?
    • pr. 220: majú nasledujúce rovnice riešenie v okolí bodu (1,1)?
    • pr. 221: akú podmienku musí spĺňať funkcia $\phi$, aby riešenie existovalo v celej rovine x,y?
  • Ďalšie príklady: pdr1.pdf.
• Rovnica vedenia tepla: pdr2.pdf. oprava (9.12.) - v pr. 3(b), 3(c) sú integrály od $-\infty$ do $\infty$ (nie od nuly)
• Separácia premenných: pdr3.pdf.

Prémiová úloha:

• Max. 5 bodov, na výber sú dve možnosti:
  1. Black-Scholesova PDR - túto parciálnu diferenciálnu rovnicu a jej riešenie ste už videli, pozrieme sa na ňu ešte raz. Čo dosadiť za volatilitu (vieme vypočítať historickú volatilitu, ale ako dlhé obdobie zobrať na tento výpočet), čo dosadiť za expiráciu (treba rozlišovať pracovné a nepracovné dni)? Z knihy Hull: Options, Futures and Other Derivatives: [hull1.jpg] (n je počet dát, z ktorých odhadujeme sigmu), [hull2.jpg].

     Zvoľte si firmu a nájdite si historické dáta cien akcií a aktuálne ceny opcií (s rôznymi maturitami a rôznymi expiračnými cenami). Výpočet historickej volatility napríklad tu (na konci stránky). Porovnajte ceny akcií s cenami z Black-Scholesovho vzorca pri použití rôznych alternatív výpočtu podľa uvedeného textu, t.j. aký vplyv na rozdiely medzi skutočnou a Black-Scholesovou cenou má

     • použitie historickej volatility z časového radu cien akcií s rôznou dĺžkou
     • použitie rôznej dĺžky časového radu cien akcií pri výpočte cien opcií s rôznou expiráciou
     • rozlišovanie času pre volatilitu (pracovné dni) a úrokovú mieru (kalendárne dni)

     Odovzdajte použité dáta, programy a prehľadne spísané výsledky (v samostatnom súbore).

  2. Numerické riešenie PDR v Matlabe. Príslušná kapitola z knihy R. Bartko, M. Miller: Matlab I. Algoritmizácia a riešenie úloh: [m1.jpg], [m2.jpg], [m3.jpg].

     Zvoľte si začiatočnú podmienku (ide o numerické riešenie, teda nie je dôvod obmedzovať sa na jednoduché funkcie typu x, x² a pod.), konštanty a, b z okrajovej podmienky a vyriešte numericky nasledujúce dve úlohy:

     

     Pre každú úlohu zostrojte graf (horizontálna os - x, vertikálna os - riešenie) na ktorom bude začiatočná podmienka, riešenie v niekoľkých časoch a limita riešenia - tak, aby bolo vidieť konvergenciu k limite. Odovzdajte zadanie úloh, ktoré riešite, použité programy a výsledné grafy s legendou.

• Prémiovú úlohu rieši každý samostatne.

• Odovzdávanie:
  • Ak máte záujem riešniť túto prémiovú úlohu, do štvrtka 11.12. mi pošlite mail, v ktorom si vyberiete jednu z tém. Neskôr sa môťžete rozhodnúť úlohu nerobiť. Naopak nie, t.j. nie je možné úlohu odovzať, ak ste sa vopred neprihlásili.
  • Termín odovzdania je streda 17.12. pre tých, ktorí idú na skúšku 19.12. a štvrtok 18.12. pre ostatných
  • Mail: stehlikova@pc2.iam.fmph.uniba.sk