Oddelenie ekonomických a finančných modelov KAMŠ FMFI UK

Predmet ŠZS: Operačná analýza

Algoritmy na sieťach.
Prieskum grafov a digrafov (labyrintové algoritmy): Hľadanie komponentov súvislosti a silných komponentov digrafu. Silne suvislá orientácia grafov a migrafov. Optimálne sledy: Algoritmy pre najkratšie cesty, najširšia cesta, najspoľahlivejšia cesta. Toky: Fordov-Fulkersonov algoritmus. Veta o max. toku a min. reze. Toky pri dolných medziach. Najlacnejší maximálny tok. Navrhovanie optimálnych sietí. Najlacnejšia kostra grafu resp. digrafu - algoritmy. Časová a nákladová analýza projektu.

Optimálne riadenie.
Formulácia diskrétnych a spojitých úloh optimálneho riadenia (UOR): spoločné a odlišné znaky. Pojem riadenia, odozvy na riadenie, prípustného a optimálneho riadenia. Význam obmedzení na triedu riadení v prípade spojitých úloh.

Rovnica dynamického programovania (RDP): Hodnotová funkcia a optimálna spätná väzba (definícia pojmov a ich význam pre diskrétne UOR a RDP). Princíp optimality. RDP pre diskrétne úlohy, myšlienka odvodenia RDP. Charakterizácia RDP (nutná resp. aj postačujúca podmienka, rekurentný vzťah resp. funkcionálna rovnica) pre rozličné typy diskrétnych UOR. RDP ako nástroj na riešenie úloh. Možnosti riešenia úloh analyticky, tabuľkovou schémou, pomocou počítača - algoritmus riešenia, riešenie úloh v prípade, že množiny hodnôt stavu a riadenia sú konečné resp. kontinuálne, výhodnosť použitia RDP. Metódy riešenia RDP v prípade nekonečného času - metóda variácie konštánt, metóda aproximácii v priestore riadení. RDP pre linearno-kvadratickú úlohu - myšlienka odvodenia Riccatiho rovnice. Stochastické diskrétne UOR- pojem stratégie, porovnanie s programovým riadením. RDP pre diskrétne stochastické UOR. RDP pre spojité úlohy- porovnanie v šírke platnosti s RDP pre diskrétne úlohy.

Pontrjaginov princíp maxima (PPM) pre spojité UOR: Formulácia nutných podmienok PPM pre rozličné typy spojitých UOR (autonómne - neutonómne; pevný čas - voľný čas - nekonečný čas; Lagrangeova - Bolzova účelová funkcia; ohraničenia na koncový stav typu rovnosti - nerovnosti - bez ohraničení; ohraničenia na stavové a riadiace premenné - len stavové - zmiešané riadiaco stavové - len riadiace. PPM ako nástroj kvalitatívnej analýzy ( príklad úlohy o optimálnej spotrebe). Ekonomická intertpretácia PPM so zameraním na interpretáciu adjungovaných premenných. Úloha o plánovaní výroby. Úloha o obchodovaní s komoditami. Ramseyho model na konečnom aj nekonečnom časovom horizonte ako UOR. Singulárne riadenia a Solovov model rastu. PPM ako postačujúca podmienka optimality.

Úlohy variačného počtu: Formulácia úloh. Eulerova rovnica. Súvis úloh variačného počtu s UOR. Súvis Eulerovej rovnice a PPM.

Aplikácie optimálneho riadenia v makroekonómii. Ramseyov model rastu. Model prekrývajúcich sa generácií.

Teória hier.
Bayesovské hry (statické hry s neúplnou informáciou). Harsanyiho transformácia. Pojem Bayesovho-Nashovho ekvilibria. Cournotov duopol v prostredí nedokonalej informácie. Dynamické hry s neúplnou informáciou. Bayesove predpoklady. Sekvenčná racionalita. Slabo dokonalé Bayesovo ekvilibrium.

Stochastické metódy operačnej analýzy.
Markovov reťazec s konečnou a spočitateľnou množinou stavov, s diskrétnym a spojitým časom. Exponenciálne rozdelenie a Poissonov proces. Kendallova klasifikácia úloh hromadnej obsluhy. Systémy M/M/1, M/M/n, M/D/1. Základná EOQ úloha teórie zásob. Formulácie stochastických úloh teórie zásob. Jednorázová úloha teória zásob. Aplikácie

Predmet ŠZS: Ekonómia a financie

Teória financií.
Wienerov proces: Difúzne a Itôove procesy. Itôva lema, stochastická diferenciálna rovnica pre vývoj ceny akcie. Black-Scholesova teória oceňovania opcií pre deriváty akcií a výmenného kurzu. Modely vývoja úrokových mier (model Ho&Lee, Vašíčkov model). Deriváty úrokovej miery.

Oceňovanie opcií prostredníctvom PDR: Európske call a put opcie, princíp delta- hedging, Blackova-Scholesova rovnica. Explicitná a implicitná numerická schéma na numerické riešenie Európskych call a put opcií, put-call parita. Úloha oceňovania amerických opcií ako úloha s voľnou hranicou a numerické metódy jej riešenia. Oceňovanie opcií s uvážením transakčných výdavkov. Zahrnutie transakčných nákladov do Black-Scholesovej rovnice. Exotické typy derivátov - ázijské a bariérové opcie.

Aplikácie parciálnych diferenciálnych rovníc a ich numerické riešenie.
Základy modelovania fyzikálnych a finančných procesov pomocou parciálnych diferenciálnych rovníc. Rovnica vedenia tepla, zákon zachovania hmoty, Black-Scholesova rovnica. Metódy riešenia parabolických rovníc, Greenova funkcia. Vlastnosti riešení parabolických rovníc - princíp porovnávania a zhladzovania riešení. Numerické metódy riešenia parciálnych diferenciálnych rovníc - metóda konečných diferencií.

Časové rady.
Stacionárne procesy. Autokorelačná funkcia (ACF) a parciálna autokorelačná funkcia (PACF). Autoregresné procesy (AR) a procesy kĺzavých priemerov (MA). Spektrálna analýza. Kointegrácia. Modelovanie procesov s heteroskedasticitou. Podmienky stacionarity a invertovatelnosti, výpočet ACF a PACF, ich odhad z dát. ARMA modely. Integrované časové rady a ARIMA modely.

Literatúra

Algoritmy na sieťach:

J. Plesník: Grafové algoritmy. Veda, Bratislava 1983 (a zápis prednášky z Algoritmov na sieťach).
A.A. Korbut, J.J. Finkelstejn: Diskretnoje programmirovanije. Nauka, Moskva 1969 (slovenský preklad: Diskrétne programovanie, Bratislava 1973) (a najmä zápis z prednášky Diskrétna optimalizácia).

Optimálne riadenie:

M.Halická, P. Brunovský, P. Jurča: Optimálne riadenie. Viacetapové rozhodovacie procesy v ekonómii a financiách, EPOS, Bratislava 2009
P. Brunovský: Matematická teória optimálneho riadenia. Alfa, Bratislava 1980;
M.I. Kamien, N.L. Schwartz: Dynamic Optimization. The Calculus of Variations and Optimal Control in Economics and Management. Elsevier, 1995.

Stochastické metódy operačnej analýzy

P. Brunovský: Stochastické metódy operačnej analýzy. Učebný text. http://www.iam.fmph.uniba.sk/skripta/brunovsky-smoa/
L. Unčovský: Stochastické metódy operačnej analýzy. Alfa, Bratislava 1980
S. Peško: Teória hromadnej obsluhy. Operačná analýza 2. Učebný text http://frcatel.utc.sk/users/Pesko/OA2/oa2.pdf
J. Kalas: Markovove reťazce. Skriptá UK 1993
F. Zítek: Ztracený čas. Academia, Praha 1969
J. R. Norris: Markov Chains. Cambridge Univ. Press, Cambridge 1997

Teória hier:

P. Morris: Introduction to game theory. Springer 1994;
Chobot, Turnovec, Ulasin: Teória hier a rozhodovania. Alfa 1991;
Osborne, Rubinstein: A course in game theory. MIT Press 1996.
Fudenberg - Tirol: Game Theory. MIT Press 1991;
Mas-Colell - Whinston - Green: Microeconomic Theory. Oxford University Press 1995;
Osborne: An Introduction to Game Theory Oxford University Press 2004

Dynamická makroekonómia:

C. Azariadis: Intertemporal Macroeconomics. Cambridge 1993;
O. Blanchard, S. Fischer: Lectures on Macroeconomics. MIT Press;
D. Romer: Advanced Macroeconomics. McGraw Hill, 1996.

Teória financií:

P. Wilmot, S. Howison, J. Dewyne: The Mathematics of Financial Derivatives. Cambridge 1995.
J. Hull: Options, futures and other derivative securities. Prentice Hall 1989;
J. Komorník, M. Komorníkova a K. Mikula: Modelovanie ekonomických a finančných procesov. Skriptá UK 1997.
I. Melicherčík, L. Olšarová, V. Úradníček: Kapitoly z finančnej matematiky. EPOS 2005
D. Ševčovič, B. Stehlíková, K. Mikula: Analytické a numerické metódy oceňovania finančných derivátov. Vydavateľstvo STU 2009

Časové rady:

G.Kirchgässner, J.Wolters: Introduction to modern time series analysis, Berlin: Springer, 2008
James Douglas Hamilton: Time series analysis, Princeton : Princeton University Press, 1994

Parciálne diferenciálne rovnice a ich aplikácie:

D. Ševčovič: Parciálne diferenciálne rovnice a ich aplikácie, IRIS 2008.
V.J. Arsenin: Matematická fyzika. Základné rovnice a funkcie, Moskva 1966.